Composizione delle velocità

La somma galileiana delle velocità $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}$ smette di funzionare quando le velocità in gioco si avvicinano a quella della luce: due velocità sommate devono restare sotto $c$, cosa che Galileo non garantisce affatto. Questa sezione ricava la legge corretta con lo stesso ingrediente usato per l’effetto Doppler — uno scienziato che spara segnali di luce e ragiona per eventi — e mostra un trucco grafico per non sbagliare mai i segni.

• Composizione relativistica delle velocità
• Il trucco del triangolo

The Galilean sum of velocities $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}$ stops working when the velocities involved approach that of light: two summed velocities must stay below $c$, something Galileo does not guarantee at all. This section derives the correct law with the same ingredient used for the Doppler effect — a scientist firing light signals and reasoning event by event — and shows a graphical trick for never getting the signs wrong.

• Relativistic composition of velocities
• The triangle trick

Abbiamo accennato più volte che la composizione galileiana $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}$ non funziona a velocità relativistiche: due velocità sommate devono restare sotto $c$, mentre Galileo non lo garantisce affatto. La cosa notevole è che la formula corretta si ricava con lo stesso ingrediente usato per l’effetto Doppler: uno scienziato che spara segnali di luce e ragiona per eventi.

Consideriamo tre sistemi di riferimento allineati lungo una stessa retta. SRA è il laboratorio dello scienziato che emette segnali; SRB è solidale a un oggetto $B$ che si muove a velocità $v_{B(A)}$ rispetto a SRA; SRC è solidale a un secondo oggetto $C$ che si muove a velocità $u_{C(B)}$ rispetto a SRB e $u_{C(A)}$ rispetto a SRA. Lo scienziato spara due lampi di luce a distanza $\Delta t_{(A)}$ l’uno dall’altro, e noi li seguiamo attraverso i tre sistemi.

Arrivo a $B$. Dall’analisi dell’effetto Doppler sappiamo che $B$ riceve i due lampi con intervallo

$\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + v_{B(A)}/c}{1 - v_{B(A)}/c}}$

$B$ li rilancia a $C$. Immaginiamo che $B$, appena li riceve, li “giri” a $C$. L’intervallo con cui $B$ li emette verso $C$ coincide, in SRB, con l’intervallo con cui li ha ricevuti: $\Delta t_{(B)}^\text{emiss} = \Delta t'_{(B)}$. Applicando di nuovo la formula Doppler, stavolta tra SRB e SRC:

$\Delta t'_{(C)} = \Delta t'_{(B)}\,\sqrt{\frac{1 + u_{C(B)}/c}{1 - u_{C(B)}/c}}$

Collegamento diretto $A \to C$. Ma gli stessi lampi, guardati direttamente con la velocità $u_{C(A)}$ di $C$ rispetto ad $A$, obbediscono ancora a Doppler:

$\Delta t'_{(C)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + u_{C(A)}/c}{1 - u_{C(A)}/c}}$

Uguagliando le due espressioni per $\Delta t'_{(C)}$ e semplificando il fattore comune $\Delta t_{(A)}$ si ottiene la legge di composizione delle velocità in forma moltiplicativa: due fattori Doppler si compongono in un terzo.

$\ev{\sqrt{\frac{1 + u_{C(A)}/c}{1 - u_{C(A)}/c}} = \sqrt{\frac{1 + v_{B(A)}/c}{1 - v_{B(A)}/c}}\cdot \sqrt{\frac{1 + u_{C(B)}/c}{1 - u_{C(B)}/c}}}$

Elevando al quadrato e risolvendo per $u_{C(A)}$ si ritrova la forma più familiare, quella che di solito si incontra sui libri:

$\ev{u_{C(A)} = \frac{u_{C(B)} + v_{B(A)}}{1 + u_{C(B)}\,v_{B(A)}/c^2}}$

Principio — Composizione relativistica (1D)

