Urti

Un urto è un’interazione breve e intensa fra due corpi. Durante l’urto le forze interne di contatto sono grandissime, mentre le forze esterne (peso, attrito) danno un impulso trascurabile: la quantità di moto totale si conserva sempre. Ciò che distingue i tipi di urto è cosa succede all’energia cinetica. Questa sezione classifica gli urti, risolve l’urto elastico in una dimensione e mostra il diagramma a bolle per vedere dove finisce l’energia.

• Tipi di urto: elastico, anelastico, totalmente anelastico
• Urto elastico in 1D
  • La fionda gravitazionale come urto elastico
• Diagramma a bolle per gli urti

Prova tu — simulazione interattiva

A collision is a brief, intense interaction between two bodies. During the collision the internal contact forces are very large, while the external forces (weight, friction) give a negligible impulse: the total momentum is always conserved. What distinguishes the types of collision is what happens to the kinetic energy. This section classifies collisions, solves the elastic collision in one dimension, and shows the bubble diagram to see where the energy ends up.

• Types of collision: elastic, inelastic, totally inelastic
• Elastic collision in 1D
  • The gravitational slingshot as an elastic collision
• Bubble diagram for collisions

Try it — interactive simulation

Un urto è un’interazione breve e intensa tra due corpi. Durante l’urto le forze interne di contatto sono molto grandi, mentre le forze esterne (peso, attrito) sono trascurabili: perciò la quantità di moto si conserva in ogni tipo di urto. Quello che cambia da un urto all’altro è il destino dell’energia cinetica.

A seconda di cosa succede all’energia cinetica distinguiamo tre casi:

L’elastico è il caso ideale: nessuna energia si disperde, i corpi rimbalzano senza deformarsi permanentemente (biglie d’acciaio, palle da biliardo, sfere della culla di Newton). L’anelastico è il caso reale generico: una parte dell’energia cinetica si trasforma in calore, suono, deformazione. Il totalmente anelastico è l’estremo opposto dell’elastico: i corpi si incastrano e proseguono insieme con un’unica velocità finale — è il caso in cui si perde la massima energia cinetica compatibile con la conservazione di $\vv{p}$.

Errore comune

“Se l’energia non si conserva, allora non si conserva neppure la quantità di moto.” Falso: in un urto anelastico l’energia cinetica diminuisce (diventa termica), ma $\vv{p}$ si conserva comunque, perché dipende solo dalle forze esterne, non da quanta energia si dissipa all’interno.

Il coefficiente di restituzione

Per dire quanto è elastico un urto si usa il coefficiente di restituzione $e$: il rapporto fra la velocità con cui i corpi si allontanano dopo l’urto e quella con cui si avvicinavano prima. $\ev{e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}} \qquad 0 \le e \le 1$ dove $v_1$, $v_2$, $v_1'$, $v_2'$ sono le velocità con segno lungo la retta dell’urto.

• $e = 1$: urto elastico, i corpi si separano veloci come si erano avvicinati;
• $0 < e < 1$: urto anelastico;
• $e = 0$: urto totalmente anelastico, i corpi restano attaccati ($v_1' = v_2'$).

Il rimbalzo su un pavimento. Il pavimento resta fermo, quindi $e$ è il rapporto fra la velocità della pallina subito dopo e subito prima del rimbalzo, $e = v'/v$. Lasciata cadere da un’altezza $h_0$, la pallina arriva al suolo con $v = \sqrt{2gh_0}$ e risale fino a $h_1$ partendo con $v' = \sqrt{2gh_1}$. Quindi $e = \sqrt{\frac{h_1}{h_0}}$ (trascurando la resistenza dell’aria in discesa e in salita), e basta un metro per misurare $e$, senza cronometri.

Esempio. Una pallina lasciata cadere da $h_0 = 1{,}00$ m risale a $h_1 = 0{,}64$ m: $e = \sqrt{0{,}64} = 0{,}80$. A ogni rimbalzo resta la frazione $e^2 = h_1/h_0 = 0{,}64$ dell’energia cinetica: il $36\%$ diventa energia termica, suono e deformazione. Al secondo rimbalzo risale a $0{,}64 \cdot 0{,}64$ m $\approx 0{,}41$ m.

