Esercizi — Relatività ristretta

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati e i problemi disseminati nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi).

Esercizi e problemi nel testo

• Tipo spazio o tipo tempo (quattro eventi)
• Il signor Rossi va a teatro
• La gara di conigli
• Duello western relativistico
• Quattro eventi e la diseguaglianza inversa
• Il viaggiatore al cinema
• Un timer relativistico
• Caterina verso Alfa Centauri
• Duello western: calcolo esplicito
• Galleria a 0,8 c
• Un semaforo rosso visto verde
• Composizione per via Doppler
• Condor contro razzo
• Particella o fotone?
• Il bosone di Higgs a 0,8 c
• Redshift gravitazionale sull’Everest
• Il GPS quantitativo

Problemi di fine capitolo

• Fattore di Lorentz del muone
• Simultaneità (vero o falso)
• Fattore di Lorentz a 0,6 c
• Perché nessuna massa raggiunge c
• Contrazione di un’asta
• Composizione di velocità (elettrone)
• Energia di una bomba a fissione
• Il sistema di riferimento del tempo minimo
• Dimostrazione dell’invariante energia-impulso
• Stima della correzione relativistica GPS
• Redshift di una galassia
• Ranking dei fattori di Lorentz (quattro astronavi)
• Il fienile e il bastone
• Diagramma di Minkowski di un razzo
• Contrazione di un’astronave
• Quale diagramma dei gemelli
• Navicella e i beep
• Righello in moto a 0,6 c
• Energia di riposo dell’elettrone
• Velocità per gamma uguale a 2
• Astronauta verso Proxima Centauri
• Ranking dei fattori di Lorentz (tre particelle)
• Vero o falso relativistico
• Ritardo cinematico degli orologi GPS
• Il muone dei raggi cosmici
• Galileo contro Einstein
• Niente segnali più veloci della luce
• Ranking dei fattori di Lorentz (0,1c–0,99c)
• Ranking delle energie di riposo
• Dal fattore gamma alla velocità (protone)
• Dal rapporto Doppler alla velocità
• Fantafisica: c moltiplicata per dieci
• Il pione in volo
• Simultaneità delle lampade sul treno
• Stima di Fermi: un grammo di materia
• Lettura del grafico gamma(v)
• Sfida: il paradosso dei gemelli
• Massa invariante di due fotoni

All the chapter’s exercises, worked step by step, in order of appearance in the chapter: first the guided exercises and problems scattered through the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphs, Fermi estimates).

Exercises and problems in the text

• Spacelike or timelike (four events)
• Mr Rossi goes to the theatre
• The rabbit race
• Relativistic western duel
• Four events and the reversed inequality
• The traveller going to the cinema
• A relativistic timer
• Caterina towards Alpha Centauri
• Western duel: explicit calculation
• Tunnel at 0.8 c
• A red traffic light seen as green
• Composition via Doppler
• Condor versus rocket
• Particle or photon?
• The Higgs boson at 0.8 c
• Gravitational redshift on Everest
• Quantitative GPS

End-of-chapter problems

• Lorentz factor of the muon
• Simultaneity (true or false)
• Lorentz factor at 0.6 c
• Why no mass reaches c
• Contraction of a rod
• Composition of velocities (electron)
• Energy of a fission bomb
• The frame of minimum time
• Proof of the energy-momentum invariant
• Estimate of the GPS relativistic correction
• Redshift of a galaxy
• Ranking of Lorentz factors (four spaceships)
• The barn and the pole
• Minkowski diagram of a rocket
• Contraction of a spaceship
• Which twin diagram
• Spacecraft and the beeps
• Ruler moving at 0.6 c
• Rest energy of the electron
• Velocity for gamma equal to 2
• Astronaut towards Proxima Centauri
• Ranking of Lorentz factors (three particles)
• Relativistic true or false
• Kinematic delay of GPS clocks
• The cosmic-ray muon
• Galileo versus Einstein
• No signals faster than light
• Ranking of Lorentz factors (0,1c–0,99c)
• Ranking of rest energies
• From the gamma factor to the velocity (proton)
• From the Doppler ratio to the velocity
• Science fiction physics: c multiplied by ten
• The pion in flight
• Simultaneity of the lamps on the train
• Fermi estimate: one gram of matter
• Reading the gamma(v) graph
• Challenge: the twin paradox
• Invariant mass of two photons

Testo

Nel SR del laboratorio quattro eventi hanno coordinate (in secondi e secondi-luce) $E_1=(0,0)\quad E_2=(5,3)\quad E_3=(2,7)\quad E_4=(4,4).$ Per ciascuna delle coppie $\{E_1,E_2\}$, $\{E_1,E_3\}$, $\{E_1,E_4\}$, $\{E_2,E_3\}$: (a) classifica l’intervallo; (b) calcola $\Delta\tau$ oppure $\Delta\sigma$; (c) trova la velocità del SR di cospazialità (per gli intervalli tipo tempo) o di simultaneità (per quelli tipo spazio).

Soluzione

Lavoriamo in unità naturali con $c=1$ (tempi in s, distanze in sl). Per due eventi con separazione $\Delta t$ e $\Delta s$ l’invariante è $\Delta t^2 - \Delta s^2 \;\begin{cases}>0 & \text{tipo tempo}\\ =0 & \text{tipo luce}\\ <0 & \text{tipo spazio}\end{cases}$ Per un intervallo tipo tempo il tempo proprio è $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$ e il SR in cui i due eventi sono cospaziali (stesso luogo) viaggia a $v_\text{cosp}=\Delta s/\Delta t$. Per un intervallo tipo spazio la distanza propria è $\Delta\sigma=\sqrt{\Delta s^2-\Delta t^2}$ e il SR in cui i due eventi sono simultanei viaggia a $v_\text{sim}=\Delta t/\Delta s$.

