Fluidostatica

Quando un corpo non è rigido ma si può spandere sotto l’azione delle forze — l’acqua in un bicchiere, l’aria in un pneumatico, il mercurio in un termometro — diciamo che è un fluido. Per i fluidi la domanda “quanta forza in questo punto?” perde di senso: la grandezza giusta è la pressione, il rapporto tra forza e area su cui agisce. Questa sezione introduce la pressione e le tre leggi fondamentali dei fluidi in equilibrio — Stevino, Pascal e i vasi comunicanti — fino agli strumenti che le sfruttano per misurare la pressione stessa.

• Pressione
• Legge di Stevino
• Principio di Pascal
• Vasi comunicanti
• Manometro e barometro

When a body is not rigid but can spread under the action of forces — water in a glass, air in a tyre, mercury in a thermometer — we say it is a fluid. For fluids the question “how much force at this point?” loses its meaning: the right quantity is pressure, the ratio between force and the area it acts on. This section introduces pressure and the three fundamental laws of fluids at equilibrium — Stevin, Pascal, and communicating vessels — up to the instruments that exploit them to measure pressure itself.

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Un fluido è un corpo che non conserva una forma propria ma si adatta a quella del recipiente: un liquido come l’acqua, un gas come l’aria, o un metallo liquido come il mercurio. Per un fluido il concetto di “forza applicata in un punto” è poco utile, perché la stessa spinta si distribuisce sull’intera superficie di contatto. Ciò che conta è la pressione: quanto vale la forza per ogni unità d’area.

Principio — Pressione

La pressione $P$ esercitata da una forza $\vv{F}$ perpendicolare su una superficie di area $A$ è $\ev{P = \frac{F_\perp}{A}}$

L’unità SI di pressione è il pascal (Pa), pari a $1\;\text{N/m}^2$. Poiché il pascal è una quantità minuscola rispetto alle pressioni di uso comune, si adoperano spesso unità pratiche: $1\;\text{bar} = 10^5\;\text{Pa}$ e $1\;\text{atm} \approx 1{,}013\cdot 10^5\;\text{Pa}$, quest’ultima pari all’incirca alla pressione atmosferica al livello del mare.

La pressione è scalare

La pressione è una grandezza scalare — un numero, non un vettore. In un punto di un fluido non ha una direzione: la forza su un elemento di superficie immerso è sempre perpendicolare alla superficie stessa, qualunque sia l’orientamento con cui la disponiamo. Ruotando l’elemento, cambia la direzione della forza ma non il valore della pressione.

Per i solidi la pressione si riduce a “forza per unità d’area di contatto”: un coltello taglia perché, concentrando la forza del braccio su una lama sottile, genera una pressione enorme su una superficie piccolissima. Per i fluidi la storia è più ricca. In un fluido in equilibrio ogni porzione, per quanto piccola, deve avere forza netta nulla: da questa semplice richiesta discendono le tre leggi fondamentali della fluidostatica che studieremo nelle prossime pagine.

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A fluid is a body that does not keep a shape of its own but adapts to that of its container: a liquid such as water, a gas such as air, or a liquid metal such as mercury. For a fluid the concept of “force applied at a point” is of little use, because the same push is distributed over the whole contact surface. What matters is the pressure: how much force acts per unit area.

Principle — Pressure

The pressure $P$ exerted by a force $\vv{F}$ perpendicular to a surface of area $A$ is $\ev{P = \frac{F_\perp}{A}}$

The SI unit of pressure is the pascal (Pa), equal to $1\;\text{N/m}^2$. Since the pascal is a tiny quantity compared with everyday pressures, practical units are often used instead: $1\;\text{bar} = 10^5\;\text{Pa}$ and $1\;\text{atm} \approx 1{,}013\cdot 10^5\;\text{Pa}$, the latter roughly equal to atmospheric pressure at sea level.

Pressure is a scalar

Pressure is a scalar quantity — a number, not a vector. At a point in a fluid it has no direction: the force on an immersed surface element is always perpendicular to the surface itself, whatever orientation we give it. Rotating the element changes the direction of the force but not the value of the pressure.

For solids pressure reduces to “force per unit contact area”: a knife cuts because, by concentrating the force of the arm on a thin blade, it generates an enormous pressure over a tiny surface. For fluids the story is richer. In a fluid at equilibrium every portion, however small, must have zero net force: from this simple requirement follow the three fundamental laws of fluid statics that we shall study on the following pages.

