Eventi e invariante spazio-temporale

Se il tempo e le distanze non sono più assoluti, che cosa resta di solido su cui costruire la fisica? La risposta è duplice: da un lato il concetto di evento, l’accadere puntuale che tutti gli osservatori riconoscono; dall’altro una combinazione di spazio e tempo — l’invariante di Minkowski — che ha lo stesso valore in ogni sistema di riferimento.

• Che cos’è un evento
• L’invariante di Minkowski

If time and distances are no longer absolute, what solid ground remains on which to build physics? The answer is twofold: on one hand the concept of an event, the point-like occurrence that all observers recognise; on the other a combination of space and time — the Minkowski invariant — that has the same value in every reference frame.

• What is an event
• The Minkowski invariant

Per parlare rigorosamente di relatività introduciamo il concetto di evento: un qualunque fenomeno puntuale nello spazio e nel tempo, caratterizzato da coordinate $(t, \vv{s})$. Un evento non ha durata né estensione — è un “qui e ora” ideale — e serve proprio perché è l’unico oggetto su cui tutti gli osservatori possono mettersi d’accordo, pur assegnandogli numeri diversi.

Principio — Coordinate di un evento

Un sistema di riferimento è un’intelaiatura rigida tridimensionale con un reticolo di orologi sincronizzati. Un evento $E$ ha in ogni SR una quadrupla di coordinate $(t_E, x_E, y_E, z_E)$ che specificano dove e quando accade. Ma attenzione: l’accadere di un evento è assoluto (accade in tutti i SR), mentre le sue coordinate sono relative.

Questa distinzione tra l’accadere (assoluto) e le coordinate (relative) è la chiave di tutto. È il motivo per cui non tutti i fatti che raccontiamo nel linguaggio ordinario meritano il nome di “evento” in senso relativistico.

Che cosa conta come evento?

Un evento è qualcosa che tutti gli osservatori riconoscono come avvenuto in un preciso punto dello spazio-tempo, anche se gli assegnano coordinate diverse.

Sono eventi:

• Lo scoppio di una bomba.
• Il viaggiatore $A$ incontra il viaggiatore $B$.
• Una palla rimbalza contro un muro.
• Due palline rimbalzano simultaneamente nello stesso punto dello spazio.
• Un viaggiatore cambia improvvisamente velocità (l’accadere del cambio è assoluto, anche se di quanto cambia dipende dal SR).

NON sono eventi:

• “Due palline rimbalzano simultaneamente in due punti diversi”: la simultaneità spaziale dipende dal SR, quindi in un altro SR questo “accadimento” potrebbe non avvenire mai.
• “Il viaggiatore $A$ passa al punto $(x,y)$ al tempo $t$” (manca la specifica del SR).
• “Il viaggiatore $A$ aumenta la sua velocità di $30$ m/s” (in un SR dove $A$ si muove già a $c - 3\;\text{m/s}$, un incremento di $30$ m/s lo porterebbe oltre $c$: impossibile).

Regola d'oro

Per essere un evento, la frase deve essere verificabile in qualsiasi sistema di riferimento inerziale.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale Metodi: Diagramma di Minkowski

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To talk rigorously about relativity we introduce the concept of an event: any point-like phenomenon in space and time, characterised by coordinates $(t, \vv{s})$. An event has no duration or extent — it is an ideal “here and now” — and it serves precisely because it is the only object all observers can agree on, even while assigning it different numbers.

Principle — Coordinates of an event

A reference frame is a rigid three-dimensional scaffold with a lattice of synchronised clocks. An event $E$ has, in every RF, a quadruple of coordinates $(t_E, x_E, y_E, z_E)$ specifying where and when it happens. But beware: the occurrence of an event is absolute (it happens in every RF), while its coordinates are relative.

This distinction between the occurrence (absolute) and the coordinates (relative) is the key to everything. It is the reason why not every fact we describe in ordinary language deserves the name “event” in the relativistic sense.

What counts as an event?

An event is something that all observers recognise as having occurred at a precise point in space-time, even if they assign it different coordinates.

