La molla ideale e l'equazione del moto

Una massa attaccata a una molla ideale è il prototipo di ogni oscillatore. La forza di richiamo $F = -Kx$ e la seconda legge di Newton danno l’equazione del moto armonico semplice; la sua soluzione è una sinusoide con tre parametri (ampiezza, pulsazione, fase), da cui ricaviamo velocità e accelerazione.

• L’equazione del moto armonico semplice
• La soluzione: seno e coseno
• Velocità e accelerazione

A mass attached to an ideal spring is the prototype of every oscillator. The restoring force $F = -Kx$ and Newton’s second law give the equation of simple harmonic motion; its solution is a sinusoid with three parameters (amplitude, angular frequency, phase), from which we derive velocity and acceleration.

• The equation of simple harmonic motion
• The solution: sine and cosine
• Velocity and acceleration

Consideriamo una massa $m$ collegata a una molla di costante elastica $k$, su un piano orizzontale liscio. Indichiamo con $x$ lo spostamento della massa dalla posizione di riposo. La forza elastica è di richiamo, $F = -kx$: punta sempre verso l’equilibrio, con intensità proporzionale a quanto ce ne siamo allontanati. La seconda legge di Newton dà allora

$m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -k\,x$

È un’equazione differenziale lineare del second’ordine a coefficienti costanti, e definisce il moto armonico semplice. La sua struttura — “l’accelerazione è proporzionale alla posizione, con segno opposto” — è ciò che rende il moto oscillatorio: appena il corpo si sposta, nasce una forza che lo rispinge indietro, lo fa passare per l’equilibrio, lo rallenta dall’altra parte, e così via.

Principio — Equazione del moto armonico semplice (MAS)

Un sistema obbedisce al moto armonico semplice se la sua accelerazione è proporzionale alla coordinata, con il segno opposto: $\ev{\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2\,x}$ dove $\omega$ è la pulsazione angolare (in rad/s).

Per la massa-molla, confrontando $m\ddot x = -kx$ con $\ddot x = -\omega^2 x$, si legge subito la pulsazione:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}$

Intuizione

Più rigida la molla ($k\uparrow$) o più leggera la massa ($m\downarrow$), più veloce è l’oscillazione. La rigidità fornisce la “voglia di tornare indietro”, l’inerzia della massa la contrasta: la loro contesa fissa il ritmo.

▶8.01x Lez. 10 — Legge di Hooke, molle, pendoli — Walter Lewin

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Consider a mass $m$ attached to a spring of stiffness $k$, on a smooth horizontal plane. Let $x$ denote the displacement of the mass from its rest position. The elastic force is restoring, $F = -kx$: it always points towards equilibrium, with a magnitude proportional to how far we have moved away from it. Newton’s second law then gives

$m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -k\,x$

This is a second-order linear differential equation with constant coefficients, and it defines simple harmonic motion. Its structure — “the acceleration is proportional to the position, with the opposite sign” — is what makes the motion oscillatory: as soon as the body moves away, a force arises that pushes it back, carries it through equilibrium, slows it down on the other side, and so on.

Principle — Equation of simple harmonic motion (SHM)

A system obeys simple harmonic motion if its acceleration is proportional to the coordinate, with the opposite sign: $\ev{\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2\,x}$ where $\omega$ is the angular frequency (in rad/s).

For the mass-spring system, comparing $m\ddot x = -kx$ with $\ddot x = -\omega^2 x$, we immediately read off the angular frequency:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}}$

Intuition

The stiffer the spring ($k\uparrow$) or the lighter the mass ($m\downarrow$), the faster the oscillation. Stiffness supplies the “urge to go back”, the mass’s inertia opposes it: their contest sets the rhythm.

▶8.01x Lect 10 — Hooke's Law, Springs, Pendulums — Walter Lewin

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Quali funzioni, se le deriviamo due volte, ritornano uguali a sé stesse ma con il segno cambiato? Il seno e il coseno. Non è un caso: sono proprio le funzioni che risolvono l’equazione del moto armonico semplice, $\ddot x = -\omega^2 x$ (il simbolo $\ddot x$ indica la derivata seconda di $x$ rispetto al tempo, cioè l’accelerazione). La soluzione generale è

$\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$

dove i tre parametri hanno significati distinti:

• $A$ è l’ampiezza (m), il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio;
• $\omega$ è la pulsazione (rad/s), legata al periodo $T$ e alla frequenza $f$ da $T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
• $\varphi$ è la fase iniziale (rad), che dipende da posizione e velocità del corpo a $t = 0$.

