Dilatazione dei tempi

Se la velocità della luce è la stessa per tutti, allora il tempo non può esserlo. Questa sezione costruisce l’argomento con un dispositivo elementare — l’orologio a luce — e ne ricava la legge di dilatazione dei tempi $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$, per poi mostrare perché nella vita quotidiana l’effetto è invisibile ma nei satelliti GPS è già decisivo.

• L’orologio a luce
• La dilatazione dei tempi
• Il limite di basse velocità

If the speed of light is the same for everyone, then time cannot be. This section builds the argument with an elementary device — the light clock — and derives from it the time-dilation law $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$, before showing why the effect is invisible in everyday life but already decisive in GPS satellites.

• The light clock
• Time dilation
• The low-velocity limit

Per ragionare sul tempo in modo pulito conviene costruire un orologio ridotto all’osso, che usi solo la luce. Immaginiamo un dispositivo ideale chiamato orologio a luce: due specchi paralleli posti a distanza $d$, tra i quali un raggio di luce rimbalza avanti e indietro. Ogni “tic-tac” è un viaggio di andata e ritorno del raggio; poiché la luce viaggia a velocità $c$ e percorre complessivamente $2d$, ogni tic-tac dura

$\Delta\tau = \frac{2d}{c}$

L’orologio a luce: un raggio rimbalza tra due specchi a distanza $d$. Un tic-tac di andata e ritorno dura $\Delta\tau = 2d/c$.

Il pregio di questo orologio è che la sua “lancetta” è la luce stessa: dato che $c$ è fissata dai postulati di Einstein, il ritmo dell’orologio dipende soltanto dalla distanza $d$ tra gli specchi. È esattamente ciò che serve per mettere alla prova l’idea di tempo assoluto: basterà chiedersi quanto dura lo stesso tic-tac visto da chi osserva l’orologio in moto.

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To reason cleanly about time it helps to build a clock stripped down to its essentials, using only light. Imagine an ideal device called a light clock: two parallel mirrors placed a distance $d$ apart, between which a beam of light bounces back and forth. Each “tick” is a round trip of the beam; since light travels at speed $c$ and covers a total distance $2d$, each tick lasts

$\Delta\tau = \frac{2d}{c}$

The light clock: a beam bounces between two mirrors a distance $d$ apart. A round-trip tick lasts $\Delta\tau = 2d/c$.

The merit of this clock is that its “hand” is light itself: since $c$ is fixed by Einstein’s postulates, the clock’s rhythm depends only on the distance $d$ between the mirrors. This is exactly what is needed to put the idea of absolute time to the test: we need only ask how long the same tick lasts as seen by someone watching the clock in motion.

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Poniamo l’orologio a luce su un treno che viaggia a velocità $v$ rispetto alla stazione. Chiamiamo SR treno (SRT) il sistema solidale al treno e SR binario (SRB) quello della stazione. Lo stesso identico tic-tac verrà cronometrato in modo diverso dai due osservatori, ed è proprio da questo confronto che nasce la relatività del tempo.

Visto dal treno (SRT): il raggio sale e scende in linea retta, esattamente come prima, e il tic-tac dura $\Delta\tau = 2d/c$. È il tempo proprio dell’orologio, misurato da chi viaggia con esso.

Visto dal binario (SRB): mentre il raggio sale, il treno — e con esso lo specchio superiore — si sposta lateralmente. Il raggio traccia quindi un percorso più lungo, a zig-zag:

Il percorso a zig-zag visto dal binario. In un tic-tac il treno avanza di $v\,\Delta t$, e il raggio percorre l’ipotenusa: più lunga della semplice salita-discesa vista dal treno.

Poiché la luce viaggia a $c$ anche nel SRB (secondo postulato), per coprire un percorso più lungo impiega più tempo. Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di metà percorso, i cui cateti sono l’altezza $d$ e lo spostamento laterale $v\,\Delta t/2$, e la cui ipotenusa è il tratto di luce $c\,\Delta t/2$:

$\left(\frac{c\,\Delta t}{2}\right)^2 = d^2 + \left(\frac{v\,\Delta t}{2}\right)^2$

Sostituendo $d = c\,\Delta\tau/2$ e riordinando i termini si isola $\Delta t$:

$(c^2 - v^2)(\Delta t)^2 = c^2(\Delta\tau)^2$

$\ev{\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta\tau}$

dove $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ è il fattore di Lorentz.

Formula chiave

$\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \geq 1$

Poiché $\gamma \geq 1$, si ha sempre $\Delta t \geq \Delta\tau$: il tic-tac dell’orologio in moto, cronometrato da terra, dura di più. Detto altrimenti, l’orologio in moto ticchetta più lentamente.

Legge — Dilatazione dei tempi

Un orologio in moto rispetto a un osservatore gira più lentamente rispetto a un orologio fermo. Più precisamente, se due eventi avvengono nello stesso punto del SR di un osservatore (per esempio il tic e il tac dell’orologio del treno), nel SR di un altro osservatore in moto relativo a velocità $v$ essi sono separati da un tempo $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau > \Delta\tau$.

Tempo proprio

Il tempo più breve tra due eventi è sempre quello misurato nel sistema di riferimento in cui i due eventi sono cospaziali (avvengono nello stesso punto). Questo tempo è detto tempo proprio $\Delta\tau$.

Nessuno può superare la velocità della luce

Se fosse $v > c$, avremmo $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ immaginario: $\Delta t$ sarebbe un numero complesso, mentre ci aspettiamo un tempo reale. Questa impossibilità matematica ha un significato profondo: nessun oggetto massivo può raggiungere la velocità della luce. Solo le particelle senza massa (fotoni, gluoni) viaggiano a $c$, e lo fanno esattamente a $c$, in ogni sistema di riferimento.

