Oscillazioni e moto armonico

Tutto ciò che oscilla intorno a una posizione di equilibrio, se la spinta non è troppo grande, si comporta come una molla: la forza di richiamo è proporzionale allo spostamento e ha verso opposto, $F = -Kx$. È l’archetipo del moto armonico semplice, che ritroviamo nella massa-molla, nel pendolo, nel diapason, nelle molecole di un cristallo e nei circuiti $LC$. Questo capitolo parte dall’equazione del moto e dalla sua soluzione sinusoidale, passa per l’energia e il pendolo, mostra che ogni piccola oscillazione è armonica, e chiude con smorzamento, risonanza e oscillatori accoppiati.

Sezioni

• La molla ideale e l’equazione del moto
• Energia nell’oscillatore armonico
• Il pendolo semplice
• Tutte le piccole oscillazioni sono armoniche
• Oscillazioni smorzate
• Oscillazioni forzate e risonanza
• Oscillatori accoppiati: i modi normali

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Anything that oscillates about a position of equilibrium, provided the push is not too large, behaves like a spring: the restoring force is proportional to the displacement and points in the opposite direction, $F = -Kx$. This is the archetype of simple harmonic motion, which we find again in the mass-spring system, the pendulum, the tuning fork, the molecules of a crystal and $LC$ circuits. This chapter starts from the equation of motion and its sinusoidal solution, moves on to energy and the pendulum, shows that every small oscillation is harmonic, and closes with damping, resonance and coupled oscillators.

Sections

• The ideal spring and the equation of motion
• Energy in the harmonic oscillator
• The simple pendulum
• All small oscillations are harmonic
• Damped oscillations
• Forced oscillations and resonance
• Coupled oscillators: normal modes

Exercises

• All the worked exercises in the chapter

L’energia totale dell’oscillatore (massa più molla, senza attrito) si conserva. Durante il moto si scambia continuamente fra due forme: cinetica, massima all’equilibrio dove la massa sfreccia, ed elastica, massima agli estremi dove la molla è più deformata e il corpo si ferma un istante.

Scriviamo le due energie usando $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ e $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, ricordando che $m\omega^2 = K$:

$\begin{aligned} E_k(t) &= \tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} m A^2\omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) = \tfrac{1}{2}K A^2\sin^2(\omega t + \varphi) \\ E_p(t) &= \tfrac{1}{2}K x^2 = \tfrac{1}{2}K A^2\cos^2(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

Sommandole e usando l’identità $\sin^2 + \cos^2 = 1$, il tempo sparisce:

$\ev{E_\text{tot} = E_k + E_p = \tfrac{1}{2}\,K\,A^2}$

L’energia totale è costante e dipende solo dall’ampiezza.

Principio — Energia totale dell'oscillatore armonico

L’energia totale di un oscillatore armonico è proporzionale al quadrato dell’ampiezza. Se raddoppiamo l’ampiezza, l’energia quadruplica; se vogliamo dimezzare l’energia, dobbiamo dividere l’ampiezza per $\sqrt{2}$.

Una firma universale

Il quadrato dell’ampiezza è la firma di tutti i fenomeni ondulatori: dall’energia di un’onda meccanica all’intensità del suono, fino all’energia trasportata dai fotoni. Ovunque ci sia un’oscillazione, l’energia va come $A^2$.

Esempio — Velocità massima da energia

Per la massa-molla con $K = 50$ N/m e $A = 8{,}1$ cm, l’energia totale è $E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 50\cdot (0{,}081)^2 \approx 0{,}164$ J. La velocità massima è $v_\text{max} = A\omega = 0{,}081\cdot 15{,}8 \approx 1{,}28$ m/s. Verifica: $\tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = 0{,}5\cdot 0{,}2\cdot (1{,}28)^2 \approx 0{,}164$ J. Il bilancio chiude: all’equilibrio tutta l’energia è cinetica.

Collegamenti

Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Energia potenziale elastica · Energia cinetica · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Molla

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Velocità massima da energia · Problema — Dall’ampiezza al k · Esercizio svolto — Molla verticale con bilancio energetico

The total energy of the oscillator (mass plus spring, without friction) is conserved. During the motion it is continually exchanged between two forms: kinetic, maximum at equilibrium where the mass whizzes past, and elastic, maximum at the extremes where the spring is most deformed and the body is momentarily at rest.

