Momento di una forza (torque)

Per descrivere la rotazione dei corpi rigidi serve il concetto di momento di una forza (o torque), che introduciamo qui come naturale estensione del centro di massa. Da esso discendono le condizioni di equilibrio del corpo rigido.

• Momento di una forza
• Equilibrio del corpo rigido

To describe the rotation of rigid bodies we need the concept of moment of a force (or torque), which we introduce here as a natural extension of the centre of mass. From it follow the conditions for equilibrium of a rigid body.

• Moment of a force
• Equilibrium of a rigid body

Per descrivere la rotazione dei corpi rigidi serve un nuovo concetto: il momento di una forza (o torque). Misura non l’intensità di una forza, ma la sua capacità di far ruotare un corpo attorno a un punto. Chiunque abbia aperto una porta lo sa per esperienza: spingere lontano dai cardini è molto più efficace che spingere vicino ad essi, a parità di forza.

Principio — Momento di una forza

Il momento di una forza $\vec{F}$ rispetto a un punto O è $M = |\vec{F}| \cdot b$ dove $b$ è il braccio: la distanza perpendicolare tra la retta d’azione della forza e il punto O.

Il braccio è la vera protagonista: non conta dove è applicata la forza, ma quanto la sua retta d’azione passa “larga” rispetto al punto O. Equivalentemente, usando la distanza $r$ tra O e il punto di applicazione e l’angolo $\theta$ tra $\vec{r}$ e $\vec{F}$:

$M = |\vec{F}|\cdot r\cdot\sin\theta$

Il $\sin\theta$ estrae proprio la componente di $\vec{F}$ perpendicolare a $\vec{r}$: solo quella fa ruotare. Una forza diretta lungo $\vec{r}$ (verso il punto O o via da esso) ha momento nullo.

Formula chiave

$M = F \cdot b \qquad M = F\,r\,\sin\theta$ $M > 0:\ \text{antiorario} \qquad M < 0:\ \text{orario}$

Il segno codifica il verso di rotazione: per convenzione, positivo se la forza tende a far girare in senso antiorario, negativo in senso orario.

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Momento di una forza

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To describe the rotation of rigid bodies we need a new concept: the moment of a force (or torque). It measures not the strength of a force, but its ability to make a body rotate about a point. Anyone who has ever opened a door knows this from experience: pushing far from the hinges is much more effective than pushing close to them, for the same force.

Principle — Moment of a force

The moment of a force $\vec{F}$ about a point O is $M = |\vec{F}| \cdot b$ where $b$ is the arm: the perpendicular distance between the force’s line of action and the point O.

The arm is the real protagonist: what matters is not where the force is applied, but how “wide” its line of action passes relative to point O. Equivalently, using the distance $r$ between O and the point of application and the angle $\theta$ between $\vec{r}$ and $\vec{F}$:

$M = |\vec{F}|\cdot r\cdot\sin\theta$

The $\sin\theta$ extracts exactly the component of $\vec{F}$ perpendicular to $\vec{r}$: only that component causes rotation. A force directed along $\vec{r}$ (towards point O or away from it) has zero moment.

Key formula

$M = F \cdot b \qquad M = F\,r\,\sin\theta$ $M > 0:\ \text{anticlockwise} \qquad M < 0:\ \text{clockwise}$

The sign encodes the direction of rotation: by convention, positive if the force tends to turn anticlockwise, negative if clockwise.

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Topics: Statics and equilibrium Concepts: Moment of a force

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Per un punto materiale l’equilibrio è una sola condizione: forza netta nulla. Un corpo rigido, che oltre a traslare può ruotare, ha bisogno di due condizioni simultanee.

Legge — Condizioni di equilibrio

Un corpo rigido è in equilibrio quando:

1. $\sum\vec{F} = \vec{0}$ (equilibrio traslazionale);
2. $\sum M = 0$ (equilibrio rotazionale, rispetto a qualsiasi punto).

La seconda condizione ha una proprietà comoda: se la prima è soddisfatta (forza netta nulla), allora la somma dei momenti è la stessa rispetto a qualunque polo. Si può quindi scegliere il polo più conveniente — di solito quello in cui passano più forze incognite, così da eliminarle dal bilancio dei momenti.

Attenzione — Una condizione sola non basta

La prima condizione da sola non basta! Un corpo con $\sum\vec{F}=\vec{0}$ ma $\sum M\neq 0$ ruota senza traslare (è il caso di una coppia di forze). Viceversa, $\sum M = 0$ con $\sum\vec{F}\neq\vec{0}$ dà una traslazione senza rotazione. Servono entrambe per la quiete completa.

L’esercizio svolto La porta con due forze mostra come si calcola il momento risultante rispetto a un polo (la cerniera) e si verifica se il corpo è in equilibrio rotazionale.

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Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza Competenze: Bilancio dei momenti

Esercizi collegati: Esercizio svolto — La porta con due forze · Esercizio svolto — Sistema con due masse e puleggia · Esercizio svolto — Giostra quadrata

For a point mass, equilibrium is a single condition: zero net force. A rigid body, which can rotate as well as translate, needs two simultaneous conditions.

Law — Conditions for equilibrium

A rigid body is in equilibrium when:

1. $\sum\vec{F} = \vec{0}$ (translational equilibrium);
2. $\sum M = 0$ (rotational equilibrium, about any point).

The second condition has a convenient property: if the first is satisfied (zero net force), then the sum of the moments is the same about any pole. You can therefore choose the most convenient pole — usually the one through which most unknown forces pass, so as to eliminate them from the moment balance.

Warning — One condition alone is not enough

The first condition alone is not enough! A body with $\sum\vec{F}=\vec{0}$ but $\sum M\neq 0$ rotates without translating (this is the case of a couple of forces). Conversely, $\sum M = 0$ with $\sum\vec{F}\neq\vec{0}$ gives translation without rotation. Both are needed for complete rest.

The worked exercise The door with two forces shows how to compute the resultant moment about a pole (the hinge) and check whether the body is in rotational equilibrium.

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Topics: Statics and equilibrium Concepts: Static equilibrium · Moment of a force Skills: Moment balance

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