Se $C$ ha velocità $u'$ in SRB e SRB si muove a velocità $v$ rispetto a SRA, la velocità di $C$ in SRA è $\ev{u = \frac{u' + v}{1 + u'\,v/c^2}}$

Il pregio di questa formula è che si comporta bene in entrambi i regimi che ci interessano. Per $u', v \ll c$ il prodotto $u'v/c^2$ è minuscolo, il denominatore tende a $1$ e si riottiene la buona vecchia legge di Galileo $u \approx u' + v$: le velocità di tutti i giorni si sommano come sempre. All’altro estremo, per $u' = c$ il denominatore diventa $1 + v/c$ e

$u = \frac{c + v}{1 + v/c} = c$

la luce resta $c$ in ogni sistema di riferimento, come richiesto dal secondo postulato — del resto nella derivazione stessa di Doppler avevamo imposto $c$ uguale in SRA e in SRB. È il denominatore $1 + u'v/c^2 > 1$ a frenare automaticamente il risultato: $c$ funziona come un asintoto invalicabile, e due velocità entrambe vicine a $c$ si sommano in qualcosa di ancora vicino a $c$, mai oltre.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Composizione relativistica delle velocità Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Esercizi collegati: Problema — Composizione per via Doppler · Esercizio svolto — Condor contro razzo · Problema — Composizione di velocità (elettrone)

We have mentioned several times that the Galilean composition $\vec{v}_{AC} = \vec{v}_{AB} + \vec{v}_{BC}$ does not work at relativistic speeds: two summed velocities must stay below $c$, whereas Galileo does not guarantee that at all. The remarkable thing is that the correct formula is derived with the same ingredient used for the Doppler effect: a scientist firing light signals and reasoning event by event.

Consider three reference frames aligned along the same line. SRA is the laboratory of the scientist emitting signals; SRB is at rest relative to an object $B$ moving at speed $v_{B(A)}$ relative to SRA; SRC is at rest relative to a second object $C$ moving at speed $u_{C(B)}$ relative to SRB and $u_{C(A)}$ relative to SRA. The scientist fires two light flashes a time $\Delta t_{(A)}$ apart, and we follow them through the three systems.

Arrival at $B$. From the Doppler-effect analysis we know that $B$ receives the two flashes with interval

$\Delta t'_{(B)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + v_{B(A)}/c}{1 - v_{B(A)}/c}}$

$B$ relays them to $C$. Imagine that $B$, as soon as it receives them, “forwards” them to $C$. The interval with which $B$ emits them towards $C$ coincides, in SRB, with the interval at which it received them: $\Delta t_{(B)}^\text{emiss} = \Delta t'_{(B)}$. Applying the Doppler formula again, this time between SRB and SRC:

$\Delta t'_{(C)} = \Delta t'_{(B)}\,\sqrt{\frac{1 + u_{C(B)}/c}{1 - u_{C(B)}/c}}$

Direct link $A \to C$. But the same flashes, viewed directly with the speed $u_{C(A)}$ of $C$ relative to $A$, still obey Doppler:

$\Delta t'_{(C)} = \Delta t_{(A)}\,\sqrt{\frac{1 + u_{C(A)}/c}{1 - u_{C(A)}/c}}$

Equating the two expressions for $\Delta t'_{(C)}$ and cancelling the common factor $\Delta t_{(A)}$ gives the velocity-composition law in multiplicative form: two Doppler factors compose into a third.

$\ev{\sqrt{\frac{1 + u_{C(A)}/c}{1 - u_{C(A)}/c}} = \sqrt{\frac{1 + v_{B(A)}/c}{1 - v_{B(A)}/c}}\cdot \sqrt{\frac{1 + u_{C(B)}/c}{1 - u_{C(B)}/c}}}$

Squaring and solving for $u_{C(A)}$ gives back the more familiar form usually found in textbooks:

$\ev{u_{C(A)} = \frac{u_{C(B)} + v_{B(A)}}{1 + u_{C(B)}\,v_{B(A)}/c^2}}$

Principle — Relativistic composition (1D)

