Decadimenti radioattivi

Non tutti i nuclei sono stabili: alcuni si trasformano spontaneamente in altri emettendo radiazioni. È la radioattività, scoperta nel 1896. Questa sezione descrive i tre tipi classici di decadimento — alfa, beta, gamma — e la legge esponenziale che governa, in modo statistico, il numero di nuclei superstiti nel tempo.

• I tre tipi di decadimento
• Legge esponenziale e vita media

Not all nuclei are stable: some spontaneously transform into others while emitting radiation. This is radioactivity, discovered in 1896. This section describes the three classic types of decay — alpha, beta, gamma — and the exponential law that statistically governs the number of surviving nuclei over time.

• I tre tipi di decadimento
• Legge esponenziale e vita media

Non tutti i nuclei sono stabili: alcuni si trasformano spontaneamente in altri emettendo radiazioni. È la radioattività, scoperta nel 1896 da Henri Becquerel sui sali di uranio (Nobel 1903 insieme a Pierre e Marie Curie). Si distinguono tre tipi classici di decadimento, storicamente battezzati con le prime tre lettere dell’alfabeto greco.

Principio — Tre tipi classici di decadimento

• Decadimento $\alpha$: il nucleo emette una particella $\alpha = {}^4_2\text{He}$, formata da 2 protoni + 2 neutroni. È tipico dei nuclei pesanti (uranio, radio). ${}^A_Z X \to {}^{A-4}_{Z-2}Y + {}^4_2\text{He}$
• Decadimento $\beta^-$: un neutrone si trasforma in protone + elettrone + antineutrino. Il nucleo aumenta $Z$ di uno e mantiene $A$ costante. $n \to p + e^- + \bar\nu_e$
• Decadimento $\gamma$: il nucleo, lasciato in uno stato eccitato dopo un altro decadimento, emette un fotone $\gamma$ (energia tipica $0{,}1$–$10\;\text{MeV}$) e scende a uno stato meno energetico. $Z$ e $A$ non cambiano.

Le tre radiazioni si comportano in modo profondamente diverso. Nel decadimento $\alpha$ il nucleo cambia elemento perdendo due unità di carica; nel $\beta^-$ risale di un posto nella tavola periodica pur mantenendo lo stesso numero di massa; nel $\gamma$ resta lo stesso nucleo, che si limita a “diseccitarsi” come farebbe un atomo emettendo luce, ma con energie un milione di volte maggiori.

Contesto storico — le tre lettere di Rutherford

Le tre lettere greche $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ furono introdotte da Ernest Rutherford tra il 1899 e il 1903 in base al potere penetrante delle radiazioni: la $\alpha$ è fermata da un foglio di carta, la $\beta$ da una lamina di alluminio di pochi millimetri, la $\gamma$ richiede una parete di piombo di diversi centimetri. Le loro identità — nuclei di elio, elettroni, fotoni — furono scoperte solo negli anni successivi (Simonyi 2012).

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Argomenti: Fisica nucleare Concetti: Decadimento radioattivo Oggetti: Nucleo atomico

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Not all nuclei are stable: some spontaneously transform into others while emitting radiation. This is radioactivity, discovered in 1896 by Henri Becquerel in uranium salts (Nobel Prize 1903 together with Pierre and Marie Curie). Three classic types of decay are distinguished, historically named after the first three letters of the Greek alphabet.

Principle — Three classic types of decay

• $\alpha$ decay: the nucleus emits an $\alpha$ particle $= {}^4_2\text{He}$, made of 2 protons + 2 neutrons. Typical of heavy nuclei (uranium, radium). ${}^A_Z X \to {}^{A-4}_{Z-2}Y + {}^4_2\text{He}$
• $\beta^-$ decay: a neutron transforms into a proton + an electron + an antineutrino. The nucleus increases $Z$ by one while keeping $A$ constant. $n \to p + e^- + \bar\nu_e$
• $\gamma$ decay: the nucleus, left in an excited state after another decay, emits a $\gamma$ photon (typical energy $0{,}1$–$10\;\text{MeV}$) and drops to a lower-energy state. $Z$ and $A$ do not change.

The three radiations behave in profoundly different ways. In $\alpha$ decay the nucleus changes element, losing two units of charge; in $\beta^-$ decay it moves up one place in the periodic table while keeping the same mass number; in $\gamma$ decay it remains the same nucleus, which simply “de-excites” as an atom would by emitting light, but with energies a million times greater.

Historical context — Rutherford's three letters

The three Greek letters $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ were introduced by Ernest Rutherford between 1899 and 1903 on the basis of the radiations’ penetrating power: $\alpha$ is stopped by a sheet of paper, $\beta$ by an aluminium foil a few millimetres thick, $\gamma$ requires a lead wall several centimetres thick. Their identities — helium nuclei, electrons, photons — were discovered only in the following years (Simonyi 2012).