Coppia $\{E_1,E_2\}$: $\Delta t=5$, $\Delta s=3$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 25-9 = 16 > 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo tempo}$ $\Delta\tau_{12}=\sqrt{16}=4\ \text{s}, \qquad v_\text{cosp}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3}{5}=0{,}6\,c$

Coppia $\{E_1,E_3\}$: $\Delta t=2$, $\Delta s=7$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 4-49 = -45 < 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo spazio}$ $\Delta\sigma_{13}=\sqrt{45}\ \text{sl}\approx 6{,}7\ \text{sl}, \qquad v_\text{sim}=\frac{\Delta t}{\Delta s}=\frac{2}{7}\approx 0{,}29\,c$

Coppia $\{E_1,E_4\}$: $\Delta t=4$, $\Delta s=4$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 16-16 = 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo luce}$ $\Delta\tau_{14}=0$ I due eventi sono collegabili da un raggio di luce: giacciono sulla bisettrice del cono di luce (la retta tratteggiata in figura).

Coppia $\{E_2,E_3\}$: $\Delta t=2-5=-3$, $\Delta s=7-3=4$. $\Delta s^2-\Delta t^2 = 16-9 = 7 > 0 \;\Rightarrow\; \text{tipo spazio}$ $\Delta\sigma_{23}=\sqrt{7}\ \text{sl}\approx 2{,}65\ \text{sl}, \qquad v_\text{sim}=\frac{|\Delta t|}{|\Delta s|}=\frac{3}{4}=0{,}75\,c$

Riepilogo. $\ev{\{12\}\ \text{tempo},\ \Delta\tau=4\,\text{s};\quad \{13\}\ \text{spazio},\ \Delta\sigma=\sqrt{45}\,\text{sl};\quad \{14\}\ \text{luce},\ \Delta\tau=0;\quad \{23\}\ \text{spazio},\ \Delta\sigma=\sqrt{7}\,\text{sl}}$

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Relatività della simultaneità Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski · Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali

Problem

In the laboratory SR, four events have coordinates (in seconds and light-seconds) $E_1=(0,0)\quad E_2=(5,3)\quad E_3=(2,7)\quad E_4=(4,4).$ For each of the pairs $\{E_1,E_2\}$, $\{E_1,E_3\}$, $\{E_1,E_4\}$, $\{E_2,E_3\}$: (a) classify the interval; (b) compute $\Delta\tau$ or $\Delta\sigma$; (c) find the velocity of the SR of co-spatiality (for timelike intervals) or of simultaneity (for spacelike ones).

Solution

We work in natural units with $c=1$ (times in s, distances in light-seconds). For two events with separation $\Delta t$ and $\Delta s$ the invariant is $\Delta t^2 - \Delta s^2 \;\begin{cases}>0 & \text{timelike}\\ =0 & \text{lightlike}\\ <0 & \text{spacelike}\end{cases}$ For a timelike interval the proper time is $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$ and the SR in which the two events are co-spatial (same location) travels at $v_\text{cosp}=\Delta s/\Delta t$. For a spacelike interval the proper distance is $\Delta\sigma=\sqrt{\Delta s^2-\Delta t^2}$ and the SR in which the two events are simultaneous travels at $v_\text{sim}=\Delta t/\Delta s$.

Pair $\{E_1,E_2\}$: $\Delta t=5$, $\Delta s=3$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 25-9 = 16 > 0 \;\Rightarrow\; \text{timelike}$ $\Delta\tau_{12}=\sqrt{16}=4\ \text{s}, \qquad v_\text{cosp}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{3}{5}=0.6\,c$

Pair $\{E_1,E_3\}$: $\Delta t=2$, $\Delta s=7$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 4-49 = -45 < 0 \;\Rightarrow\; \text{spacelike}$ $\Delta\sigma_{13}=\sqrt{45}\ \text{ls}\approx 6.7\ \text{ls}, \qquad v_\text{sim}=\frac{\Delta t}{\Delta s}=\frac{2}{7}\approx 0.29\,c$

Pair $\{E_1,E_4\}$: $\Delta t=4$, $\Delta s=4$. $\Delta t^2-\Delta s^2 = 16-16 = 0 \;\Rightarrow\; \text{lightlike}$ $\Delta\tau_{14}=0$ The two events can be connected by a light ray: they lie on the bisector of the light cone (the dashed line in the figure).

Pair $\{E_2,E_3\}$: $\Delta t=2-5=-3$, $\Delta s=7-3=4$. $\Delta s^2-\Delta t^2 = 16-9 = 7 > 0 \;\Rightarrow\; \text{spacelike}$ $\Delta\sigma_{23}=\sqrt{7}\ \text{ls}\approx 2.65\ \text{ls}, \qquad v_\text{sim}=\frac{|\Delta t|}{|\Delta s|}=\frac{3}{4}=0.75\,c$

Summary. $\ev{\{12\}\ \text{timelike},\ \Delta\tau=4\,\text{s};\quad \{13\}\ \text{spacelike},\ \Delta\sigma=\sqrt{45}\,\text{ls};\quad \{14\}\ \text{lightlike},\ \Delta\tau=0;\quad \{23\}\ \text{spacelike},\ \Delta\sigma=\sqrt{7}\,\text{ls}}$

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Topics: Relatività ristretta Concepts: Invariante spazio-temporale · Relatività della simultaneità Skills: Costruzione di diagrammi di Minkowski · Cambio di sistema di riferimento Methods: Diagramma di Minkowski · Unità naturali

Testo

Il signor Rossi parte da casa a $t=0$ e ha un appuntamento al teatro, che dista $10$~sl da casa, alle ore $t=20$~s. (1) A che velocità deve viaggiare di moto rettilineo uniforme per arrivare puntuale? (2) E per arrivare in anticipo di $5$~s? (3) In entrambi i casi, quanto tempo proprio scorre sul suo orologio?

Soluzione

Unità naturali $c=1$. La distanza è $L=10$~sl.

