Esercizi — Teoria cinetica dei gas

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: gli esercizi svolti nel testo e i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi e sfide).

Esercizi e problemi

• Esercizio svolto — Elio in un camion che frena
• Conversione Celsius-Kelvin
• Vero o falso su gas ideale e velocità
• Velocità quadratica media dell’azoto
• Energia interna dell’elio, monoatomico e biatomico
• Bombola che cade e si ferma
• Idrogeno o ossigeno più veloce
• Stima degli urti al secondo sulla mano
• Dimostrazione di PV = nRT
• Temperatura di fuga dell’idrogeno
• Ranking di velocità quadratiche medie
• Perché l’atmosfera non ha elio
• Moli e molecole in una bombola
• Temperatura che raddoppia la pressione
• Velocità quadratica media e velocità del suono
• Idrogeno o ossigeno alla stessa temperatura
• Ranking di energia cinetica media
• Vero o falso sulle proprietà dei gas
• Stima degli urti su un centimetro quadrato
• Esercizio svolto — Equipartizione e gradi di libertà
• Esercizio svolto — Fuga dell’idrogeno dalla ionosfera
• Pressione e urti molecolari
• Due gas alla stessa temperatura
• Maxwell-Boltzmann a due temperature
• Ranking di v_rms per quattro gas
• Ranking di pressioni per temperatura
• Pressione di un gas ideale
• Drill sulla v_rms dell’azoto
• Energia interna di gas monoatomico
• Legge di Boyle
• Dilatazione a pressione costante
• Frequenza di collisione
• Temperatura da v_rms
• Isoterma in scala logaritmica
• Temperatura critica da Van der Waals
• Fantafisica: senza repulsione molecolare
• Fantafisica: gas in cinque dimensioni
• Fantafisica: costante di Boltzmann raddoppiata
• Pneumatico in autostrada
• Perché il caffè si raffredda
• Gomma e calore
• Isoterma di Van der Waals sotto T_c
• Distribuzione di velocità: idrogeno o ossigeno
• Stima Fermi: molecole in una stanza
• Stima Fermi: urti sulla pelle
• Stima Fermi: sauna
• Pressione su un cono di carta
• Diffusione di un odore
• Distribuzione barometrica isoterma

All the exercises of the chapter, worked step by step, in order of appearance in the chapter: worked examples from the text and end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphical, Fermi estimates and challenges).

Exercises and problems

• Worked example — Helium in a braking truck
• Celsius-Kelvin conversion
• True or false on ideal gas and speed
• Root-mean-square speed of nitrogen
• Internal energy of helium, monatomic and diatomic
• Cylinder that falls and stops
• Hydrogen or oxygen faster
• Estimating collisions per second on a hand
• Derivation of PV = nRT
• Escape temperature of hydrogen
• Ranking of root-mean-square speeds
• Why the atmosphere has no helium
• Moles and molecules in a cylinder
• Temperature that doubles the pressure
• Root-mean-square speed and the speed of sound
• Hydrogen or oxygen at the same temperature
• Ranking of average kinetic energy
• True or false on gas properties
• Estimating collisions on one square centimetre
• Worked example — Equipartition and degrees of freedom
• Worked example — Escape of hydrogen from the ionosphere
• Pressure and molecular collisions
• Two gases at the same temperature
• Maxwell-Boltzmann at two temperatures
• Ranking of v_rms for four gases
• Ranking of pressures by temperature
• Pressure of an ideal gas
• Drill on the v_rms of nitrogen
• Internal energy of a monatomic gas
• Boyle’s law
• Expansion at constant pressure
• Collision frequency
• Temperature from v_rms
• Isotherm on a logarithmic scale
• Critical temperature from Van der Waals
• Thought experiment: without molecular repulsion
• Thought experiment: gas in five dimensions
• Thought experiment: doubled Boltzmann constant
• Tyre on the motorway
• Why coffee cools down
• Rubber and heat
• Van der Waals isotherm below T_c
• Speed distribution: hydrogen or oxygen
• Fermi estimate: molecules in a room
• Fermi estimate: collisions on the skin
• Fermi estimate: sauna
• Pressure on a paper cone
• Diffusion of a scent
• Isothermal barometric distribution

Testo

Un camion trasporta una bombola rigida, termicamente isolata, contenente $n = 10$ mol di gas elio (monoatomico, $f=3$) alla temperatura iniziale $T_i = 300$ K. Il camion viaggia a $v = 100$ m/s quando, all’improvviso, frena bruscamente e si ferma. Di quanto è cambiata la temperatura del gas?

Soluzione

Quando il camion si ferma, la bombola si ferma con esso, ma le molecole del gas continuano a muoversi col loro moto termico più il moto di trascinamento che avevano prima ($v = 100$ m/s). Poiché la bombola è isolata (niente calore) e rigida (niente lavoro), questa energia cinetica macroscopica si converte in energia interna del gas: la temperatura sale.

Massa totale del gas (massa molare elio $M_\text{He}=4$ g/mol): $M = n\, M_\text{He} = 10\cdot 4\cdot 10^{-3} = 0{,}04\ \text{kg}$ Energia cinetica macroscopica iniziale del gas trascinato: $K_\text{macro} = \tfrac{1}{2}Mv^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}04\cdot 100^2 = 200\ \text{J}$ Tutta questa energia diventa incremento di energia interna (gas monoatomico, $f=3$): $\Delta E_\text{int} = \tfrac{3}{2}nR\,\Delta T = K_\text{macro} = 200\ \text{J}$ Ricavo $\Delta T$: $\Delta T = \frac{2\,K_\text{macro}}{3nR} = \frac{2\cdot 200}{3\cdot 10\cdot 8{,}31} \approx 1{,}6\ \text{K}$ La temperatura sale di meno di due gradi: la frenata è un riscaldamento quasi impercettibile. È lo stesso principio per cui i freni di un’auto si scaldano: energia cinetica macroscopica → energia cinetica microscopica delle molecole. $\ev{\Delta T \approx 1{,}6\ \text{K}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna · Temperatura Competenze: Interpretazione micro-macro

Problem

A truck carries a rigid, thermally insulated cylinder containing $n = 10$ mol of helium gas (monatomic, $f=3$) at initial temperature $T_i = 300$ K. The truck is travelling at $v = 100$ m/s when it suddenly brakes hard and stops. By how much has the gas temperature changed?

