Conservazione del momento angolare

Così come la quantità di moto si conserva in assenza di forze esterne, il momento angolare si conserva in assenza di momenti esterni netti. È una delle leggi di conservazione più potenti della fisica: governa dai pattinatori che accelerano tirando le braccia fino alle galassie a spirale. Questa sezione enuncia la legge, introduce l’impulso angolare come meccanismo di scambio, spiega la scelta cruciale del polo e presenta il diagramma a bolle e il problema classico del proiettile contro l’asta.

• La legge di conservazione
• Impulso angolare
• Quando si conserva: la scelta del polo
• Il diagramma di scambio del momento angolare
• Urto di un proiettile contro un’asta

Just as momentum is conserved in the absence of external forces, angular momentum is conserved in the absence of net external moments. It is one of the most powerful conservation laws in physics: it governs everything from skaters speeding up by pulling in their arms to spiral galaxies. This section states the law, introduces angular impulse as the exchange mechanism, explains the crucial choice of pole, and presents the bubble diagram and the classic projectile-against-rod problem.

• The conservation law
• Angular impulse
• When it’s conserved: choosing the pole
• The angular momentum exchange diagram
• A projectile hitting a rod

Il momento angolare $\vec{L}$ è l’analogo rotazionale della quantità di moto $\vec{p}$. Per un corpo che ruota vale $L = I\omega$, e come $\vec{p}$ obbedisce a una legge di conservazione: si conserva quando il sistema non è soggetto a momenti esterni netti.

Conservazione del momento angolare

Se la somma dei momenti delle forze esterne rispetto a un polo $P$ è nulla, allora il momento angolare totale rispetto a $P$ si conserva: $\ev{\sum\vec{M}_\text{ext} = \vec{0} \;\;\Longrightarrow\;\; \vec{L}_\text{tot}^A = \vec{L}_\text{tot}^B}$

L’intuizione è la stessa della quantità di moto: senza una “spinta rotazionale” dall’esterno, la rotazione complessiva del sistema resta invariata. Ma con una differenza spettacolare: mentre nella traslazione $\vec{p} = m\vec{v}$ ha una massa fissa, nel caso rotazionale $L = I\omega$ contiene $I$, che il sistema può cambiare ridistribuendo la propria massa. Se $I$ diminuisce, $\omega$ deve aumentare per mantenere $L$ costante — ed è esattamente ciò che fa il pattinatore che raccoglie le braccia.

Un primo esempio: il disco con la fune

Consideriamo un disco che ruota attorno a un perno mentre una fune si svolge dal suo bordo, trascinando un pacchetto che si allontana progressivamente dal centro. Scegliendo il perno come polo, sia la reazione del perno sia la tensione (radiale) hanno braccio nullo o direzione radiale: non producono momento. Quindi il momento angolare totale si conserva:

$\left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_A^2\right)\omega_A = \left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_B^2\right)\omega_B$

Man mano che il pacchetto si allontana ($r_B > r_A$), il momento d’inerzia del sistema cresce e la velocità angolare $\omega_B$ diminuisce: il sistema rallenta. È lo stesso meccanismo del pattinatore, al contrario.

Analogo rotazionale di $\vec{p}$

Il momento angolare è all’incirca ciò che la quantità di moto è per la traslazione. Si conserva se $\sum M_\text{ext} = 0$, ed è il perno su cui ruotano tutti i problemi di questa sezione.

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Angular momentum $\vec{L}$ is the rotational analogue of momentum $\vec{p}$. For a rotating body $L = I\omega$ holds, and like $\vec{p}$ it obeys a conservation law: it is conserved when the system is subject to no net external moments.

Conservation of angular momentum

If the sum of the moments of the external forces about a pole $P$ is zero, then the total angular momentum about $P$ is conserved: $\ev{\sum\vec{M}_\text{ext} = \vec{0} \;\;\Longrightarrow\;\; \vec{L}_\text{tot}^A = \vec{L}_\text{tot}^B}$

The intuition is the same as for momentum: without an external “rotational push”, the system’s overall rotation stays unchanged. But there is a spectacular difference: whereas in translation $\vec{p} = m\vec{v}$ has a fixed mass, in the rotational case $L = I\omega$ contains $I$, which the system can change by redistributing its own mass. If $I$ decreases, $\omega$ must increase to keep $L$ constant — and that is exactly what a skater does when pulling in their arms.