Let us write the two energies using $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ and $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, recalling that $m\omega^2 = K$:

$\begin{aligned} E_k(t) &= \tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2} m A^2\omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi) = \tfrac{1}{2}K A^2\sin^2(\omega t + \varphi) \\ E_p(t) &= \tfrac{1}{2}K x^2 = \tfrac{1}{2}K A^2\cos^2(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

Adding them together and using the identity $\sin^2 + \cos^2 = 1$, time disappears:

$\ev{E_\text{tot} = E_k + E_p = \tfrac{1}{2}\,K\,A^2}$

The total energy is constant and depends only on the amplitude.

Principle — Total energy of the harmonic oscillator

The total energy of a harmonic oscillator is proportional to the square of the amplitude. If we double the amplitude, the energy quadruples; if we want to halve the energy, we must divide the amplitude by $\sqrt{2}$.

A universal signature

The square of the amplitude is the signature of all wave phenomena: from the energy of a mechanical wave to the intensity of sound, right up to the energy carried by photons. Wherever there is an oscillation, the energy scales as $A^2$.

Example — Maximum speed from energy

For a mass-spring system with $K = 50$ N/m and $A = 8{,}1$ cm, the total energy is $E = \tfrac{1}{2}K A^2 = 0{,}5\cdot 50\cdot (0{,}081)^2 \approx 0{,}164$ J. The maximum speed is $v_\text{max} = A\omega = 0{,}081\cdot 15{,}8 \approx 1{,}28$ m/s. Check: $\tfrac{1}{2}m v_\text{max}^2 = 0{,}5\cdot 0{,}2\cdot (1{,}28)^2 \approx 0{,}164$ J. The balance closes: at equilibrium all the energy is kinetic.

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Argomenti: Oscillations and harmonic motion Concetti: Simple harmonic motion · Elastic potential energy · Kinetic energy · Conservation of mechanical energy Competenze: Conservation of energy Oggetti: Spring

Esercizi collegati: Worked exercise — Maximum speed from energy · Problem — From amplitude to k · Worked exercise — Vertical spring with energy balance

Il moto armonico non è un caso particolare: è generico. Ogni sistema in equilibrio stabile, se spostato di poco e lasciato libero, oscilla armonicamente. La ragione sta nella forma dell’energia potenziale vicino a un minimo.

Sviluppiamo l’energia potenziale $E_p(x)$ in serie di Taylor attorno al punto di equilibrio $x_0$:

$E_p(x) = E_p(x_0) + \underbrace{E_p'(x_0)}_{=\,0}(x-x_0) + \tfrac{1}{2}\,E_p''(x_0)\,(x-x_0)^2 + \cdots$

Il termine lineare è nullo perché nel punto di equilibrio la forza $F = -E_p'$ è zero (è la definizione di equilibrio). Trascurando i termini di ordine superiore — leciti per spostamenti piccoli — l’energia potenziale ha la forma di una parabola:

$E_p(x) \approx \tfrac{1}{2}\,k\,(x-x_0)^2, \qquad k = E_p''(x_0)$

e la forza che ne deriva è $F = -\dfrac{\dd E_p}{\dd x} = -k(x-x_0)$: identica alla legge di Hooke. È lo stesso identico oscillatore armonico della molla.

Principio — Universalità del moto armonico

Vicino a un punto di equilibrio stabile, ogni sistema oscilla armonicamente con pulsazione $\ev{\omega = \sqrt{\frac{E_p''(x_0)}{m}}}$ La “costante elastica effettiva” $k$ è la derivata seconda dell’energia potenziale nel punto di equilibrio: misura quanto è “ripida” la buca di potenziale.

Perché è ovunque

Per questo le molecole vibrano armonicamente attorno ai loro legami, e i circuiti $LC$ “oscilleranno” come molle: qualunque buca di potenziale, vista abbastanza da vicino, è una parabola. Avevamo già usato questa idea nel capitolo sull’energia e il lavoro, ricavando il periodo delle piccole oscillazioni direttamente dalla parabola tangente a $U(x)$; qui ne abbiamo dato la spiegazione strutturale.

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Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice · Forze conservative Competenze: Approssimazione delle piccole oscillazioni Metodi: Approssimazione lineare delle piccole oscillazioni

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Trovare A e φ dalle condizioni iniziali · Problema — Massa su due molle in parallelo · Problema — Periodo e frequenza massa-molla

Harmonic motion is not a special case: it is generic. Every system in stable equilibrium, if displaced slightly and released, oscillates harmonically. The reason lies in the shape of the potential energy near a minimum.