Solution

When the truck stops, the cylinder stops with it, but the gas molecules continue to move with their thermal motion plus the drift motion they had before ($v = 100$ m/s). Since the cylinder is insulated (no heat) and rigid (no work), this macroscopic kinetic energy is converted into internal energy of the gas: the temperature rises.

Total mass of the gas (molar mass of helium $M_\text{He}=4$ g/mol): $M = n\, M_\text{He} = 10\cdot 4\cdot 10^{-3} = 0{,}04\ \text{kg}$ Initial macroscopic kinetic energy of the entrained gas: $K_\text{macro} = \tfrac{1}{2}Mv^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}04\cdot 100^2 = 200\ \text{J}$ All of this energy becomes an increase in internal energy (monatomic gas, $f=3$): $\Delta E_\text{int} = \tfrac{3}{2}nR\,\Delta T = K_\text{macro} = 200\ \text{J}$ Solving for $\Delta T$: $\Delta T = \frac{2\,K_\text{macro}}{3nR} = \frac{2\cdot 200}{3\cdot 10\cdot 8{,}31} \approx 1{,}6\ \text{K}$ The temperature rises by less than two degrees: the braking is an almost imperceptible warming. It is the same principle by which a car’s brakes heat up: macroscopic kinetic energy → microscopic kinetic energy of the molecules. $\ev{\Delta T \approx 1{,}6\ \text{K}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna · Temperatura Competenze: Interpretazione micro-macro

Testo

Converti $100\ ^\circ\text{C}$ in kelvin e $0\ \text{K}$ in gradi Celsius.

Soluzione

La relazione fra le due scale è $T_\text{K} = T_{^\circ\text{C}} + 273{,}15$ (approssimo $273$).

Da Celsius a kelvin: $T = 100 + 273 = 373\ \text{K}$ Da kelvin a Celsius ($0$ K è lo zero assoluto): $T_{^\circ\text{C}} = 0 - 273 = -273\ ^\circ\text{C}$ $\ev{T \approx 373\ \text{K}\quad ; \quad -273\ ^\circ\text{C}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Temperatura Competenze: Conversione di unità

Problem

Convert $100\ ^\circ\text{C}$ to kelvin and $0\ \text{K}$ to degrees Celsius.

Solution

The relation between the two scales is $T_\text{K} = T_{^\circ\text{C}} + 273{,}15$ (approximating to $273$).

From Celsius to kelvin: $T = 100 + 273 = 373\ \text{K}$ From kelvin to Celsius ($0$ K is absolute zero): $T_{^\circ\text{C}} = 0 - 273 = -273\ ^\circ\text{C}$ $\ev{T \approx 373\ \text{K}\quad ; \quad -273\ ^\circ\text{C}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Temperature Skills: Unit conversion

Testo

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando brevemente:

1. In un gas ideale le molecole interagiscono tramite piccole forze attrattive.
2. A parità di temperatura, un gas monoatomico e uno biatomico hanno la stessa velocità quadratica media per molecola di uguale massa.
3. La pressione di un gas dipende solo dalla temperatura.
4. Il fattore $3$ nella $v_\text{rms}$ viene dai tre gradi di libertà traslazionali.

Soluzione

1. FALSO. Nel modello di gas ideale le molecole sono puntiformi e non interagiscono a distanza: nessuna forza attrattiva né repulsiva, solo urti elastici istantanei. Le forze attrattive compaiono nei gas reali (modello di van der Waals).

2. VERO. La velocità quadratica media dipende solo dalla massa della molecola e dalla temperatura: $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$ Non compare il numero di gradi di libertà: a parità di $T$ e di $m$, il valore è identico per un monoatomico e un biatomico. La differenza fra i due sta nell’energia interna totale (che include rotazione), non nel moto traslazionale.

3. FALSO. Dall’equazione di stato $P = \dfrac{nRT}{V}$: la pressione dipende anche dal numero di moli e dal volume. A parità di $T$, comprimendo il gas o aggiungendo moli la pressione cambia.

4. VERO. L’energia cinetica traslazionale media è $\tfrac{3}{2}k_B T$, con un contributo $\tfrac{1}{2}k_B T$ per ciascuno dei tre gradi di libertà traslazionali ($x,y,z$). Da $\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ nasce il fattore $3$ sotto radice. $\ev{\text{F},\ \text{V},\ \text{F},\ \text{V}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Pressione Competenze: Interpretazione micro-macro

Problem

State whether the following statements are true or false, briefly justifying your answer:

1. In an ideal gas the molecules interact through small attractive forces.
2. At equal temperature, a monatomic gas and a diatomic gas have the same root-mean-square speed for a molecule of equal mass.
3. The pressure of a gas depends only on temperature.
4. The factor $3$ in $v_\text{rms}$ comes from the three translational degrees of freedom.

Solution

1. FALSE. In the ideal-gas model the molecules are point-like and do not interact at a distance: no attractive or repulsive forces, only instantaneous elastic collisions. Attractive forces appear in real gases (the van der Waals model).

2. TRUE. The root-mean-square speed depends only on the mass of the molecule and on temperature: $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3k_B T}{m}}$ The number of degrees of freedom does not appear: at equal $T$ and $m$, the value is identical for a monatomic and a diatomic molecule. The difference between the two lies in the total internal energy (which includes rotation), not in the translational motion.

3. FALSE. From the equation of state $P = \dfrac{nRT}{V}$: the pressure also depends on the number of moles and on the volume. At equal $T$, compressing the gas or adding moles changes the pressure.

4. TRUE. The mean translational kinetic energy is $\tfrac{3}{2}k_B T$, with a contribution of $\tfrac{1}{2}k_B T$ for each of the three translational degrees of freedom ($x,y,z$). From $\tfrac{1}{2}m\langle v^2\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ the factor $3$ under the square root arises. $\ev{\text{F},\ \text{T},\ \text{F},\ \text{T}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Root-mean-square speed · Pressure Skills: Micro-macro interpretation

Testo

Calcola la velocità quadratica media delle molecole di azoto ($m_\text{mol} = 28\cdot 10^{-3}$ kg/mol) a $T = 300$ K.

Soluzione

Uso la forma macroscopica della velocità quadratica media, con la massa molare e la costante dei gas $R = 8{,}31$ J/(mol·K): $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}}$ Sostituisco i valori numerici: $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{28\cdot 10^{-3}}}$ $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{7479}{0{,}028}} = \sqrt{2{,}67\cdot 10^{5}}$ $\ev{v_\text{rms} \approx 517\ \text{m/s}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Temperatura Competenze: Impostazione simbolica

Problem

Calculate the root-mean-square speed of nitrogen molecules ($m_\text{mol} = 28\cdot 10^{-3}$ kg/mol) at $T = 300$ K.