(1) Velocità per arrivare puntuale. Deve coprire $L=10$~sl nel tempo di laboratorio $t=20$~s: $v_1=\frac{L}{t}=\frac{10}{20}=0{,}5 \;\Rightarrow\; \ev{v_1=0{,}5\,c}$

(2) Velocità per arrivare in anticipo di 5 s. Ora il tempo disponibile è $t'=20-5=15$~s: $v_2=\frac{L}{t'}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3} \;\Rightarrow\; \ev{v_2=\tfrac{2}{3}\,c\approx 0{,}67\,c}$

(3) Tempo proprio. Sull’orologio di Rossi scorre il tempo proprio $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$ (l’invariante fra partenza e arrivo, con $\Delta s=L=10$~sl): $\Delta\tau_1=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\approx 17{,}3\ \text{s}$ $\Delta\tau_2=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{225-100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx 11{,}2\ \text{s}$ $\ev{\Delta\tau_1\approx 17{,}3\ \text{s}\qquad \Delta\tau_2\approx 11{,}2\ \text{s}}$ Andando più veloce (per arrivare in anticipo) il tempo proprio si accorcia: è la dilatazione dei tempi vista dal punto di vista del viaggiatore.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Impostazione simbolica Metodi: Unità naturali

Problem

Mr Rossi leaves home at $t=0$ and has an appointment at the theatre, which is $10$~sl from home, at $t=20$~s. (1) At what speed must he travel by uniform straight-line motion to arrive on time? (2) And to arrive $5$~s early? (3) In both cases, how much proper time passes on his watch?

Solution

Natural units $c=1$. The distance is $L=10$~sl.

(1) Speed to arrive on time. He must cover $L=10$~sl in laboratory time $t=20$~s: $v_1=\frac{L}{t}=\frac{10}{20}=0{,}5 \;\Rightarrow\; \ev{v_1=0{,}5\,c}$

(2) Speed to arrive 5 s early. Now the available time is $t'=20-5=15$~s: $v_2=\frac{L}{t'}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3} \;\Rightarrow\; \ev{v_2=\tfrac{2}{3}\,c\approx 0{,}67\,c}$

(3) Proper time. On Rossi’s watch the proper time elapsed is $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$ (the invariant between departure and arrival, with $\Delta s=L=10$~sl): $\Delta\tau_1=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\approx 17{,}3\ \text{s}$ $\Delta\tau_2=\sqrt{15^2-10^2}=\sqrt{225-100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx 11{,}2\ \text{s}$ $\ev{\Delta\tau_1\approx 17{,}3\ \text{s}\qquad \Delta\tau_2\approx 11{,}2\ \text{s}}$ Travelling faster (to arrive early) shortens the proper time: this is time dilation as seen from the traveller’s point of view.

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Topics: Special relativity Concepts: Time dilation · Spacetime invariant Skills: Symbolic setup Methods: Natural units

Testo

Matilda e Roger partono simultaneamente (per lo spettatore) da posizioni $-1000$~sl e $+1000$~sl e corrono verso il traguardo opposto. Nello spettatore (SRS), entrambi raggiungono il rispettivo traguardo all’istante $t=2500$~s. Quanto tempo proprio passa per Matilda fra partenza e arrivo? A che velocità ha corso?

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Lavoriamo nel SR dello spettatore (SRS).

Dati di Matilda in SRS. Parte da $s=-1000$~sl e arriva a $s=+1000$~sl, quindi $\Delta s = 2000$~sl, nel tempo $\Delta t = 2500$~s.

Velocità. Nello stesso SR (SRS) la velocità è il rapporto fra spazio e tempo misurati entrambi in SRS: $v_M=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2000}{2500}=0{,}8 \;\Rightarrow\; \ev{v_M=0{,}8\,c}$

Tempo proprio. Il tempo che scorre sull’orologio di Matilda è l’invariante fra partenza e arrivo: $\Delta\tau_M=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}=\sqrt{2500^2-2000^2}=\sqrt{6\,250\,000-4\,000\,000}=\sqrt{2\,250\,000}$ $\ev{\Delta\tau_M=1500\ \text{s}}$ (Roger è perfettamente simmetrico: stessi numeri, $v_R=0{,}8\,c$ e $\Delta\tau_R=1500$~s.)

"Ho viaggiato più veloce della luce!"? $\Delta s/\Delta\tau_M = 2000/1500 \approx 1{,}33\,c$ e concludere che Matilda ha superato la luce. Sbagliato! Non si possono combinare una distanza misurata in un SR (i $2000$~sl dello spettatore) con un tempo misurato in un altro SR (i $1500$~s propri di Matilda): i due numeri sono espressi in "unità" di riferimenti diversi. La velocità corretta è sempre $\Delta s^{(A)}/\Delta t^{(A)}$, spazio e tempo nello stesso SR: qui $2000/2500=0{,}8\,c<c$.

Si potrebbe essere tentati di calcolare

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski · Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali

Problem

Matilda and Roger set off simultaneously (for the spectator) from positions $-1000$~ls and $+1000$~ls and run toward the opposite finish line. In the spectator’s frame (SRS), both reach their respective finish line at instant $t=2500$~s. How much proper time passes for Matilda between departure and arrival? At what speed did she run?

Solution

Natural units $c=1$. We work in the spectator’s frame (SRS).

Matilda’s data in SRS. She starts at $s=-1000$~ls and arrives at $s=+1000$~ls, so $\Delta s = 2000$~ls, in time $\Delta t = 2500$~s.

Speed. In the same frame (SRS) the speed is the ratio of distance and time both measured in SRS: $v_M=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2000}{2500}=0{,}8 \;\Rightarrow\; \ev{v_M=0{,}8\,c}$

Proper time. The time elapsed on Matilda’s clock is the invariant between departure and arrival: $\Delta\tau_M=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}=\sqrt{2500^2-2000^2}=\sqrt{6\,250\,000-4\,000\,000}=\sqrt{2\,250\,000}$ $\ev{\Delta\tau_M=1500\ \text{s}}$ (Roger is perfectly symmetric: same numbers, $v_R=0{,}8\,c$ and $\Delta\tau_R=1500$~s.)

"I travelled faster than light!"? $\Delta s/\Delta\tau_M = 2000/1500 \approx 1{,}33\,c$ and conclude that Matilda exceeded the speed of light. Wrong! You cannot combine a distance measured in one frame (the spectator's $2000$~ls) with a time measured in another frame (Matilda's proper $1500$~s): the two numbers are expressed in "units" of different frames. The correct speed is always $\Delta s^{(A)}/\Delta t^{(A)}$, distance and time in the same frame: here $2000/2500=0{,}8\,c<c$.

