Forza centripeta

Nel moto circolare l’accelerazione punta verso il centro: per la seconda legge deve esistere una forza netta centripeta $F_c = mv^2/r = m\omega^2 r$. Non è una forza nuova, ma la risultante delle forze già presenti — tensione, gravità, attrito, reazione vincolare, forza elastica. Da qui: auto in curva, pendolo conico, curve sopraelevate, molla rotante.

• La forza centripeta
• Auto in curva piana
• Il pendolo conico
• Curve sopraelevate
• Molla in rotazione

Prova tu — simulazione interattiva

In circular motion the acceleration points towards the centre: by the second law there must exist a net centripetal force $F_c = mv^2/r = m\omega^2 r$. It is not a new force, but the resultant of the forces already present — tension, gravity, friction, normal reaction, elastic force. From here: a car on a bend, the conical pendulum, banked curves, the rotating spring.

• Centripetal force
• A car on a flat bend
• The conical pendulum
• Banked curves
• Rotating spring

Try it — interactive simulation

Nel moto circolare uniforme l’accelerazione centripeta $\vec{a}_c$ punta verso il centro della traiettoria. Per la seconda legge di Newton, se c’è accelerazione ci deve essere una forza: deve quindi esistere una forza netta diretta verso il centro.

Principio — Forza centripeta

La risultante delle forze su un corpo in moto circolare ha una componente verso il centro (centripeta) pari a: $\ev{F_c = m\,\frac{v^2}{r} = m\,\omega^2\,r}$

Il punto concettuale più importante, e più spesso frainteso, è questo: la forza centripeta non è una forza nuova. È la risultante delle forze già presenti nel problema — la tensione di un filo, la gravità, l’attrito, la reazione vincolare, la forza elastica di una molla. “Centripeta” è un ruolo, non un tipo di forza: descrive la direzione verso cui deve puntare la risultante, non una nuova interazione fisica. In ogni problema di moto circolare la domanda giusta è: quale forza reale sta fornendo la spinta verso il centro?

La forza centrifuga non esiste (nei sistemi inerziali)

La “forza centrifuga” non esiste in un sistema di riferimento inerziale. La sensazione di essere “spinti verso l’esterno” in curva è un effetto dell’inerzia: il corpo tende a proseguire in linea retta (prima legge di Newton), e siamo noi — o la portiera dell’auto — a spingerlo verso il centro per costringerlo a curvare. Ne è un’illustrazione diretta l’esperimento del filo tagliato: il sasso vola via tangente, non radialmente.

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In uniform circular motion the centripetal acceleration $\vec{a}_c$ points towards the centre of the trajectory. By Newton’s second law, if there is acceleration there must be a force: there must therefore exist a net force directed towards the centre.

Principle — Centripetal force

The resultant of the forces on a body in circular motion has a component towards the centre (centripetal) equal to: $\ev{F_c = m\,\frac{v^2}{r} = m\,\omega^2\,r}$

The most important point, and the most often misunderstood, is this: centripetal force is not a new force. It is the resultant of forces already present in the problem — the tension of a string, gravity, friction, the constraint reaction, the elastic force of a spring. “Centripetal” is a role, not a type of force: it describes the direction the resultant must point in, not a new physical interaction. In every circular-motion problem the right question is: which real force is providing the push towards the centre?

Centrifugal force does not exist (in inertial frames)

“Centrifugal force” does not exist in an inertial reference frame. The sensation of being “pushed outwards” on a bend is an effect of inertia: the body tends to carry on in a straight line (Newton’s first law), and it is us — or the car door — pushing it towards the centre to force it to turn. A direct illustration of this is the cut string experiment: the stone flies off tangentially, not radially.

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Un’auto che percorre una curva piana ha bisogno di una forza centripeta orizzontale, diretta verso il centro della curva. Su una strada piana (non sopraelevata) l’unica forza orizzontale disponibile è l’attrito tra pneumatici e asfalto: è l’attrito, e nient’altro, a “tirare” l’auto verso il centro e a impedirle di proseguire dritta.

