Lavoro di un gas e lavoro dell'atmosfera

Quando un gas si espande o viene compresso scambia energia con l’ambiente sotto forma di lavoro. Ma in quasi tutti i problemi reali il gas non è a contatto con il vuoto, bensì con l’atmosfera, che compie a sua volta un lavoro. Questa sezione distingue con cura il lavoro del gas sul pistone dal lavoro dell’atmosfera sul gas, e li assembla in un bilancio energetico completo che anticipa il primo principio della termodinamica.

• Lavoro del gas sul pistone
• Il lavoro dell’atmosfera
• Bilancio energetico completo

When a gas expands or is compressed it exchanges energy with the environment in the form of work. But in almost all real problems the gas is not in contact with a vacuum, but with the atmosphere, which in turn does work. This section carefully distinguishes the work done by the gas on the piston from the work done by the atmosphere on the gas, and assembles them into a complete energy balance that anticipates the first law of thermodynamics.

• Work done by the gas on the piston
• The work done by the atmosphere
• Complete energy balance

Quando un gas spinge un pistone di area $A$ per un tratto $\Delta h$, compie un lavoro. Poiché la forza esercitata dal gas è $F_\text{gas} = P_\text{gas}\cdot A$, il lavoro vale

$L_\text{gas} = F_\text{gas}\cdot\Delta h = P_\text{gas}\cdot A\cdot\Delta h = P_\text{gas}\cdot\Delta V$

dove $\Delta V = A\,\Delta h$ è la variazione di volume del gas. Questa formula vale quando la pressione del gas resta costante durante lo spostamento (trasformazione isobara).

Attenzione ai segni

$L_\text{gas}$ è il lavoro fatto dal gas sul pistone.

• Se il pistone si alza (gas in espansione), $\Delta V > 0$ e $L_\text{gas} > 0$: il gas cede energia all’ambiente.
• Se il gas viene compresso, $\Delta V < 0$ e $L_\text{gas} < 0$: il gas riceve energia.

L’intuizione è quella di una spinta lungo uno spostamento: il gas “spinge” il pistone verso l’esterno, e come ogni forza che agisce nel verso dello spostamento compie lavoro positivo cedendo energia. Se invece è l’esterno a spingere il pistone dentro, comprimendo il gas, il lavoro del gas è negativo e l’energia entra nel gas.

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When a gas pushes a piston of area $A$ through a distance $\Delta h$, it does work. Since the force exerted by the gas is $F_\text{gas} = P_\text{gas}\cdot A$, the work is

$L_\text{gas} = F_\text{gas}\cdot\Delta h = P_\text{gas}\cdot A\cdot\Delta h = P_\text{gas}\cdot\Delta V$

where $\Delta V = A\,\Delta h$ is the change in the gas’s volume. This formula holds when the gas pressure remains constant during the displacement (isobaric process).

Watch the signs

$L_\text{gas}$ is the work done by the gas on the piston.

• If the piston rises (gas expanding), $\Delta V > 0$ and $L_\text{gas} > 0$: the gas gives energy to the environment.
• If the gas is compressed, $\Delta V < 0$ and $L_\text{gas} < 0$: the gas receives energy.

The intuition is that of a push along a displacement: the gas “pushes” the piston outwards, and like any force acting in the direction of the displacement, it does positive work, giving up energy. If instead it is the outside that pushes the piston in, compressing the gas, the work done by the gas is negative and energy enters the gas.

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Nella maggior parte dei problemi reali il gas non è in contatto con il vuoto assoluto, ma con l’atmosfera. Quando il gas si espande, spinge via l’atmosfera; quando viene compresso, è l’atmosfera che lo spinge. In entrambi i casi compare un secondo lavoro: il lavoro dell’atmosfera.

Principio — Lavoro dell'atmosfera

$\ev{L_\text{atm} = P_\text{atm}\cdot\Delta V_\text{atm}}$ dove $\Delta V_\text{atm}$ è la variazione di volume dell’atmosfera e $P_\text{atm} = 1{,}013\cdot 10^5\;\text{Pa}$ è la pressione atmosferica.

Il punto delicato è il segno di $\Delta V_\text{atm}$. Nel caso tipico, in cui un pistone separa gas e atmosfera, i due volumi variano in modo opposto: se il gas si espande, l’atmosfera viene compressa della stessa quantità.

Formula chiave — Gas in espansione

$\Delta V_\text{gas} > 0 \qquad \Delta V_\text{atm} = -\Delta V_\text{gas} < 0$ $L_\text{atm} = P_\text{atm}\,\Delta V_\text{atm} < 0$ In espansione l’atmosfera compie lavoro negativo sul gas (il gas deve spendere energia per farle posto).

Quando il gas si espande di $\Delta V_\text{gas}$, l’atmosfera viene compressa della stessa quantità: $\Delta V_\text{atm} = -\Delta V_\text{gas}$. Il lavoro dell’atmosfera è quindi $L_\text{atm} = -P_\text{atm}\,\Delta V_\text{gas}$.

Quando atmosfera e gas non hanno $\Delta V$ opposti

Se tra il gas e l’atmosfera c’è un pistone massiccio che si alza di $\Delta h$, entrambi i volumi cambiano della stessa quantità: $\Delta V_\text{gas} = A\,\Delta h$ e $\Delta V_\text{atm} = -A\,\Delta h$. Ma se il pistone si piega o se il contenitore cambia forma, i due $\Delta V$ possono essere diversi. Bisogna sempre chiedersi: di quanto cambia il volume del gas? Di quanto cambia quello dell’atmosfera?

