Polarizzazione delle onde elettromagnetiche

La polarizzazione è la direzione lungo cui oscilla il campo elettrico $\vec{E}$ di un’onda. Questa sezione distingue i tre tipi di polarizzazione (lineare, circolare, ellittica) e poi introduce i filtri polarizzatori e la legge di Malus, con la sua sorprendente conseguenza del “terzo polaroid”.

• Polarizzazione delle onde EM
• Filtri polarizzatori e legge di Malus

Polarisation is the direction along which the electric field $\vec{E}$ of a wave oscillates. This section distinguishes the three types of polarisation (linear, circular, elliptical) and then introduces polarising filters and Malus’s law, with its surprising “third Polaroid” consequence.

• Polarisation of EM waves
• Polarising filters and Malus’s law

Finora abbiamo trattato l’onda EM piana con $\vec{E}$ che oscilla lungo una direzione fissa (per esempio $y$) e $\vec{B}$ lungo un’altra fissa ($z$): un’onda di questo tipo si dice linearmente polarizzata. La direzione di oscillazione di $\vec{E}$ definisce la polarizzazione dell’onda.

Polarizzazione di un'onda EM

La polarizzazione è la direzione del campo elettrico $\vec{E}$. Il campo magnetico $\vec{B}$ è sempre a $90^\circ$ rispetto a $\vec{E}$: scelto $\vec{E}$, anche $\vec{B}$ è determinato.

A seconda di come la punta del vettore $\vec{E}$ si muove nel piano trasverso alla direzione di propagazione, si distinguono tre casi:

• Polarizzazione lineare: $\vec{E}$ oscilla lungo una retta fissa.
• Polarizzazione circolare: $\vec{E}$ ha modulo costante e ruota su un cerchio (somma di due polarizzazioni lineari ortogonali sfasate di $\pi/2$ con la stessa ampiezza).
• Polarizzazione ellittica: somma di due polarizzazioni lineari ortogonali con ampiezze e/o fasi diverse; la punta di $\vec{E}$ descrive un’ellisse. È il caso generale, di cui lineare e circolare sono casi limite.

I tre tipi di polarizzazione, visti guardando l’onda “in faccia”: traiettoria della punta di $\vec{E}$ nel piano trasverso.

Contesto storico — La luce non polarizzata

La luce solare è non polarizzata: una sovrapposizione disordinata di onde con polarizzazioni casuali, perché ogni atomo della fotosfera emette indipendentemente dagli altri. Lampadine a incandescenza, fiamme di candela, vecchi schermi a tubo catodico emettono ugualmente luce non polarizzata. Gli LCD dei nostri schermi, i laser e la luce riflessa da superfici lucide a certi angoli sono invece sorgenti polarizzate (Walker 2013).

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So far we have treated the plane EM wave with $\vec{E}$ oscillating along one fixed direction (say $y$) and $\vec{B}$ along another fixed direction ($z$): a wave of this type is said to be linearly polarised. The direction of oscillation of $\vec{E}$ defines the polarisation of the wave.

Polarisation of an EM wave

Polarisation is the direction of the electric field $\vec{E}$. The magnetic field $\vec{B}$ is always at $90^\circ$ to $\vec{E}$: once $\vec{E}$ is chosen, $\vec{B}$ is determined too.

Depending on how the tip of the vector $\vec{E}$ moves in the plane transverse to the direction of propagation, three cases are distinguished:

• Linear polarisation: $\vec{E}$ oscillates along a fixed straight line.
• Circular polarisation: $\vec{E}$ has constant magnitude and rotates on a circle (sum of two orthogonal linear polarisations, out of phase by $\pi/2$, with the same amplitude).
• Elliptical polarisation: sum of two orthogonal linear polarisations with different amplitudes and/or phases; the tip of $\vec{E}$ traces an ellipse. This is the general case, of which linear and circular are limiting cases.

The three types of polarisation, seen looking the wave “in the face”: trajectory of the tip of $\vec{E}$ in the transverse plane.

Historical context — Unpolarised light

Sunlight is unpolarised: a disordered superposition of waves with random polarisations, because each atom in the photosphere emits independently of the others. Incandescent bulbs, candle flames, old cathode-ray-tube screens likewise emit unpolarised light. LCD screens, lasers, and light reflected off shiny surfaces at certain angles, on the other hand, are polarised sources (Walker 2013).

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Un filtro polarizzatore (Polaroid) lascia passare solo la componente di $\vec{E}$ lungo un suo asse caratteristico, l’asse di trasmissione, assorbendo l’altra. Una luce non polarizzata che incide su un singolo filtro ne esce polarizzata linearmente lungo l’asse del filtro, con intensità dimezzata (l’altra metà è assorbita).