Solution

I use the macroscopic form of the root-mean-square speed, with the molar mass and the gas constant $R = 8{,}31$ J/(mol·K): $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}}$ I substitute the numerical values: $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{28\cdot 10^{-3}}}$ $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{7479}{0{,}028}} = \sqrt{2{,}67\cdot 10^{5}}$ $\ev{v_\text{rms} \approx 517\ \text{m/s}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Root-mean-square speed · Temperature Skills: Symbolic setup

Testo

In un pallone rigido sono contenute $2$ mol di elio (monoatomico) a $T = 250$ K. Calcola l’energia interna del gas e indica di quanto aumenterebbe se lo stesso gas fosse biatomico alla stessa temperatura.

Soluzione

Per un gas monoatomico ($f=3$) l’energia interna è $E_\text{int} = \tfrac{3}{2}nRT$: $E_\text{int}^\text{mono} = \tfrac{3}{2}\cdot 2\cdot 8{,}31\cdot 250 \approx 6{,}23\cdot 10^{3}\ \text{J}$ Se lo stesso gas fosse biatomico ($f=5$) l’energia interna sarebbe $E_\text{int} = \tfrac{5}{2}nRT$: $E_\text{int}^\text{bi} = \tfrac{5}{2}\cdot 2\cdot 8{,}31\cdot 250 \approx 1{,}04\cdot 10^{4}\ \text{J}$ L’aumento (dai gradi di libertà rotazionali che si aggiungono) è la differenza: $\Delta E_\text{int} = E_\text{int}^\text{bi} - E_\text{int}^\text{mono} = nRT \approx 4{,}16\cdot 10^{3}\ \text{J}$ $\ev{E_\text{int}^\text{mono} \approx 6{,}23\cdot 10^{3}\ \text{J}\ ;\quad E_\text{int}^\text{bi} \approx 1{,}04\cdot 10^{4}\ \text{J}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna · Temperatura Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

Problem

A rigid balloon contains $2$ mol of helium (monatomic) at $T = 250$ K. Calculate the internal energy of the gas and state by how much it would increase if the same gas were diatomic at the same temperature.

Solution

For a monatomic gas ($f=3$) the internal energy is $E_\text{int} = \tfrac{3}{2}nRT$: $E_\text{int}^\text{mono} = \tfrac{3}{2}\cdot 2\cdot 8{,}31\cdot 250 \approx 6{,}23\cdot 10^{3}\ \text{J}$ If the same gas were diatomic ($f=5$) the internal energy would be $E_\text{int} = \tfrac{5}{2}nRT$: $E_\text{int}^\text{bi} = \tfrac{5}{2}\cdot 2\cdot 8{,}31\cdot 250 \approx 1{,}04\cdot 10^{4}\ \text{J}$ The increase (from the rotational degrees of freedom that are added) is the difference: $\Delta E_\text{int} = E_\text{int}^\text{bi} - E_\text{int}^\text{mono} = nRT \approx 4{,}16\cdot 10^{3}\ \text{J}$ $\ev{E_\text{int}^\text{mono} \approx 6{,}23\cdot 10^{3}\ \text{J}\ ;\quad E_\text{int}^\text{bi} \approx 1{,}04\cdot 10^{4}\ \text{J}}$

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Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Energia interna · Temperatura Skills: Analisi di casi limite e fantafisica

Testo

Una bombola rigida e isolata contiene $n = 5$ mol di aria (biatomica, $f=5$) a $T = 290$ K. La bombola viene lasciata cadere da un’altezza di $h = 10$ m e si ferma toccando il suolo (la bombola non si deforma né scambia calore). Di quanto aumenta la temperatura dell’aria al suo interno? Considera la massa molare media dell’aria $M \approx 29\cdot 10^{-3}$ kg/mol.

Soluzione

Cadendo da $h$ il gas acquista energia cinetica macroscopica pari all’energia potenziale persa; all’impatto, poiché la bombola è rigida (niente lavoro) e isolata (niente calore), questa energia si converte in energia interna del gas.

Massa dell’aria contenuta: $M_\text{gas} = nM = 5\cdot 29\cdot 10^{-3} = 0{,}145\ \text{kg}$ Energia potenziale convertita in energia interna: $\Delta E_\text{int} = M_\text{gas}\,g\,h = 0{,}145\cdot 9{,}8\cdot 10 \approx 14{,}2\ \text{J}$ Per un gas biatomico ($f=5$) vale $\Delta E_\text{int} = \tfrac{5}{2}nR\,\Delta T$, quindi: $\Delta T = \frac{2\,\Delta E_\text{int}}{5nR} = \frac{2\cdot 14{,}2}{5\cdot 5\cdot 8{,}31}$ $\ev{\Delta T \approx 0{,}14\ \text{K}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna · Temperatura Competenze: Interpretazione micro-macro

Problem

A rigid, insulated cylinder contains $n = 5$ mol of air (diatomic, $f=5$) at $T = 290$ K. The cylinder is dropped from a height of $h = 10$ m and comes to rest on hitting the ground (the cylinder does not deform or exchange heat). By how much does the temperature of the air inside it increase? Use the average molar mass of air $M \approx 29\cdot 10^{-3}$ kg/mol.

Solution

Falling from $h$, the gas gains macroscopic kinetic energy equal to the potential energy lost; on impact, since the cylinder is rigid (no work) and insulated (no heat), this energy converts into internal energy of the gas.

Mass of the air contained: $M_\text{gas} = nM = 5\cdot 29\cdot 10^{-3} = 0{,}145\ \text{kg}$ Potential energy converted into internal energy: $\Delta E_\text{int} = M_\text{gas}\,g\,h = 0{,}145\cdot 9{,}8\cdot 10 \approx 14{,}2\ \text{J}$ For a diatomic gas ($f=5$), $\Delta E_\text{int} = \tfrac{5}{2}nR\,\Delta T$, so: $\Delta T = \frac{2\,\Delta E_\text{int}}{5nR} = \frac{2\cdot 14{,}2}{5\cdot 5\cdot 8{,}31}$ $\ev{\Delta T \approx 0{,}14\ \text{K}}$

Connections

Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Energia interna · Temperatura Skills: Interpretazione micro-macro

Testo

Due recipienti identici contengono uno idrogeno ($H_2$) e l’altro ossigeno ($O_2$), alla stessa temperatura e pressione. In quale dei due le molecole si muovono in media più velocemente? Di quanto (rapporto delle $v_\text{rms}$)? L’energia cinetica media per molecola è uguale o diversa?

