La molla ideale e l'equazione del moto

Una massa attaccata a una molla ideale è il prototipo di ogni oscillatore. La forza di richiamo $F = -Kx$ e la seconda legge di Newton danno l’equazione del moto armonico semplice; la sua soluzione è una sinusoide con tre parametri (ampiezza, pulsazione, fase), da cui ricaviamo velocità e accelerazione.

• L’equazione del moto armonico semplice
• La soluzione: seno e coseno
• Velocità e accelerazione

A mass attached to an ideal spring is the prototype of every oscillator. The restoring force $F = -Kx$ and Newton’s second law give the equation of simple harmonic motion; its solution is a sinusoid with three parameters (amplitude, angular frequency, phase), from which we derive velocity and acceleration.

• The equation of simple harmonic motion
• The solution: sine and cosine
• Velocity and acceleration

Consideriamo una massa $m$ collegata a una molla di costante elastica $K$, su un piano orizzontale liscio. Indichiamo con $x$ lo spostamento della massa dalla posizione di riposo. La forza elastica è di richiamo, $F = -Kx$: punta sempre verso l’equilibrio, con intensità proporzionale a quanto ce ne siamo allontanati. La seconda legge di Newton dà allora

$m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -K\,x$

È un’equazione differenziale lineare del second’ordine a coefficienti costanti, e definisce il moto armonico semplice. La sua struttura — “l’accelerazione è proporzionale alla posizione, con segno opposto” — è ciò che rende il moto oscillatorio: appena il corpo si sposta, nasce una forza che lo rispinge indietro, lo fa passare per l’equilibrio, lo rallenta dall’altra parte, e così via.

Principio — Equazione del moto armonico semplice (MAS)

Un sistema obbedisce al moto armonico semplice se la sua accelerazione è proporzionale alla coordinata, con il segno opposto: $\ev{\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2\,x}$ dove $\omega$ è la pulsazione angolare (in rad/s).

Per la massa-molla, confrontando $m\ddot x = -Kx$ con $\ddot x = -\omega^2 x$, si legge subito la pulsazione:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}}$

Intuizione

Più rigida la molla ($K\uparrow$) o più leggera la massa ($m\downarrow$), più veloce è l’oscillazione. La rigidità fornisce la “voglia di tornare indietro”, l’inerzia della massa la contrasta: la loro contesa fissa il ritmo.

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Consider a mass $m$ attached to a spring of stiffness $K$, on a smooth horizontal plane. Let $x$ denote the displacement of the mass from its rest position. The elastic force is restoring, $F = -Kx$: it always points towards equilibrium, with a magnitude proportional to how far we have moved away from it. Newton’s second law then gives

$m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -K\,x$

This is a second-order linear differential equation with constant coefficients, and it defines simple harmonic motion. Its structure — “the acceleration is proportional to the position, with the opposite sign” — is what makes the motion oscillatory: as soon as the body moves away, a force arises that pushes it back, carries it through equilibrium, slows it down on the other side, and so on.

Principle — Equation of simple harmonic motion (SHM)

A system obeys simple harmonic motion if its acceleration is proportional to the coordinate, with the opposite sign: $\ev{\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -\omega^2\,x}$ where $\omega$ is the angular frequency (in rad/s).

For the mass-spring system, comparing $m\ddot x = -Kx$ with $\ddot x = -\omega^2 x$, we immediately read off the angular frequency:

$\ev{\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}}$

Intuition

The stiffer the spring ($K\uparrow$) or the lighter the mass ($m\downarrow$), the faster the oscillation. Stiffness supplies the “urge to go back”, the mass’s inertia opposes it: their contest sets the rhythm.

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Quali funzioni, derivate due volte, tornano in sé cambiate di segno? Il seno e il coseno. Non è un caso: sono esattamente le funzioni che risolvono $\ddot x = -\omega^2 x$. La soluzione generale dell’equazione del MAS è

$\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$

dove i tre parametri hanno significati distinti:

• $A$ è l’ampiezza (m), il massimo spostamento dalla posizione di equilibrio;
• $\omega$ è la pulsazione (rad/s), legata al periodo $T$ e alla frequenza $f$ da $T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
• $\varphi$ è la fase iniziale (rad), che dipende da posizione e velocità del corpo a $t = 0$.

Intuizione

$A$, $\omega$ e $\varphi$ sono “l’ampiezza”, “quanto velocemente” e “da dove parte”. Fissano completamente il moto: dati questi tre numeri, sappiamo dov’è il corpo in ogni istante.

Verifica. Deriviamo $x(t)$ due volte e controlliamo che soddisfi l’equazione:

$\begin{aligned} \dot x(t) &= -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ \ddot x(t) &= -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}$

Bingo: l’accelerazione è proporzionale a $x$ con segno opposto e costante $\omega^2$. La sinusoide è davvero la soluzione.

