I paradossi del treno

Dilatazione dei tempi, contrazione delle lunghezze e relatività della simultaneità sembrano, presi uno per uno, ingredienti innocui; ma combinati generano situazioni che paiono contraddittorie. Sono i celebri paradossi relativistici: contraddizioni solo apparenti, che svaniscono appena si applica con cura la teoria. Qui ne affrontiamo due, entrambi costruiti attorno a un treno velocissimo, che mettono alla prova la nostra intuizione sulla simultaneità e sulla rigidità dei corpi.

• Il paradosso del treno e della galleria
• Il paradosso del treno e del buco nelle rotaie

Time dilation, length contraction and the relativity of simultaneity seem, taken one at a time, harmless ingredients; but combined they generate situations that appear contradictory. These are the celebrated relativistic paradoxes: contradictions that are only apparent, and that vanish as soon as the theory is applied carefully. Here we tackle two of them, both built around a very fast train, which test our intuition about simultaneity and the rigidity of bodies.

• The train and tunnel paradox
• The train and the gap in the rails paradox

Un treno di lunghezza propria $L$ viaggia con velocità $v$ vicina a $c$ verso una galleria di lunghezza propria $L$ (la stessa lunghezza del treno “a riposo”). Agli imbocchi della galleria ci sono due cancelli automatici, capaci di chiudersi e riaprirsi istantaneamente. La domanda è semplice: si può, per un istante, intrappolare il treno dentro la galleria con entrambi i cancelli chiusi?

Sistema di riferimento della galleria (SRB). Il treno è contratto: lo vediamo lungo $L/\gamma < L$, quindi ci entra comodamente. Possiamo chiudere simultaneamente i due cancelli nell’istante in cui l’ultimo vagone ha appena varcato l’ingresso: per un breve istante il treno è intrappolato dentro la galleria. Subito dopo riapriamo i cancelli e il treno prosegue. Nessun problema.

Sistema di riferimento del treno (SRA). Dal punto di vista del macchinista è la galleria a essere contratta, lunga $L/\gamma < L$. Allora il treno, che resta lungo $L$ (la sua lunghezza propria), è più lungo della galleria. Sembra impossibile che i due cancelli si chiudano entrambi con il treno dentro: almeno una porzione di treno dovrebbe sporgere da un cancello o dall’altro. Contraddizione?

Dov’è il trucco? Nella simultaneità. Chiamiamo $E_1$ l’evento “il cancello d’ingresso si chiude” ed $E_2$ “il cancello d’uscita si chiude”. In SRB sono simultanei. Ma sono separati spazialmente di una quantità pari a $L$ (la lunghezza propria della galleria), quindi non possono essere simultanei in SRA. Per la formula della simultaneità:

$\Delta t_{(A)} = \gamma\,\frac{v}{c^2}\,L \neq 0$

Anzi, essendo $E_2$ a valle del moto del treno, in SRA l’evento $E_2$ accade prima di $E_1$: il cancello d’uscita si chiude e riapre prima che si chiuda quello d’ingresso. Dal treno la sequenza completa dei quattro eventi è:

1. il cancello d’uscita si chiude ($E_2$): la locomotiva non è ancora arrivata;
2. il cancello d’uscita si riapre ($E_4$): la locomotiva lo supera liberamente;
3. il cancello d’ingresso si chiude ($E_1$): l’ultimo vagone è già dentro e ha ormai varcato l’ingresso;
4. il cancello d’ingresso si riapre ($E_3$): il treno prosegue.

Non c’è mai un istante, in SRA, in cui entrambi i cancelli siano chiusi contemporaneamente: ed è proprio ciò che servirebbe per “imprigionare” il treno. Le due descrizioni sono diverse ma perfettamente coerenti: nessuna contraddizione.

Nel SR della galleria i due cancelli si chiudono simultaneamente: $E_1$ ed $E_2$ stanno sulla stessa verticale, cioè allo stesso istante $t_{(B)}$.

Nel SR del treno la chiusura del cancello d’uscita $E_2$ avviene prima di quella del cancello d’ingresso $E_1$: il treno non è mai “tutto dentro” con entrambi i cancelli chiusi.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Relatività della simultaneità Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski Metodi: Diagramma di Minkowski

Esercizi collegati: Tipo spazio o tipo tempo · Problema — Galleria a 0,8c · Problema — Simultaneità (vero o falso)

A train of proper length $L$ travels at speed $v$ close to $c$ towards a tunnel of proper length $L$ (the same length as the train “at rest”). At the tunnel’s mouths there are two automatic gates, able to close and reopen instantaneously. The question is simple: can the train, for an instant, be trapped inside the tunnel with both gates closed?