Soluzione

La velocità quadratica media dipende dalla massa: $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$. A parità di temperatura, la molecola più leggera è la più veloce. L’idrogeno ($m_{H_2}=2$ u) è molto più leggero dell’ossigeno ($m_{O_2}=32$ u), quindi l’$H_2$ è più veloce.

Il rapporto delle velocità (stessa $T$, il fattore $3k_B T$ si semplifica): $\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{m_{O_2}}{m_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ L’idrogeno si muove in media 4 volte più velocemente.

L’energia cinetica traslazionale media per molecola dipende solo dalla temperatura: $\langle E_\text{cin}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ Essendo alla stessa $T$, è uguale per entrambi i gas: la maggiore velocità dell’$H_2$ compensa esattamente la sua massa minore. $\ev{H_2\ \text{più veloce};\ \ v_{H_2}/v_{O_2}=4;\ \ \langle E_\text{cin}\rangle\ \text{uguale}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

Problem

Two identical containers hold hydrogen ($H_2$) and oxygen ($O_2$) respectively, at the same temperature and pressure. In which of the two do the molecules move faster on average? By how much (ratio of the $v_\text{rms}$)? Is the average kinetic energy per molecule the same or different?

Solution

The root-mean-square speed depends on mass: $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$. At equal temperature, the lighter molecule is the faster one. Hydrogen ($m_{H_2}=2$ u) is much lighter than oxygen ($m_{O_2}=32$ u), so $H_2$ is faster.

The ratio of speeds (same $T$, the factor $3k_B T$ cancels): $\frac{v_{H_2}}{v_{O_2}} = \sqrt{\frac{m_{O_2}}{m_{H_2}}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$ Hydrogen moves on average 4 times faster.

The average translational kinetic energy per molecule depends only on temperature: $\langle E_\text{kin}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ Being at the same $T$, it is equal for both gases: the higher speed of $H_2$ exactly compensates for its lower mass. $\ev{H_2\ \text{faster};\ \ v_{H_2}/v_{O_2}=4;\ \ \langle E_\text{kin}\rangle\ \text{equal}}$

Connections

Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Velocità quadratica media · Energia cinetica Skills: Impostazione simbolica

Testo

Stima l’ordine di grandezza del numero di urti al secondo che le molecole d’aria esercitano complessivamente sul palmo della tua mano a temperatura e pressione ambiente. Considera $P_\text{atm}\approx 10^5$ Pa, area del palmo $A\approx 10^{-2}$ m$^2$, massa molare media $29\cdot 10^{-3}$ kg/mol, $T = 300$ K. Suggerimento: la pressione è il flusso di quantità di moto.

Soluzione

Ogni urto trasferisce alla mano una quantità di moto dell’ordine di $\Delta p \sim m v$, dove $m$ è la massa di una molecola e $v$ la sua velocità tipica. La forza sulla mano è $F = PA$, cioè quantità di moto ceduta al secondo. Il numero di urti al secondo è dunque $N_\text{urti} \sim F/\Delta p = PA/(m v)$.

Massa di una molecola d’aria: $m = \frac{m_\text{mol}}{N_A} = \frac{29\cdot 10^{-3}}{6{,}02\cdot 10^{23}} \approx 4{,}8\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$ Velocità tipica (quadratica media): $v \approx \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}} = \sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{29\cdot 10^{-3}}} \approx 5\cdot 10^{2}\ \text{m/s}$ Forza esercitata dall’aria sul palmo: $F = PA = 10^{5}\cdot 10^{-2} = 10^{3}\ \text{N}$ Numero di urti al secondo: $N_\text{urti} \sim \frac{F}{m v} = \frac{10^{3}}{4{,}8\cdot 10^{-26}\cdot 5\cdot 10^{2}} \approx 4\cdot 10^{25}$ Come ordine di grandezza: $\ev{N_\text{urti} \sim 10^{25}\ \text{urti/s}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Pressione Competenze: Stime di Fermi · Analisi dimensionale

Problem

Estimate the order of magnitude of the number of collisions per second that air molecules exert overall on the palm of your hand at room temperature and pressure. Use $P_\text{atm}\approx 10^5$ Pa, palm area $A\approx 10^{-2}$ m$^2$, average molar mass $29\cdot 10^{-3}$ kg/mol, $T = 300$ K. Hint: pressure is the flux of momentum.

Solution

Each collision transfers to the hand a momentum of order $\Delta p \sim m v$, where $m$ is the mass of a molecule and $v$ its typical speed. The force on the hand is $F = PA$, i.e. the momentum delivered per second. The number of collisions per second is therefore $N_\text{collisions} \sim F/\Delta p = PA/(m v)$.

Mass of one air molecule: $m = \frac{m_\text{mol}}{N_A} = \frac{29\cdot 10^{-3}}{6{,}02\cdot 10^{23}} \approx 4{,}8\cdot 10^{-26}\ \text{kg}$ Typical (root-mean-square) speed: $v \approx \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}} = \sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{29\cdot 10^{-3}}} \approx 5\cdot 10^{2}\ \text{m/s}$ Force exerted by the air on the palm: $F = PA = 10^{5}\cdot 10^{-2} = 10^{3}\ \text{N}$ Number of collisions per second: $N_\text{collisions} \sim \frac{F}{m v} = \frac{10^{3}}{4{,}8\cdot 10^{-26}\cdot 5\cdot 10^{2}} \approx 4\cdot 10^{25}$ As an order of magnitude: $\ev{N_\text{collisions} \sim 10^{25}\ \text{collisions/s}}$

Connections

Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Pressione Skills: Stime di Fermi · Analisi dimensionale

Testo

Partendo dall’espressione dell’energia cinetica media traslazionale di una molecola $\langle E_\text{cin,trasl}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ e dalla relazione microscopica $P = \tfrac{2}{3}\,E_\text{cin}/V$, dimostra l’equazione di stato dei gas perfetti $PV = nRT$. Indica chiaramente il passaggio da $N$ a $n$ (numero di moli).

