Forza nucleare forte ed energia di legame

Dentro il nucleo i protoni si respingono con una forza di Coulomb gigantesca, eppure il nucleo tiene. La responsabile è una nuova interazione, la forza nucleare forte. Da essa nasce l’energia di legame, il difetto di massa, e la celebre curva di legame che spiega in un solo grafico perché sia la fissione dei nuclei pesanti sia la fusione dei nuclei leggeri liberino energia.

• La forza nucleare forte
• Energia di legame nucleare
• La curva di legame e il ferro

Inside the nucleus the protons repel each other with a gigantic Coulomb force, and yet the nucleus holds together. The one responsible is a new interaction, the strong nuclear force. From it arise the binding energy, the mass defect, and the famous binding curve, which explains in a single graph why both the fission of heavy nuclei and the fusion of light nuclei release energy.

• La forza nucleare forte
• Energia di legame nucleare
• La curva di legame e il ferro

Dentro un nucleo i protoni si trovano ammassati a distanze dell’ordine di $10^{-15}\;\text{m}$, tutti carichi positivamente. A distanze così piccole la forza di Coulomb repulsiva tra due protoni è gigantesca: la legge $F = k\,e^2/r^2$ cresce come l’inverso del quadrato della distanza, e a scala nucleare diventa enorme. Perché allora il nucleo non esplode istantaneamente?

La risposta è che esiste una nuova interazione fondamentale, la forza nucleare forte, che attrae fra loro tutti i nucleoni — protoni e neutroni indistintamente. Due sue caratteristiche la rendono adatta a fare da collante nucleare:

• È intensissima a corto raggio: alle distanze nucleari è circa $100$ volte più forte della repulsione coulombiana, e quindi la vince, tenendo insieme il nucleo.
• Ha portata cortissima: la sua azione svanisce praticamente oltre i $\sim 2\;\text{fm}$ ($2\cdot 10^{-15}\;\text{m}$). Un nucleone risente della forza forte solo dai suoi vicini immediati, non da tutto il nucleo.

Proprio questa portata limitata spiega perché i nuclei non possano crescere all’infinito. La forza forte lega solo i nucleoni contigui (satura), mentre la repulsione elettrica dei protoni agisce a lungo raggio e si somma su tutte le coppie. Nei nuclei molto grandi la repulsione coulombiana finisce per prevalere sulla coesione forte, e il nucleo diventa instabile: è la radice profonda della radioattività dei nuclei pesanti e della loro tendenza alla fissione.

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Inside a nucleus the protons are crammed together at distances of the order of $10^{-15}\;\text{m}$, all positively charged. At such small distances the repulsive Coulomb force between two protons is gigantic: the law $F = k\,e^2/r^2$ grows as the inverse square of the distance, and at nuclear scale it becomes enormous. Why, then, does the nucleus not explode instantly?

The answer is that there exists a new fundamental interaction, the strong nuclear force, which attracts all nucleons to one another — protons and neutrons alike. Two of its features make it suited to act as nuclear glue:

• It is extremely intense at short range: at nuclear distances it is about $100$ times stronger than the Coulomb repulsion, and so it wins out, holding the nucleus together.
• It has a very short range: its action practically vanishes beyond $\sim 2\;\text{fm}$ ($2\cdot 10^{-15}\;\text{m}$). A nucleon feels the strong force only from its immediate neighbours, not from the whole nucleus.

It is precisely this limited range that explains why nuclei cannot grow indefinitely. The strong force binds only adjacent nucleons (it saturates), while the electric repulsion of the protons acts over long range and adds up over all pairs. In very large nuclei the Coulomb repulsion eventually prevails over the strong cohesion, and the nucleus becomes unstable: this is the deep root of the radioactivity of heavy nuclei and their tendency towards fission.