Formula chiave — Periodo della massa-molla

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}}$ Notare l’indipendenza dall’ampiezza: $T$ non dipende da quanto in là tiriamo la massa, finché la molla resta lineare. È l’isocronia delle piccole oscillazioni, osservata già da Galileo sulle lampade oscillanti del Duomo di Pisa.

Perché compare $2\pi$

Il $2\pi$ rappresenta un giro completo: il moto armonico è la proiezione su un asse di un moto circolare uniforme di raggio $A$. Un’oscillazione avanti-e-indietro corrisponde a un giro dell’angolo $\omega t$.

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Which functions, differentiated twice, return to themselves with a sign change? Sine and cosine. This is no coincidence: they are exactly the functions that solve $\ddot x = -\omega^2 x$. The general solution of the SHM equation is

$\ev{x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)}$

where the three parameters have distinct meanings:

• $A$ is the amplitude (m), the maximum displacement from the equilibrium position;
• $\omega$ is the angular frequency (rad/s), related to the period $T$ and the frequency $f$ by $T = \frac{2\pi}{\omega}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$
• $\varphi$ is the initial phase (rad), which depends on the position and velocity of the body at $t = 0$.

Intuition

$A$, $\omega$ and $\varphi$ are “the amplitude”, “how fast” and “where it starts from”. They completely fix the motion: given these three numbers, we know where the body is at every instant.

Check. Let us differentiate $x(t)$ twice and verify that it satisfies the equation:

$\begin{aligned} \dot x(t) &= -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ \ddot x(t) &= -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2\,x(t) \end{aligned}$

Bingo: the acceleration is proportional to $x$ with the opposite sign and constant $\omega^2$. The sinusoid really is the solution.

Key formula — Period of the mass-spring system

$\ev{T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{K}}}$ Note the independence from the amplitude: $T$ does not depend on how far we pull the mass, as long as the spring stays linear. This is the isochronism of small oscillations, already observed by Galileo on the swinging lamps of Pisa Cathedral.

Why $2\pi$ appears

The $2\pi$ represents one complete turn: harmonic motion is the projection onto an axis of uniform circular motion of radius $A$. One back-and-forth oscillation corresponds to one turn through the angle $\omega t$.

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Dalla soluzione $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, derivando una e due volte, otteniamo velocità e accelerazione dell’oscillatore:

$\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ a(t) &= \ddot x = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

I valori massimi sono $|v|_\text{max} = A\omega$ (raggiunto al passaggio dall’equilibrio, dove tutta l’energia è cinetica) e $|a|_\text{max} = A\omega^2$ (raggiunto negli estremi, dove la forza di richiamo è massima).

Le tre grandezze non sono in fase. La velocità $v$ e la posizione $x$ sono sfasate di $\pi/2$: quando una è massima l’altra è nulla, e viceversa (nel punto di massima elongazione il corpo è fermo un istante; nel punto di equilibrio va più veloce). L’accelerazione $a$ e la posizione $x$ sono invece in opposizione di fase: un picco di $x$ corrisponde a un anti-picco di $a$, coerentemente con $a = -\omega^2 x$.

Posizione (blu), velocità (oro) e accelerazione (rossa tratteggiata) di un oscillatore armonico. La velocità è in anticipo di un quarto di periodo sulla posizione; l’accelerazione è il suo specchio rovesciato.

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Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Moto armonico semplice Competenze: Lettura dei grafici

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From the solution $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, differentiating once and twice, we obtain the velocity and acceleration of the oscillator:

$\begin{aligned} v(t) &= \dot x = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi) \\ a(t) &= \ddot x = -A\,\omega^2\,\cos(\omega t + \varphi) \end{aligned}$

The maximum values are $|v|_\text{max} = A\omega$ (reached when passing through equilibrium, where all the energy is kinetic) and $|a|_\text{max} = A\omega^2$ (reached at the extremes, where the restoring force is greatest).

The three quantities are not in phase. The velocity $v$ and the position $x$ are out of phase by $\pi/2$: when one is maximum the other is zero, and vice versa (at the point of maximum elongation the body is momentarily at rest; at the equilibrium point it moves fastest). The acceleration $a$ and the position $x$, on the other hand, are in phase opposition: a peak of $x$ corresponds to an anti-peak of $a$, consistent with $a = -\omega^2 x$.

Position (blue), velocity (gold) and acceleration (dashed red) of a harmonic oscillator. The velocity leads the position by a quarter period; the acceleration is its mirror image, flipped.

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Argomenti: Oscillations and harmonic motion Concetti: Simple harmonic motion Competenze: Reading graphs

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