Soluzione

Nella relazione microscopica $E_\text{cin}$ è l’energia cinetica traslazionale totale del gas: somma dei contributi di tutte le $N$ molecole. Se ogni molecola ha in media $\langle E_\text{cin,trasl}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$, allora: $E_\text{cin} = N\,\langle E_\text{cin,trasl}\rangle = N\cdot \tfrac{3}{2}k_B T$ Sostituisco nella relazione microscopica della pressione: $P = \frac{2}{3}\frac{E_\text{cin}}{V} = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{V}\cdot N\cdot \tfrac{3}{2}k_B T$ Il fattore $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2}=1$ si semplifica: $PV = N k_B T$ Passo ora da $N$ (numero di molecole) a $n$ (numero di moli) usando $N = n N_A$: $PV = n N_A k_B T$ Definendo la costante universale dei gas $R = N_A k_B$ (prodotto del numero di Avogadro per la costante di Boltzmann): $PV = nRT$ $\ev{PV = nRT\quad \text{con}\ R = N_A k_B}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Legge dei gas perfetti · Energia cinetica Competenze: Impostazione simbolica

Problem

Starting from the expression for the average translational kinetic energy of a molecule $\langle E_\text{kin,transl}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$ and the microscopic relation $P = \tfrac{2}{3}\,E_\text{kin}/V$, derive the ideal gas equation of state $PV = nRT$. Clearly show the step from $N$ to $n$ (number of moles).

Solution

In the microscopic relation $E_\text{kin}$ is the total translational kinetic energy of the gas: the sum of the contributions of all $N$ molecules. If each molecule has on average $\langle E_\text{kin,transl}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$, then: $E_\text{kin} = N\,\langle E_\text{kin,transl}\rangle = N\cdot \tfrac{3}{2}k_B T$ Substituting into the microscopic pressure relation: $P = \frac{2}{3}\frac{E_\text{kin}}{V} = \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{V}\cdot N\cdot \tfrac{3}{2}k_B T$ The factor $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{3}{2}=1$ simplifies: $PV = N k_B T$ I now move from $N$ (number of molecules) to $n$ (number of moles) using $N = n N_A$: $PV = n N_A k_B T$ Defining the universal gas constant $R = N_A k_B$ (the product of Avogadro’s number and the Boltzmann constant): $PV = nRT$ $\ev{PV = nRT\quad \text{with}\ R = N_A k_B}$

Connections

Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Legge dei gas perfetti · Energia cinetica Skills: Impostazione simbolica

Testo

A quale temperatura la velocità quadratica media di una molecola di idrogeno ($m_\text{mol} = 2\cdot 10^{-3}$ kg/mol) raggiungerebbe la velocità di fuga dalla superficie terrestre, $v_\text{fuga}\approx 1{,}12\cdot 10^4$ m/s? Commenta il risultato in relazione alla scarsità di idrogeno nell’atmosfera terrestre.

Soluzione

Impongo che la velocità quadratica media eguagli la velocità di fuga: $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}} = v_\text{fuga}$ Elevo al quadrato e ricavo $T$: $T = \frac{m_\text{mol}\,v_\text{fuga}^2}{3R}$ Sostituisco i valori numerici: $T = \frac{2\cdot 10^{-3}\cdot (1{,}12\cdot 10^{4})^2}{3\cdot 8{,}31}$ $T = \frac{2\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}25\cdot 10^{8}}{24{,}9} \approx 1{,}0\cdot 10^{4}\ \text{K}$ Commento. Servirebbero circa $10\,000$ K perché la media delle molecole di idrogeno raggiunga la velocità di fuga: l’atmosfera è molto più fredda (~$300$ K). Tuttavia la distribuzione di Maxwell–Boltzmann ha una coda ad alte velocità: essendo l’idrogeno leggerissimo, una frazione non trascurabile delle sue molecole supera comunque $v_\text{fuga}$ e sfugge nello spazio nel corso delle ere geologiche. Per questo l’idrogeno libero è raro nell’atmosfera terrestre, mentre azoto e ossigeno, molto più pesanti, restano intrappolati. $\ev{T \approx 1{,}0\cdot 10^{4}\ \text{K}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Temperatura Competenze: Impostazione simbolica

Problem

At what temperature would the root-mean-square speed of a hydrogen molecule ($m_\text{mol} = 2\cdot 10^{-3}$ kg/mol) reach the escape velocity from Earth’s surface, $v_\text{fuga}\approx 1{,}12\cdot 10^4$ m/s? Comment on the result in relation to the scarcity of hydrogen in Earth’s atmosphere.

Solution

Set the root-mean-square speed equal to the escape velocity: $v_\text{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{m_\text{mol}}} = v_\text{fuga}$ Square both sides and solve for $T$: $T = \frac{m_\text{mol}\,v_\text{fuga}^2}{3R}$ Substitute the numerical values: $T = \frac{2\cdot 10^{-3}\cdot (1{,}12\cdot 10^{4})^2}{3\cdot 8{,}31}$ $T = \frac{2\cdot 10^{-3}\cdot 1{,}25\cdot 10^{8}}{24{,}9} \approx 1{,}0\cdot 10^{4}\ \text{K}$ Comment. About $10\,000$ K would be needed for the average hydrogen molecule to reach the escape velocity: the atmosphere is much colder (~$300$ K). However, the Maxwell–Boltzmann distribution has a high-speed tail: since hydrogen is extremely light, a non-negligible fraction of its molecules nonetheless exceed $v_\text{fuga}$ and escape into space over geological ages. This is why free hydrogen is rare in Earth’s atmosphere, while nitrogen and oxygen, much heavier, remain trapped. $\ev{T \approx 1{,}0\cdot 10^{4}\ \text{K}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Temperatura Competenze: Impostazione simbolica

Testo

Ranking. Quattro campioni di gas ideale con temperature $T$ e masse molecolari $m$:

• (A) $T = 300\ \text{K}$, elio ($m = 4\ \text{u}$).
• (B) $T = 300\ \text{K}$, argon ($m = 40\ \text{u}$).
• (C) $T = 600\ \text{K}$, elio.
• (D) $T = 1200\ \text{K}$, elio.

Ordina le velocità quadratiche medie $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$ dalla più piccola alla più grande.