One might be tempted to compute

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Topics: Relatività ristretta Concepts: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Skills: Costruzione di diagrammi di Minkowski · Cambio di sistema di riferimento Methods: Diagramma di Minkowski · Unità naturali

Testo

Nel deserto, il Brutto (a $-2000$~sl) e il Cattivo (a $+2000$~sl) sparano al Buono (al centro). Per lo spettatore (SRS) i due colpi partono nello stesso istante $t=0$. Di che tipo è l’intervallo fra i due spari? Un avvoltoio sorvola la scena a $v=0{,}8\,c$ verso sinistra: chi spara per primo nel suo SR? Argomenta senza calcoli espliciti, usando l’invariante e la relatività della simultaneità.

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Chiamiamo $E_B$ lo sparo del Brutto e $E_C$ quello del Cattivo. In SRS entrambi avvengono a $t=0$: $E_B=(0,-2000)$, $E_C=(0,+2000)$.

Tipo di intervallo. Fra i due spari $\Delta t = 0$ e $\Delta s = 4000$~sl: $\Delta t^2-\Delta s^2 = 0 - 4000^2 < 0 \;\Rightarrow\; \ev{\text{intervallo tipo spazio}}$ Nessuno dei due colpi può causare l’altro (per farlo un segnale dovrebbe viaggiare più veloce della luce). Per un intervallo tipo spazio l’ordine temporale non è assoluto: dipende dal SR.

Chi spara per primo per l’avvoltoio. Poiché l’intervallo è tipo spazio, la relatività della simultaneità dice che due osservatori in moto relativo possono vedere gli spari in ordine diverso; l’ordine dello spettatore ($t=0$ per entrambi, simultanei) è solo un caso particolare. Per stabilire il verso serve la regola qualitativa delle trasformazioni di Lorentz: passando a un SR che si muove in una certa direzione, l’evento che sta più avanti nel verso del moto anticipa rispetto a quello che sta dietro.

L’avvoltoio si muove verso sinistra (verso $s$ decrescenti), cioè nel verso in cui si trova il Brutto ($-2000$~sl). Quindi, nel SR dell’avvoltoio, lo sparo che sta “avanti” nel verso del moto — quello del Brutto — avviene prima, e quello del Cattivo dopo. $\ev{\text{per l'avvoltoio spara prima il Brutto (l'evento nel verso del moto)}}$ Questo non contraddice la causalità: essendo l’intervallo tipo spazio, i due spari non hanno alcuna relazione causa-effetto, e il loro ordine è legittimamente relativo al riferimento.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità · Invariante spazio-temporale Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

Problem

In the desert, the Ugly (at $-2000$~ls) and the Bad (at $+2000$~ls) shoot at the Good (in the middle). For the spectator (SRS), the two shots leave at the same instant $t=0$. What type of interval is there between the two shots? A vulture flies over the scene at $v=0{,}8\,c$ to the left: who fires first in its frame? Argue without explicit calculations, using the invariant and the relativity of simultaneity.

Solution

Natural units $c=1$. Call $E_B$ the Ugly’s shot and $E_C$ the Bad’s shot. In SRS both occur at $t=0$: $E_B=(0,-2000)$, $E_C=(0,+2000)$.

Type of interval. Between the two shots $\Delta t = 0$ and $\Delta s = 4000$~ls: $\Delta t^2-\Delta s^2 = 0 - 4000^2 < 0 \;\Rightarrow\; \ev{\text{spacelike interval}}$ Neither shot can cause the other (to do so a signal would have to travel faster than light). For a spacelike interval, the temporal order is not absolute: it depends on the frame.

Who fires first for the vulture. Since the interval is spacelike, the relativity of simultaneity tells us that two observers in relative motion can see the shots in a different order; the spectator’s order ($t=0$ for both, simultaneous) is only a special case. To establish the direction, we need the qualitative rule of Lorentz transformations: when moving to a frame that travels in a given direction, the event that is further ahead in the direction of motion happens earlier than the one behind it.

The vulture moves to the left (toward decreasing $s$), i.e. in the direction where the Ugly is ($-2000$~ls). So, in the vulture’s frame, the shot that is “ahead” in the direction of motion — the Ugly’s — happens first, and the Bad’s after. $\ev{\text{for the vulture, the Ugly fires first (the event in the direction of motion)}}$ This does not contradict causality: since the interval is spacelike, the two shots have no cause-effect relationship, and their order is legitimately relative to the frame.

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Testo

Nel SR di un laboratorio considera quattro eventi $(t,s)$ in secondi e secondi-luce: $E_1=(3,2)\quad E_2=(7,3)\quad E_3=(11,5)\quad E_4=(15,8).$ Un viaggiatore può andare da $E_1$ a $E_4$ in linea retta oppure spezzando il viaggio nei punti $E_2,E_3$. Calcola i due tempi propri e verifica che la traiettoria rettilinea uniforme massimizza il tempo proprio.

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Su ogni tratto rettilineo il tempo proprio è l’invariante $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$.

Traiettoria rettilinea $E_1\to E_4$. $\Delta t = 15-3 = 12$~s, $\Delta s = 8-2 = 6$~sl: $\Delta\tau_\text{retta}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\approx 10{,}39\ \text{s}$

Traiettoria spezzata $E_1\to E_2\to E_3\to E_4$. Tratto per tratto: $\Delta\tau_{12}=\sqrt{(7-3)^2-(3-2)^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\approx 3{,}87\ \text{s}$ $\Delta\tau_{23}=\sqrt{(11-7)^2-(5-3)^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\ \text{s}$ $\Delta\tau_{34}=\sqrt{(15-11)^2-(8-5)^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2{,}65\ \text{s}$ Sommando: $\Delta\tau_\text{spezzata}=\sqrt{15}+2\sqrt{3}+\sqrt{7}\approx 3{,}87+3{,}46+2{,}65 = 9{,}98\ \text{s}$

Confronto. $\ev{\Delta\tau_\text{retta}\approx 10{,}39\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_\text{spezzata}\approx 9{,}98\ \text{s}}$ La traiettoria rettilinea uniforme dà il tempo proprio maggiore: è la “disuguaglianza triangolare al contrario” della relatività. Ogni deviazione dal moto rettilineo uniforme (ogni cambio di SR) accorcia il tempo proprio — la radice del paradosso dei gemelli.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Dilatazione dei tempi Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali

Problem

In the SR of a laboratory, consider four events $(t,s)$ in seconds and light-seconds: $E_1=(3,2)\quad E_2=(7,3)\quad E_3=(11,5)\quad E_4=(15,8).$ A traveller can go from $E_1$ to $E_4$ in a straight line, or by breaking the journey at points $E_2,E_3$. Calculate the two proper times and verify that the uniform straight-line trajectory maximises the proper time.