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Let’s place the light clock on a train travelling at velocity $v$ relative to the station. We call RF train (RFT) the frame at rest with the train and RF platform (RFP) the frame of the station. The very same tick will be timed differently by the two observers, and it is precisely from this comparison that the relativity of time arises.

Seen from the train (RFT): the beam rises and falls in a straight line, exactly as before, and the tick lasts $\Delta\tau = 2d/c$. This is the proper time of the clock, measured by whoever travels with it.

Seen from the platform (RFP): while the beam rises, the train — and with it the upper mirror — moves sideways. The beam therefore traces a longer, zig-zag path:

The zig-zag path as seen from the platform. In one tick the train advances by $v\,\Delta t$, and the beam travels the hypotenuse: longer than the simple up-and-down path seen from the train.

Since light travels at $c$ also in the RFP (second postulate), covering a longer path takes more time. Applying Pythagoras’ theorem to the right triangle for half the path, whose legs are the height $d$ and the sideways displacement $v\,\Delta t/2$, and whose hypotenuse is the light path $c\,\Delta t/2$:

$\left(\frac{c\,\Delta t}{2}\right)^2 = d^2 + \left(\frac{v\,\Delta t}{2}\right)^2$

Substituting $d = c\,\Delta\tau/2$ and rearranging terms isolates $\Delta t$:

$(c^2 - v^2)(\Delta t)^2 = c^2(\Delta\tau)^2$

$\ev{\Delta t = \frac{\Delta\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta\tau}$

where $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ is the Lorentz factor.

Key formula

$\Delta t = \gamma\,\Delta\tau$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \geq 1$

Since $\gamma \geq 1$, we always have $\Delta t \geq \Delta\tau$: the tick of the moving clock, timed from the ground, lasts longer. In other words, the moving clock ticks more slowly.

Law — Time dilation

A clock moving relative to an observer runs more slowly than a clock at rest. More precisely, if two events occur at the same point in an observer’s RF (for example the tick and the tock of the train’s clock), in the RF of another observer moving relative to the first at velocity $v$ they are separated by a time $\Delta t = \gamma\,\Delta\tau > \Delta\tau$.

Proper time

The shortest time between two events is always the one measured in the reference frame in which the two events are co-spatial (occur at the same point). This time is called the proper time $\Delta\tau$.

No one can exceed the speed of light

If $v > c$ were possible, $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ would be imaginary: $\Delta t$ would be a complex number, whereas we expect a real time. This mathematical impossibility has a deep meaning: no massive object can reach the speed of light. Only massless particles (photons, gluons) travel at $c$, and they do so exactly at $c$, in every reference frame.

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Se la dilatazione dei tempi è reale, perché non ce ne accorgiamo mai? La risposta sta nel comportamento del fattore di Lorentz quando le velocità sono molto minori di quella della luce. Per $v \ll c$ possiamo usare lo sviluppo al primo ordine $(1-\varepsilon)^{-1/2} \approx 1 + \varepsilon/2$, con $\varepsilon = v^2/c^2$:

$\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$

Lo scostamento di $\gamma$ da $1$ non cresce come $v$, ma come $v^2/c^2$: è quindi doppiamente piccolo alle velocità ordinarie. È questo il motivo per cui la fisica di Galileo funziona benissimo nella vita di tutti i giorni — la correzione relativistica c’è, ma è annegata in un fattore $(v/c)^2$ minuscolo.

Esempio — La Terra in orbita

La Terra orbita intorno al Sole a $v = 30\;\text{km/s}$, cioè $v/c \approx 10^{-4}$. Il fattore di Lorentz vale $\gamma \approx 1 + 5\cdot 10^{-9}$: la differenza tra tempo proprio e tempo dilatato è dell’ordine di cinque miliardesimi. Irrilevante nella vita quotidiana, ma perfettamente misurabile con orologi atomici.

GPS e relatività

I satelliti del sistema GPS orbitano a $\sim 14\,000\;\text{km/h}$ e sperimentano una dilatazione dei tempi di qualche microsecondo al giorno. Se non si corregge per questo effetto (e per un secondo effetto di relatività generale dovuto al diverso potenziale gravitazionale), il GPS accumula errori di circa $10\;\text{km}$ al giorno! La relatività non è solo teoria: è nel tuo smartphone.

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If time dilation is real, why do we never notice it? The answer lies in the behaviour of the Lorentz factor when velocities are much smaller than that of light. For $v \ll c$ we can use the first-order expansion $(1-\varepsilon)^{-1/2} \approx 1 + \varepsilon/2$, with $\varepsilon = v^2/c^2$:

$\gamma \approx 1 + \frac{v^2}{2c^2}$

The deviation of $\gamma$ from $1$ does not grow as $v$, but as $v^2/c^2$: it is therefore doubly small at ordinary velocities. This is why Galilean physics works perfectly well in everyday life — the relativistic correction is there, but it is drowned out by a tiny factor of $(v/c)^2$.

Example — The Earth in orbit

The Earth orbits the Sun at $v = 30\;\text{km/s}$, i.e. $v/c \approx 10^{-4}$. The Lorentz factor is $\gamma \approx 1 + 5\cdot 10^{-9}$: the difference between proper time and dilated time is of the order of five billionths. Irrelevant in everyday life, but perfectly measurable with atomic clocks.

GPS and relativity

GPS satellites orbit at $\sim 14\,000\;\text{km/h}$ and experience a time dilation of a few microseconds per day. If this effect is not corrected for (along with a second effect from general relativity, due to the different gravitational potential), GPS accumulates errors of around $10\;\text{km}$ per day! Relativity is not just theory: it is in your smartphone.

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