Energia potenziale elettrostatica

Come la gravità, anche la forza di Coulomb è conservativa e ammette un’energia potenziale. Introdurla permette di estendere alle particelle cariche tutto il metodo energetico — diagramma a bolle, tabella energetica, conservazione — e di combinarlo con la conservazione della quantità di moto nei problemi a due corpi. Questa sezione ne dà la formula, il diagramma a bolle e i due grandi principi che i problemi di collisione tra cariche mettono in gioco.

• Energia potenziale elettrostatica
• Diagramma a bolle con energia elettrostatica
• Due leggi di conservazione insieme
• Il centro di massa ignora le forze interne

Like gravity, the Coulomb force is also conservative and admits a potential energy. Introducing it makes it possible to extend the whole energy method — bubble diagram, energy table, conservation — to charged particles, and to combine it with conservation of momentum in two-body problems. This section gives its formula, the bubble diagram, and the two great principles that collision problems between charges bring into play.

• Electrostatic potential energy
• Bubble diagram with electrostatic energy
• Two conservation laws together
• The centre of mass ignores internal forces

La forza di Coulomb, come la gravità, è una forza conservativa: il lavoro che compie non dipende dal cammino percorso ma solo dalle posizioni iniziale e finale delle cariche. A ogni forza conservativa corrisponde un’energia potenziale, e quella di Coulomb ha una forma particolarmente semplice.

Formula chiave — Energia potenziale elettrostatica

$\ev{E_{\text{pot}} = k\,\frac{q_1\,q_2}{r}}$ Positiva se le cariche si respingono (stesso segno), negativa se si attraggono (segni opposti).

Si noti la differenza con la legge della forza: l’energia potenziale va come $1/r$, non come $1/r^2$. E soprattutto, a differenza dell’energia potenziale gravitazionale $mgh$ — sempre riferita a un’altezza e con la massa sempre positiva — qui compare il prodotto con segno $q_1 q_2$. Questa è la novità cruciale dell’elettrostatica.

Può essere positiva o negativa

L’energia potenziale di Coulomb ha lo stesso ruolo dell’$E_{\text{pot,grav}}$, ma con una differenza decisiva: può essere sia positiva che negativa. Due cariche opposte hanno energia potenziale negativa (sono “legate”, occorre fornire energia per allontanarle); due cariche uguali hanno energia positiva (tendono a fuggirsi, cedendo energia mentre si allontanano).

Per un sistema di $N$ cariche l’energia potenziale totale è la somma su tutte le coppie distinte:

$E_{\text{pot,tot}} = \sum_{\text{coppie}} k\,\frac{q_i\,q_j}{r_{ij}}$

Questa energia si aggiunge nella tabella energetica accanto a $E_{\text{cin}}$, $E_{\text{pot,grav}}$ ed $E_{\text{term}}$: da quel momento è possibile risolvere problemi di collisione o di moto tra particelle cariche con il consueto metodo della conservazione dell’energia, esattamente come si faceva per molle e gravità.

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Legge di Coulomb Competenze: Conservazione dell’energia

Esercizi collegati: Lavoro per separare due cariche · Esercizio svolto — Tre cariche ai vertici di un triangolo · Problema — Forza tra due cariche da 1 microcoulomb

The Coulomb force, like gravity, is a conservative force: the work it does does not depend on the path taken but only on the initial and final positions of the charges. Every conservative force has a corresponding potential energy, and Coulomb’s has a particularly simple form.

Key formula — Electrostatic potential energy

$\ev{E_{\text{pot}} = k\,\frac{q_1\,q_2}{r}}$ Positive if the charges repel each other (same sign), negative if they attract (opposite signs).

Note the difference from the force law: the potential energy goes as $1/r$, not $1/r^2$. And above all, unlike gravitational potential energy $mgh$ — always referred to a height and with mass always positive — here the signed product $q_1 q_2$ appears. This is the crucial novelty of electrostatics.

Can be positive or negative

Coulomb potential energy plays the same role as $E_{\text{pot,grav}}$, but with a decisive difference: it can be either positive or negative. Two opposite charges have negative potential energy (they are “bound”, energy must be supplied to pull them apart); two like charges have positive energy (they tend to flee each other, releasing energy as they move apart).

For a system of $N$ charges the total potential energy is the sum over all distinct pairs:

$E_{\text{pot,tot}} = \sum_{\text{pairs}} k\,\frac{q_i\,q_j}{r_{ij}}$

This energy is added to the energy table alongside $E_{\text{cin}}$, $E_{\text{pot,grav}}$ and $E_{\text{term}}$: from this point on it is possible to solve collision or motion problems between charged particles with the usual conservation of energy method, exactly as was done for springs and gravity.

