Energia potenziale, equilibrio e punti di inversione

Quando un corpo si muove in una dimensione sotto forze conservative (molla, gravità), la sua energia potenziale $E_\text{pot}(x)$ è una funzione della posizione. Il grafico di questa funzione è potentissimo: il minimo è il punto di equilibrio, le intersezioni con $E_\text{tot}$ sono i punti di inversione, e per una parabola il moto è armonico con periodo calcolabile.

• La parabola dell’energia potenziale
• Periodo delle piccole oscillazioni

When a body moves in one dimension under conservative forces (spring, gravity), its potential energy $E_\text{pot}(x)$ is a function of position. The graph of this function is extremely powerful: the minimum is the point of equilibrium, the intersections with $E_\text{tot}$ are the turning points, and for a parabola the motion is harmonic with a calculable period.

• The potential-energy parabola
• Period of small oscillations

Quando un corpo si muove lungo una dimensione sotto l’effetto di forze conservative (molla, gravità), la sua energia potenziale totale $E_\text{pot}(x)$ è una funzione della posizione. Il grafico di questa funzione è potentissimo: da una sola curva si legge tutto il comportamento del moto senza risolvere alcuna equazione. Basta tracciare sopra di essa la retta orizzontale dell’energia totale $E_\text{tot}$, che resta costante finché le forze in gioco sono conservative, e confrontare le due.

L’idea è che, in ogni posizione $x$, l’energia cinetica è la differenza verticale tra la retta $E_\text{tot}$ e la curva $E_\text{pot}(x)$: $E_\text{cin}(x) = E_\text{tot} - E_\text{pot}(x)$. Poiché l’energia cinetica non può mai essere negativa, il corpo è confinato dove la curva sta al di sotto della retta. Questo trasforma il grafico in una mappa completa del moto.

Principio — Parabola dell'energia potenziale

• Il punto di equilibrio è il minimo della parabola: lì $E_\text{pot}$ è minima e la forza netta è zero.
• I punti di inversione sono dove $E_\text{pot}(x) = E_\text{tot}$: lì $E_\text{cin} = 0$ (il corpo si ferma e torna indietro).
• La regione accessibile è dove $E_\text{pot}(x) \leq E_\text{tot}$.

Il minimo della curva è un punto di equilibrio perché la forza conservativa è legata alla pendenza dell’energia potenziale: dove la curva è piatta, la forza si annulla. È anche il punto in cui l’energia cinetica raggiunge il valore massimo, poiché lì la distanza verticale dalla retta $E_\text{tot}$ è massima: il corpo passa per l’equilibrio con la velocità più alta. Ai due estremi, invece, la curva incontra la retta: tutta l’energia è potenziale, la cinetica è nulla, il corpo si ferma un istante e inverte il moto. Tra questi due punti di inversione il corpo oscilla avanti e indietro, prigioniero della buca di potenziale.

Grafico dell’energia potenziale: il corpo oscilla tra i punti di inversione $x_1$ e $x_2$ dove $E_\text{pot} = E_\text{tot}$. All’equilibrio l’energia cinetica è massima.

Approfondimento

Con attrito, l’energia totale diminuisce nel tempo: la linea $E_\text{tot}$ scende, i punti di inversione si avvicinano, e il corpo converge verso l’equilibrio con oscillazioni smorzate.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale elastica · Forze conservative · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla

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When a body moves along one dimension under the effect of conservative forces (spring, gravity), its total potential energy $E_\text{pot}(x)$ is a function of position. The graph of this function is extremely powerful: a single curve reveals the entire behaviour of the motion without solving any equation. Just draw over it the horizontal line of the total energy $E_\text{tot}$, which stays constant as long as the forces in play are conservative, and compare the two.

The idea is that, at every position $x$, the kinetic energy is the vertical difference between the $E_\text{tot}$ line and the $E_\text{pot}(x)$ curve: $E_\text{cin}(x) = E_\text{tot} - E_\text{pot}(x)$. Since kinetic energy can never be negative, the body is confined to where the curve lies below the line. This turns the graph into a complete map of the motion.

Principle — The potential-energy parabola

• The equilibrium point is the minimum of the parabola: there $E_\text{pot}$ is minimum and the net force is zero.
• The turning points are where $E_\text{pot}(x) = E_\text{tot}$: there $E_\text{cin} = 0$ (the body stops and turns back).
• The accessible region is where $E_\text{pot}(x) \leq E_\text{tot}$.

The minimum of the curve is a point of equilibrium because the conservative force is tied to the slope of the potential energy: where the curve is flat, the force vanishes. It’s also the point where kinetic energy reaches its maximum value, since there the vertical distance from the $E_\text{tot}$ line is greatest: the body passes through equilibrium at its highest speed. At the two extremes, instead, the curve meets the line: all the energy is potential, kinetic energy is zero, the body stops for an instant and reverses its motion. Between these two turning points the body oscillates back and forth, trapped in the potential well.

