Moto rettilineo uniformemente accelerato

Quando l’accelerazione è costante, il moto lungo una retta è governato da quattro equazioni che legano fra loro posizione, velocità, accelerazione e tempo. Questa sezione le presenta, ne mostra la struttura geometrica con il “tetraedro delle equazioni”, ricorda le radici storiche del metodo sperimentale con Galileo, e insegna ad applicarle a moti composti da più tratti.

• Le quattro equazioni fondamentali
• Il tetraedro delle equazioni
• Galileo e il metodo sperimentale
• Moto a più tratti

When acceleration is constant, motion along a straight line is governed by four equations linking position, velocity, acceleration and time. This section presents them, shows their geometric structure with the “tetrahedron of equations”, recalls the historical roots of the experimental method with Galileo, and teaches how to apply them to motion composed of multiple segments.

• The four fundamental equations
• The tetrahedron of equations
• Galileo and the experimental method
• Motion in multiple segments

Consideriamo un corpo che si muove in linea retta con accelerazione costante $a$. Tra due eventi A e B valgono quattro equazioni, ciascuna delle quali collega tre delle quattro grandezze cinematiche.

Equazioni del moto uniformemente accelerato

$s_B - s_A = v_A\,(t_B - t_A) + \frac{1}{2}\,a\,(t_B - t_A)^2$ $v_B - v_A = a\,(t_B - t_A)$ $\frac{v_A + v_B}{2} = \frac{s_B - s_A}{t_B - t_A}$ $v_B^2 - v_A^2 = 2\,a\,(s_B - s_A)$

Il modo di usarle è sempre lo stesso: si guarda quali dati sono noti e si sceglie l’equazione che contiene un’unica incognita. Ecco cosa lega ciascuna:

Cosa lega ciascuna equazione

• spostamento: lega $s$, $v_A$, $a$, $t$;
• velocità: lega $v$, $a$, $t$;
• velocità media: lega $s$, $v_A$, $v_B$, $t$;
• senza tempo: lega $v$, $a$, $s$ — senza $t$!

L’ultima equazione, $v_B^2 - v_A^2 = 2a(s_B - s_A)$, è particolarmente preziosa: è l’unica in cui il tempo non compare. Quando il tempo non è noto e non interessa, permette di collegare direttamente velocità, accelerazione e spostamento senza doverlo calcolare come passaggio intermedio.

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Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato Competenze: Impostazione simbolica

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Consider a body moving in a straight line with constant acceleration $a$. Between two events A and B, four equations hold, each of which links three of the four kinematic quantities.

Equations of uniformly accelerated motion

$s_B - s_A = v_A\,(t_B - t_A) + \frac{1}{2}\,a\,(t_B - t_A)^2$ $v_B - v_A = a\,(t_B - t_A)$ $\frac{v_A + v_B}{2} = \frac{s_B - s_A}{t_B - t_A}$ $v_B^2 - v_A^2 = 2\,a\,(s_B - s_A)$

The way to use them is always the same: look at which data are known and choose the equation that contains a single unknown. Here is what each one links:

What each equation links

• displacement: links $s$, $v_A$, $a$, $t$;
• velocity: links $v$, $a$, $t$;
• average velocity: links $s$, $v_A$, $v_B$, $t$;
• time-free: links $v$, $a$, $s$ — no $t$!

The last equation, $v_B^2 - v_A^2 = 2a(s_B - s_A)$, is particularly valuable: it is the only one in which time does not appear. When time is not known and is not of interest, it allows velocity, acceleration and displacement to be linked directly without having to calculate time as an intermediate step.

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Topics: Kinematics Concepts: Uniformly accelerated motion Skills: Symbolic setup

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C’è un modo elegante per ricordare che le quattro grandezze del moto ($s$, $v$, $t$, $a$) e le quattro equazioni che le legano formano un’unica struttura: il tetraedro delle equazioni. I quattro vertici sono le grandezze cinematiche; ognuna delle quattro facce porta una delle quattro equazioni del moto uniformemente accelerato, e ogni faccia coinvolge esattamente i tre vertici che tocca.

