Urti

Un urto è un’interazione breve e intensa fra due corpi. Durante l’urto le forze interne di contatto sono grandissime, mentre le forze esterne (peso, attrito) danno un impulso trascurabile: la quantità di moto totale si conserva sempre. Ciò che distingue i tipi di urto è cosa succede all’energia cinetica. Questa sezione classifica gli urti, risolve l’urto elastico in una dimensione e mostra il diagramma a bolle per vedere dove finisce l’energia.

• Tipi di urto: elastico, anelastico, totalmente anelastico
• Urto elastico in 1D
• Diagramma a bolle per gli urti

Prova tu — simulazione interattiva

A collision is a brief, intense interaction between two bodies. During the collision the internal contact forces are very large, while the external forces (weight, friction) give a negligible impulse: the total momentum is always conserved. What distinguishes the types of collision is what happens to the kinetic energy. This section classifies collisions, solves the elastic collision in one dimension, and shows the bubble diagram to see where the energy ends up.

• Tipi di urto: elastico, anelastico, totalmente anelastico
• Urto elastico in 1D
• Diagramma a bolle per gli urti

Try it — interactive simulation

Un urto è un’interazione breve e intensa tra due corpi. Durante l’urto le forze interne di contatto sono molto grandi, mentre le forze esterne (peso, attrito) sono trascurabili: perciò la quantità di moto si conserva in ogni tipo di urto. Quello che cambia da un urto all’altro è il destino dell’energia cinetica.

A seconda di cosa succede all’energia cinetica distinguiamo tre casi:

L’elastico è il caso ideale: nessuna energia si disperde, i corpi rimbalzano senza deformarsi permanentemente (biglie d’acciaio, palle da biliardo, sfere della culla di Newton). L’anelastico è il caso reale generico: una parte dell’energia cinetica si trasforma in calore, suono, deformazione. Il totalmente anelastico è l’estremo opposto dell’elastico: i corpi si incastrano e proseguono insieme con un’unica velocità finale — è il caso in cui si perde la massima energia cinetica compatibile con la conservazione di $\vv{p}$.

Errore comune

“Se l’energia non si conserva, allora non si conserva neppure la quantità di moto.” Falso: in un urto anelastico l’energia cinetica diminuisce (diventa termica), ma $\vv{p}$ si conserva comunque, perché dipende solo dalle forze esterne, non da quanta energia si dissipa all’interno.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica

Esercizi collegati: Urto elastico tra due biglie · Vero o falso sugli urti · Pendolo balistico (altezza)

A collision is a brief, intense interaction between two bodies. During the collision the internal contact forces are very large, while the external forces (weight, friction) are negligible: therefore momentum is conserved in every type of collision. What changes from one collision to another is the fate of the kinetic energy.

Depending on what happens to the kinetic energy, we distinguish three cases:

The elastic case is the ideal one: no energy is dissipated, the bodies bounce off without permanent deformation (steel balls, billiard balls, Newton’s cradle spheres). The inelastic case is the generic real one: part of the kinetic energy is turned into heat, sound, deformation. The totally inelastic case is the opposite extreme of the elastic one: the bodies lock together and continue with a single final velocity — it is the case in which the maximum kinetic energy compatible with conservation of $\vv{p}$ is lost.

Common mistake

“If energy is not conserved, then momentum isn’t conserved either.” False: in an inelastic collision the kinetic energy decreases (it becomes thermal), but $\vv{p}$ is still conserved, because it depends only on the external forces, not on how much energy is dissipated internally.

Links

Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Urto anelastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica

Related exercises: Urto elastico tra due biglie · Vero o falso sugli urti · Pendolo balistico (altezza)

In un urto elastico unidimensionale si conservano sia la quantità di moto sia l’energia cinetica. Sono due equazioni, e con due incognite (le velocità finali $v_1'$ e $v_2'$) il problema è completamente determinato.

Urto elastico in 1D: le palle si scambiano (in parte) velocità. Il corpo più leggero tende a rimbalzare indietro.

Le due leggi di conservazione si scrivono:

$\begin{aligned} m_1 v_1 + m_2 v_2 &= m_1 v_1' + m_2 v_2' \\ \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \end{aligned}$

La seconda equazione è quadratica e scomoda da risolvere direttamente. C’è però un trucco che la rende lineare.

Principio — Trucco dell'urto elastico

La conservazione dell’energia cinetica, combinata con quella della quantità di moto, si può riscrivere come $\ev{v_{\text{rel,prima}} = -\,v_{\text{rel,dopo}}}$ cioè $v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$: la velocità relativa dei due corpi si inverte di segno.

Il trucco in pratica

Al posto della coppia (conservazione di $p$) + (conservazione di $E_\text{cin}$, quadratica) si usa la coppia molto più maneggevole: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ $v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$ Due equazioni lineari nelle incognite $v_1'$, $v_2'$: si risolvono in pochi passaggi.