Solution

Natural units $c=1$. On each straight segment the proper time is the invariant $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$.

Straight-line trajectory $E_1\to E_4$. $\Delta t = 15-3 = 12$~s, $\Delta s = 8-2 = 6$~ls: $\Delta\tau_\text{straight}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\approx 10{,}39\ \text{s}$

Broken trajectory $E_1\to E_2\to E_3\to E_4$. Segment by segment: $\Delta\tau_{12}=\sqrt{(7-3)^2-(3-2)^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\approx 3{,}87\ \text{s}$ $\Delta\tau_{23}=\sqrt{(11-7)^2-(5-3)^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}46\ \text{s}$ $\Delta\tau_{34}=\sqrt{(15-11)^2-(8-5)^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}\approx 2{,}65\ \text{s}$ Summing: $\Delta\tau_\text{broken}=\sqrt{15}+2\sqrt{3}+\sqrt{7}\approx 3{,}87+3{,}46+2{,}65 = 9{,}98\ \text{s}$

Comparison. $\ev{\Delta\tau_\text{straight}\approx 10{,}39\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_\text{broken}\approx 9{,}98\ \text{s}}$ The uniform straight-line trajectory gives the larger proper time: it is the “reversed triangle inequality” of relativity. Every departure from uniform straight-line motion (every change of SR) shortens the proper time — the root of the twin paradox.

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Topics: Special relativity Concepts: Spacetime invariant · Time dilation Skills: Constructing Minkowski diagrams Methods: Minkowski diagram · Natural units

Testo

Un viaggiatore parte dal bar alle ore $0$ e ha la proiezione al cinema alle ore $T=20\,000$~s, in un punto distante $L=10\,000$~sl. Calcola il tempo proprio per tre scenari: (1) moto rettilineo uniforme fino al cinema, arrivando puntuale; (2) tappa a metà strada (al tabaccaio), poi prosegue arrivando comunque alle ore $T$; (3) percorre $L$ in $15\,000$~s, poi attende fermo per leggere il giornale. Quale dei tre massimizza il tempo proprio?

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Su ogni tratto rettilineo uniforme il tempo proprio è $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$; su un tratto in cui sta fermo ($\Delta s=0$) il tempo proprio coincide con il tempo di laboratorio $\Delta\tau=\Delta t$.

(1) Moto rettilineo uniforme fino al cinema. Copre $\Delta s=L=10\,000$~sl in $\Delta t=T=20\,000$~s: $\Delta\tau_1=\sqrt{20\,000^2-10\,000^2}=\sqrt{3\cdot 10^8}=10\,000\sqrt{3}\approx 17\,320\ \text{s}$

(2) Tappa al tabaccaio (metà strada). Percorre la prima metà ($5\,000$~sl) in fretta, in $7\,000$~s, poi la seconda metà ($5\,000$~sl) più lentamente, in $13\,000$~s (arrivando comunque a $T=20\,000$~s): $\Delta\tau_2=\sqrt{7\,000^2-5\,000^2}+\sqrt{13\,000^2-5\,000^2}=\sqrt{24\cdot 10^6}+\sqrt{144\cdot 10^6}$ $\Delta\tau_2\approx 4\,899 + 12\,000 = 16\,898\ \text{s}$

(3) Corsa più attesa. Copre $L=10\,000$~sl in $15\,000$~s, poi resta fermo per i restanti $20\,000-15\,000=5\,000$~s: $\Delta\tau_3=\sqrt{15\,000^2-10\,000^2}+5\,000=\sqrt{125\cdot 10^6}+5\,000\approx 11\,180 + 5\,000 = 16\,180\ \text{s}$

Confronto e conclusione. $\ev{\Delta\tau_1\approx 17\,320\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_2\approx 16\,898\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_3\approx 16\,180\ \text{s}}$ Il moto rettilineo uniforme (scenario 1) massimizza il tempo proprio. Ogni cambio di regime — accelerare/rallentare a metà strada o fermarsi — riduce il tempo proprio complessivo rispetto alla retta.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Impostazione simbolica Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali

Problem

A traveller leaves the bar at time $0$ and has a screening at the cinema at time $T=20\,000$~s, at a point a distance $L=10\,000$~ls away. Calculate the proper time for three scenarios: (1) uniform straight-line motion all the way to the cinema, arriving on time; (2) a stop halfway (at the tobacconist), then continuing and still arriving at time $T$; (3) covering $L$ in $15\,000$~s, then waiting at rest to read the newspaper. Which of the three maximises the proper time?

Solution

Natural units $c=1$. On each uniform straight segment the proper time is $\Delta\tau=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}$; on a segment where the traveller is at rest ($\Delta s=0$) the proper time coincides with the laboratory time $\Delta\tau=\Delta t$.

(1) Uniform straight-line motion to the cinema. Covers $\Delta s=L=10\,000$~ls in $\Delta t=T=20\,000$~s: $\Delta\tau_1=\sqrt{20\,000^2-10\,000^2}=\sqrt{3\cdot 10^8}=10\,000\sqrt{3}\approx 17\,320\ \text{s}$

(2) Stop at the tobacconist (halfway). Covers the first half ($5\,000$~ls) quickly, in $7\,000$~s, then the second half ($5\,000$~ls) more slowly, in $13\,000$~s (still arriving at $T=20\,000$~s): $\Delta\tau_2=\sqrt{7\,000^2-5\,000^2}+\sqrt{13\,000^2-5\,000^2}=\sqrt{24\cdot 10^6}+\sqrt{144\cdot 10^6}$ $\Delta\tau_2\approx 4\,899 + 12\,000 = 16\,898\ \text{s}$

(3) Dash plus wait. Covers $L=10\,000$~ls in $15\,000$~s, then stays at rest for the remaining $20\,000-15\,000=5\,000$~s: $\Delta\tau_3=\sqrt{15\,000^2-10\,000^2}+5\,000=\sqrt{125\cdot 10^6}+5\,000\approx 11\,180 + 5\,000 = 16\,180\ \text{s}$

Comparison and conclusion. $\ev{\Delta\tau_1\approx 17\,320\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_2\approx 16\,898\ \text{s} \;>\; \Delta\tau_3\approx 16\,180\ \text{s}}$ Uniform straight-line motion (scenario 1) maximises the proper time. Every change of regime — speeding up/slowing down halfway, or stopping — reduces the overall proper time relative to the straight line.