These are events:

• A bomb going off.
• Traveller $A$ meets traveller $B$.
• A ball bounces off a wall.
• Two balls bounce simultaneously at the same point in space.
• A traveller suddenly changes velocity (the occurrence of the change is absolute, even if by how much it changes depends on the RF).

These are NOT events:

• “Two balls bounce simultaneously at two different points”: spatial simultaneity depends on the RF, so in another RF this “occurrence” might never happen.
• “Traveller $A$ passes through point $(x,y)$ at time $t$” (the RF is not specified).
• “Traveller $A$ increases their velocity by $30$ m/s” (in an RF where $A$ is already moving at $c - 3\;\text{m/s}$, an increase of $30$ m/s would take them past $c$: impossible).

Golden rule

To be an event, the statement must be verifiable in any inertial reference frame.

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Topics: Special relativity Concepts: Space-time invariant Methods: Minkowski diagram

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In relatività galileiana l’intervallo di tempo $\Delta t$ e la distanza spaziale $\Delta s = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ tra due eventi erano separatamente invarianti, cioè uguali in ogni sistema di riferimento. La dilatazione dei tempi ci ha già mostrato che in relatività ristretta questo non è più vero: né $\Delta t$ né $\Delta s$ si conservano nel passaggio da un SR all’altro. Eppure non tutto è relativo — esiste una precisa combinazione di spazio e tempo che tutti gli osservatori misurano identica.

Principio — Invariante spazio-temporale

Se due eventi $E_1$ ed $E_2$ hanno in un SR differenza di tempo $\Delta t$ e differenza spaziale $\Delta s$, la quantità $\ev{(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s/c)^2}$ ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali. È l’invariante di Minkowski.

Il segno meno è ciò che distingue lo spazio-tempo dalla geometria ordinaria: non è un teorema di Pitagora (dove i quadrati si sommano), ma una sua versione “iperbolica” in cui il tempo e lo spazio entrano con segno opposto. Il segno del risultato classifica la relazione tra i due eventi.

Se $(\Delta\tau)^2 > 0$ l’intervallo è di tipo tempo: esiste un SR in cui i due eventi sono cospaziali (avvengono nello stesso punto), e in esso $\Delta\tau$ è proprio il loro tempo proprio. Sono eventi che possono essere collegati causalmente, perché un segnale più lento della luce può andare dall’uno all’altro.

Se $(\Delta\tau)^2 < 0$ l’intervallo è di tipo spazio: esiste un SR in cui i due eventi sono simultanei (ma non cospaziali), e la loro distanza spaziale in quel SR è la lunghezza propria. Sono eventi troppo lontani nello spazio e troppo vicini nel tempo perché la luce faccia in tempo a collegarli: nessuno dei due può influenzare l’altro.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Dilatazione dei tempi Metodi: Diagramma di Minkowski

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In Galilean relativity the time interval $\Delta t$ and the spatial distance $\Delta s = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ between two events were separately invariant, i.e. the same in every reference frame. Time dilation has already shown us that in special relativity this is no longer true: neither $\Delta t$ nor $\Delta s$ is conserved when passing from one RF to another. And yet not everything is relative — there exists a precise combination of space and time that all observers measure identically.

Principle — Space-time invariant

If two events $E_1$ and $E_2$ have, in some RF, a time difference $\Delta t$ and a spatial difference $\Delta s$, the quantity $\ev{(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s/c)^2}$ has the same value in all inertial reference frames. This is the Minkowski invariant.

The minus sign is what distinguishes space-time from ordinary geometry: it is not Pythagoras’ theorem (where the squares are added), but a “hyperbolic” version of it in which time and space enter with opposite sign. The sign of the result classifies the relationship between the two events.

If $(\Delta\tau)^2 > 0$ the interval is timelike: there exists an RF in which the two events are co-spatial (occur at the same point), and in it $\Delta\tau$ is precisely their proper time. These are events that can be causally connected, because a signal slower than light can go from one to the other.

If $(\Delta\tau)^2 < 0$ the interval is spacelike: there exists an RF in which the two events are simultaneous (but not co-spatial), and their spatial distance in that RF is the proper length. These are events too far apart in space and too close together in time for light to have time to connect them: neither can influence the other.

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Topics: Special relativity Concepts: Space-time invariant · Time dilation Methods: Minkowski diagram

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