Legge di Malus

Se un’onda già polarizzata linearmente con intensità $I_0$ incide su un secondo filtro il cui asse è ruotato di $\theta$ rispetto alla direzione di polarizzazione dell’onda, l’intensità trasmessa è $\ev{I = I_0\,\cos^2\theta}$

Perché $\cos^2$? Dopo il primo filtro il campo elettrico ha ampiezza $E_0$ lungo l’asse del filtro. Sul secondo filtro passa solo la componente parallela al suo asse, cioè $E_0\cos\theta$. L’intensità, proporzionale al quadrato del campo elettrico, diventa $I_0\cos^2\theta$.

Esempio — Due Polaroid incrociati

Luce non polarizzata di intensità $I_\text{nat}$ attraversa due filtri; il secondo è ruotato di $\theta = 60^\circ$ rispetto al primo. Il primo lascia passare $I_1 = I_\text{nat}/2$. Per Malus: $I_2 = I_1\cos^2 60^\circ = \frac{I_\text{nat}}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{I_\text{nat}}{8}$ Sopravvive un ottavo della luce iniziale.

Il trucco del terzo Polaroid

Due polaroid incrociati a $90^\circ$ bloccano tutta la luce ($\cos^2 90^\circ = 0$). Inserendo fra i due un terzo polaroid ruotato di $45^\circ$, sorprendentemente la luce ripassa. Il conto: dopo il primo $I/2$, dopo l’intermedio $\tfrac{I}{2}\cos^2 45^\circ = I/4$, dopo il secondo $\tfrac{I}{4}\cos^2 45^\circ = I/8$. Il polaroid intermedio riproietta la polarizzazione sul suo asse, offrendo al secondo un nuovo bersaglio. È uno dei pochi esperimenti elementari in cui “aggiungere un ostacolo aiuta”, e ricomparirà, in chiave quantistica, nella teoria della misura sui fotoni.

Esempio — Riflessi sull'acqua e occhiali polarizzati

La luce riflessa dalla superficie di un lago è parzialmente polarizzata in direzione orizzontale (l’angolo di Brewster dà il massimo della polarizzazione). Gli occhiali da sole polarizzati hanno l’asse di trasmissione verticale: bloccano la componente orizzontale, riducendo drasticamente i riflessi abbaglianti senza scurire troppo il paesaggio (Bloomfield 2016).

La polarizzazione delle onde EM è l’aggancio naturale al filtro polarizzatore quantistico: gli stessi $\cos^2\theta$ riemergono in un contesto totalmente diverso, la teoria della misura sui singoli fotoni.

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A polarising filter (Polaroid) lets through only the component of $\vec{E}$ along its characteristic axis, the transmission axis, absorbing the rest. Unpolarised light incident on a single filter emerges linearly polarised along the filter’s axis, with halved intensity (the other half is absorbed).

Malus's law

If a wave already linearly polarised with intensity $I_0$ hits a second filter whose axis is rotated by $\theta$ with respect to the wave’s polarisation direction, the transmitted intensity is $\ev{I = I_0\,\cos^2\theta}$

Why $\cos^2$? After the first filter, the electric field has amplitude $E_0$ along the filter’s axis. Through the second filter only the component parallel to its axis passes, i.e. $E_0\cos\theta$. The intensity, proportional to the square of the electric field, becomes $I_0\cos^2\theta$.

Example — Two crossed Polaroids

Unpolarised light of intensity $I_\text{nat}$ passes through two filters; the second is rotated by $\theta = 60^\circ$ with respect to the first. The first lets through $I_1 = I_\text{nat}/2$. By Malus’s law: $I_2 = I_1\cos^2 60^\circ = \frac{I_\text{nat}}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{I_\text{nat}}{8}$ One eighth of the initial light survives.

The trick of the third Polaroid

Two Polaroids crossed at $90^\circ$ block all the light ($\cos^2 90^\circ = 0$). Inserting between the two a third Polaroid rotated by $45^\circ$, surprisingly the light gets through again. The calculation: after the first, $I/2$; after the intermediate one, $\tfrac{I}{2}\cos^2 45^\circ = I/4$; after the second, $\tfrac{I}{4}\cos^2 45^\circ = I/8$. The intermediate Polaroid re-projects the polarisation onto its axis, offering the second filter a new target. It is one of the few elementary experiments in which “adding an obstacle helps”, and it will reappear, in a quantum guise, in the theory of measurement on photons.

Example — Reflections on water and polarised sunglasses

Light reflected off the surface of a lake is partially polarised in the horizontal direction (Brewster’s angle gives the maximum polarisation). Polarised sunglasses have a vertical transmission axis: they block the horizontal component, drastically reducing glare without darkening the landscape too much (Bloomfield 2016).

The polarisation of EM waves is the natural bridge to the quantum polarising filter: the same $\cos^2\theta$ reappears in a completely different context, the theory of measurement on single photons.

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