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Ecco il fatto sorprendente da cui nasce tutta l’energia nucleare: la massa di un nucleo è minore della somma delle masse dei suoi costituenti presi separatamente. Se pesiamo $Z$ protoni liberi e $N$ neutroni liberi e li confrontiamo con il nucleo che formano, manca all’appello un po’ di massa. Quella massa mancante, il difetto di massa, non è scomparsa: si è convertita in energia secondo $E = mc^2$ ed è stata liberata quando i nucleoni si sono legati. Per ricostruire i nucleoni liberi bisognerebbe restituirla al nucleo.

Principio — Energia di legame nucleare

$\ev{B(Z,A) = \bigl[\,Z\,m_p + (A-Z)\,m_n - m_\text{nucleo}\,\bigr]\,c^2}$

$B$ è l’energia che occorre spendere per smontare completamente il nucleo nei suoi nucleoni liberi; equivalentemente, è l’energia che si è liberata assemblandolo. L’energia tipica per nucleone è dell’ordine di $\sim 8\;\text{MeV}$, un valore un milione di volte più grande delle energie in gioco nei legami chimici (eV): ecco perché una reazione nucleare libera, a parità di massa, milioni di volte più energia di una combustione chimica.

Conviene ragionare sull’energia di legame per nucleone $B/A$: è il “budget” di coesione di ogni singolo nucleone, e permette di confrontare nuclei di dimensioni diverse.

Formula chiave

$B/A = \text{energia di legame per nucleone}$ Picco $\approx 8{,}8\;\text{MeV/nucleone}$ vicino al ${}^{56}\text{Fe}$. Fattore di conversione: $1\;\text{u di massa} \leftrightarrow 931{,}5\;\text{MeV}$.

Il fattore $931{,}5\;\text{MeV}$ per unità di massa atomica ($1\;\text{u} = 1{,}66054\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$) è lo strumento di lavoro di tutta la fisica nucleare: converte un difetto di massa, misurato in u, direttamente nell’energia liberata in MeV.

Esempio — Energia di legame del deuterone

Il deuterio ${}^2$H ha massa $m_d = 2{,}013553\;\text{u}$. La somma delle masse di un protone libero ($m_p = 1{,}007276\;\text{u}$) e di un neutrone libero ($m_n = 1{,}008665\;\text{u}$) vale $m_p + m_n = 2{,}015941\;\text{u}$. Il difetto di massa è $\Delta m = 2{,}015941 - 2{,}013553 = 0{,}002388\;\text{u}$ e l’energia di legame $\ev{B = \Delta m \cdot 931{,}5 \approx 2{,}22\;\text{MeV}}$ Una variazione di massa di appena un millesimo basta a tenere insieme il nucleo (Halliday, Resnick e Walker 2014).

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Here is the surprising fact from which all nuclear energy arises: the mass of a nucleus is less than the sum of the masses of its constituents taken separately. If we weigh $Z$ free protons and $N$ free neutrons and compare them with the nucleus they form, some mass is missing. That missing mass, the mass defect, has not disappeared: it has been converted into energy according to $E = mc^2$ and was released when the nucleons bound together. To reconstruct the free nucleons, that energy would have to be given back to the nucleus.

Principle — Nuclear binding energy

$\ev{B(Z,A) = \bigl[\,Z\,m_p + (A-Z)\,m_n - m_\text{nucleo}\,\bigr]\,c^2}$

$B$ is the energy that must be spent to completely dismantle the nucleus into its free nucleons; equivalently, it is the energy that was released in assembling it. The typical energy per nucleon is of the order of $\sim 8\;\text{MeV}$, a value a million times larger than the energies involved in chemical bonds (eV): this is why a nuclear reaction releases, for the same mass, millions of times more energy than a chemical combustion.

It is convenient to reason in terms of the binding energy per nucleon $B/A$: it is the “cohesion budget” of each single nucleon, and it allows nuclei of different sizes to be compared.

Key formula

$B/A = \text{binding energy per nucleon}$ Peak $\approx 8{,}8\;\text{MeV/nucleon}$ near ${}^{56}\text{Fe}$. Conversion factor: $1\;\text{u of mass} \leftrightarrow 931{,}5\;\text{MeV}$.