Intuizione

$A$, $\omega$ e $\varphi$ sono “l’ampiezza”, “quanto velocemente” e “da dove parte”. Fissano completamente il moto: dati questi tre numeri, sappiamo dov’è il corpo in ogni istante.

Verifica. Deriviamo $x(t)$ due volte e controlliamo che soddisfi l’equazione:

$\begin{aligned} \dot x(t) &= -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ \ddot x(t) &= -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}$

Bingo: l’accelerazione è proporzionale a $x$ con segno opposto e costante $\omega^2$. La sinusoide è davvero la soluzione.

Formula chiave — Periodo della massa-molla

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}}$ Notare l’indipendenza dall’ampiezza: $T$ non dipende da quanto in là tiriamo la massa, finché la molla resta nella legge di Hooke. Per la molla ideale l’isocronia è esatta, non un’approssimazione di piccole oscillazioni. L’aneddoto di Galileo e delle lampade del Duomo di Pisa riguarda il pendolo, e sta nella pagina delle piccole oscillazioni del pendolo.

Perché compare $2\pi$

Il $2\pi$ rappresenta un giro completo: il moto armonico è la proiezione su un asse di un moto circolare uniforme di raggio $A$. Un’oscillazione avanti-e-indietro corrisponde a un giro dell’angolo $\omega t$.

Il moto armonico è l'ombra di un moto circolare

Immagina un punto $P$ che gira a velocità costante su una circonferenza di raggio $A$, con velocità angolare $\omega$, e una luce che proietta la sua ombra $Q$ sull’asse $x$. Al tempo $t$ il raggio $OP$ forma con l’asse l’angolo $\omega t + \varphi$, e l’ombra si trova in $\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$ È esattamente la soluzione dell’oscillatore. La pulsazione $\omega$ dell’oscillazione è la velocità angolare del punto che gira: un giro completo di $P$ è un’oscillazione completa di $Q$, quindi $T = 2\pi/\omega$ e $f = \omega/(2\pi)$.

Velocità e accelerazione si proiettano anche loro. Il punto $P$ ha velocità tangente alla circonferenza, di modulo $\omega A$, e accelerazione centripeta diretta verso il centro, di modulo $\omega^2 A$. Le loro componenti lungo $x$ sono $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), \qquad a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi)$ Confrontando con $x(t)$ si legge subito $\ev{a = -\omega^2 x}$: l’equazione del moto armonico esce dall’accelerazione centripeta, anche senza derivate.

Attenzione: non sono lo stesso moto.

• Nel moto circolare uniforme la traiettoria è una circonferenza, il modulo della velocità è costante ($\omega A$) e l’accelerazione ha modulo costante ($\omega^2 A$) e punta sempre verso il centro.
• Nel moto armonico la traiettoria è un segmento lungo $2A$. La velocità cambia: è massima al centro e nulla agli estremi. L’accelerazione è proporzionale allo spostamento e di verso opposto, quindi è nulla al centro e massima agli estremi.

Il cerchio è uno strumento per capire e calcolare: la massa attaccata alla molla non gira affatto. Per ripassare velocità angolare e accelerazione centripeta: Velocità tangenziale e accelerazione centripeta e, nel capitolo 3, La forza centripeta.

Il punto $P$ ruota con velocità angolare $\omega$ su una circonferenza di raggio $A$. La sua ombra $Q$ sull’asse $x$ si muove di moto armonico, e le componenti lungo $x$ di velocità e accelerazione di $P$ sono la velocità e l’accelerazione di $Q$.

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Which functions, if we differentiate them twice, come back equal to themselves but with the sign changed? Sine and cosine. This is no coincidence: they are precisely the functions that solve the equation of simple harmonic motion, $\ddot x = -\omega^2 x$ (the symbol $\ddot x$ means the second derivative of $x$ with respect to time, that is, the acceleration). The general solution is

$\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$

where the three parameters have distinct meanings:

• $A$ is the amplitude (m), the maximum displacement from the equilibrium position;
• $\omega$ is the angular frequency (rad/s), related to the period $T$ and the frequency $f$ by $T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
• $\varphi$ is the initial phase (rad), which depends on the position and velocity of the body at $t = 0$.

Intuition

$A$, $\omega$ and $\varphi$ are “the amplitude”, “how fast” and “where it starts from”. They completely fix the motion: given these three numbers, we know where the body is at every instant.

Check. Let us differentiate $x(t)$ twice and verify that it satisfies the equation:

$\begin{aligned} \dot x(t) &= -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ \ddot x(t) &= -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}$

Bingo: the acceleration is proportional to $x$ with the opposite sign and constant $\omega^2$. The sinusoid really is the solution.