Soluzione

Poiché $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$, il fattore $3k_B$ è comune a tutti: basta confrontare il rapporto $T/m$ (più grande $\Rightarrow$ più veloce). Calcolo $T/m$ per ciascun campione (masse in u): $\begin{aligned} \text{A}: \frac{300}{4}=75 \qquad & \text{B}: \frac{300}{40}=7{,}5 \\ \text{C}: \frac{600}{4}=150 \qquad & \text{D}: \frac{1200}{4}=300 \end{aligned}$ Ordino i valori dal più piccolo al più grande: $7{,}5 < 75 < 150 < 300$, cioè B $<$ A $<$ C $<$ D. L’argon (B) è il più lento perché pesante; fra i campioni di elio vince quello a temperatura maggiore (D). $\ev{\text{B} < \text{A} < \text{C} < \text{D}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Ranking. Four ideal-gas samples with temperatures $T$ and molecular masses $m$:

• (A) $T = 300\ \text{K}$, helium ($m = 4\ \text{u}$).
• (B) $T = 300\ \text{K}$, argon ($m = 40\ \text{u}$).
• (C) $T = 600\ \text{K}$, helium.
• (D) $T = 1200\ \text{K}$, helium.

Order the root-mean-square speeds $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$ from smallest to largest.

Solution

Since $v_\text{rms} = \sqrt{3k_B T/m}$, the factor $3k_B$ is common to all: it suffices to compare the ratio $T/m$ (larger $\Rightarrow$ faster). Computing $T/m$ for each sample (masses in u): $\begin{aligned} \text{A}: \frac{300}{4}=75 \qquad & \text{B}: \frac{300}{40}=7{,}5 \\ \text{C}: \frac{600}{4}=150 \qquad & \text{D}: \frac{1200}{4}=300 \end{aligned}$ Ordering the values from smallest to largest: $7{,}5 < 75 < 150 < 300$, i.e. B $<$ A $<$ C $<$ D. Argon (B) is the slowest because it is heavy; among the helium samples, the one at the highest temperature (D) wins. $\ev{\text{B} < \text{A} < \text{C} < \text{D}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Root-mean-square speed Skills: Ranking reasoning

Testo

Perché l’atmosfera non ha elio. L’atmosfera terrestre contiene azoto e ossigeno in grande quantità, ma pochissimo elio. Il motivo è cinetico: la velocità di fuga dalla Terra è $v_f \approx 11\ \text{km/s}$.

• (a) Perché una molecola di elio ha una probabilità molto maggiore di una molecola di azoto di raggiungere $v_f$ a temperatura ambiente?
• (b) Perché sulla Luna nessun gas resta intrappolato a lungo?

Rispondi con argomenti solo qualitativi ma quantitativamente giustificati.

Soluzione

(a) A parità di temperatura tutte le molecole hanno la stessa energia cinetica media $\langle E_\text{cin}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$, ma la velocità dipende dalla massa: $v_\text{rms}\propto 1/\sqrt{m}$. L’elio ($m=4$ u) è più leggero dell’azoto ($m=28$ u), quindi è più veloce di un fattore $\frac{v_\text{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7} \approx 2{,}6$ Essendo la sua velocità tipica ~$2{,}6$ volte maggiore, la distribuzione di velocità dell’elio è molto più “spostata a destra”: la sua coda di Maxwell–Boltzmann oltre la soglia $v_f$ contiene una frazione di molecole enormemente più grande. Nel corso delle ere geologiche l’elio evapora nello spazio, mentre l’azoto, molto più lento, resta intrappolato.

(b) La velocità di fuga dipende dalla massa del corpo: sulla Luna è molto più bassa, $v_f \approx 2{,}4\ \text{km/s}$, contro gli $11$ km/s terrestri. Con una soglia così bassa, anche le molecole pesanti (azoto, ossigeno, anidride carbonica) hanno una frazione significativa nella coda oltre $v_f$ già a temperatura ordinaria. Perciò qualunque gas evapora rapidamente e la Luna non trattiene atmosfera. $\ev{\text{He} \sim 2{,}6\times\ \text{più veloce} \Rightarrow \text{fugge};\quad \text{Luna } v_f\approx 2{,}4\ \text{km/s} \Rightarrow \text{nessun gas resta}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Distribuzione di Maxwell-Boltzmann · Velocità quadratica media Competenze: Interpretazione micro-macro

Problem

Why the atmosphere has no helium. Earth’s atmosphere contains large amounts of nitrogen and oxygen, but very little helium. The reason is kinetic: the escape velocity from Earth is $v_f \approx 11\ \text{km/s}$.

• (a) Why does a helium molecule have a much higher probability than a nitrogen molecule of reaching $v_f$ at room temperature?
• (b) Why does no gas stay trapped for long on the Moon?

Answer with purely qualitative but quantitatively justified arguments.

Solution

(a) At the same temperature all molecules have the same mean kinetic energy $\langle E_\text{cin}\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T$, but the speed depends on the mass: $v_\text{rms}\propto 1/\sqrt{m}$. Helium ($m=4$ u) is lighter than nitrogen ($m=28$ u), so it is faster by a factor $\frac{v_\text{He}}{v_{N_2}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7} \approx 2{,}6$ Since its typical speed is ~$2{,}6$ times greater, helium’s speed distribution is much more “shifted to the right”: its Maxwell–Boltzmann tail beyond the threshold $v_f$ contains an enormously larger fraction of molecules. Over geological eras, helium evaporates into space, while nitrogen, much slower, stays trapped.

(b) The escape velocity depends on the mass of the body: on the Moon it is much lower, $v_f \approx 2{,}4\ \text{km/s}$, against Earth’s $11$ km/s. With such a low threshold, even heavy molecules (nitrogen, oxygen, carbon dioxide) have a significant fraction in the tail beyond $v_f$ already at ordinary temperature. So any gas evaporates rapidly and the Moon retains no atmosphere. $\ev{\text{He} \sim 2{,}6\times\ \text{faster} \Rightarrow \text{escapes};\quad \text{Moon } v_f\approx 2{,}4\ \text{km/s} \Rightarrow \text{no gas remains}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Maxwell-Boltzmann distribution · Root-mean-square speed Skills: Micro-macro interpretation

Testo

Una bombola contiene gas ideale a $T=300$ K, $V=10$ L, $p = 1{,}0$ atm. Quante moli di gas contiene? Quante molecole?