The factor $931{,}5\;\text{MeV}$ per atomic mass unit ($1\;\text{u} = 1{,}66054\cdot 10^{-27}\;\text{kg}$) is the working tool of all nuclear physics: it converts a mass defect, measured in u, directly into the energy released in MeV.

Example — Binding energy of the deuteron

Deuterium ${}^2$H has mass $m_d = 2{,}013553\;\text{u}$. The sum of the masses of a free proton ($m_p = 1{,}007276\;\text{u}$) and a free neutron ($m_n = 1{,}008665\;\text{u}$) is $m_p + m_n = 2{,}015941\;\text{u}$. The mass defect is $\Delta m = 2{,}015941 - 2{,}013553 = 0{,}002388\;\text{u}$ and the binding energy $\ev{B = \Delta m \cdot 931{,}5 \approx 2{,}22\;\text{MeV}}$ A mass change of barely one thousandth is enough to hold the nucleus together (Halliday, Resnick and Walker 2014).

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Tracciando l’energia di legame per nucleone $B/A$ in funzione del numero di massa $A$ si ottiene una delle curve più importanti di tutta la fisica, la curva di legame (o curva di Aston). Essa sale rapidamente per i nuclei leggeri (deuterio, trizio, elio, litio), raggiunge un massimo attorno al ${}^{56}\text{Fe}$ con $B/A \approx 8{,}8\;\text{MeV/nucleone}$, e poi scende lentamente verso i nuclei pesanti.

La curva dell’energia di legame per nucleone. I nuclei leggeri guadagnano stabilità fondendosi (freccia verde), i pesanti spezzandosi (freccia gialla): entrambi i processi si muovono verso il massimo del ferro.

Da questa forma discendono due conseguenze enormi, che sono i due modi di estrarre energia dai nuclei:

• I nuclei più pesanti del ferro possono spezzarsi in due nuclei più leggeri, più vicini al massimo, liberando energia: è la fissione.
• I nuclei più leggeri del ferro possono fondersi in nuclei più pesanti, anch’essi più vicini al massimo, liberando energia: è la fusione.

Il ferro, stato terminale

Il ferro si trova alla sommità della curva ed è quindi lo “stato terminale” di entrambi i processi: dal ferro in poi né la fissione né la fusione liberano energia spontaneamente. Questo ha una conseguenza cosmica: le stelle massicce fondono elementi sempre più pesanti fino al ferro, poi il nucleo ferroso non riesce più a fondere per produrre energia e collassa, dando origine a supernovae, stelle di neutroni e buchi neri.

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Plotting the binding energy per nucleon $B/A$ as a function of the mass number $A$ gives one of the most important curves in all of physics, the binding curve (or Aston curve). It rises rapidly for light nuclei (deuterium, tritium, helium, lithium), reaches a maximum around ${}^{56}\text{Fe}$ with $B/A \approx 8{,}8\;\text{MeV/nucleon}$, and then slowly falls off towards heavy nuclei.

The binding-energy-per-nucleon curve. Light nuclei gain stability by fusing (green arrow), heavy ones by splitting (yellow arrow): both processes move towards the maximum at iron.

Two enormous consequences follow from this shape, which are the two ways of extracting energy from nuclei:

• Nuclei heavier than iron can split into two lighter nuclei, closer to the maximum, releasing energy: this is fission.
• Nuclei lighter than iron can fuse into heavier nuclei, also closer to the maximum, releasing energy: this is fusion.

Iron, the terminal state

Iron sits at the top of the curve and is therefore the “terminal state” of both processes: from iron onwards, neither fission nor fusion spontaneously release energy. This has a cosmic consequence: massive stars fuse ever-heavier elements up to iron, after which the iron core can no longer fuse to produce energy and collapses, giving rise to supernovae, neutron stars and black holes.

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