Il tetraedro delle equazioni del moto. A sinistra, vista dall’alto: il vertice $t$ è l’apice al centro, mentre $s$, $v$, $a$ formano la base; le tre facce laterali portano le tre equazioni che contengono il tempo. A destra, vista da sotto: si osserva la faccia di base $\{s,v,a\}$ e, al centro, l’unica equazione che non contiene $t$ (l‘“equazione senza tempo” $v_B^2 - v_A^2 = 2a\Delta s$), proprio sotto il punto dove $t$ sta nascosto dietro la faccia.

L’immagine cattura una simmetria profonda: tre equazioni “vedono” il tempo (le facce che toccano l’apice $t$), una sola ne fa a meno (la faccia di base, opposta a $t$). Non è un caso che sia proprio quella senza tempo a stare sul fondo, lontana dal vertice temporale.

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Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato

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There is an elegant way to remember that the four quantities of motion ($s$, $v$, $t$, $a$) and the four equations that link them form a single structure: the tetrahedron of equations. The four vertices are the kinematic quantities; each of the four faces carries one of the four equations of uniformly accelerated motion, and each face involves exactly the three vertices it touches.

The tetrahedron of the equations of motion. On the left, top view: vertex $t$ is the apex at the centre, while $s$, $v$, $a$ form the base; the three lateral faces carry the three equations that contain time. On the right, bottom view: the base face $\{s,v,a\}$ is seen, and at its centre, the only equation that does not contain $t$ (the “time-free equation” $v_B^2 - v_A^2 = 2a\Delta s$), right below the point where $t$ is hidden behind the face.

The image captures a deep symmetry: three equations “see” time (the faces that touch the apex $t$), only one does without it (the base face, opposite $t$). It is no coincidence that the time-free equation is precisely the one at the bottom, far from the time vertex.

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Topics: Kinematics Concepts: Uniformly accelerated motion

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Galileo Galilei (1564–1642) è comunemente considerato il fondatore del metodo sperimentale moderno. Prima di lui, la fisica era dominata dall’autorità di Aristotele, secondo cui i corpi cadevano con velocità proporzionale al loro peso. Galileo ebbe il coraggio di sottoporre questa affermazione al giudizio dell’esperimento, un atto rivoluzionario per l’epoca (Simonyi 2012, cap. 3).

Non potendo misurare direttamente la caduta libera, troppo rapida per i cronometri dell’epoca, ebbe l’idea geniale di “diluire” la gravità facendo rotolare sfere di bronzo lungo piani inclinati (con un’inclinazione di $1{,}7°$ rispetto all’orizzontale). Misurava i tempi con un orologio ad acqua: pesava l’acqua che sgocciolava da un contenitore durante ogni discesa. Con questo apparato dimostrò che lo spazio percorso cresce come il quadrato del tempo, $s \propto t^2$, e che gli spazi percorsi in intervalli di tempo successivi uguali seguono la sequenza dei numeri dispari — $1, 3, 5, 7, \ldots$ — una scoperta che lui stesso riteneva “mirabile”.

La leggenda della Torre di Pisa

La leggenda di Galileo che lascia cadere due palle di massa diversa dalla torre pendente per dimostrare che arrivano insieme è riportata dal suo primo biografo Vincenzio Viviani, ma gli storici moderni sono scettici: probabilmente è un aneddoto inventato per glorificare il maestro. Ma l’esperimento è plausibile e cattura l’essenza del metodo galileiano: mettere alla prova le idee con l’esperimento, non con l’autorità (Drake 2001, cap. 2; Buchwald e Fox 2014).

L’aspetto filosoficamente più rivoluzionario del lavoro di Galileo è l’idealizzazione: la nozione che la “vera legge” della caduta valga nel vuoto (senza attrito, senza resistenza dell’aria), e che la realtà vada approssimata a quella legge ideale. Jammer sottolinea come questa separazione tra “essenza matematica” e “imperfezione reale” sia alla base della fisica moderna (Jammer 1957, cap. 5).

Per le opere citate si veda Riferimenti bibliografici.

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Argomenti: Cinematica Concetti: Caduta libera

Esercizi collegati: Vero o falso sulla caduta libera · Stima di g con una biglia · Vero o falso su velocità e accelerazione

Galileo Galilei (1564–1642) is commonly regarded as the founder of the modern experimental method. Before him, physics was dominated by the authority of Aristotle, according to whom bodies fell with a velocity proportional to their weight. Galileo had the courage to subject this claim to the judgement of experiment, a revolutionary act for the time (Simonyi 2012, ch. 3).