Il ragionamento è un confronto tra ciò che serve e ciò che è disponibile. La forza centripeta necessaria per curvare a velocità $v$ su raggio $r$ è

$F_c = m\,\frac{v^2}{r}$

L’attrito massimo che l’asfalto può fornire è $F_{a,\max} = \mu\,R = \mu\,mg$ (su strada piana la reazione vincolare regge tutto il peso). L’auto tiene la strada finché $F_c \leq F_{a,\max}$, cioè finché

$m\,\frac{v^2}{r} \leq \mu\,mg$

La massa si semplifica, e si ottiene la velocità massima di percorrenza:

Formula chiave — Velocità massima in curva piana

$\ev{v_{\max} = \sqrt{\mu\,g\,r}}$

Notevole che $v_{\max}$ non dipenda dalla massa: un camion e una utilitaria escono di strada alla stessa velocità (a parità di $\mu$ e $r$), perché sia la forza richiesta sia quella disponibile crescono in proporzione alla massa. Oltre $v_{\max}$ l’attrito non basta più e l’auto slitta verso l’esterno. Le applicazioni numeriche sono in Auto su curva piana e Curva piana con attrito forte.

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Argomenti: Dinamica · Attrito Concetti: Forza centripeta · Attrito statico Competenze: Applicazione delle leggi di Newton

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A car travelling round a flat bend needs a horizontal centripetal force, directed towards the centre of the bend. On a flat (unbanked) road the only horizontal force available is the friction between tyres and tarmac: it is friction, and nothing else, that “pulls” the car towards the centre and stops it carrying straight on.

The reasoning is a comparison between what is needed and what is available. The centripetal force required to corner at speed $v$ on radius $r$ is

$F_c = m\,\frac{v^2}{r}$

The maximum friction the tarmac can provide is $F_{a,\max} = \mu\,R = \mu\,mg$ (on a flat road the constraint reaction carries the whole weight). The car holds the road as long as $F_c \leq F_{a,\max}$, that is, as long as

$m\,\frac{v^2}{r} \leq \mu\,mg$

The mass cancels, giving the maximum cornering speed:

Key formula — Maximum speed on a flat bend

$\ev{v_{\max} = \sqrt{\mu\,g\,r}}$

Notably, $v_{\max}$ does not depend on the mass: a lorry and a small car run off the road at the same speed (for equal $\mu$ and $r$), because both the required and the available force grow in proportion to the mass. Beyond $v_{\max}$ friction is no longer enough and the car skids outwards. The numerical applications are in Car on a flat bend and Flat bend with strong friction.

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Topics: Dinamica · Attrito Concepts: Forza centripeta · Attrito statico Skills: Applicazione delle leggi di Newton

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Un pendolo conico è un oggetto appeso a un filo che ruota descrivendo un cerchio orizzontale: il filo spazza la superficie di un cono, da cui il nome. È l’esempio-tipo in cui la forza centripeta è fornita da una componente della tensione.

Il filo, lungo $\ell$ e inclinato di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale, sostiene la massa mentre questa gira. Il raggio del cerchio descritto è

$r = \ell\sin\theta$

La tensione $\vec{t}$ è diretta lungo il filo, e si scompone in una componente orizzontale $t\sin\theta$ (verso il centro, che fa da forza centripeta) e una verticale $t\cos\theta$ (verso l’alto, che sostiene il peso). La seconda legge di Newton dà allora due equazioni:

$\begin{cases} t\sin\theta = m\omega^2 r = m\omega^2\ell\sin\theta \\ t\cos\theta = mg \end{cases}$

Dalla prima equazione si semplifica $\sin\theta$ e resta $t = m\omega^2\ell$. Sostituendo nella seconda:

$m\omega^2\ell\cos\theta = mg \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{g}{\omega^2\ell}$

Formula chiave — Pendolo conico

$\cos\theta = \frac{g}{\omega^2\ell}$

La relazione è ricca di conseguenze fisiche. Più veloce è la rotazione (grande $\omega$), più piccolo è $\cos\theta$, cioè più il filo si “apre” avvicinandosi all’orizzontale. Ma $\cos\theta$ non può mai annullarsi: l’angolo $\theta = 90^\circ$ (filo orizzontale) richiederebbe $\omega \to \infty$ ed è quindi irraggiungibile — vedi il caso limite in Pendolo conico critico. Le applicazioni numeriche sono in Pendolo conico e Velocità di un pendolo conico.