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Immaginiamo un cilindro verticale di sezione $A$ riempito di un liquido incomprimibile di densità $\rho$. Isoliamo idealmente una colonna di liquido di altezza $h$, racchiusa fra due quote. Poiché questa colonna è in equilibrio, il suo peso deve essere bilanciato dalla differenza di pressione fra la quota inferiore e quella superiore, moltiplicata per l’area $A$. Il peso della colonna è $mg = \rho V g = \rho A h g$; la spinta netta dovuta alla differenza di pressione è $\Delta P \cdot A$. Uguagliando le due e dividendo per $A$ otteniamo che la pressione cresce di $\rho g h$ scendendo di una quota $h$.

Principio — Legge di Stevino

In un fluido di densità $\rho$ in equilibrio in un campo gravitazionale uniforme $g$, la pressione cresce linearmente con la profondità $h$: $\ev{P(h) = P_0 + \rho\,g\,h}$ dove $P_0$ è la pressione alla superficie superiore. In particolare, tutti i punti alla stessa quota hanno la stessa pressione, indipendentemente dalla forma del recipiente.

In un recipiente aperto la superficie libera è alla pressione atmosferica $P_0$; a profondità $h$ la pressione vale $P_0 + \rho g h$.

Stevino non dipende dalla forma

La pressione sul fondo dipende solo dalla profondità, non dalla quantità di liquido. Una piscina larga $25$ m e un sottile tubo di paglia, riempiti d’acqua alla stessa quota, esercitano la stessa pressione sul fondo. È controintuitivo ma vero: il fondo regge il peso della colonna verticale sopra di sé, non di tutto il liquido presente.

Questo comportamento — la pressione che dipende solo dalla profondità e mai dalla forma del recipiente — è una delle proprietà più caratteristiche dei fluidi in equilibrio (Lauga 2022; Walker 2013).

Pressione sul fondo di una piscina

In una piscina profonda $2{,}5$ m, qual è la pressione totale sul fondo? E quella manometrica, cioè la sola componente dovuta al liquido?

La pressione manometrica è $P_\text{man} = \rho g h = 1000\cdot 9{,}81\cdot 2{,}5 \approx 2{,}45\cdot 10^4\;\text{Pa}$. La pressione totale è $P_\text{tot} = P_\text{atm} + P_\text{man} \approx 1{,}013\cdot 10^5 + 2{,}45\cdot 10^4 \approx 1{,}26\cdot 10^5\;\text{Pa}$.

Per ogni $10$ m di profondità aggiuntiva la pressione totale aumenta di circa un’atmosfera: è la regola che ogni sub conosce.

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Consider a vertical cylinder of cross-section $A$ filled with an incompressible liquid of density $\rho$. Let us ideally isolate a column of liquid of height $h$, bounded by two levels. Since this column is in equilibrium, its weight must be balanced by the pressure difference between the lower and upper level, multiplied by the area $A$. The weight of the column is $mg = \rho V g = \rho A h g$; the net push due to the pressure difference is $\Delta P \cdot A$. Equating the two and dividing by $A$, we find that pressure increases by $\rho g h$ on descending by a depth $h$.

Principle — Stevin's law

In a fluid of density $\rho$ at equilibrium in a uniform gravitational field $g$, the pressure increases linearly with depth $h$: $\ev{P(h) = P_0 + \rho\,g\,h}$ where $P_0$ is the pressure at the upper surface. In particular, all points at the same depth have the same pressure, regardless of the shape of the container.

In an open container the free surface is at atmospheric pressure $P_0$; at depth $h$ the pressure equals $P_0 + \rho g h$.

Stevin does not depend on the shape

The pressure at the bottom depends only on the depth, not on the amount of liquid. A $25$ m wide swimming pool and a thin drinking straw, filled with water to the same level, exert the same pressure at the bottom. It is counter-intuitive but true: the bottom bears the weight of the vertical column above it, not of all the liquid present.

This behaviour — pressure depending only on depth and never on the shape of the container — is one of the most characteristic properties of fluids at equilibrium (Lauga 2022; Walker 2013).

Pressure at the bottom of a swimming pool

In a swimming pool $2{,}5$ m deep, what is the total pressure at the bottom? And the gauge pressure, i.e. the component due to the liquid alone?

The gauge pressure is $P_\text{man} = \rho g h = 1000\cdot 9{,}81\cdot 2{,}5 \approx 2{,}45\cdot 10^4\;\text{Pa}$. The total pressure is $P_\text{tot} = P_\text{atm} + P_\text{man} \approx 1{,}013\cdot 10^5 + 2{,}45\cdot 10^4 \approx 1{,}26\cdot 10^5\;\text{Pa}$.

For every additional $10$ m of depth the total pressure increases by about one atmosphere: a rule every diver knows.