Let us expand the potential energy $E_p(x)$ in a Taylor series about the equilibrium point $x_0$:

$E_p(x) = E_p(x_0) + \underbrace{E_p'(x_0)}_{=\,0}(x-x_0) + \tfrac{1}{2}\,E_p''(x_0)\,(x-x_0)^2 + \cdots$

The linear term is zero because at the equilibrium point the force $F = -E_p'$ is zero (this is the definition of equilibrium). Neglecting the higher-order terms — legitimate for small displacements — the potential energy has the shape of a parabola:

$E_p(x) \approx \tfrac{1}{2}\,k\,(x-x_0)^2, \qquad k = E_p''(x_0)$

and the resulting force is $F = -\dfrac{\dd E_p}{\dd x} = -k(x-x_0)$: identical to Hooke’s law. It is exactly the same harmonic oscillator as the spring.

Principle — Universality of harmonic motion

Near a stable equilibrium point, every system oscillates harmonically with angular frequency $\ev{\omega = \sqrt{\frac{E_p''(x_0)}{m}}}$ The “effective spring constant” $k$ is the second derivative of the potential energy at the equilibrium point: it measures how “steep” the potential well is.

Why it is everywhere

This is why molecules vibrate harmonically about their bonds, and $LC$ circuits “oscillate” like springs: any potential well, seen closely enough, is a parabola. We had already used this idea in the chapter on energy and work, deriving the period of small oscillations directly from the parabola tangent to $U(x)$; here we have given the structural explanation.

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Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Simple harmonic motion · Conservative forces Skills: Small-oscillation approximation Methods: Linear approximation of small oscillations

Related exercises: Worked exercise — Finding A and φ from initial conditions · Problem — Mass on two springs in parallel · Problem — Period and frequency of a mass-spring system

Nei sistemi reali un attrito sempre presente — viscosità dell’aria, attrito interno della molla, dissipazione nelle articolazioni — sottrae energia all’oscillatore: l’ampiezza non resta costante, ma diminuisce nel tempo.

Il modello standard aggiunge una forza di attrito proporzionale alla velocità, $F_\text{att} = -b\,\dot x$. L’equazione del moto diventa

$m\ddot x = -K x - b\,\dot x \quad\Rightarrow\quad \ddot x + 2\zeta\omega_0\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0$

con $\omega_0 = \sqrt{K/m}$ la pulsazione propria e $\zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{mK}}$ il coefficiente di smorzamento adimensionale. È il valore di $\zeta$ a decidere il carattere del moto.

Tre regimi di smorzamento

• $\zeta < 1$ (sotto-smorzato): il corpo oscilla, ma l’ampiezza decresce esponenzialmente, $x(t) = A_0\,e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi)$, con pulsazione ridotta $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2} < \omega_0$.
• $\zeta = 1$ (smorzamento critico): il corpo torna all’equilibrio nel più breve tempo possibile, senza oscillare. È il regime degli ammortizzatori delle automobili.
• $\zeta > 1$ (sovra-smorzato): il corpo torna all’equilibrio lentamente, senza mai superarlo.

Regime sotto-smorzato (blu): oscillazione con inviluppo esponenziale tratteggiato. Regime critico (verde): ritorno all’equilibrio senza oscillare, nel minimo tempo.

L'ottimo ingegneristico

Lo smorzamento critico è il compromesso ideale: ferma le oscillazioni indesiderate senza “ringing” (rimbalzi) e senza la lentezza del sovra-smorzato. Per questo gli ammortizzatori di un’auto sono progettati vicino a $\zeta = 1$.

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Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Oscillazioni smorzate · Moto armonico semplice Oggetti: Molla

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Massa, molla e smorzamento · Problema — Oscillazione senza smorzamento · Esercizio svolto — Trovare A e φ dalle condizioni iniziali

In real systems an ever-present friction — air viscosity, internal friction of the spring, dissipation in the joints — removes energy from the oscillator: the amplitude does not stay constant, but decreases over time.

The standard model adds a friction force proportional to the velocity, $F_\text{att} = -b\,\dot x$. The equation of motion becomes

$m\ddot x = -K x - b\,\dot x \quad\Rightarrow\quad \ddot x + 2\zeta\omega_0\,\dot x + \omega_0^2\,x = 0$

with $\omega_0 = \sqrt{K/m}$ the natural angular frequency and $\zeta = \dfrac{b}{2\sqrt{mK}}$ the dimensionless damping coefficient. It is the value of $\zeta$ that decides the character of the motion.

Three damping regimes

• $\zeta < 1$ (underdamped): the body oscillates, but the amplitude decays exponentially, $x(t) = A_0\,e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi)$, with reduced angular frequency $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2} < \omega_0$.
• $\zeta = 1$ (critical damping): the body returns to equilibrium in the shortest possible time, without oscillating. This is the regime of car shock absorbers.
• $\zeta > 1$ (overdamped): the body returns to equilibrium slowly, without ever overshooting it.

Underdamped regime (blue): oscillation with dashed exponential envelope. Critical regime (green): return to equilibrium without oscillating, in the minimum time.