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Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Tensione Competenze: Applicazione delle leggi di Newton · Impostazione simbolica Oggetti: Pendolo conico

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A conical pendulum is an object hanging from a string that rotates, describing a horizontal circle: the string sweeps out the surface of a cone, hence the name. It is the archetypal example in which the centripetal force is provided by a component of the tension.

The string, of length $\ell$ and inclined at an angle $\theta$ to the vertical, supports the mass as it turns. The radius of the circle described is

$r = \ell\sin\theta$

The tension $\vec{t}$ is directed along the string, and it resolves into a horizontal component $t\sin\theta$ (towards the centre, which acts as the centripetal force) and a vertical component $t\cos\theta$ (upwards, which supports the weight). Newton’s second law then gives two equations:

$\begin{cases} t\sin\theta = m\omega^2 r = m\omega^2\ell\sin\theta \\ t\cos\theta = mg \end{cases}$

From the first equation, $\sin\theta$ cancels, leaving $t = m\omega^2\ell$. Substituting into the second:

$m\omega^2\ell\cos\theta = mg \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{g}{\omega^2\ell}$

Key formula — Conical pendulum

$\cos\theta = \frac{g}{\omega^2\ell}$

The relation is rich in physical consequences. The faster the rotation (larger $\omega$), the smaller $\cos\theta$, i.e. the more the string “opens out”, approaching the horizontal. But $\cos\theta$ can never vanish: the angle $\theta = 90^\circ$ (horizontal string) would require $\omega \to \infty$ and is therefore unreachable — see the limiting case in Critical conical pendulum. The numerical applications are in Conical pendulum and Speed of a conical pendulum.

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Topics: Dynamics Concepts: Centripetal force · Tension Skills: Applying Newton’s laws · Symbolic set-up Objects: Conical pendulum

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In una curva sopraelevata (o parabolica) la strada è inclinata verso l’interno della curva. L’idea è geniale nella sua semplicità: se la strada è inclinata, la reazione vincolare $\vec{N}$ — sempre perpendicolare al fondo stradale — non è più verticale, e la sua componente orizzontale può contribuire alla forza centripeta, riducendo (o azzerando) la necessità di attrito.

Consideriamo il caso ideale, senza attrito. Sulla strada agiscono solo il peso $m\vec{g}$ (verticale) e la normale $\vec{N}$ (perpendicolare al fondo, inclinata di $\alpha$). Scomponendo $\vec{N}$:

$\begin{cases} N\cos\alpha = mg & \text{(verticale: sostiene il peso)} \\ N\sin\alpha = \dfrac{mv^2}{r} & \text{(orizzontale: forza centripeta)} \end{cases}$

Dividendo membro a membro le due equazioni, $N$ si elimina e resta una relazione pulita tra angolo, velocità e raggio:

Formula chiave — Curva sopraelevata ideale

$\tan\alpha = \frac{v^2}{gr} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{gr\tan\alpha}$

A questa velocità — detta velocità di progetto — la sola reazione vincolare basta a far curvare l’auto: niente attrito, niente sforzo laterale sui pneumatici. È per questo che nelle piste dei velodromi e nelle curve autostradali la sopraelevazione è calcolata per una specifica velocità.

Nel mondo reale

A velocità diverse da quella di progetto serve un po’ di attrito per compensare: troppo lenti si tende a scivolare verso l’interno, troppo veloci verso l’esterno. La sopraelevazione non elimina l’attrito, ma sposta il punto di equilibrio.

L’applicazione numerica è svolta in Curva sopraelevata senza attrito e in Angolo di sopraelevazione della curva.

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Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Forza normale Competenze: Scomposizione vettoriale Oggetti: Curva sopraelevata

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In a banked curve (or parabolic curve) the road is inclined towards the inside of the bend. The idea is brilliant in its simplicity: if the road is inclined, the normal reaction $\vec{N}$ — always perpendicular to the road surface — is no longer vertical, and its horizontal component can contribute to the centripetal force, reducing (or eliminating) the need for friction.