Potential-energy graph: the body oscillates between the turning points $x_1$ and $x_2$ where $E_\text{pot} = E_\text{tot}$. At equilibrium the kinetic energy is at its maximum.

Further detail

With friction, the total energy decreases over time: the $E_\text{tot}$ line drops, the turning points move closer together, and the body converges towards equilibrium with damped oscillations.

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Topics: Lavoro ed energia Concepts: Energia potenziale elastica · Forze conservative · Conservazione dell’energia meccanica Skills: Lettura dei grafici Objects: Molla

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Se la curva $E_\text{pot}(x)$ è una parabola, $E_\text{pot}(x) = a\,x^2 + b\,x + c$, il corpo oscilla tra i due punti di inversione con un moto armonico. Questo è un risultato di grande portata: una buca di potenziale a forma di parabola produce sempre lo stesso tipo di moto, quello armonico semplice, indipendentemente dal sistema fisico concreto che l’ha generata. Che si tratti di una molla, di un pendolo per piccoli angoli o di un qualsiasi corpo vicino a un minimo di energia potenziale, se la curva vicino al minimo è ben approssimata da una parabola il moto è armonico e il suo periodo dipende solo dalla “ripidità” della parabola e dalla massa.

Il periodo di oscillazione si può calcolare direttamente dal coefficiente della parabola, senza passare per la forza:

Principio — Periodo delle oscillazioni da $E_\text{pot}$

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2a\cos^2\alpha}}}$ dove $a$ è il coefficiente di $x^2$ nella parabola $E_\text{pot}(x)$, $m$ la massa del corpo, e $\alpha$ l’angolo tra la direzione del moto del corpo e la direzione lungo cui misuriamo la coordinata $x$.

Il coefficiente $a$ misura quanto rapidamente l’energia potenziale cresce allontanandosi dal minimo: una parabola stretta e ripida (grande $a$) corrisponde a una forza di richiamo intensa e quindi a oscillazioni rapide, cioè a un periodo breve; una parabola larga e schiacciata (piccolo $a$) dà oscillazioni lente. La massa gioca il ruolo opposto: più il corpo è pesante, più fatica a invertire il moto e più lungo è il periodo. La radice quadrata riflette il fatto che quadruplicare la massa, o dimezzare la ripidità, raddoppia il periodo.

Il fattore $\cos^2\alpha$ tiene conto del fatto che la coordinata $x$ con cui misuriamo l’energia potenziale può non coincidere con la direzione lungo cui il corpo si muove davvero.

Tip

Se $x$ è lungo il moto, $\alpha = 0$ e $\cos^2\alpha = 1$. Se $x$ è la proiezione orizzontale di un moto inclinato, $\alpha$ è l’inclinazione e il periodo aumenta.

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Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Moto armonico semplice · Periodo e frequenza · Energia potenziale elastica Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Oggetti: Molla

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If the curve $E_\text{pot}(x)$ is a parabola, $E_\text{pot}(x) = a\,x^2 + b\,x + c$, the body oscillates between the two turning points with simple harmonic motion. This is a far-reaching result: a parabola-shaped potential well always produces the same type of motion, simple harmonic motion, regardless of the specific physical system that generated it. Whether it’s a spring, a pendulum for small angles, or any body near a potential-energy minimum, if the curve near the minimum is well approximated by a parabola the motion is harmonic and its period depends only on the “steepness” of the parabola and on the mass.

The oscillation period can be calculated directly from the coefficient of the parabola, without going through the force:

Principle — Oscillation period from $E_\text{pot}$

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{2a\cos^2\alpha}}}$ where $a$ is the coefficient of $x^2$ in the parabola $E_\text{pot}(x)$, $m$ the mass of the body, and $\alpha$ the angle between the direction of the body’s motion and the direction along which we measure the coordinate $x$.

The coefficient $a$ measures how quickly the potential energy grows moving away from the minimum: a narrow, steep parabola (large $a$) corresponds to a strong restoring force and hence to fast oscillations, that is, a short period; a wide, flat parabola (small $a$) gives slow oscillations. Mass plays the opposite role: the heavier the body, the harder it is to reverse its motion, and the longer the period. The square root reflects the fact that quadrupling the mass, or halving the steepness, doubles the period.

The factor $\cos^2\alpha$ accounts for the fact that the coordinate $x$ used to measure the potential energy may not coincide with the direction along which the body actually moves.

Tip

If $x$ is along the motion, $\alpha = 0$ and $\cos^2\alpha = 1$. If $x$ is the horizontal projection of an inclined motion, $\alpha$ is the incline angle and the period increases.

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