Vettori e moto in due dimensioni

Le grandezze direzionali del moto — posizione, velocità, accelerazione — si descrivono con vettori. Questa sezione introduce la notazione per componenti e le operazioni fondamentali, poi estende al piano la velocità media, la legge oraria e le equazioni del moto accelerato, fino al moto parabolico.

• Notazione vettoriale per componenti
• Velocità media in due dimensioni
• Legge oraria in due dimensioni
• Moto accelerato e moto parabolico

The directional quantities of motion — position, velocity, acceleration — are described using vectors. This section introduces component notation and the fundamental operations, then extends average velocity, the equation of motion and the equations of accelerated motion to the plane, up to projectile motion.

• Notazione vettoriale per componenti
• Velocità media in due dimensioni
• Legge oraria in due dimensioni
• Moto accelerato e moto parabolico

In fisica descriviamo le grandezze direzionali (posizione, velocità, accelerazione, forza) tramite vettori. Un vettore nel piano si scrive come colonna di due componenti:

$\vec{S} = \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \end{pmatrix}$

Le operazioni fondamentali si eseguono componente per componente, il che riduce ogni problema vettoriale a due problemi scalari indipendenti — uno lungo $x$, uno lungo $y$.

Operazioni con i vettori

• Somma: $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}$
• Modulo: $\norm{\vec{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
• Direzione: $\theta = \arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right)$

Esempio — Lo spostamento del coniglio

Un coniglio parte dall’origine, si sposta di $4\;\text{m}$ verso Nord, poi ruota di $30°$ in senso orario e avanza di $2\;\text{m}$. Quanto dista dall’origine?

I due spostamenti in componenti (asse $x$ = Est, asse $y$ = Nord) sono: $\vec{S}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad \vec{S}_2 = \begin{pmatrix} 2\sin 30° \\ 2\cos 30° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}73 \end{pmatrix}$

Lo spostamento totale è la somma componente per componente, e il suo modulo si trova col teorema di Pitagora: $\vec{S}_{\text{tot}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5{,}73 \end{pmatrix}, \qquad \norm{\vec{S}_{\text{tot}}} = \sqrt{1^2 + 5{,}73^2} = 5{,}82\;\text{m}$

La direzione rispetto all’asse $x$: $\beta = \arctan(5{,}73/1) = 80{,}1°$.

Somma vettoriale degli spostamenti: $\vec{S}_1$ verso Nord, $\vec{S}_2$ inclinato, e la risultante $\vec{S}_{\text{tot}}$ (tratteggiata).

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Esercizi collegati: Il cane nel parco · Esercizio svolto — Itinerario Imola-Lugo · Problema — Vero o falso sui vettori

In physics we describe directional quantities (position, velocity, acceleration, force) using vectors. A vector in the plane is written as a column of two components:

$\vec{S} = \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \end{pmatrix}$

The fundamental operations are carried out component by component, which reduces every vector problem to two independent scalar problems — one along $x$, one along $y$.

Operations with vectors

• Sum: $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}$
• Magnitude: $\norm{\vec{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
• Direction: $\theta = \arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right)$

Example — The rabbit's displacement

A rabbit starts from the origin, moves $4\;\text{m}$ North, then turns $30°$ clockwise and advances $2\;\text{m}$. How far is it from the origin?

The two displacements in components (axis $x$ = East, axis $y$ = North) are: $\vec{S}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad \vec{S}_2 = \begin{pmatrix} 2\sin 30° \\ 2\cos 30° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}73 \end{pmatrix}$

The total displacement is the sum component by component, and its magnitude is found via Pythagoras’ theorem: $\vec{S}_{\text{tot}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5{,}73 \end{pmatrix}, \qquad \norm{\vec{S}_{\text{tot}}} = \sqrt{1^2 + 5{,}73^2} = 5{,}82\;\text{m}$

The direction relative to the $x$ axis: $\beta = \arctan(5{,}73/1) = 80{,}1°$.