Soluzione

Uso l’equazione di stato dei gas perfetti $pV = nRT$, ricavando $n$. Converto prima le unità nel Sistema Internazionale: $V = 10\ \text{L} = 10^{-2}\ \text{m}^3$ e $p = 1{,}0\ \text{atm} = 1{,}013\cdot 10^{5}\ \text{Pa}$. $n = \frac{pV}{RT} = \frac{1{,}013\cdot 10^{5}\cdot 10^{-2}}{8{,}31\cdot 300}$ $n = \frac{1013}{2493} \approx 0{,}40\ \text{mol}$ Il numero di molecole si ottiene moltiplicando per il numero di Avogadro: $N = n\,N_A = 0{,}40\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} \approx 2{,}4\cdot 10^{23}\ \text{molecole}$ $\ev{n \approx 0{,}40\ \text{mol}\ ;\quad N \approx 2{,}4\cdot 10^{23}\ \text{molecole}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Legge dei gas perfetti Competenze: Conversione di unità Metodi: Metodo dei fattori di conversione

Problem

A cylinder contains ideal gas at $T=300$ K, $V=10$ L, $p = 1{,}0$ atm. How many moles of gas does it contain? How many molecules?

Solution

I use the ideal gas equation of state $pV = nRT$, solving for $n$. First I convert the units to the International System: $V = 10\ \text{L} = 10^{-2}\ \text{m}^3$ and $p = 1{,}0\ \text{atm} = 1{,}013\cdot 10^{5}\ \text{Pa}$. $n = \frac{pV}{RT} = \frac{1{,}013\cdot 10^{5}\cdot 10^{-2}}{8{,}31\cdot 300}$ $n = \frac{1013}{2493} \approx 0{,}40\ \text{mol}$ The number of molecules is obtained by multiplying by Avogadro’s number: $N = n\,N_A = 0{,}40\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} \approx 2{,}4\cdot 10^{23}\ \text{molecules}$ $\ev{n \approx 0{,}40\ \text{mol}\ ;\quad N \approx 2{,}4\cdot 10^{23}\ \text{molecules}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Ideal gas law Skills: Unit conversion Methods: Conversion factor method

Testo

Un gas ideale chiuso in un recipiente rigido si trova a $T = 300$ K, $p = 1{,}0$ atm. A quale temperatura la pressione raddoppia?

Soluzione

Il recipiente è rigido, quindi il volume $V$ resta costante. Per un gas ideale, a $V$ e $n$ fissati, la legge di Gay-Lussac lega pressione e temperatura assoluta in modo direttamente proporzionale: $\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$ Se la pressione raddoppia, $p_2 = 2\,p_1$, quindi anche la temperatura assoluta raddoppia: $T_2 = T_1\,\frac{p_2}{p_1}=300\cdot 2$ $\ev{T_2 \approx 600\ \text{K}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Legge dei gas perfetti · Temperatura · Pressione

Problem

An ideal gas enclosed in a rigid container is at $T = 300$ K, $p = 1{,}0$ atm. At what temperature does the pressure double?

Solution

The container is rigid, so the volume $V$ stays constant. For an ideal gas, at fixed $V$ and $n$, Gay-Lussac’s law relates pressure and absolute temperature in direct proportion: $\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$ If the pressure doubles, $p_2 = 2\,p_1$, so the absolute temperature also doubles: $T_2 = T_1\,\frac{p_2}{p_1}=300\cdot 2$ $\ev{T_2 \approx 600\ \text{K}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Ideal gas law · Temperature · Pressure

Testo

Calcola la velocità quadratica media delle molecole di azoto a temperatura ambiente ($T = 300$ K, $M_{N_2} = 28$ g/mol). Confronta con la velocità del suono nell’aria ($\sim 340$ m/s).

Soluzione

La velocità quadratica media si ricava eguagliando l’energia cinetica media di traslazione per mole, $\tfrac{3}{2}RT$, all’espressione $\tfrac{1}{2}M v_\text{rms}^2$: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ Con $M = 28$ g/mol $= 0{,}028$ kg/mol: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{0{,}028}}\approx 517\ \text{m/s}$ Nota: la velocità media (aritmetica) è una quantità distinta e più piccola, $\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\approx 475\text{–}484\ \text{m/s}$ È questa $\langle v\rangle$ il valore $\approx 484$ m/s spesso citato; la $v_\text{rms}$ chiesta qui vale $\approx 517$ m/s. Confronto con il suono: le molecole si muovono in media più veloci della velocità del suono ($\sim 340$ m/s), coerente col fatto che il suono si propaga proprio grazie agli urti fra molecole, quindi non può superarne la velocità tipica. $\ev{v_\text{rms}\approx 517\ \text{m/s} > v_\text{suono}\approx 340\ \text{m/s}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media Competenze: Impostazione simbolica

Problem

Calculate the root-mean-square speed of nitrogen molecules at room temperature ($T = 300$ K, $M_{N_2} = 28$ g/mol). Compare with the speed of sound in air ($\sim 340$ m/s).

Solution

The root-mean-square speed is obtained by equating the mean translational kinetic energy per mole, $\tfrac{3}{2}RT$, to the expression $\tfrac{1}{2}M v_\text{rms}^2$: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$ With $M = 28$ g/mol $= 0{,}028$ kg/mol: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3\cdot 8{,}31\cdot 300}{0{,}028}}\approx 517\ \text{m/s}$ Note: the (arithmetic) mean speed is a distinct, smaller quantity, $\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}\approx 475\text{–}484\ \text{m/s}$ It is this $\langle v\rangle$ that gives the often-quoted value $\approx 484$ m/s; the $v_\text{rms}$ asked for here is $\approx 517$ m/s. Comparison with sound: the molecules move, on average, faster than the speed of sound ($\sim 340$ m/s), consistent with the fact that sound propagates precisely thanks to collisions between molecules, so it cannot exceed their typical speed. $\ev{v_\text{rms}\approx 517\ \text{m/s} > v_\text{sound}\approx 340\ \text{m/s}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Root-mean-square speed Skills: Symbolic setup

Testo

Due gas diversi, idrogeno e ossigeno, sono mantenuti alla stessa temperatura. Quale dei due ha le molecole più veloci in media? Spiega perché.