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Microscopicamente il singolo decadimento è un fenomeno quantistico probabilistico: non si può predire quando un dato nucleo decadrà, ma solo la sua probabilità di decadere per unità di tempo. È come lanciare, per ogni nucleo, un dado a ogni istante. Individualmente imprevedibile, il fenomeno diventa però perfettamente regolare quando si osservano tantissimi nuclei insieme: la statistica dei grandi numeri fa emergere una legge esponenziale.

Principio — Decadimento esponenziale

Se $N(t)$ è il numero di nuclei radioattivi presenti al tempo $t$, la frazione che decade per unità di tempo è costante: $\frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda\,N \qquad\Longrightarrow\qquad \ev{N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}}$ con $\lambda$ la costante di decadimento (unità $1/\text{s}$).

L’equazione $\dd N/\dd t = -\lambda N$ dice semplicemente che quanti più nuclei ci sono, tanti più ne decadono nell’unità di tempo, e la proporzionalità è ciò che genera l’andamento esponenziale: separando le variabili e integrando si ottiene la $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.

A partire da $\lambda$ si definiscono due tempi caratteristici, tra loro proporzionali:

• la vita media $\tau = 1/\lambda$: il tempo medio di sopravvivenza di un singolo nucleo;
• il tempo di dimezzamento $\tau_{1/2}$: il tempo in cui $N$ scende a $N_0/2$. Imponendo $e^{-\lambda\tau_{1/2}} = 1/2$ e passando al logaritmo si trova $\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693\,\tau$

Formula chiave

$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ $\tau = \frac{1}{\lambda}, \qquad \tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ Attività: $\;\abs{\dfrac{\dd N}{\dd t}} = \lambda N$, misurata in becquerel (1 Bq = 1 decadimento/s).

L’attività $\lambda N$ è ciò che un rivelatore misura davvero — il numero di decadimenti al secondo — ed essa stessa decade esponenzialmente nel tempo, con la stessa costante $\lambda$ del numero di nuclei.

Esempio — Datazione al carbonio-14

Tutti gli organismi viventi assorbono carbonio dall’atmosfera, in cui il rapporto ${}^{14}\text{C}/{}^{12}\text{C}$ è mantenuto costante dai raggi cosmici. Alla morte l’assorbimento cessa e il ${}^{14}$C nel corpo comincia a decadere $\beta^-$ con $\tau_{1/2} = 5730$ anni. Se in un campione si trova un rapporto isotopico pari a $1/8$ di quello atmosferico: $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8} = \left(\frac12\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \Delta t = 3\,\tau_{1/2} \approx 17\,000\;\text{anni}$ Con questo metodo sono stati datati l’Uomo di Similaun (Ötzi, 5300 anni), le pitture di Lascaux (17,000 anni), la Sindone di Torino ($\sim 700$ anni, dato controverso).

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Microscopically, a single decay is a probabilistic quantum phenomenon: it is not possible to predict when a given nucleus will decay, only its probability of decaying per unit time. It is like rolling a die, for every nucleus, at every instant. Individually unpredictable, the phenomenon nevertheless becomes perfectly regular when very many nuclei are observed together: the statistics of large numbers make an exponential law emerge.

Principle — Exponential decay

If $N(t)$ is the number of radioactive nuclei present at time $t$, the fraction decaying per unit time is constant: $\frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda\,N \qquad\Longrightarrow\qquad \ev{N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}}$ with $\lambda$ the decay constant (units $1/\text{s}$).

The equation $\dd N/\dd t = -\lambda N$ simply says that the more nuclei there are, the more of them decay per unit time, and this proportionality is what generates the exponential trend: separating the variables and integrating gives $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.

From $\lambda$ two characteristic times are defined, proportional to each other:

• the mean life $\tau = 1/\lambda$: the average survival time of a single nucleus;
• the half-life $\tau_{1/2}$: the time in which $N$ drops to $N_0/2$. Setting $e^{-\lambda\tau_{1/2}} = 1/2$ and taking the logarithm gives $\tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx 0{,}693\,\tau$

Key formula

$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ $\tau = \frac{1}{\lambda}, \qquad \tau_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ Activity: $\;\abs{\dfrac{\dd N}{\dd t}} = \lambda N$, measured in becquerel (1 Bq = 1 decay/s).

The activity $\lambda N$ is what a detector actually measures — the number of decays per second — and it itself decays exponentially in time, with the same constant $\lambda$ as the number of nuclei.

Example — Carbon-14 dating

All living organisms absorb carbon from the atmosphere, in which the ratio ${}^{14}\text{C}/{}^{12}\text{C}$ is kept constant by cosmic rays. At death, absorption ceases and the ${}^{14}$C in the body begins to decay via $\beta^-$ with $\tau_{1/2} = 5730$ years. If a sample is found to have an isotopic ratio equal to $1/8$ of the atmospheric one: $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8} = \left(\frac12\right)^3 \quad\Rightarrow\quad \Delta t = 3\,\tau_{1/2} \approx 17\,000\;\text{years}$ This method has been used to date the Similaun Man (Ötzi, 5300 years), the paintings of Lascaux (17,000 years), and the Shroud of Turin ($\sim 700$ years, a disputed result).

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