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La legge di Stevino dice che, in equilibrio, la pressione dipende solo dalla profondità. Ma cosa accade se cambiamo la pressione superficiale $P_0$, per esempio premendo con un pistone sulla superficie libera del liquido? La risposta, dovuta a Pascal, è che la variazione non resta confinata dove è stata applicata: si trasmette a tutto il fluido in modo istantaneo e uniforme.

Principio — Principio di Pascal

In un fluido incomprimibile in equilibrio, una variazione di pressione applicata in un punto si trasmette inalterata a tutti i punti del fluido e alle pareti del recipiente: $\ev{P(h) \to P(h) + \Delta P \quad \forall h}$

La pressa idraulica

È l’applicazione più celebre del principio di Pascal. Due cilindri comunicanti, di sezioni $A_1$ (piccola) e $A_2$ (grande), sono pieni d’olio e chiusi da due pistoni. Spingendo con una forza $F_1$ sul pistone piccolo, la pressione del fluido aumenta di $\Delta P = F_1 / A_1$; per il principio di Pascal questa stessa variazione agisce anche sul pistone grande, che ne risente su tutta la sua area $A_2$ e viene spinto con una forza

Legge — La pressa idraulica

$\ev{F_2 = \Delta P\cdot A_2 = F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}}$

Il fattore $A_2/A_1$ è un fattore di amplificazione: con un pistone grande $100$ volte più del piccolo, $1$ kgf in ingresso produce $100$ kgf in uscita. È il meccanismo dei sollevatori idraulici delle officine e dei freni delle automobili.

Pressa idraulica: la forza $F_1$ sul pistone piccolo genera una pressione che, trasmessa inalterata, spinge il pistone grande con una forza amplificata di un fattore $A_2/A_1$.

Non si viola la conservazione dell'energia

La pressa idraulica moltiplica la forza, ma non crea energia dal nulla. Per sollevare il pistone grande di un’altezza $h_2$, dobbiamo abbassare il piccolo di $h_1 = h_2\, A_2/A_1$, perché il volume di fluido spostato si conserva. I due lavori risultano allora uguali: $F_1 h_1 = F_2 h_2$. La forza si moltiplica del fattore $A_2/A_1$, ma lo spostamento si divide esattamente dello stesso fattore.

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Stevin’s law says that, at equilibrium, pressure depends only on depth. But what happens if we change the surface pressure $P_0$, for example by pressing with a piston on the free surface of the liquid? The answer, due to Pascal, is that the change does not remain confined to where it was applied: it is transmitted to the whole fluid instantly and uniformly.

Principle — Pascal's principle

In an incompressible fluid at equilibrium, a change in pressure applied at one point is transmitted unaltered to every point of the fluid and to the walls of the container: $\ev{P(h) \to P(h) + \Delta P \quad \forall h}$

The hydraulic press

This is the most famous application of Pascal’s principle. Two communicating cylinders, with cross-sections $A_1$ (small) and $A_2$ (large), are filled with oil and closed off by two pistons. Pushing with a force $F_1$ on the small piston increases the fluid pressure by $\Delta P = F_1 / A_1$; by Pascal’s principle this same change also acts on the large piston, which feels it over its whole area $A_2$ and is pushed with a force

Law — The hydraulic press

$\ev{F_2 = \Delta P\cdot A_2 = F_1\cdot\frac{A_2}{A_1}}$

The factor $A_2/A_1$ is an amplification factor: with a large piston $100$ times bigger than the small one, $1$ kgf in produces $100$ kgf out. This is the mechanism behind garage hydraulic lifts and car brakes.

Hydraulic press: the force $F_1$ on the small piston generates a pressure which, transmitted unaltered, pushes the large piston with a force amplified by a factor $A_2/A_1$.

Energy conservation is not violated

The hydraulic press multiplies the force, but does not create energy out of nothing. To raise the large piston by a height $h_2$, we must lower the small one by $h_1 = h_2\, A_2/A_1$, because the volume of fluid displaced is conserved. The two amounts of work are then equal: $F_1 h_1 = F_2 h_2$. The force is multiplied by the factor $A_2/A_1$, but the displacement is divided by exactly the same factor.

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Se colleghiamo con un tubo due recipienti di forma diversa che contengono lo stesso liquido, il liquido si dispone in modo che la superficie libera sia alla stessa quota in tutti i contenitori. La ragione discende direttamente dalla legge di Stevino: alla base del tubo di collegamento la pressione deve essere la stessa da entrambi i lati (altrimenti il liquido scorrerebbe), e siccome la pressione superficiale è ovunque atmosferica, anche l’altezza delle superfici libere deve coincidere.