A first example: the disc with the rope

Consider a disc rotating about a pivot while a rope unwinds from its rim, dragging a package that progressively moves away from the centre. Choosing the pivot as the pole, both the pivot’s reaction and the (radial) tension have zero arm or a radial direction: they produce no moment. Hence the total angular momentum is conserved:

$\left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_A^2\right)\omega_A = \left(\tfrac{1}{2}m_d R^2 + m_p r_B^2\right)\omega_B$

As the package moves further away ($r_B > r_A$), the system’s moment of inertia grows and the angular velocity $\omega_B$ decreases: the system slows down. It is the same mechanism as the skater, in reverse.

Rotational analogue of $\vec{p}$

Angular momentum is roughly what momentum is for translation. It is conserved if $\sum M_\text{ext} = 0$, and it is the pivot around which every problem in this section turns.

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Se il momento angolare è l’analogo della quantità di moto, allora deve esistere anche un analogo dell’impulso: la grandezza che descrive quanto momento angolare viene trasferito. È l’impulso angolare.

Principio — Impulso angolare

Lo scambio di momento angolare tra due sistemi avviene tramite l’impulso angolare. Per un momento costante: $I_\text{ang} = M\cdot\Delta t$ In generale, una forza $\vec{F}$ applicata per un tempo $\Delta t$ su un punto a distanza $\vec{r}$ dal polo produce: $\vec{I}_\text{ang} = \vec{r}\times(\vec{F}\,\Delta t) = \vec{r}\times\vec{I}$

La formula rispecchia perfettamente il teorema dell’impulso traslazionale $\vec{I} = \vec{F}\,\Delta t = \Delta\vec{p}$: qui l’impulso angolare è pari alla variazione di momento angolare, $\vec{I}_\text{ang} = \Delta\vec{L}$. La presenza del prodotto vettoriale $\vec{r}\times\vec{I}$ ci ricorda che conta non solo quanto impulso lineare viene dato, ma anche dove e in quale direzione: lo stesso impulso $\vec{I}$ applicato lontano dal polo trasferisce più momento angolare che applicato vicino.

Questo è il motivo per cui, per far girare rapidamente una porta, la spingi il più lontano possibile dai cardini: a parità di forza e di durata, il braccio maggiore massimizza l’impulso angolare trasmesso. Applicare la stessa spinta vicino ai cardini è quasi inutile.

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If angular momentum is the analogue of momentum, then there must also be an analogue of impulse: the quantity describing how much angular momentum is transferred. This is angular impulse.

Principle — Angular impulse

The exchange of angular momentum between two systems takes place through angular impulse. For a constant moment: $I_\text{ang} = M\cdot\Delta t$ In general, a force $\vec{F}$ applied for a time $\Delta t$ at a point at distance $\vec{r}$ from the pole produces: $\vec{I}_\text{ang} = \vec{r}\times(\vec{F}\,\Delta t) = \vec{r}\times\vec{I}$

The formula mirrors perfectly the translational impulse theorem $\vec{I} = \vec{F}\,\Delta t = \Delta\vec{p}$: here the angular impulse equals the change in angular momentum, $\vec{I}_\text{ang} = \Delta\vec{L}$. The presence of the cross product $\vec{r}\times\vec{I}$ reminds us that what matters is not only how much linear impulse is given, but also where and in which direction: the same impulse $\vec{I}$ applied far from the pole transfers more angular momentum than when applied close to it.

This is why, to make a door swing quickly, you push it as far as possible from the hinges: for the same force and duration, the larger arm maximises the angular impulse transmitted. Applying the same push near the hinges is nearly useless.

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La conservazione del momento angolare non è assoluta: dipende dal polo, cioè dal punto rispetto al quale si calcola $\vec{L}$. Uno stesso sistema può conservare $\vec{L}$ rispetto ad alcuni poli e non ad altri. Scegliere il polo giusto è spesso l’unica mossa che rende risolubile un problema.