Lo usano due esercizi del metodo sperimentale: Velocità d’impatto e coefficiente di restituzione e Somma dei tempi di rimbalzo.

▶Urti elastici e anelastici — Physics Girl

▶Le dimensioni contano — la (mala) Scienza di Armageddon — Luca Perri

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica

Esercizi collegati: Urto elastico tra due biglie · Vero o falso sugli urti · Pendolo balistico (altezza)

A collision is a brief, intense interaction between two bodies. During the collision the internal contact forces are very large, while the external forces (weight, friction) are negligible: therefore momentum is conserved in every type of collision. What changes from one collision to another is the fate of the kinetic energy.

Depending on what happens to the kinetic energy, we distinguish three cases:

The elastic case is the ideal one: no energy is dissipated, the bodies bounce off without permanent deformation (steel balls, billiard balls, Newton’s cradle spheres). The inelastic case is the generic real one: part of the kinetic energy is turned into heat, sound, deformation. The totally inelastic case is the opposite extreme of the elastic one: the bodies lock together and continue with a single final velocity — it is the case in which the maximum kinetic energy compatible with conservation of $\vv{p}$ is lost.

Common mistake

“If energy is not conserved, then momentum isn’t conserved either.” False: in an inelastic collision the kinetic energy decreases (it becomes thermal), but $\vv{p}$ is still conserved, because it depends only on the external forces, not on how much energy is dissipated internally.

The coefficient of restitution

To say how elastic a collision is we use the coefficient of restitution $e$: the ratio between the speed at which the bodies move apart after the collision and the speed at which they approached before it. $\ev{e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}} \qquad 0 \le e \le 1$ where $v_1$, $v_2$, $v_1'$, $v_2'$ are the signed velocities along the line of the collision.

• $e = 1$: elastic collision, the bodies separate as fast as they approached;
• $0 < e < 1$: inelastic collision;
• $e = 0$: perfectly inelastic collision, the bodies stick together ($v_1' = v_2'$).

Bouncing on a floor. The floor stays still, so $e$ is the ratio between the speed of the ball just after and just before the bounce, $e = v'/v$. Dropped from a height $h_0$, the ball reaches the ground with $v = \sqrt{2gh_0}$ and rises to $h_1$ starting with $v' = \sqrt{2gh_1}$. Hence $e = \sqrt{\frac{h_1}{h_0}}$ (neglecting air resistance on the way down and on the way up), and a measuring tape is enough to measure $e$, no stopwatch needed.

Example. A ball dropped from $h_0 = 1.00$ m rises to $h_1 = 0.64$ m: $e = \sqrt{0.64} = 0.80$. At each bounce the fraction $e^2 = h_1/h_0 = 0.64$ of the kinetic energy remains: $36\%$ becomes thermal energy, sound and deformation. At the second bounce it rises to $0.64 \cdot 0.64$ m $\approx 0.41$ m.

Two exercises of the experimental method use it: Impact speed and coefficient of restitution and Sum of the bounce times.

▶Elastic and Inelastic Collisions — Physics Girl

▶Size matters — the (bad) science of Armageddon — Luca Perri

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Elastic collision · Inelastic collision · Conservation of momentum · Kinetic energy

Related exercises: Elastic collision between two marbles · True or false about collisions · Ballistic pendulum (height)

In un urto elastico unidimensionale si conservano sia la quantità di moto sia l’energia cinetica. Sono due equazioni, e con due incognite (le velocità finali $v_1'$ e $v_2'$) il problema è completamente determinato.

Urto elastico in 1D: le palle si scambiano (in parte) velocità. Il corpo più leggero tende a rimbalzare indietro.

Le due leggi di conservazione si scrivono:

$\begin{aligned} m_1 v_1 + m_2 v_2 &= m_1 v_1' + m_2 v_2' \\ \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \end{aligned}$

La seconda equazione è quadratica e scomoda da risolvere direttamente. C’è però un trucco che la rende lineare.

Principio — Trucco dell'urto elastico

La conservazione dell’energia cinetica, combinata con quella della quantità di moto, si può riscrivere come $\ev{v_{\text{rel,prima}} = -\,v_{\text{rel,dopo}}}$ cioè $v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$: la velocità relativa dei due corpi si inverte di segno.