Principio — Vasi comunicanti

Liquidi della stessa specie, in vasi connessi e aperti alla stessa atmosfera, si dispongono in equilibrio con una superficie libera orizzontale e alla stessa quota in tutti i contenitori, indipendentemente dalla loro forma.

Gli acquedotti

È il principio degli acquedotti antichi: bastava costruire serbatoi e tubazioni con la giusta pendenza, e l’acqua trovava da sola la propria quota, senza bisogno di pompe.

Due liquidi non miscibili

Se versiamo in un tubo a U due liquidi di densità diverse $\rho_1$ e $\rho_2$, non miscibili tra loro (come acqua e olio, oppure mercurio e acqua), le altezze delle due colonne sopra l’interfaccia comune si dispongono in modo che le pressioni alla quota dell’interfaccia siano uguali. Imponendo $\rho_1\, g\, h_1 = \rho_2\, g\, h_2$ e semplificando $g$ si ottiene il rapporto tra le altezze:

Legge — Rapporto delle colonne

$\ev{\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}}$

La colonna del liquido più denso è la più bassa: a parità di pressione all’interfaccia, basta meno altezza di un liquido pesante per bilanciare tanta altezza di un liquido leggero.

Mercurio e acqua in un tubo a U

Un tubo a U è parzialmente riempito di mercurio ($\rho_\text{Hg} = 13600\;\text{kg/m}^3$). In uno dei rami versiamo una colonna di $20$ cm d’acqua ($\rho_w = 1000\;\text{kg/m}^3$). Di quanto si alza il mercurio nell’altro ramo rispetto al pelo inferiore dell’acqua?

Detta $h_w = 20$ cm la colonna d’acqua e $h_\text{Hg}$ il dislivello di mercurio, alla quota dell’interfaccia acqua-mercurio deve valere $\rho_w g h_w = \rho_\text{Hg} g h_\text{Hg}$, da cui $h_\text{Hg} = (\rho_w/\rho_\text{Hg})\,h_w = (1000/13600)\cdot 20 \approx 1{,}47\;\text{cm}$.

La densità del mercurio è circa $13{,}6$ volte quella dell’acqua, e infatti il dislivello risulta circa $13{,}6$ volte più piccolo.

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If we connect two containers of different shape holding the same liquid with a tube, the liquid arranges itself so that the free surface is at the same height in every container. The reason follows directly from Stevin’s law: at the base of the connecting tube the pressure must be the same on both sides (otherwise the liquid would flow), and since the surface pressure is atmospheric everywhere, the height of the free surfaces must also coincide.

Principle — Communicating vessels

Liquids of the same kind, in connected vessels open to the same atmosphere, settle at equilibrium with a horizontal free surface at the same height in every container, regardless of their shape.

Aqueducts

This is the principle behind ancient aqueducts: it was enough to build reservoirs and pipes with the right gradient, and the water found its own level by itself, with no need for pumps.

Two immiscible liquids

If we pour two liquids of different densities $\rho_1$ and $\rho_2$, immiscible with each other (such as water and oil, or mercury and water), into a U-tube, the heights of the two columns above the common interface arrange themselves so that the pressures at the interface height are equal. Setting $\rho_1\, g\, h_1 = \rho_2\, g\, h_2$ and cancelling $g$ gives the ratio between the heights:

Law — Ratio of the columns

$\ev{\frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}}$

The column of the denser liquid is the shorter one: at equal pressure at the interface, less height of a heavy liquid is needed to balance a greater height of a light liquid.

Mercury and water in a U-tube

A U-tube is partially filled with mercury ($\rho_\text{Hg} = 13600\;\text{kg/m}^3$). In one arm we pour a column of $20$ cm of water ($\rho_w = 1000\;\text{kg/m}^3$). By how much does the mercury rise in the other arm relative to the bottom of the water?

Let $h_w = 20$ cm be the water column and $h_\text{Hg}$ the mercury level difference; at the height of the water-mercury interface it must hold that $\rho_w g h_w = \rho_\text{Hg} g h_\text{Hg}$, from which $h_\text{Hg} = (\rho_w/\rho_\text{Hg})\,h_w = (1000/13600)\cdot 20 \approx 1{,}47\;\text{cm}$.

The density of mercury is about $13{,}6$ times that of water, and indeed the level difference turns out to be about $13{,}6$ times smaller.

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La legge di Stevino non serve solo a prevedere la pressione a una data profondità: rovesciando il ragionamento, permette di misurare una pressione ignota leggendo un dislivello di liquido. Su questa idea si basano due strumenti classici, il manometro e il barometro.