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Topics: Special relativity Concepts: Time dilation · Spacetime invariant Skills: Symbolic setup Methods: Minkowski diagram · Natural units

Testo

Una bomba dotata di timer a tempo proprio viene lanciata a $v=5c/6$ contro un bersaglio distante $L=30$~sl. Il timer deve scattare esattamente quando la bomba raggiunge il bersaglio. A che valore di tempo proprio $\Delta\tau$ va impostato? Un’impostazione “galileiana” $\Delta\tau=L/v$ darebbe lo stesso risultato?

Soluzione

Unità naturali $c=1$, quindi $v=\tfrac{5}{6}$ e $L=30$~sl.

Tempo di laboratorio del viaggio. Nel SR del laboratorio (dove sono misurati $L$ e la velocità) la bomba impiega: $t=\frac{L}{v}=\frac{30}{5/6}=30\cdot\frac{6}{5}=36\ \text{s}$

Tempo proprio della bomba. Il timer scandisce il tempo proprio, legato al tempo di laboratorio dal fattore di Lorentz $\gamma$: $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{25}{36}}}=\frac{1}{\sqrt{11/36}}=\frac{6}{\sqrt{11}}\approx 1{,}809$ $\Delta\tau=\frac{t}{\gamma}=\frac{36}{1{,}809}\approx 19{,}9\ \text{s}$ Equivalentemente, con l’invariante: $\Delta\tau=\sqrt{t^2-L^2}=\sqrt{36^2-30^2}=\sqrt{1296-900}=\sqrt{396}\approx 19{,}9$~s. $\ev{\Delta\tau\approx 19{,}9\ \text{s}}$

Impostazione “galileiana”. Il valore $L/v=36$~s è il tempo di laboratorio $t$, non il tempo proprio: impostare il timer a $36$~s lo farebbe scattare troppo tardi (quando sull’orologio della bomba sono passati $36$~s, la bomba ha già superato da un pezzo il bersaglio). La dilatazione dei tempi rende il tempo proprio $\Delta\tau\approx 19{,}9$~s nettamente minore dei $36$~s galileiani. I due risultati non coincidono.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Impostazione simbolica Metodi: Unità naturali

Problem

A bomb equipped with a proper-time timer is launched at $v=5c/6$ towards a target a distance $L=30$~ls away. The timer must go off exactly when the bomb reaches the target. To what value of proper time $\Delta\tau$ should it be set? Would a “Galilean” setting $\Delta\tau=L/v$ give the same result?

Solution

Natural units $c=1$, so $v=\tfrac{5}{6}$ and $L=30$~ls.

Laboratory time of the journey. In the laboratory’s SR (where $L$ and the velocity are measured) the bomb takes: $t=\frac{L}{v}=\frac{30}{5/6}=30\cdot\frac{6}{5}=36\ \text{s}$

Proper time of the bomb. The timer counts proper time, related to the laboratory time by the Lorentz factor $\gamma$: $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{25}{36}}}=\frac{1}{\sqrt{11/36}}=\frac{6}{\sqrt{11}}\approx 1{,}809$ $\Delta\tau=\frac{t}{\gamma}=\frac{36}{1{,}809}\approx 19{,}9\ \text{s}$ Equivalently, with the invariant: $\Delta\tau=\sqrt{t^2-L^2}=\sqrt{36^2-30^2}=\sqrt{1296-900}=\sqrt{396}\approx 19{,}9$~s. $\ev{\Delta\tau\approx 19{,}9\ \text{s}}$

“Galilean” setting. The value $L/v=36$~s is the laboratory time $t$, not the proper time: setting the timer to $36$~s would make it go off too late (by the time $36$~s have passed on the bomb’s clock, the bomb has already overshot the target by a good margin). Time dilation makes the proper time $\Delta\tau\approx 19{,}9$~s markedly smaller than the $36$ Galilean seconds. The two results do not coincide.

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Topics: Special relativity Concepts: Time dilation · Spacetime invariant Skills: Symbolic setup Methods: Natural units

Testo

Caterina parte dalla Terra al tempo $t=0$ e viaggia verso Alfa Centauri, che dista $L=4$ anni-luce (a.l.), a velocità $v=0{,}9\,c$. Arrivata su Alfa Centauri, inverte la rotta e torna sulla Terra alla stessa velocità. Suo fratello gemello Simone la aspetta sulla Terra. Quando Caterina torna, quanti anni sono passati per lei? Quanti per Simone?

Soluzione

Lavoriamo in unità dove $c=1$ a.l./anno.

Tempo per Simone (SRT = sistema Terra). In SRT, Caterina viaggia di moto rettilineo uniforme. L’andata dura: $\Delta t_\text{andata}=\frac{L}{v}=\frac{4}{0{,}9}\approx 4{,}44\ \text{anni}$ Il ritorno dura altrettanto, quindi per Simone: $t_C^\text{Simone}=2\cdot 4{,}44\approx 8{,}88\ \text{anni}$

Tempo per Caterina (tempo proprio). Usiamo l’invariante fra l’evento “partenza” ($E_A$) e “arrivo su Alfa Centauri” ($E_B$): $(\Delta\tau_{AB})^2=(\Delta t_{AB})^2-(\Delta s_{AB})^2/c^2=4{,}44^2-4^2=19{,}71-16=3{,}71$ $\Delta\tau_\text{andata}=\sqrt{3{,}71}\approx 1{,}93\ \text{anni}$ Per simmetria il ritorno dura la stessa quantità, quindi il totale per Caterina è: $\ev{t_C^\text{Caterina}\approx 2\cdot 1{,}93 = 3{,}86\ \text{anni}}$

Conclusione. Quando Caterina torna sulla Terra, è invecchiata di circa $3{,}9$ anni, mentre Simone ne è invecchiato circa $8{,}9$: la differenza è di circa 5 anni. Se all’inizio erano gemelli identici, al ritorno Caterina è più giovane. Non è un’illusione ottica: è davvero vissuta meno tempo di Simone.