Il trucco in pratica

Al posto della coppia (conservazione di $p$) + (conservazione di $E_\text{cin}$, quadratica) si usa la coppia molto più maneggevole: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ $v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$ Due equazioni lineari nelle incognite $v_1'$, $v_2'$: si risolvono in pochi passaggi.

L’inversione della velocità relativa dice anche una cosa fisica importante: i due corpi si allontanano dopo l’urto con la stessa velocità con cui si avvicinavano prima. È il coefficiente di restituzione $e = 1$ dell’urto perfettamente elastico. Da qui segue, per esempio, che una pallina leggerissima contro un muro fermo torna indietro alla stessa velocità con cui è arrivata.

Il calcolo numerico completo è in Esercizio svolto — urto elastico 1D; la formula generale per un bersaglio fermo è dimostrata in Dimostrazione urto elastico 1D.

La fionda gravitazionale come urto elastico

Una sonda che passa vicino a un pianeta può uscirne più veloce, rispetto al Sole, di quanto vi era arrivata, senza accendere i motori. È la fionda gravitazionale, o assist gravitazionale. Il pianeta non tocca la sonda, ma l’interazione gravitazionale si comporta come un urto elastico: prima e dopo il passaggio la sonda è lontana dal pianeta, e l’energia cinetica relativa è la stessa.

Nel riferimento del pianeta. Il pianeta è tanto più massiccio della sonda da restare praticamente fermo. La sonda arriva con una certa velocità e riparte con la stessa velocità in modulo, solo in un’altra direzione. È il trucco della velocità relativa che si inverte, nel caso limite di un bersaglio di massa enorme: come la pallina contro il muro.

Nel riferimento del Sole. Ora il pianeta si muove con velocità $U$. Consideriamo il caso più semplice, unidimensionale: la sonda viaggia con velocità $v$ verso il pianeta, che le viene incontro, e il passaggio la fa tornare indietro (traiettoria “a forcina”). Rispetto al pianeta la sonda arriva con velocità $v + U$ e riparte con velocità $v + U$ in verso opposto, cioè nel verso del moto del pianeta. Tornando al riferimento del Sole si aggiunge la velocità del pianeta:

$\ev{v' = v + 2U}$

È lo stesso risultato di una pallina lanciata contro un treno che arriva: rimbalza con la propria velocità più due volte quella del treno.

Un esempio con i numeri. Giove percorre la sua orbita alla velocità media di $13{,}06\;\text{km/s}$ (NASA, Jupiter Fact Sheet). Una sonda che gli andasse incontro a $10\;\text{km/s}$ e venisse rimandata indietro uscirebbe, nel caso ideale, a $10 + 2\cdot 13{,}06 \approx 36\;\text{km/s}$. Nei passaggi reali la traiettoria viene deviata di un angolo minore di $180^\circ$ e il guadagno è più piccolo (per Giove, a queste velocità, anche rasentando le nubi la traiettoria si piega al massimo di circa $100^\circ$, e la sonda uscirebbe a circa $28{,}5\;\text{km/s}$), ma il meccanismo è lo stesso.

Chi paga l’energia? Il pianeta. L’interazione è elastica: l’energia cinetica che la sonda guadagna è persa dal pianeta (vedi il diagramma a bolle per gli urti); la conservazione della quantità di moto dice di quanto rallenta. Una sonda di $1000\;\text{kg}$ che passa da $10\;\text{km/s}$ in un verso a $36\;\text{km/s}$ nel verso opposto cambia velocità di circa $46\;\text{km/s}$; Giove, con massa $1{,}90\cdot 10^{27}\;\text{kg}$, rallenta di circa $1000\cdot 4{,}6\cdot 10^4/1{,}90\cdot 10^{27} \approx 2{,}4\cdot 10^{-20}\;\text{m/s}$: un effetto del tutto impercettibile. Il bilancio torna: la sonda guadagna $\tfrac12\cdot 1000\cdot(36{,}1^2 - 10^2)\cdot 10^6 \approx 6{,}0\cdot10^{11}\;\text{J}$, e Giove perde $M\,U\,\Delta V \approx 1{,}90\cdot10^{27}\cdot 1{,}306\cdot10^4\cdot 2{,}4\cdot10^{-20} \approx 6\cdot10^{11}\;\text{J}$.