The engineering optimum

Critical damping is the ideal compromise: it stops unwanted oscillations without “ringing” (bouncing) and without the slowness of overdamping. This is why a car’s shock absorbers are designed close to $\zeta = 1$.

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Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Damped oscillations · Simple harmonic motion Objects: Spring

Related exercises: Worked exercise — Mass, spring and damping · Problem — Oscillation without damping · Worked exercise — Finding A and φ from initial conditions

Se applichiamo a un oscillatore una forza esterna periodica $F_\text{est}(t) = F_0\cos(\omega t)$, con o senza smorzamento, il sistema entra in regime forzato. Dopo un transitorio iniziale, il moto diventa oscillatorio alla frequenza della forzante (non a quella propria):

$x(t) = A(\omega)\cos(\omega t - \delta)$

L’ampiezza a regime dipende dalla distanza fra la frequenza forzante $\omega$ e la frequenza propria $\omega_0$, ed è tanto più grande quanto più le due si avvicinano:

$\ev{A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}}$

Principio — Risonanza

L’ampiezza $A(\omega)$ ha un picco quando $\omega \approx \omega_0$. È il fenomeno della risonanza: una forzante alla frequenza propria del sistema ne amplifica enormemente l’ampiezza, limitata solo dallo smorzamento. Per $\zeta\to 0$ l’ampiezza al picco tende all’infinito (catastrofe lineare) (Pain 2005). Vedi Riferimenti bibliografici.

Curve di risonanza per tre valori di smorzamento. Più $\zeta$ è piccolo, più alto e stretto è il picco attorno a $\omega = \omega_0$.

Risonanza in natura e in tecnologia

La risonanza è il principio dietro:

• il ponte di Tacoma Narrows, crollato nel 1940 sotto un vento che ne ha eccitato un modo torsionale a circa $0{,}2$ Hz;
• la cassa armonica di chitarra e violino, sintonizzata sulle frequenze utili;
• il forno a microonde, sintonizzato sul modo vibrazionale dell’acqua a circa $2{,}45$ GHz;
• la risonanza magnetica nucleare (MRI) in medicina;
• il circuito $LC$ delle radio analogiche, dove il legame con la massa-molla diventerà esplicito nel capitolo sull’induzione.

L'analogia dell'altalena

Risonanza significa “spingere al ritmo giusto”: se spingi un’altalena in fase con la sua frequenza propria, ogni spinta aggiunge energia e l’ampiezza esplode. Spingere fuori tempo, invece, a volte aggiunge e a volte toglie, e non si va da nessuna parte.

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Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Risonanza · Oscillazioni smorzate Oggetti: Molla

Esercizi collegati: Problema — Frequenza propria di un grattacielo · Problema — Smorzamento e isocronismo · Esercizio svolto — Massa, molla e smorzamento

If we apply an external periodic force $F_\text{est}(t) = F_0\cos(\omega t)$ to an oscillator, with or without damping, the system enters a forced regime. After an initial transient, the motion becomes oscillatory at the driving frequency (not the natural one):

$x(t) = A(\omega)\cos(\omega t - \delta)$

The steady-state amplitude depends on the distance between the driving frequency $\omega$ and the natural frequency $\omega_0$, and it is larger the closer the two are:

$\ev{A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\zeta\omega_0\omega)^2}}}$

Principle — Resonance

The amplitude $A(\omega)$ has a peak when $\omega \approx \omega_0$. This is the phenomenon of resonance: a driving force at the system’s natural frequency enormously amplifies its amplitude, limited only by damping. As $\zeta\to 0$ the amplitude at the peak tends to infinity (linear catastrophe) (Pain 2005). See Riferimenti bibliografici.

Resonance curves for three values of damping. The smaller $\zeta$ is, the higher and narrower the peak around $\omega = \omega_0$.

Resonance in nature and technology

Resonance is the principle behind:

• the Tacoma Narrows Bridge, which collapsed in 1940 under a wind that excited a torsional mode at about $0{,}2$ Hz;
• the soundbox of a guitar or violin, tuned to the useful frequencies;
• the microwave oven, tuned to the vibrational mode of water at about $2{,}45$ GHz;
• nuclear magnetic resonance (MRI) in medicine;
• the $LC$ circuit of analogue radios, where the link with the mass-spring system will become explicit in the chapter on induction.

The swing analogy

Resonance means “pushing at the right rhythm”: if you push a swing in phase with its natural frequency, every push adds energy and the amplitude grows without bound. Pushing out of time, instead, sometimes adds and sometimes removes energy, and you get nowhere.

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Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Resonance · Damped oscillations Objects: Spring

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