L’inversione della velocità relativa dice anche una cosa fisica importante: i due corpi si allontanano dopo l’urto con la stessa velocità con cui si avvicinavano prima. È il coefficiente di restituzione $e = 1$ dell’urto perfettamente elastico. Da qui segue, per esempio, che una pallina leggerissima contro un muro fermo torna indietro alla stessa velocità con cui è arrivata.

Il calcolo numerico completo è in Esercizio svolto — urto elastico 1D; la formula generale per un bersaglio fermo è dimostrata in Dimostrazione urto elastico 1D.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

Esercizi collegati: Urto elastico tra due biglie · Dimostrazione urto elastico 1D · La culla di Newton

In a one-dimensional elastic collision both momentum and kinetic energy are conserved. These are two equations, and with two unknowns (the final velocities $v_1'$ and $v_2'$) the problem is fully determined.

Elastic collision in 1D: the balls (partly) exchange velocities. The lighter body tends to bounce back.

The two conservation laws are written:

$\begin{aligned} m_1 v_1 + m_2 v_2 &= m_1 v_1' + m_2 v_2' \\ \tfrac{1}{2}m_1 v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2^2 &= \tfrac{1}{2}m_1 v_1'^2 + \tfrac{1}{2}m_2 v_2'^2 \end{aligned}$

The second equation is quadratic and awkward to solve directly. There is, however, a trick that makes it linear.

Principle — Elastic-collision trick

Conservation of kinetic energy, combined with conservation of momentum, can be rewritten as $\ev{v_{\text{rel,prima}} = -\,v_{\text{rel,dopo}}}$ that is $v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')$: the relative velocity of the two bodies reverses sign.

The trick in practice

Instead of the pair (conservation of $p$) + (conservation of $E_\text{cin}$, quadratic), one uses the much more manageable pair: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'$ $v_1 - v_2 = v_2' - v_1'$ Two linear equations in the unknowns $v_1'$, $v_2'$: solved in a few steps.

The reversal of the relative velocity also tells us something physically important: the two bodies move apart after the collision at the same speed with which they were approaching before. This is the restitution coefficient $e = 1$ of the perfectly elastic collision. From this it follows, for example, that a very light ball hitting a stationary wall bounces back at the same speed with which it arrived.

The full numerical calculation is in Esercizio svolto — urto elastico 1D; the general formula for a stationary target is proved in Dimostrazione urto elastico 1D.

Links

Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Conservazione della quantità di moto · Energia cinetica Skills: Impostazione simbolica

Related exercises: Urto elastico tra due biglie · Dimostrazione urto elastico 1D · La culla di Newton

Negli urti il diagramma a bolle mostra a colpo d’occhio cosa succede all’energia. Ogni bolla è un serbatoio di un tipo di energia, con il valore prima (in alto) e dopo (in basso); le frecce sono i trasferimenti.

Confronto: nell’urto elastico tutta l’energia resta cinetica (si sposta solo da un corpo all’altro); nell’urto anelastico una parte scivola nella bolla dell’energia termica e non torna più indietro.

La differenza visiva è netta. Nell’urto elastico compaiono solo bolle di energia cinetica: l’energia si travasa da un corpo all’altro, ma la somma $E_\text{cin,tot}$ resta identica. Nell’urto anelastico si accende una nuova bolla, quella dell’energia termica $E_\text{term}$: una freccia esce dalle bolle cinetiche e finisce lì dentro, e da quella bolla l’energia non torna più a essere movimento. La quantità di moto, intanto, si conserva in entrambi i casi: le bolle raccontano solo la storia dell’energia, non quella di $\vv{p}$.

Collegamenti

Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Urto elastico · Urto anelastico · Energia cinetica Competenze: Bilancio energetico a bolle

Esercizi collegati: Urto elastico tra due biglie · Vero o falso sugli urti · Pendolo balistico (altezza)

For collisions the bubble diagram shows at a glance what happens to the energy. Each bubble is a reservoir of one type of energy, with its value before (top) and after (bottom); the arrows are the transfers.

Comparison: in the elastic collision all the energy stays kinetic (it only moves from one body to the other); in the inelastic collision part of it slips into the thermal-energy bubble and never comes back.

The visual difference is stark. In the elastic collision only kinetic-energy bubbles appear: energy pours from one body into the other, but the sum $E_\text{cin,tot}$ stays identical. In the inelastic collision a new bubble lights up, that of thermal energy $E_\text{term}$: an arrow leaves the kinetic bubbles and ends up there, and from that bubble the energy never goes back to being motion. Momentum, meanwhile, is conserved in both cases: the bubbles only tell the story of energy, not that of $\vv{p}$.

Links

Topics: Quantità di moto e urti Concepts: Urto elastico · Urto anelastico · Energia cinetica Skills: Bilancio energetico a bolle

Related exercises: Urto elastico tra due biglie · Vero o falso sugli urti · Pendolo balistico (altezza)