Manometro a tubo aperto

Un tubo a U mezzo pieno di un liquido (acqua, olio o mercurio) viene collegato da un lato a un serbatoio di cui vogliamo misurare la pressione $P$, e dall’altro lasciato aperto all’atmosfera. Per la legge di Stevino, la pressione del serbatoio è legata al dislivello $\Delta h$ tra i due rami:

Legge — Manometro a tubo aperto

$\ev{P = P_\text{atm} + \rho\,g\,\Delta h}$

dove $\Delta h$ è la differenza di altezza fra i due rami. Se il liquido nel ramo collegato al serbatoio è più basso rispetto all’altro, significa che la pressione del serbatoio è superiore a quella atmosferica; se è più alto, è inferiore.

Barometro di Torricelli

Per misurare direttamente la pressione atmosferica si usa il barometro di Torricelli. Si riempie di mercurio un tubo lungo circa $1$ m, lo si capovolge in una bacinella dello stesso liquido e lo si lascia libero. Il mercurio scende, lasciando in alto un vuoto quasi assoluto, e si arresta quando la colonna alta $h$ ha, alla base, una pressione uguale a quella atmosferica:

$P_\text{atm} = \rho_\text{Hg}\,g\,h$

A pressione atmosferica standard ($1{,}013\cdot 10^5\;\text{Pa}$) si ricava $h = P_\text{atm}/(\rho_\text{Hg}\,g) = 1{,}013\cdot 10^5/(13600\cdot 9{,}81) \approx 0{,}760\;\text{m}$, cioè $760$ mm. Nasce da qui l’unità mmHg, detta anche Torr, ancora oggi in uso per la pressione sanguigna e nella tecnica del vuoto.

Barometro di Torricelli: la colonna di mercurio si ferma all’altezza $h$ per cui $\rho_\text{Hg}\,g\,h$ eguaglia la pressione atmosferica; a livello del mare $h \approx 760$ mm.

Pourquoi pas d'eau?

Perché Torricelli scelse il mercurio e non l’acqua? La formula è la stessa, ma cambia la densità $\rho$: con l’acqua si avrebbe $h = 1{,}013\cdot 10^5/(1000\cdot 9{,}81) \approx 10{,}33$ m. Un tubo alto oltre $10$ metri pieno d’acqua sarebbe impraticabile, oltre che fragile. Il mercurio, circa $13{,}6$ volte più denso, riduce l’altezza a un valore maneggevole sul tavolo di un laboratorio.

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Stevin’s law is not only useful for predicting the pressure at a given depth: turning the reasoning around, it allows us to measure an unknown pressure by reading a difference in liquid level. Two classic instruments are based on this idea, the manometer and the barometer.

Open-tube manometer

A U-tube half filled with a liquid (water, oil or mercury) is connected on one side to a reservoir whose pressure $P$ we want to measure, and left open to the atmosphere on the other. By Stevin’s law, the reservoir pressure is related to the level difference $\Delta h$ between the two arms:

Law — Open-tube manometer

$\ev{P = P_\text{atm} + \rho\,g\,\Delta h}$

where $\Delta h$ is the height difference between the two arms. If the liquid in the arm connected to the reservoir is lower than the other, it means the reservoir pressure is above atmospheric; if it is higher, it is below.

Torricelli’s barometer

To measure atmospheric pressure directly, Torricelli’s barometer is used. A tube about $1$ m long is filled with mercury, turned upside down into a basin of the same liquid, and released. The mercury falls, leaving a near-perfect vacuum at the top, and stops when the column of height $h$ has, at its base, a pressure equal to the atmospheric one:

$P_\text{atm} = \rho_\text{Hg}\,g\,h$

At standard atmospheric pressure ($1{,}013\cdot 10^5\;\text{Pa}$) we get $h = P_\text{atm}/(\rho_\text{Hg}\,g) = 1{,}013\cdot 10^5/(13600\cdot 9{,}81) \approx 0{,}760\;\text{m}$, that is $760$ mm. This is where the unit mmHg, also called Torr, comes from — still used today for blood pressure and in vacuum technology.

Torricelli’s barometer: the mercury column stops at the height $h$ for which $\rho_\text{Hg}\,g\,h$ equals the atmospheric pressure; at sea level $h \approx 760$ mm.

Pourquoi pas d'eau?

Why did Torricelli choose mercury and not water? The formula is the same, but the density $\rho$ changes: with water we would get $h = 1{,}013\cdot 10^5/(1000\cdot 9{,}81) \approx 10{,}33$ m. A tube over $10$ metres tall full of water would be impractical, as well as fragile. Mercury, about $13{,}6$ times denser, brings the height down to a manageable value on a laboratory bench.

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