Unable to measure free fall directly, as it was too fast for the timepieces of his day, he had the brilliant idea of “diluting” gravity by rolling bronze balls down inclined planes (with an inclination of $1{,}7°$ to the horizontal). He measured the times with a water clock: he weighed the water that dripped from a container during each descent. With this apparatus he showed that the distance covered grows as the square of time, $s \propto t^2$, and that the distances covered in successive equal time intervals follow the sequence of odd numbers — $1, 3, 5, 7, \ldots$ — a discovery he himself considered “marvellous”.

The legend of the Leaning Tower of Pisa

The legend of Galileo dropping two balls of different mass from the leaning tower to show that they arrive together is reported by his first biographer Vincenzio Viviani, but modern historians are sceptical: it is probably an anecdote invented to glorify the master. But the experiment is plausible and captures the essence of the Galilean method: putting ideas to the test with experiment, not with authority (Drake 2001, ch. 2; Buchwald and Fox 2014).

The most philosophically revolutionary aspect of Galileo’s work is idealisation: the notion that the “true law” of falling holds in a vacuum (without friction, without air resistance), and that reality is to be approximated to that ideal law. Jammer points out how this separation between “mathematical essence” and “real-world imperfection” underlies modern physics (Jammer 1957, ch. 5).

For the works cited, see Riferimenti bibliografici.

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Topics: Kinematics Concepts: Free fall

Related exercises: True or false on free fall · Estimating g with a marble · True or false on velocity and acceleration

Nella realtà il moto di un corpo è spesso composto da più fasi: accelerazione, velocità costante, frenata. L’idea è di applicare le equazioni del moto tratto per tratto, e la tabella degli eventi diventa lo strumento fondamentale di lavoro.

Strategia per il moto a più tratti

1. Individua gli eventi (cambi di regime: partenza, fine accelerazione, inizio frenata, arresto) e numera i tratti fra di essi.
2. Costruisci la tabella degli eventi con le quattro grandezze; l’accelerazione di ogni tratto va nella riga intermedia.
3. In ogni tratto l’accelerazione è costante: applica le quattro equazioni scegliendo, di volta in volta, quella con un’unica incognita.
4. Il valore finale di un tratto (posizione, velocità, tempo) è il valore iniziale del tratto successivo: i tratti si “incollano” evento dopo evento.

La forza del metodo sta proprio in questo incollamento: un moto complicato diventa una catena di moti uniformemente accelerati semplici, ciascuno risolubile con le equazioni di base. Due esempi svolti mostrano il metodo all’opera: Il viaggio di Carlo (tre tratti: accelerazione, velocità costante, frenata) e Il gatto a due fasi (dove la tabella rivela un dato controintuitivo sul segno della velocità).

Prova tu — simulazione interattiva

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Argomenti: Cinematica Concetti: Moto uniformemente accelerato Competenze: Scelta degli assi Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

Esercizi collegati: Il viaggio di Carlo · Distanza di arresto (reazione e frenata) · Dimostrazione dell’equazione senza tempo

In reality the motion of a body is often composed of several phases: acceleration, constant velocity, braking. The idea is to apply the equations of motion segment by segment, and the event table becomes the fundamental working tool.

Strategy for motion in multiple segments

1. Identify the events (changes of regime: start, end of acceleration, start of braking, stop) and number the segments between them.
2. Build the event table with the four quantities; the acceleration of each segment goes in the intermediate row.
3. In each segment the acceleration is constant: apply the four equations, choosing each time the one with a single unknown.
4. The final value of one segment (position, velocity, time) is the initial value of the next segment: the segments “glue together” event after event.

The strength of the method lies precisely in this gluing together: a complicated motion becomes a chain of simple uniformly accelerated motions, each solvable with the basic equations. Two worked examples show the method in action: Carlo’s journey (three segments: acceleration, constant velocity, braking) and The two-phase cat (where the table reveals a counterintuitive fact about the sign of the velocity).

Try it — interactive simulation

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Topics: Kinematics Concepts: Uniformly accelerated motion Skills: Choice of axes Methods: Resolution into Cartesian components

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