Vector sum of the displacements: $\vec{S}_1$ towards North, $\vec{S}_2$ at an angle, and the resultant $\vec{S}_{\text{tot}}$ (dashed).

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Nel piano la velocità media tra due eventi non è un numero ma un vettore: ha una direzione, quella che va dal punto di partenza a quello di arrivo, e un modulo.

Principio — Velocità media vettoriale

$\vec{v}_{\text{media}} = \frac{\vec{S}_B - \vec{S}_A}{t_B - t_A}$

La definizione è la naturale generalizzazione del caso unidimensionale: al posto della differenza di posizione $s_B - s_A$ compare la differenza dei vettori posizione $\vec{S}_B - \vec{S}_A$ (lo spostamento), divisa per l’intervallo di tempo. Poiché la sottrazione tra vettori si esegue componente per componente, anche la velocità media si calcola separatamente lungo $x$ e lungo $y$.

Un esempio svolto di applicazione diretta è Il cane nel parco, dove le due componenti della velocità media si ricavano indipendentemente.

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In the plane the average velocity between two events is not a number but a vector: it has a direction, the one running from the starting point to the arrival point, and a magnitude.

Principle — Average velocity vector

$\vec{v}_{\text{media}} = \frac{\vec{S}_B - \vec{S}_A}{t_B - t_A}$

The definition is the natural generalisation of the one-dimensional case: in place of the position difference $s_B - s_A$ we have the difference of the position vectors $\vec{S}_B - \vec{S}_A$ (the displacement), divided by the time interval. Since subtraction between vectors is carried out component by component, the average velocity is also calculated separately along $x$ and along $y$.

A worked example of direct application is Il cane nel parco, where the two components of the average velocity are obtained independently.

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Per un moto a velocità costante, la legge oraria vettoriale esprime la posizione a ogni istante come posizione iniziale più spostamento accumulato:

$\vec{S}(t) = \vec{S}_A + \vec{v}\,(t - t_A)$

Proiettando sui due assi, questa singola equazione vettoriale si scompone in due equazioni parametriche scalari, una per ciascuna coordinata:

$\begin{cases} S_x(t) = S_{A,x} + v_x\,(t - t_A) \\ S_y(t) = S_{A,y} + v_y\,(t - t_A) \end{cases}$

Il parametro comune è il tempo $t$. Eliminandolo tra le due equazioni si ottiene l’equazione della traiettoria nel piano $(S_x, S_y)$, cioè il legame diretto tra le coordinate, indipendente dal tempo. Per un moto rettilineo uniforme la traiettoria è una retta: il corpo percorre punti allineati, a velocità costante in modulo e direzione.

Prova tu — simulazione interattiva

La pallina insegue una sequenza di bersagli: trascina i riquadri per cambiarne la posizione. La freccia verde è la velocità, sempre tangente alla traiettoria; la freccia blu è l’accelerazione. I grafici a lato scompongono l’accelerazione nella componente tangenziale (che cambia il modulo della velocità) e normale (che ne cambia la direzione), e mostrano la curvatura del percorso.

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For motion at constant velocity, the vector equation of motion expresses the position at every instant as the initial position plus accumulated displacement:

$\vec{S}(t) = \vec{S}_A + \vec{v}\,(t - t_A)$

Projecting onto the two axes, this single vector equation splits into two scalar parametric equations, one for each coordinate:

$\begin{cases} S_x(t) = S_{A,x} + v_x\,(t - t_A) \\ S_y(t) = S_{A,y} + v_y\,(t - t_A) \end{cases}$

The common parameter is time $t$. Eliminating it between the two equations gives the trajectory equation in the plane $(S_x, S_y)$, i.e. the direct relation between the coordinates, independent of time. For uniform rectilinear motion the trajectory is a straight line: the body traces out aligned points, at constant velocity in both magnitude and direction.