Soluzione

La temperatura fissa l’energia cinetica media di traslazione per molecola, che è la stessa per entrambi i gas e non dipende dalla massa: $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T$ Da $\tfrac{1}{2}m\,v_\text{rms}^2 = \tfrac{3}{2}k_B T$ segue che la velocità dipende dalla massa: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}\propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ A pari energia cinetica, le molecole più leggere devono muoversi più velocemente. L’idrogeno ($m_{H_2}\approx 2$ u) è molto più leggero dell’ossigeno ($m_{O_2}\approx 32$ u), quindi è più veloce: precisamente $v_\text{rms}$ dell’idrogeno è $\sqrt{32/2}=4$ volte quella dell’ossigeno. $\ev{\text{L'idrogeno: stessa } \bar E=\tfrac{3}{2}k_B T,\ \text{ma } v_\text{rms}\propto 1/\sqrt{m}\Rightarrow H_2 \text{ più veloce}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Velocità quadratica media · Energia cinetica Competenze: Interpretazione micro-macro

Problem

Two different gases, hydrogen and oxygen, are kept at the same temperature. Which of the two has the faster molecules on average? Explain why.

Solution

The temperature fixes the mean translational kinetic energy per molecule, which is the same for both gases and does not depend on mass: $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T$ From $\tfrac{1}{2}m\,v_\text{rms}^2 = \tfrac{3}{2}k_B T$ it follows that the speed depends on the mass: $v_\text{rms}=\sqrt{\frac{3k_B T}{m}}\propto \frac{1}{\sqrt{m}}$ At equal kinetic energy, lighter molecules must move faster. Hydrogen ($m_{H_2}\approx 2$ u) is much lighter than oxygen ($m_{O_2}\approx 32$ u), so it is faster: precisely, $v_\text{rms}$ of hydrogen is $\sqrt{32/2}=4$ times that of oxygen. $\ev{\text{Hydrogen: same } \bar E=\tfrac{3}{2}k_B T,\ \text{but } v_\text{rms}\propto 1/\sqrt{m}\Rightarrow H_2 \text{ faster}}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Root-mean-square speed · Kinetic energy Skills: Micro-macro interpretation

Testo

Tre campioni di gas:

• A: $1$ mole di elio a $300$ K;
• B: $1$ mole di azoto a $300$ K;
• C: $1$ mole di elio a $600$ K.

Ordina l’energia cinetica media per molecola dal più piccolo al più grande.

Soluzione

L’energia cinetica media di traslazione per molecola dipende solo dalla temperatura, non dalla massa né dalla specie chimica: $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T$ Confrontiamo i tre campioni:

• A (elio, $300$ K) e B (azoto, $300$ K): stessa temperatura, quindi stessa $\bar E$. Il tipo di gas è irrilevante: $E_A = E_B$.
• C (elio, $600$ K): temperatura doppia, quindi $\bar E$ doppia rispetto ad A e B.

Dunque $E_A = E_B$ e $E_C = 2E_A$, e ordinando dal più piccolo al più grande $E_A = E_B < E_C$: $\ev{E_C > E_B = E_A}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia cinetica · Temperatura Competenze: Ragionamento di ranking

Problem

Three gas samples:

• A: $1$ mole of helium at $300$ K;
• B: $1$ mole of nitrogen at $300$ K;
• C: $1$ mole of helium at $600$ K.

Order the mean kinetic energy per molecule from smallest to largest.

Solution

The mean translational kinetic energy per molecule depends only on temperature, not on mass or chemical species: $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T$ Comparing the three samples:

• A (helium, $300$ K) and B (nitrogen, $300$ K): same temperature, so same $\bar E$. The type of gas is irrelevant: $E_A = E_B$.
• C (helium, $600$ K): double the temperature, so double the $\bar E$ compared with A and B.

Hence $E_A = E_B$ and $E_C = 2E_A$, and ordering from smallest to largest $E_A = E_B < E_C$: $\ev{E_C > E_B = E_A}$

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Topics: Kinetic theory of gases Concepts: Kinetic energy · Temperature Skills: Ranking reasoning

Testo

Vero o falso?

• (a) In un gas ideale le molecole interagiscono fra loro a distanza con forze elastiche.
• (b) L’energia cinetica media di traslazione di una molecola dipende solo dalla temperatura.
• (c) Tutte le molecole di un gas alla stessa $T$ hanno la stessa velocità.
• (d) La pressione di un gas è dovuta agli urti delle molecole con le pareti.
• (e) Lo zero assoluto corrisponde a velocità media nulla delle molecole.

Soluzione

(a) Falso. Nel modello di gas ideale le molecole sono puntiformi e non interagiscono a distanza: si scambiano energia e quantità di moto solo negli urti (istantanei) con le pareti e fra loro. Le forze a distanza compaiono solo nei gas reali (Van der Waals).

(b) Vero. L’energia cinetica media di traslazione è $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T$: dipende solo dalla temperatura assoluta, non dalla massa o dalla specie.

(c) Falso. A una data $T$ le velocità sono distribuite secondo Maxwell-Boltzmann: coesistono molecole lente e velocissime. La temperatura fissa solo il valore medio (di $v^2$), non un valore unico.

(d) Vero. La pressione macroscopica è la media degli innumerevoli urti delle molecole sulle pareti: ogni urto trasferisce quantità di moto, e la forza media per unità di superficie è la pressione.

(e) Vero. Nel modello classico lo zero assoluto ($T=0$ K) corrisponde ad annullamento dell’agitazione termica, cioè velocità (media) nulla. È il limite in cui $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T \to 0$. $\ev{\text{F, V, F, V, V}}$

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Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Temperatura · Pressione Competenze: Interpretazione micro-macro

Problem

True or false?

• (a) In an ideal gas the molecules interact with each other at a distance via elastic forces.
• (b) The mean translational kinetic energy of a molecule depends only on temperature.
• (c) All molecules of a gas at the same $T$ have the same speed.
• (d) The pressure of a gas is due to the molecules colliding with the walls.
• (e) Absolute zero corresponds to zero mean speed of the molecules.

Solution

(a) False. In the ideal-gas model the molecules are point-like and do not interact at a distance: they exchange energy and momentum only in (instantaneous) collisions with the walls and with each other. Forces at a distance appear only in real gases (Van der Waals).

(b) True. The mean translational kinetic energy is $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T$: it depends only on the absolute temperature, not on mass or species.

(c) False. At a given $T$ the speeds are distributed according to Maxwell-Boltzmann: slow and very fast molecules coexist. The temperature fixes only the mean value (of $v^2$), not a single value.

(d) True. Macroscopic pressure is the average of the countless molecular collisions on the walls: each collision transfers momentum, and the average force per unit area is the pressure.

(e) True. In the classical model, absolute zero ($T=0$ K) corresponds to the vanishing of thermal agitation, i.e. zero (mean) speed. It is the limit in which $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T \to 0$. $\ev{\text{F, T, F, T, T}}$