Missioni. Voyager 2 ha usato Giove, Saturno e Urano per proseguire verso i pianeti esterni; anche Galileo e Cassini hanno sfruttato passaggi ravvicinati a pianeti (NASA, Basics of Space Flight, cap. 4). Passando davanti al pianeta, invece che dietro, si ottiene l’effetto opposto e la sonda frena: Galileo lo fece passando davanti a Io, la luna di Giove, prima di entrare in orbita attorno al pianeta. Per la gravità che curva la traiettoria vedi il capitolo Gravitazione universale.

Fionda gravitazionale nel caso frontale: rispetto al pianeta la sonda conserva il modulo della velocità ($v+U$ in entrata e in uscita); rispetto al Sole esce con $v+2U$.

▶8.01x Lez. 16 — Urti elastici e anelastici — Walter Lewin

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

Esercizi collegati: Urto elastico tra due biglie · Dimostrazione urto elastico 1D · La culla di Newton

In a one-dimensional elastic collision both momentum and kinetic energy are conserved. These are two equations, and with two unknowns (the final velocities $v_1'$ and $v_2'$) the problem is fully determined.

Elastic collision in 1D: the balls (partly) exchange velocities. The lighter body tends to bounce back.

The two conservation laws are written:

$\begin{aligned} m_1 v_1 + m_2 v_2 &= m_1 v_1' + m_2 v_2' \\ \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \end{aligned}$

The second equation is quadratic and awkward to solve directly. There is, however, a trick that makes it linear.

Principle — Elastic-collision trick

Conservation of kinetic energy, combined with conservation of momentum, can be rewritten as $\ev{v_{\text{rel,prima}} = -\,v_{\text{rel,dopo}}}$ that is $v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$: the relative velocity of the two bodies reverses sign.

The trick in practice

Instead of the pair (conservation of $p$) + (conservation of $E_\text{cin}$, quadratic), one uses the much more manageable pair: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ $v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$ Two linear equations in the unknowns $v_1'$, $v_2'$: solved in a few steps.

The reversal of the relative velocity also tells us something physically important: the two bodies move apart after the collision at the same speed with which they were approaching before. This is the restitution coefficient $e = 1$ of the perfectly elastic collision. From this it follows, for example, that a very light ball hitting a stationary wall bounces back at the same speed with which it arrived.

The full numerical calculation is in Worked exercise — elastic collision in 1D; the general formula for a stationary target is proved in Proof of the 1D elastic collision.

The gravitational slingshot as an elastic collision

A probe passing close to a planet can come out faster, relative to the Sun, than it went in, without firing its engines. This is the gravitational slingshot, or gravity assist. The planet does not touch the probe, but the gravitational interaction behaves like an elastic collision: before and after the flyby the probe is far from the planet, and the relative kinetic energy is the same.

In the planet’s frame. The planet is so much more massive than the probe that it stays practically at rest. The probe arrives with some speed and leaves with the same speed in magnitude, only in a different direction. This is the trick of the reversed relative velocity, in the limiting case of a target of huge mass: like a ball bouncing off a wall.

In the Sun’s frame. Now the planet moves with speed $U$. Take the simplest, one-dimensional case: the probe travels with speed $v$ towards the planet, which comes towards it, and the flyby sends it back (“hairpin” trajectory). Relative to the planet the probe arrives with speed $v + U$ and leaves with speed $v + U$ in the opposite direction, that is in the direction of the planet’s motion. Going back to the Sun’s frame we add the planet’s velocity:

$\ev{v' = v + 2U}$

It is the same result as a ball thrown at an oncoming train: it bounces back with its own speed plus twice the speed of the train.

A numerical example. Jupiter moves along its orbit at a mean speed of $13.06\;\text{km/s}$ (NASA, Jupiter Fact Sheet). A probe moving towards it at $10\;\text{km/s}$ and sent back would leave, in the ideal case, at $10 + 2\cdot 13.06 \approx 36\;\text{km/s}$. In real flybys the trajectory is turned through an angle smaller than $180^\circ$ and the gain is smaller (for Jupiter, at these speeds, even skimming the cloud tops the path bends by at most about $100^\circ$, and the probe would leave at about $28.5\;\text{km/s}$), but the mechanism is the same.