If $C$ has velocity $u'$ in SRB and SRB moves at velocity $v$ relative to SRA, the velocity of $C$ in SRA is $\ev{u = \frac{u' + v}{1 + u'\,v/c^2}}$

The merit of this formula is that it behaves well in both regimes that interest us. For $u', v \ll c$ the product $u'v/c^2$ is tiny, the denominator tends to $1$ and we recover the good old Galilean law $u \approx u' + v$: everyday velocities add up as always. At the other extreme, for $u' = c$ the denominator becomes $1 + v/c$ and

$u = \frac{c + v}{1 + v/c} = c$

light remains $c$ in every reference frame, as required by the second postulate — indeed in the Doppler derivation itself we had imposed $c$ equal in SRA and SRB. It is the denominator $1 + u'v/c^2 > 1$ that automatically restrains the result: $c$ acts as an insurmountable asymptote, and two velocities both close to $c$ add up to something still close to $c$, never beyond.

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Topics: Special relativity Concepts: Relativistic composition of velocities Skills: Changing reference frame

Related exercises: Problem — Composition via Doppler · Worked exercise — Condor versus rocket · Problem — Composition of velocities (electron)

Nella forma moltiplicativa della composizione delle velocità compaiono velocità con segni che dipendono da chi misura cosa. Un errore frequentissimo è confondersi su quale velocità vada al numeratore e quale al denominatore di ogni fattore Doppler. Per fortuna esiste un trucco grafico che rende tutto automatico e toglie ogni ambiguità sui segni.

Il triangolo dei tre sistemi di riferimento: un vertice per ogni SR, un segmento orientato per ogni velocità (dal primo pedice al secondo). La velocità cercata $u_{C(A)}$ è il lato diretto $A \to C$.

La regola. Disegna un triangolo con un vertice per ogni sistema di riferimento e un segmento orientato per ogni velocità, sempre dal primo pedice al secondo pedice. Per comporre le velocità, parti dal vertice cercato (quello con il pedice incognito) e raggiungi l’altro in due modi diversi: direttamente, lungo il segmento incognito, oppure passando per il terzo vertice.

Ogni volta che percorri un segmento nel verso in cui è orientato, scrivi $\sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)}$, dove $\beta$ è la velocità di quel segmento in unità di $c$. Ogni volta che lo percorri nel verso opposto, scrivi la radice reciproca $\sqrt{(1 - \beta)/(1 + \beta)}$. Moltiplica le due radici del percorso lungo, uguagliale alla radice del segmento diretto: hai l’equazione giusta, con tutti i segni al loro posto, senza dover ricordare a memoria alcuna convenzione. Il triangolo è la formula.

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Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Composizione relativistica delle velocità Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Esercizi collegati: Problema — Composizione per via Doppler · Esercizio svolto — Condor contro razzo · Problema — Composizione di velocità (elettrone)

In the multiplicative form of velocity composition, velocities appear with signs that depend on who is measuring what. A very common mistake is getting confused about which velocity goes in the numerator and which in the denominator of each Doppler factor. Fortunately there is a graphical trick that makes everything automatic and removes any ambiguity about signs.

The triangle of the three reference frames: one vertex per frame, one directed segment per velocity (from the first subscript to the second). The sought velocity $u_{C(A)}$ is the side directed $A \to C$.

The rule. Draw a triangle with one vertex per reference frame and one directed segment per velocity, always from the first subscript to the second. To compose the velocities, start from the sought vertex (the one with the unknown subscript) and reach the other in two different ways: directly, along the unknown segment, or passing through the third vertex.

Every time you traverse a segment in the direction it is oriented, write $\sqrt{(1 + \beta)/(1 - \beta)}$, where $\beta$ is the speed of that segment in units of $c$. Every time you traverse it in the opposite direction, write the reciprocal root $\sqrt{(1 - \beta)/(1 + \beta)}$. Multiply the two roots of the long path, set them equal to the root of the direct segment, and you have the right equation, with all signs in place, without needing to memorise any convention. The triangle is the formula.

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