Key formula — Period of the mass-spring system

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}}$ Note the independence from the amplitude: $T$ does not depend on how far we pull the mass, as long as the spring stays within Hooke’s law. For an ideal spring the isochronism is exact, not a small-oscillation approximation. Galileo’s story of the swinging lamps in Pisa Cathedral is about the pendulum, and it belongs on the page about the pendulum’s small oscillations.

Why $2\pi$ appears

The $2\pi$ represents one complete turn: harmonic motion is the projection onto an axis of uniform circular motion of radius $A$. One back-and-forth oscillation corresponds to one turn through the angle $\omega t$.

Harmonic motion is the shadow of circular motion

Picture a point $P$ going round a circle of radius $A$ at constant speed, with angular velocity $\omega$, and a light casting its shadow $Q$ onto the $x$-axis. At time $t$ the radius $OP$ makes the angle $\omega t + \varphi$ with the axis, so the shadow is at $\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$ That is exactly the oscillator’s solution. The angular frequency $\omega$ of the oscillation is the angular velocity of the rotating point: one full turn of $P$ is one full oscillation of $Q$, hence $T = 2\pi/\omega$ and $f = \omega/(2\pi)$.

Velocity and acceleration project too. The point $P$ has a velocity tangent to the circle, of magnitude $\omega A$, and a centripetal acceleration pointing to the centre, of magnitude $\omega^2 A$. Their components along $x$ are $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi), \qquad a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi)$ Comparing with $x(t)$ gives $\ev{a = -\omega^2 x}$ straight away: the equation of harmonic motion falls out of the centripetal acceleration, even without derivatives.

Careful: they are not the same motion.

• In uniform circular motion the path is a circle, the speed is constant ($\omega A$), and the acceleration has constant magnitude ($\omega^2 A$) and always points to the centre.
• In harmonic motion the path is a straight segment of length $2A$. The speed changes: it is greatest at the centre and zero at the ends. The acceleration is proportional to the displacement and opposite to it, so it is zero at the centre and greatest at the ends.

The circle is a tool for understanding and calculating: the mass on the spring does not go round at all. To revise angular velocity and centripetal acceleration, see Tangential velocity and centripetal acceleration and, in chapter 3, Centripetal force.

Point $P$ turns with angular velocity $\omega$ on a circle of radius $A$. Its shadow $Q$ on the $x$-axis moves in simple harmonic motion, and the $x$-components of $P$‘s velocity and acceleration are $Q$‘s velocity and acceleration.

▶Simple Harmonic Motion — Physics Girl

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Dalla soluzione $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, derivando una e due volte, otteniamo velocità e accelerazione dell’oscillatore:

$\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ a(t) &= \ddot x = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

I valori massimi sono $|v|_\text{max} = A\omega$ (raggiunto al passaggio dall’equilibrio, dove tutta l’energia è cinetica) e $|a|_\text{max} = A\omega^2$ (raggiunto negli estremi, dove la forza di richiamo è massima).

Le tre grandezze non sono in fase. La velocità $v$ e la posizione $x$ sono sfasate di $\pi/2$: quando una è massima l’altra è nulla, e viceversa (nel punto di massima elongazione il corpo è fermo un istante; nel punto di equilibrio va più veloce). L’accelerazione $a$ e la posizione $x$ sono invece in opposizione di fase: un picco di $x$ corrisponde a un anti-picco di $a$, coerentemente con $a = -\omega^2 x$.

Posizione (blu), velocità (oro) e accelerazione (rossa tratteggiata) di un oscillatore armonico. La velocità è in anticipo di un quarto di periodo sulla posizione; l’accelerazione è il suo specchio rovesciato.

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From the solution $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, differentiating once and twice, we obtain the velocity and acceleration of the oscillator:

$\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ a(t) &= \ddot x = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

The maximum values are $|v|_\text{max} = A\omega$ (reached when passing through equilibrium, where all the energy is kinetic) and $|a|_\text{max} = A\omega^2$ (reached at the extremes, where the restoring force is greatest).

The three quantities are not in phase. The velocity $v$ and the position $x$ are out of phase by $\pi/2$: when one is maximum the other is zero, and vice versa (at the point of maximum elongation the body is momentarily at rest; at the equilibrium point it moves fastest). The acceleration $a$ and the position $x$, on the other hand, are in phase opposition: a peak of $x$ corresponds to an anti-peak of $a$, consistent with $a = -\omega^2 x$.

Position (blue), velocity (gold) and acceleration (dashed red) of a harmonic oscillator. The velocity leads the position by a quarter period; the acceleration is its mirror image, flipped.

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