Who pays for the energy? The planet. The interaction is elastic: the kinetic energy gained by the probe is lost by the planet (see the bubble diagram for collisions); conservation of momentum tells us by how much it slows down. A $1000\;\text{kg}$ probe going from $10\;\text{km/s}$ in one direction to $36\;\text{km/s}$ in the opposite direction changes its velocity by about $46\;\text{km/s}$; Jupiter, with a mass of $1.90\cdot 10^{27}\;\text{kg}$, slows down by about $1000\cdot 4.6\cdot 10^4/1.90\cdot 10^{27} \approx 2.4\cdot 10^{-20}\;\text{m/s}$: a completely imperceptible effect. The balance works out: the probe gains $\tfrac12\cdot 1000\cdot(36.1^2 - 10^2)\cdot 10^6 \approx 6.0\cdot10^{11}\;\text{J}$, and Jupiter loses $M\,U\,\Delta V \approx 1.90\cdot10^{27}\cdot 1.306\cdot10^4\cdot 2.4\cdot10^{-20} \approx 6\cdot10^{11}\;\text{J}$.

Missions. Voyager 2 used Jupiter, Saturn and Uranus to continue towards the outer planets; Galileo and Cassini also exploited close flybys of planets (NASA, Basics of Space Flight, ch. 4). Passing in front of the planet, instead of behind it, gives the opposite effect and slows the probe down: Galileo did this by passing in front of Io, Jupiter’s moon, before entering orbit around the planet. For gravity bending the trajectory see the chapter Universal gravitation.

Gravitational slingshot in the head-on case: relative to the planet the probe keeps the magnitude of its velocity ($v+U$ in and out); relative to the Sun it leaves with $v+2U$.

▶8.01x Lect 16 — Elastic and Inelastic Collisions — Walter Lewin

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Topics: Momentum and collisions Concepts: Elastic collision · Conservation of momentum · Kinetic energy Skills: Symbolic setup

Related exercises: Elastic collision between two marbles · Proof of the 1D elastic collision · Newton’s cradle

Negli urti il diagramma a bolle mostra a colpo d’occhio cosa succede all’energia. Ogni bolla è un serbatoio di un tipo di energia, con il valore prima (in alto) e dopo (in basso); le frecce sono i trasferimenti.

Confronto: nell’urto elastico tutta l’energia resta cinetica (si sposta solo da un corpo all’altro); nell’urto anelastico una parte scivola nella bolla dell’energia termica e non torna più indietro.

La differenza visiva è netta. Nell’urto elastico compaiono solo bolle di energia cinetica: l’energia si travasa da un corpo all’altro, ma la somma $E_\text{cin,tot}$ resta identica. Nell’urto anelastico si accende una nuova bolla, quella dell’energia termica $E_\text{term}$: una freccia esce dalle bolle cinetiche e finisce lì dentro, e da quella bolla l’energia non torna più a essere movimento. La quantità di moto, intanto, si conserva in entrambi i casi: le bolle raccontano solo la storia dell’energia, non quella di $\vv{p}$.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Urto anelastico · Energia cinetica Competenze: Bilancio energetico a bolle

Esercizi collegati: Urto elastico tra due biglie · Vero o falso sugli urti · Pendolo balistico (altezza)

For collisions the bubble diagram shows at a glance what happens to the energy. Each bubble is a reservoir of one type of energy, with its value before (top) and after (bottom); the arrows are the transfers.

Comparison: in the elastic collision all the energy stays kinetic (it only moves from one body to the other); in the inelastic collision part of it slips into the thermal-energy bubble and never comes back.

The visual difference is stark. In the elastic collision only kinetic-energy bubbles appear: energy pours from one body into the other, but the sum $E_\text{cin,tot}$ stays identical. In the inelastic collision a new bubble lights up, that of thermal energy $E_\text{term}$: an arrow leaves the kinetic bubbles and ends up there, and from that bubble the energy never goes back to being motion. Momentum, meanwhile, is conserved in both cases: the bubbles only tell the story of energy, not that of $\vv{p}$.

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Related exercises: Elastic collision between two marbles · True or false about collisions · Ballistic pendulum (height)