Tunnel reference frame (SRB). The train is contracted: we see it as $L/\gamma < L$ long, so it fits comfortably. We can close simultaneously the two gates at the instant the last carriage has just crossed the entrance: for a brief instant the train is trapped inside the tunnel. Immediately after we reopen the gates and the train continues. No problem.

Train reference frame (SRA). From the driver’s point of view it is the tunnel that is contracted, at $L/\gamma < L$. Then the train, which remains $L$ long (its proper length), is longer than the tunnel. It seems impossible for both gates to close with the train inside: at least part of the train should stick out of one gate or the other. A contradiction?

Where is the catch? In simultaneity. Call $E_1$ the event “the entrance gate closes” and $E_2$ “the exit gate closes”. In SRB they are simultaneous. But they are spatially separated by an amount equal to $L$ (the proper length of the tunnel), so they cannot be simultaneous in SRA. By the formula for simultaneity:

$\Delta t_{(A)} = \gamma\,\frac{v}{c^2}\,L \neq 0$

In fact, since $E_2$ is downstream of the train’s motion, in SRA the event $E_2$ occurs before $E_1$: the exit gate closes and reopens before the entrance gate closes. From the train’s viewpoint, the complete sequence of the four events is:

1. the exit gate closes ($E_2$): the locomotive has not yet arrived;
2. the exit gate reopens ($E_4$): the locomotive passes through freely;
3. the entrance gate closes ($E_1$): the last carriage is already inside and has by now crossed the entrance;
4. the entrance gate reopens ($E_3$): the train continues.

There is never an instant, in SRA, in which both gates are closed at the same time — which is precisely what would be needed to “imprison” the train. The two descriptions are different but perfectly consistent: no contradiction.

In the tunnel’s frame the two gates close simultaneously: $E_1$ and $E_2$ lie on the same vertical, i.e. at the same instant $t_{(B)}$.

In the train’s frame the closing of the exit gate $E_2$ happens before that of the entrance gate $E_1$: the train is never “entirely inside” with both gates closed.

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Topics: Special relativity Concepts: Relativity of simultaneity Skills: Constructing Minkowski diagrams Methods: Minkowski diagram

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Situazione simile a quella della galleria, ma con conclusione fisica opposta. Un treno di lunghezza propria $L$ corre a velocità $v$ su un binario in cui manca un tratto di rotaia lungo $L$ (di nuovo, la stessa lunghezza del treno a riposo). Chiamiamo SRA il SR del treno e SRB il SR delle rotaie. Il treno cadrà nel buco, oppure ci passerà sopra a cavallo?

SRB (rotaie). Il treno è contratto: $L_{(B)} = L/\gamma < L$. Quando il fronte arriva al primo bordo del buco, il treno “sta comodo” dentro il buco e dovrebbe cadere come una pietra.

SRA (treno). Il buco è contratto: $l_{(A)} = L/\gamma < L$. Allora il treno, lungo $L$, non entra nel buco: ci sta a cavallo e dovrebbe passare sopra indisturbato.

Chi ha ragione? Entrambi. La contraddizione apparente nasce dall’assumere tacitamente che il treno sia un corpo rigido: che tutti i suoi punti “sappiano” istantaneamente cosa succede al bordo anteriore e reagiscano all’unisono. Ma in relatività i corpi rigidi non esistono. Nessuna informazione, nemmeno lo sforzo interno alla struttura del treno, può viaggiare più veloce di $c$.

Quando il fronte del treno raggiunge il bordo del buco e “scopre” che sotto di lui manca la rotaia, cessa il sostegno: quel punto comincia a cadere. Ma l’informazione “non c’è più rotaia” deve propagarsi indietro lungo il treno, a una velocità non superiore a $c$. Le molecole che stanno dietro non sanno ancora di trovarsi sopra il buco: per loro il sostegno è ancora là. Cominciano a cadere solo quando il segnale arriva.

Cosa succede davvero?

• Nel SR delle rotaie: appena il fronte è sopra il buco, cade. La parte posteriore prosegue rettilinea ancora per un po’, restando sopra il binario intatto. Man mano che il treno avanza e il segnale meccanico si propaga all’indietro, sempre più parti cominciano a cadere. Il treno non è più una retta rigida ma una curva che s’inclina verso il basso.
• Nel SR del treno: il buco viene “incontro” da destra a velocità $-v$. Appena il primo bordo del buco raggiunge il fronte, il fronte inizia a cadere. Il segnale si propaga dal fronte verso la coda, sempre a velocità $\leq c$, deformando il treno in una curva. Non serve che “tutto il treno cada contemporaneamente”: punti diversi cadono in istanti diversi.