Consider the ideal case, without friction. Only the weight $m\vec{g}$ (vertical) and the normal reaction $\vec{N}$ (perpendicular to the surface, inclined at $\alpha$) act on the road. Resolving $\vec{N}$:

$\begin{cases} N\cos\alpha = mg & \text{(vertical: supports the weight)} \\ N\sin\alpha = \dfrac{mv^2}{r} & \text{(horizontal: centripetal force)} \end{cases}$

Dividing the two equations term by term, $N$ cancels out, leaving a clean relation between angle, speed and radius:

Key formula — Ideal banked curve

$\tan\alpha = \frac{v^2}{gr} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{gr\tan\alpha}$

At this speed — called the design speed — the normal reaction alone is enough to make the car turn: no friction, no lateral stress on the tyres. This is why, on velodrome tracks and motorway bends, the banking is calculated for a specific speed.

In the real world

At speeds different from the design speed, some friction is needed to compensate: too slow and there is a tendency to slide towards the inside, too fast and towards the outside. Banking does not eliminate friction, but shifts the equilibrium point.

The numerical application is worked out in Banked curve without friction and in Banking angle of the curve.

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Topics: Dynamics Concepts: Centripetal force · Normal force Skills: Vector resolution Objects: Banked curve

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Un caso elegante: un oggetto legato a una molla che ruota attorno a un perno su un piano orizzontale liscio. Qui è la forza elastica a fornire la forza centripeta, e la particolarità è che il raggio del moto coincide con la lunghezza della molla, che a sua volta dipende da quanto la molla si allunga — un piccolo gioco di reciproca dipendenza da risolvere.

Durante la rotazione la molla si allunga fino a una lunghezza $\ell$ (maggiore della lunghezza a riposo $\ell_0$). La forza elastica $K(\ell - \ell_0)$ è diretta verso il perno e fa da forza centripeta. Poiché il raggio del moto è proprio $\ell$:

$K(\ell - \ell_0) = m\omega^2\ell$

È un’equazione lineare nell’incognita $\ell$: raccogliendo,

$\ell = \frac{K\,\ell_0}{K - m\omega^2}$

Formula chiave — Molla rotante

$K(\ell - \ell_0) = m\omega^2\ell$

Quando la molla "cede"

Se $K$ è troppo piccola rispetto a $m\omega^2$ (cioè $K \leq m\omega^2$), il denominatore $K - m\omega^2$ si annulla o diventa negativo e l’equazione dà $\ell \to \infty$ o $\ell < 0$: la molla non riesce a sostenere la rotazione. Fisicamente, la molla si allungherebbe senza limite o si romperebbe, e l’oggetto volerebbe via. C’è una velocità di rotazione critica oltre la quale il sistema non ha soluzione stazionaria.

L’applicazione numerica è svolta in Pallina su molla rotante.

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Argomenti: Dinamica Concetti: Forza centripeta · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

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An elegant case: an object tied to a spring that rotates about a pivot on a smooth horizontal plane. Here it is the elastic force that provides the centripetal force, and the peculiarity is that the radius of the motion coincides with the length of the spring, which in turn depends on how much the spring stretches — a small game of mutual dependence to be solved.

During rotation the spring stretches to a length $\ell$ (greater than the rest length $\ell_0$). The elastic force $K(\ell - \ell_0)$ is directed towards the pivot and acts as the centripetal force. Since the radius of the motion is precisely $\ell$:

$K(\ell - \ell_0) = m\omega^2\ell$

This is a linear equation in the unknown $\ell$: collecting terms,

$\ell = \frac{K\,\ell_0}{K - m\omega^2}$

Key formula — Rotating spring

$K(\ell - \ell_0) = m\omega^2\ell$

When the spring "gives way"

If $K$ is too small compared with $m\omega^2$ (i.e. $K \leq m\omega^2$), the denominator $K - m\omega^2$ vanishes or becomes negative and the equation gives $\ell \to \infty$ or $\ell < 0$: the spring cannot sustain the rotation. Physically, the spring would stretch without limit or break, and the object would fly off. There is a critical rotation speed beyond which the system has no steady-state solution.

The numerical application is worked out in Ball on a rotating spring.

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Topics: Dynamics Concepts: Centripetal force · Elastic force and Hooke’s law Skills: Symbolic set-up Objects: Spring

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