La regola è semplice: si sceglie un polo rispetto al quale le forze esterne impulsive (quelle intense che agiscono durante un urto) non hanno momento. Se una forza ha braccio nullo rispetto al polo, non produce impulso angolare esterno, e il momento angolare rispetto a quel polo si conserva.

Come scegliere il polo giusto

Per far sì che $\vec{L}$ si conservi, si cerca un polo rispetto al quale le forze esterne impulsive non producano momento. Tipicamente:

• un punto sulla retta di applicazione della forza vincolare (che ha braccio zero rispetto a quel punto);
• il centro di massa del sistema, dove la quantità di moto totale viene “concentrata”;
• un punto di rotazione fissa, come un cardine o un perno.

L’esempio guida è l’asta incernierata colpita da un proiettile. Durante l’urto il cardine esercita una reazione impulsiva violenta: rispetto a qualsiasi polo generico questa forza ha braccio non nullo e rovina la conservazione. Ma se si sceglie il cardine stesso come polo, quella reazione ha braccio zero e sparisce dai conti — e il momento angolare rispetto al cardine si conserva. Il peso dell’asta ha invece braccio, ma non è impulsivo (agisce debolmente nel brevissimo tempo dell’urto), quindi è trascurabile.

È il momento in cui la fisica premia chi guarda il problema dalla giusta prospettiva: cambiare il polo non cambia la fisica, ma può trasformare un problema intrattabile in una singola equazione.

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Conservation of angular momentum is not absolute: it depends on the pole, i.e. the point about which $\vec{L}$ is calculated. The same system may conserve $\vec{L}$ about some poles and not about others. Choosing the right pole is often the only move that makes a problem solvable.

The rule is simple: choose a pole about which the impulsive external forces (the intense ones acting during a collision) have no moment. If a force has zero arm relative to the pole, it produces no external angular impulse, and the angular momentum about that pole is conserved.

How to choose the right pole

To make $\vec{L}$ conserved, look for a pole about which the impulsive external forces produce no moment. Typically:

• a point on the line of action of the constraint force (which has zero arm relative to that point);
• the centre of mass of the system, where the total momentum is “concentrated”;
• a point of fixed rotation, such as a hinge or a pivot.

The guiding example is the hinged rod struck by a projectile. During the collision the hinge exerts a violent impulsive reaction: about any generic pole this force has a non-zero arm and ruins the conservation. But if the hinge itself is chosen as the pole, that reaction has zero arm and drops out of the accounting — and the angular momentum about the hinge is conserved. The rod’s weight does have an arm, but it is not impulsive (it acts weakly during the very short duration of the impact), so it is negligible.

This is the moment physics rewards those who look at the problem from the right perspective: changing the pole does not change the physics, but it can turn an intractable problem into a single equation.

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Così come l’energia e la quantità di moto si visualizzano con diagrammi a bolle, anche il momento angolare si presta a una rappresentazione grafica con bolle e frecce. Ogni bolla è un corpo, con il suo momento angolare nello stato iniziale $A$ e finale $B$; le frecce rappresentano gli scambi di momento angolare tra i corpi.

Diagramma di scambio del momento angolare: due corpi possono scambiarsi $\vec{L}$ tramite un impulso angolare interno. Se il sistema è isolato (nessun impulso angolare esterno), $\vec{L}_\text{tot}$ si conserva.

La lettura del diagramma è immediata: le frecce interne al sistema (come la $I_\text{ang}$ tra le due bolle) redistribuiscono il momento angolare da un corpo all’altro ma non cambiano il totale; solo le frecce che attraversano il bordo del sistema — gli impulsi angolari esterni — modificano $\vec{L}_\text{tot}$. Quando il bordo non è attraversato da nessuna freccia, la somma dei momenti angolari iniziali eguaglia la somma di quelli finali. È lo stesso principio contabile dei diagrammi energetici, applicato alla rotazione.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare Metodi: Diagramma di scambio del momento angolare

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Just as energy and momentum are visualised with bubble diagrams, angular momentum too lends itself to a graphical representation with bubbles and arrows. Each bubble is a body, with its angular momentum in the initial state $A$ and final state $B$; the arrows represent the exchanges of angular momentum between the bodies.