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In most real problems the gas is not in contact with a perfect vacuum, but with the atmosphere. When the gas expands, it pushes the atmosphere away; when it is compressed, it is the atmosphere that pushes it. In both cases a second kind of work appears: the work done by the atmosphere.

Principle — Work done by the atmosphere

$\ev{L_\text{atm} = P_\text{atm}\cdot\Delta V_\text{atm}}$ where $\Delta V_\text{atm}$ is the change in volume of the atmosphere and $P_\text{atm} = 1{,}013\cdot 10^5\;\text{Pa}$ is atmospheric pressure.

The delicate point is the sign of $\Delta V_\text{atm}$. In the typical case, where a piston separates the gas from the atmosphere, the two volumes change in opposite ways: if the gas expands, the atmosphere is compressed by the same amount.

Key formula — Gas expanding

$\Delta V_\text{gas} > 0 \qquad \Delta V_\text{atm} = -\Delta V_\text{gas} < 0$ $L_\text{atm} = P_\text{atm}\,\Delta V_\text{atm} < 0$ During expansion the atmosphere does negative work on the gas (the gas must spend energy to make room for it).

When the gas expands by $\Delta V_\text{gas}$, the atmosphere is compressed by the same amount: $\Delta V_\text{atm} = -\Delta V_\text{gas}$. The work done by the atmosphere is therefore $L_\text{atm} = -P_\text{atm}\,\Delta V_\text{gas}$.

When the atmosphere and the gas do not have opposite $\Delta V$

If between the gas and the atmosphere there is a massive piston that rises by $\Delta h$, both volumes change by the same amount: $\Delta V_\text{gas} = A\,\Delta h$ and $\Delta V_\text{atm} = -A\,\Delta h$. But if the piston bends or if the container changes shape, the two $\Delta V$ can be different. One must always ask: by how much does the gas’s volume change? By how much does the atmosphere’s change?

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Mettiamo insieme i pezzi. Consideriamo un gas che riceve calore $Q$ e che può espandersi, facendo lavoro $L_\text{gas}$ sul pistone e ricevendo lavoro $L_\text{atm}$ dall’atmosfera. Il bilancio energetico del gas fra lo stato iniziale $A$ e lo stato finale $B$ è:

Legge — Primo principio con atmosfera

$\ev{E_{\text{int},B} - E_{\text{int},A} = Q - L_\text{gas} + L_\text{atm}}$ $Q$ è positivo se entra nel gas; $L_\text{gas}$ è il lavoro fatto dal gas (energia che esce); $L_\text{atm}$ è il lavoro fatto *dall’*atmosfera sul gas (spesso negativo in espansione).

La lettura è quella di un libro mastro: la variazione di energia interna del gas è tutto ciò che entra meno tutto ciò che esce. Entra il calore $Q$ e (talvolta) il lavoro dell’atmosfera; esce il lavoro che il gas compie sul pistone. I segni vanno gestiti con cura, ma la logica è la conservazione dell’energia applicata al gas.

Per un gas ideale c’è una scorciatoia potente: poiché $E_\text{int} = \frac{f}{2}nRT$, la variazione di energia interna è $\Delta E_\text{int} = \frac{f}{2}nR\,\Delta T$. Il bilancio energetico diventa così direttamente un’equazione per le temperature, senza dover conoscere altri dettagli del gas.

Con questi strumenti — energia interna, equazione di stato, lavoro del gas e dell’atmosfera — si possono già risolvere moltissimi problemi termodinamici senza mai parlare di processi reversibili o irreversibili. È il programma del capitolo successivo: risolvere problemi di termodinamica con la sola conservazione dell’energia.

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas · Termodinamica Concetti: Energia interna · Primo principio della termodinamica Competenze: Conservazione dell’energia

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Let us put the pieces together. Consider a gas that receives heat $Q$ and that can expand, doing work $L_\text{gas}$ on the piston and receiving work $L_\text{atm}$ from the atmosphere. The energy balance of the gas between the initial state $A$ and the final state $B$ is:

Law — First law with atmosphere

$\ev{E_{\text{int},B} - E_{\text{int},A} = Q - L_\text{gas} + L_\text{atm}}$ $Q$ is positive if it enters the gas; $L_\text{gas}$ is the work done by the gas (energy that leaves); $L_\text{atm}$ is the work done by the atmosphere on the gas (often negative during expansion).

The reading is that of a ledger: the change in internal energy of the gas is everything that comes in minus everything that goes out. Heat $Q$ comes in and (sometimes) the work of the atmosphere; the work that the gas does on the piston goes out. The signs must be handled carefully, but the logic is energy conservation applied to the gas.

For an ideal gas there is a powerful shortcut: since $E_\text{int} = \frac{f}{2}nRT$, the change in internal energy is $\Delta E_\text{int} = \frac{f}{2}nR\,\Delta T$. The energy balance thus becomes directly an equation for temperatures, without needing to know any other details of the gas.

With these tools — internal energy, equation of state, work of the gas and of the atmosphere — a great many thermodynamic problems can already be solved without ever talking about reversible or irreversible processes. That is the programme of the next chapter: solving thermodynamics problems with energy conservation alone.

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