Perché non è davvero un "paradosso" non sono simmetrici. Simone resta sempre in un unico sistema inerziale; Caterina invece cambia sistema di riferimento a metà viaggio (inverte la rotta, sperimenta un'accelerazione). La formula dell'invariante $(\Delta\tau)^2=(\Delta t)^2-(\Delta s/c)^2$ si applica separatamente ad andata e ritorno, e la somma dei due tempi propri è inferiore al tempo totale di Simone. Regola d'oro: fra due eventi connessi da un moto, il tempo proprio è massimo per la traiettoria rettilinea uniforme (un solo SR) e decresce se il viaggiatore cambia riferimento — "invecchia di più chi resta fermo".

Non si può dire, simmetricamente, che sia Simone il più giovane: i due ruoli

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali

Problem

Caterina leaves Earth at time $t=0$ and travels towards Alpha Centauri, which is $L=4$ light-years (ly) away, at speed $v=0{,}9\,c$. Having arrived at Alpha Centauri, she reverses course and returns to Earth at the same speed. Her twin brother Simone waits for her on Earth. When Caterina returns, how many years have passed for her? How many for Simone?

Solution

We work in units where $c=1$ ly/year.

Time for Simone (Earth frame, SRT). In SRT, Caterina moves with uniform straight-line motion. The outbound leg lasts: $\Delta t_\text{outbound}=\frac{L}{v}=\frac{4}{0{,}9}\approx 4{,}44\ \text{years}$ The return lasts the same, so for Simone: $t_C^\text{Simone}=2\cdot 4{,}44\approx 8{,}88\ \text{years}$

Time for Caterina (proper time). We use the invariant between the “departure” event ($E_A$) and the “arrival at Alpha Centauri” event ($E_B$): $(\Delta\tau_{AB})^2=(\Delta t_{AB})^2-(\Delta s_{AB})^2/c^2=4{,}44^2-4^2=19{,}71-16=3{,}71$ $\Delta\tau_\text{outbound}=\sqrt{3{,}71}\approx 1{,}93\ \text{years}$ By symmetry the return lasts the same amount, so the total for Caterina is: $\ev{t_C^\text{Caterina}\approx 2\cdot 1{,}93 = 3{,}86\ \text{years}}$

Conclusion. When Caterina returns to Earth, she has aged about $3{,}9$ years, while Simone has aged about $8{,}9$: the difference is about 5 years. If they were identical twins at the start, on her return Caterina is younger. It is not an optical illusion: she has truly lived less time than Simone.

Why it is not really a "paradox" not symmetric. Simone always stays in a single inertial frame; Caterina, on the other hand, changes reference frame halfway through the trip (she reverses course, experiencing an acceleration). The invariant formula $(\Delta\tau)^2=(\Delta t)^2-(\Delta s/c)^2$ applies separately to the outbound and return legs, and the sum of the two proper times is less than Simone's total time. Golden rule: between two events connected by motion, the proper time is maximal for the uniform straight-line trajectory (a single SR) and decreases if the traveller changes frame — "whoever stays still ages more".

It cannot be said, symmetrically, that Simone is the younger one: the two roles are

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Topics: Special relativity Concepts: Time dilation · Spacetime invariant Skills: Changing reference frame Methods: Minkowski diagram · Natural units

Testo

Il Brutto e il Cattivo distano $L_{(A)}=4000$ sl (secondi-luce) nel SR del suolo. Un avvoltoio vola a $v=0{,}8\,c$ dal Brutto verso il Cattivo. I due spari colpiscono simultaneamente nel SR del suolo. Applicando la formula della relatività della simultaneità $\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\frac{\vec\beta\cdot\vec L_{12(A)}}{c}$ calcola la differenza di tempi fra «Brutto colpito» ($E_1$) e «Cattivo colpito» ($E_2$) nel SR dell’avvoltoio. Chi viene colpito per primo?

Soluzione

Dati e scelta degli eventi. $E_1$ = «Brutto colpito», $E_2$ = «Cattivo colpito», simultanei in SRA (suolo). Il vettore $\vec L_{12(A)}$ va da $E_1$ a $E_2$, cioè da Brutto verso Cattivo: stesso verso della velocità $\vec\beta$ dell’avvoltoio. Quindi $\vec\beta\cdot\vec L_{12(A)} = +\beta L_{(A)}$, con $\beta=0{,}8$.

Fattore di Lorentz. $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Applicazione della formula. La distanza è espressa in secondi-luce, quindi $L_{(A)}/c = 4000$ s: $\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\beta\,\frac{L_{(A)}}{c} = -\frac{5}{3}\cdot 0{,}8\cdot 4000\ \text{s} = -\frac{5}{3}\cdot 3200\ \text{s} \approx -5333\ \text{s}$

$\ev{\Delta t_{12(B)} \approx -5333\ \text{s}}$

Interpretazione. Il segno negativo significa $t_{2(B)} < t_{1(B)}$: nel SR dell’avvoltoio l’evento $E_2$ («Cattivo colpito») accade prima di $E_1$. L’evento a valle del moto (nel verso della velocità) accade per primo. Nel riferimento dell’avvoltoio, dunque, il Cattivo viene colpito per primo, con circa $5333$ s di anticipo sul Brutto — pur essendo i due spari simultanei per chi sta a terra.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Problem

The Ugly and the Bad are $L_{(A)}=4000$ ls (light-seconds) apart in the ground’s SR. A vulture flies at $v=0{,}8\,c$ from the Ugly towards the Bad. The two shots hit simultaneously in the ground’s SR. Applying the formula for the relativity of simultaneity $\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\frac{\vec\beta\cdot\vec L_{12(A)}}{c}$ calculate the time difference between «Ugly hit» ($E_1$) and «Bad hit» ($E_2$) in the vulture’s SR. Who is hit first?

Solution

Data and choice of events. $E_1$ = «Ugly hit», $E_2$ = «Bad hit», simultaneous in SRA (ground). The vector $\vec L_{12(A)}$ goes from $E_1$ to $E_2$, i.e. from the Ugly towards the Bad: the same direction as the vulture’s velocity $\vec\beta$. So $\vec\beta\cdot\vec L_{12(A)} = +\beta L_{(A)}$, with $\beta=0{,}8$.