Angular momentum exchange diagram: two bodies can exchange $\vec{L}$ through an internal angular impulse. If the system is isolated (no external angular impulse), $\vec{L}_\text{tot}$ is conserved.

The diagram reads immediately: the internal arrows within the system (like $I_\text{ang}$ between the two bubbles) redistribute angular momentum from one body to another but do not change the total; only the arrows that cross the boundary of the system — the external angular impulses — change $\vec{L}_\text{tot}$. When no arrow crosses the boundary, the sum of the initial angular momenta equals the sum of the final ones. It is the same accounting principle as energy diagrams, applied to rotation.

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È il problema classico che illustra la conservazione di $\vec{L}$: un proiettile che colpisce un’asta incernierata e vi rimane conficcato, mettendola in rotazione. Vale la pena capirne a fondo la logica, perché è il modello di innumerevoli situazioni, dalla porta girevole colpita a spalla al pendolo balistico rotazionale.

Il cuore del ragionamento è la scelta del polo. Durante l’urto il cardine esercita una reazione impulsiva intensa: se la ignorassimo, sbaglieremmo. Ma scegliendo il cardine come polo, questa reazione ha braccio zero e quindi non contribuisce al momento angolare. Anche il peso dell’asta ha braccio, ma non è impulsivo (agisce debolmente nel brevissimo istante dell’urto). Il risultato: il momento angolare rispetto al cardine si conserva.

Prima dell’urto solo il proiettile ha momento angolare (l’asta è ferma); dopo, asta e proiettile ruotano insieme come un corpo rigido:

$m\,v_0\,L = \left(\tfrac{1}{3}ML^2 + mL^2\right)\omega$

A sinistra il momento angolare del proiettile (braccio $L$, perché colpisce l’estremo); a destra il prodotto del momento d’inerzia totale del sistema per la velocità angolare comune. Il momento d’inerzia dell’asta rispetto al cardine è $\tfrac{1}{3}ML^2$ (estremo), quello del proiettile puntiforme all’estremo è $mL^2$.

Perché la quantità di moto non si conserva

In un urto anelastico con un corpo rigido che ruota attorno a un cardine, la quantità di moto non si conserva: c’è la reazione impulsiva del cardine, che è una forza esterna al sistema. Ma il momento angolare rispetto al cardine sì: è la sola grandezza che sopravvive alla presenza del vincolo, ed è per questo che è così preziosa.

L’urto è fortemente anelastico: gran parte dell’energia cinetica iniziale del proiettile si trasforma in calore, suono e deformazione. Lo svolgimento numerico completo, con verifica dell’energia dissipata, è nell’esercizio svolto dedicato.

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This is the classic problem illustrating conservation of $\vec{L}$: a projectile that strikes a hinged rod and embeds itself in it, setting it into rotation. It is worth fully understanding the logic, because it is the model for countless situations, from a revolving door hit with a shoulder to a rotational ballistic pendulum.

The heart of the reasoning is the choice of pole. During the collision the hinge exerts an intense impulsive reaction: if we ignored it, we would be wrong. But by choosing the hinge as the pole, this reaction has zero arm and therefore contributes nothing to the angular momentum. The rod’s weight also has an arm, but it is not impulsive (it acts weakly during the very brief instant of the collision). The result: the angular momentum about the hinge is conserved.

Before the collision only the projectile has angular momentum (the rod is at rest); afterwards, rod and projectile rotate together as a rigid body:

$m\,v_0\,L = \left(\tfrac{1}{3}ML^2 + mL^2\right)\omega$

On the left, the angular momentum of the projectile (arm $L$, because it strikes the end); on the right, the product of the system’s total moment of inertia by the common angular velocity. The rod’s moment of inertia about the hinge is $\tfrac{1}{3}ML^2$ (end), while that of the point-like projectile at the end is $mL^2$.

Why momentum is not conserved

In an inelastic collision with a rigid body rotating about a hinge, momentum is not conserved: there is the hinge’s impulsive reaction, which is a force external to the system. But angular momentum about the hinge is: it is the only quantity that survives the presence of the constraint, and that is why it is so valuable.

The collision is strongly inelastic: much of the projectile’s initial kinetic energy turns into heat, sound and deformation. The full numerical solution, with a check of the energy dissipated, is in the dedicated worked exercise.

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