In entrambi i SR, quindi, il treno finisce per cadere nel buco. La differenza è solo come la deformazione si propaga nel tempo, ed è proprio questa la quantità che dipende dal SR, per la relatività della simultaneità.

Nel SR delle rotaie: da $F$ (il fronte entra nel buco) parte un segnale meccanico che avverte le parti posteriori del treno; ognuna cade solo quando il segnale la raggiunge.

Nel SR del treno: il buco (linee grigie inclinate) viene incontro al treno; da $F$ lo stesso segnale meccanico si propaga verso la coda a velocità $\leq c$. In entrambi i SR il treno si deforma e cade: non esistono corpi rigidi.

Perché questo paradosso è istruttivo

Il paradosso del buco nelle rotaie è più sottile di quello della galleria: per risolvere il primo basta la relatività della simultaneità, cioè cinematica pura; per il secondo occorre invece rinunciare a una nozione che sembrava ovvia, il “corpo rigido”, e accettare che qualsiasi deformazione interna si propaga a velocità finita. Nei solidi reali la velocità del suono è di poche migliaia di m/s, lontanissima da $c$: se si potesse davvero far viaggiare un treno a $0{,}9\,c$, esso si deformerebbe in modo spettacolare ben prima di raggiungere il buco. La relatività non è solo un gioco di formule: ci costringe a ripensare anche le proprietà macroscopiche della materia.

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A situation similar to the tunnel one, but with the opposite physical conclusion. A train of proper length $L$ runs at speed $v$ on a track missing a stretch of rail of length $L$ (again, the same length as the train at rest). Call SRA the train’s frame and SRB the rails’ frame. Will the train fall into the gap, or will it pass straight over it?

SRB (rails). The train is contracted: $L_{(B)} = L/\gamma < L$. When the front reaches the first edge of the gap, the train “fits comfortably” inside the gap and should fall like a stone.

SRA (train). The gap is contracted: $l_{(A)} = L/\gamma < L$. Then the train, of length $L$, does not fit into the gap: it straddles it and should pass over undisturbed.

Who is right? Both. The apparent contradiction arises from tacitly assuming that the train is a rigid body: that all of its points “know” instantaneously what happens at the leading edge and react in unison. But rigid bodies do not exist in relativity. No information, not even the internal stress in the train’s structure, can travel faster than $c$.

When the front of the train reaches the edge of the gap and “discovers” that there is no rail beneath it, support ceases: that point begins to fall. But the information “there is no more rail” must propagate backwards along the train, at a speed no greater than $c$. The molecules further back do not yet know they are above the gap: for them the support is still there. They start falling only when the signal arrives.

What really happens?

• In the rails’ frame: as soon as the front is above the gap, it falls. The rear part continues straight for a while longer, remaining above the intact track. As the train advances and the mechanical signal propagates backwards, more and more parts begin to fall. The train is no longer a rigid straight line but a curve tilting downward.
• In the train’s frame: the gap comes “towards” it from the right at speed $-v$. As soon as the first edge of the gap reaches the front, the front starts to fall. The signal propagates from the front towards the rear, always at speed $\leq c$, deforming the train into a curve. There is no need for “the whole train to fall at once”: different points fall at different instants.

In both frames, therefore, the train ends up falling into the gap. The only difference is how the deformation propagates in time, and it is precisely this quantity that depends on the frame, owing to the relativity of simultaneity.

In the rails’ frame: from $F$ (where the front enters the gap) a mechanical signal departs, warning the rear parts of the train; each falls only when the signal reaches it.

In the train’s frame: the gap (tilted grey lines) comes towards the train; from $F$ the same mechanical signal propagates towards the rear at speed $\leq c$. In both frames the train deforms and falls: rigid bodies do not exist.

Why this paradox is instructive

The gap-in-the-rails paradox is subtler than the tunnel one: solving the first requires only the relativity of simultaneity, i.e. pure kinematics; solving the second requires abandoning a notion that seemed obvious, the “rigid body”, and accepting that any internal deformation propagates at finite speed. In real solids the speed of sound is a few thousand m/s, far from $c$: if a train could really be made to travel at $0.9\,c$, it would deform spectacularly well before reaching the gap. Relativity is not just a game of formulae: it forces us to rethink even the macroscopic properties of matter.

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