Lorentz factor. $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

Applying the formula. The distance is expressed in light-seconds, so $L_{(A)}/c = 4000$ s: $\Delta t_{12(B)} = -\gamma\,\beta\,\frac{L_{(A)}}{c} = -\frac{5}{3}\cdot 0{,}8\cdot 4000\ \text{s} = -\frac{5}{3}\cdot 3200\ \text{s} \approx -5333\ \text{s}$

$\ev{\Delta t_{12(B)} \approx -5333\ \text{s}}$

Interpretation. The negative sign means $t_{2(B)} < t_{1(B)}$: in the vulture’s SR event $E_2$ («Bad hit») happens before $E_1$. The event downstream of the motion (in the direction of the velocity) happens first. In the vulture’s frame, therefore, the Bad is hit first, about $5333$ s ahead of the Ugly — even though the two shots are simultaneous for someone standing on the ground.

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Topics: Special relativity Concepts: Relativity of simultaneity Skills: Changing reference frame

Testo

Un treno di lunghezza propria $L=200$ m viaggia a $v=0{,}8\,c$ verso una galleria a riposo, anch’essa lunga $L=200$ m. Agli imbocchi ci sono due cancelli. (1) Quanto misura il treno nel SR della galleria (SRB)? (2) Nel SR del treno (SRA), quanto tempo intercorre fra la chiusura del cancello d’uscita e quella del cancello d’ingresso?

Soluzione

Fattore di Lorentz. $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

(1) Lunghezza del treno nel SR della galleria. Il treno è in moto rispetto a SRB, quindi appare contratto lungo la direzione del moto: $L_{(B)} = \frac{L}{\gamma} = \frac{200\ \text{m}}{5/3} = 200\cdot\frac{3}{5}\ \text{m} = \ev{L_{(B)} = 120\ \text{m}}$ Il treno contratto (120 m) è più corto della galleria (200 m): ci sta comodamente dentro, e in SRB i due cancelli possono chiudersi simultaneamente con il treno intrappolato.

(2) Sfasamento delle chiusure nel SR del treno. Nel SR della galleria gli eventi $E_1$ (chiusura ingresso) ed $E_2$ (chiusura uscita) sono simultanei e separati spazialmente dalla lunghezza propria della galleria $L=200$ m. Per la relatività della simultaneità, nel SR del treno l’intervallo è $\Delta t_{(A)} = \gamma\,\frac{v}{c^2}\,L = \gamma\,\frac{v\,L}{c^2}$ Sostituendo $v=0{,}8\,c$, cioè $v = 0{,}8\cdot 3\cdot 10^8$ m/s, e $c^2 = 9\cdot 10^{16}$ m²/s²: $\Delta t_{(A)} = \frac{5}{3}\cdot\frac{0{,}8\cdot 3\cdot 10^8\cdot 200}{9\cdot 10^{16}} = \frac{5}{3}\cdot\frac{4{,}8\cdot 10^{10}}{9\cdot 10^{16}} = \frac{5}{3}\cdot 5{,}33\cdot 10^{-7}\ \text{s}$

$\ev{\Delta t_{(A)} \approx 8{,}9\cdot 10^{-7}\ \text{s}}$

Interpretazione. Nel SR del treno la galleria è contratta ($120$ m) e più corta del treno ($200$ m): sembra impossibile chiudere entrambi i cancelli con il treno dentro. Il paradosso si scioglie proprio grazie a questo $\Delta t_{(A)}$: il cancello d’uscita si chiude e riapre prima di quello d’ingresso, quindi non esiste mai un istante, per il macchinista, in cui il treno è imprigionato fra due cancelli chiusi.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Contrazione delle lunghezze · Relatività della simultaneità Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Problem

A train of proper length $L=200$ m travels at $v=0.8\,c$ towards a tunnel at rest, itself also $L=200$ m long. There are gates at both ends. (1) How long does the train measure in the tunnel’s SR (SRB)? (2) In the train’s SR (SRA), how much time passes between the closing of the exit gate and that of the entrance gate?

Solution

Lorentz factor. $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0.8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0.36}} = \frac{5}{3} \approx 1.667$

(1) Length of the train in the tunnel’s SR. The train is moving relative to SRB, so it appears contracted along the direction of motion: $L_{(B)} = \frac{L}{\gamma} = \frac{200\ \text{m}}{5/3} = 200\cdot\frac{3}{5}\ \text{m} = \ev{L_{(B)} = 120\ \text{m}}$ The contracted train (120 m) is shorter than the tunnel (200 m): it fits comfortably inside, and in SRB the two gates can close simultaneously with the train trapped.

(2) Offset between the closures in the train’s SR. In the tunnel’s SR the events $E_1$ (entrance closes) and $E_2$ (exit closes) are simultaneous and spatially separated by the tunnel’s proper length $L=200$ m. By the relativity of simultaneity, in the train’s SR the interval is $\Delta t_{(A)} = \gamma\,\frac{v}{c^2}\,L = \gamma\,\frac{v\,L}{c^2}$ Substituting $v=0.8\,c$, i.e. $v = 0.8\cdot 3\cdot 10^8$ m/s, and $c^2 = 9\cdot 10^{16}$ m²/s²: $\Delta t_{(A)} = \frac{5}{3}\cdot\frac{0.8\cdot 3\cdot 10^8\cdot 200}{9\cdot 10^{16}} = \frac{5}{3}\cdot\frac{4.8\cdot 10^{10}}{9\cdot 10^{16}} = \frac{5}{3}\cdot 5.33\cdot 10^{-7}\ \text{s}$

$\ev{\Delta t_{(A)} \approx 8.9\cdot 10^{-7}\ \text{s}}$

Interpretation. In the train’s SR the tunnel is contracted ($120$ m) and shorter than the train ($200$ m): it seems impossible to close both gates with the train inside. The paradox is resolved precisely thanks to this $\Delta t_{(A)}$: the exit gate closes and reopens before the entrance gate does, so there is never an instant, for the train driver, in which the train is trapped between two closed gates.