Try it — interactive simulation

The ball chases a sequence of targets: drag the boxes to move them. The green arrow is the velocity, always tangent to the path; the blue arrow is the acceleration. The side graphs split the acceleration into its tangential component (which changes the speed) and its normal component (which changes the direction), and show the curvature of the path.

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Le equazioni del moto uniformemente accelerato si estendono naturalmente al caso bidimensionale sostituendo gli scalari con i vettori:

Equazioni del moto accelerato in 2D

$\vec{S}_B - \vec{S}_A = \vec{v}_A\,(t_B - t_A) + \frac{1}{2}\,\vec{a}\,(t_B - t_A)^2$ $\vec{v}_B - \vec{v}_A = \vec{a}\,(t_B - t_A)$

In componenti, la legge oraria diventa una coppia di equazioni indipendenti:

$\begin{cases} S_x(t) = S_{A,x} + v_{A,x}\,(t - t_A) + \frac{1}{2}\,a_x\,(t-t_A)^2 \\ S_y(t) = S_{A,y} + v_{A,y}\,(t - t_A) + \frac{1}{2}\,a_y\,(t-t_A)^2 \end{cases}$

La traiettoria di un moto 2D con accelerazione costante è una parabola. Il caso più importante è il moto parabolico (lancio obliquo), in cui l’accelerazione è tutta verticale, diretta verso il basso:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}$

Qui sta la chiave del moto parabolico: lungo $x$ non c’è accelerazione, quindi il moto orizzontale è uniforme; lungo $y$ agisce solo la gravità, quindi il moto verticale è una caduta libera. Le due componenti sono indipendenti e si combinano nella traiettoria curva.

Velocità e accelerazione, ruoli distinti

Il vettore velocità $\vec{v}_A$ è sempre tangente alla traiettoria nel punto A, mentre il vettore accelerazione $\vec{a}$ “curva” la traiettoria piegandola verso di sé. Nel moto parabolico $\vec{g}$ punta sempre verso il basso, anche mentre il corpo sale.

Moto parabolico: la velocità $\vec{v}$ è tangente alla traiettoria, la gravità $\vec{g}$ punta sempre verso il basso.

Prova tu — simulazione interattiva

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The equations of uniformly accelerated motion extend naturally to the two-dimensional case by replacing scalars with vectors:

Equations of accelerated motion in 2D

$\vec{S}_B - \vec{S}_A = \vec{v}_A\,(t_B - t_A) + \frac{1}{2}\,\vec{a}\,(t_B - t_A)^2$ $\vec{v}_B - \vec{v}_A = \vec{a}\,(t_B - t_A)$

In components, the equation of motion becomes a pair of independent equations:

$\begin{cases} S_x(t) = S_{A,x} + v_{A,x}\,(t - t_A) + \frac{1}{2}\,a_x\,(t-t_A)^2 \\ S_y(t) = S_{A,y} + v_{A,y}\,(t - t_A) + \frac{1}{2}\,a_y\,(t-t_A)^2 \end{cases}$

The trajectory of a 2D motion with constant acceleration is a parabola. The most important case is projectile motion (oblique launch), in which the acceleration is entirely vertical, directed downwards:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ -g \end{pmatrix}$

Here lies the key to projectile motion: along $x$ there is no acceleration, so the horizontal motion is uniform; along $y$ only gravity acts, so the vertical motion is free fall. The two components are independent and combine into the curved trajectory.

Velocity and acceleration, distinct roles

The velocity vector $\vec{v}_A$ is always tangent to the trajectory at point A, while the acceleration vector $\vec{a}$ “curves” the trajectory, bending it towards itself. In projectile motion $\vec{g}$ always points downwards, even while the body is rising.

Projectile motion: the velocity $\vec{v}$ is tangent to the trajectory, gravity $\vec{g}$ always points downwards.

Try it — interactive simulation

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