Links

Topics: Electrostatics Concepts: Electrostatic potential energy · Coulomb’s law Skills: Conservation of energy

Related exercises: Work to separate two charges · Worked exercise — Three charges at the vertices of a triangle · Problem — Force between two 1-microcoulomb charges

Il diagramma a bolle introdotto nel capitolo sull’energia si estende in modo naturale all’elettrostatica: basta aggiungere una bolla per l’energia potenziale elettrostatica $E_{\text{pot,el}}$. Il sistema di due cariche si rappresenta con questa bolla centrale, collegata alle due energie cinetiche delle particelle ai lati.

Diagramma a bolle per due cariche: $E_{\text{pot,el}}$ al centro, le due energie cinetiche ai lati. Se il sistema è isolato, l’energia totale $E_{\text{tot}}$ si conserva: ogni riga superiore è lo stato iniziale, ogni riga inferiore lo stato finale.

La lettura è la solita: ogni bolla contiene il valore iniziale (in alto) e finale (in basso) di quel tipo di energia; le frecce indicano i trasferimenti interni. Poiché il sistema è isolato, nessuna freccia attraversa il bordo tratteggiato e la somma dei contenuti resta costante.

Il caso più istruttivo è quello di due cariche che si attraggono ($q_1 q_2 < 0$). L’energia potenziale è negativa e, man mano che le cariche si avvicinano, diventa più negativa: il suo valore assoluto cresce. Quell’energia “liberata” non sparisce, ma si travasa nelle due bolle cinetiche laterali, che si riempiono: le particelle accelerano. È esattamente ciò che accade nei problemi di due cariche rilasciate da ferme, dove il calo di $E_{\text{pot,el}}$ fissa l’energia cinetica finale complessiva.

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica Competenze: Bilancio energetico a bolle Metodi: Diagramma a bolle di scambio energetico

Esercizi collegati: Problema — Collisione tra cariche con attrito · Problema — Due cariche rilasciate da ferme · Problema — I due pistoleri

The bubble diagram introduced in the chapter on energy extends naturally to electrostatics: just add a bubble for the electrostatic potential energy $E_{\text{pot,el}}$. The system of two charges is represented with this central bubble, connected to the two kinetic energies of the particles on either side.

Bubble diagram for two charges: $E_{\text{pot,el}}$ in the centre, the two kinetic energies on either side. If the system is isolated, the total energy $E_{\text{tot}}$ is conserved: each top row is the initial state, each bottom row the final state.

The reading is the usual one: each bubble contains the initial value (top) and final value (bottom) of that type of energy; the arrows show internal transfers. Since the system is isolated, no arrow crosses the dashed boundary and the sum of the contents stays constant.

The most instructive case is that of two charges that attract each other ($q_1 q_2 < 0$). The potential energy is negative and, as the charges approach, it becomes more negative: its absolute value grows. That “released” energy does not vanish, but flows into the two side kinetic bubbles, which fill up: the particles accelerate. This is exactly what happens in problems with two charges released from rest, where the drop in $E_{\text{pot,el}}$ fixes the overall final kinetic energy.

Links

Topics: Electrostatics Concepts: Electrostatic potential energy Skills: Bubble energy balance Methods: Bubble diagram of energy exchange

Related exercises: Problem — Collision between charges with friction · Problem — Two charges released from rest · Problem — The two gunslingers

I problemi di due cariche che interagiscono senza forze esterne — rilasciate da ferme, oppure lanciate l’una contro l’altra — hanno una struttura ricorrente: mettono in gioco due leggi di conservazione contemporaneamente. Riconoscerle entrambe è la chiave per risolverli.

Le due conservazioni

• Quantità di moto (grandezza vettoriale): si conserva perché sul sistema delle due cariche non agiscono forze esterne. La forza di Coulomb è interna e, per la terza legge di Newton, non altera la quantità di moto totale.
• Energia (grandezza scalare): si conserva perché la forza di Coulomb è conservativa e ammette l’energia potenziale $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2 / r$.

È esattamente lo stesso schema del metodo delle due tabelle parallele già usato per gli urti meccanici: una tabella per la quantità di moto (prima/dopo), una per l’energia (prima/dopo). La conservazione della quantità di moto lega tra loro le velocità delle due particelle — ad esempio, per due masse inizialmente ferme, impone $m_1\vv{v}_1 + m_2\vv{v}_2 = 0$, cioè $\vv{v}_2 = -\dfrac{m_1}{m_2}\vv{v}_1$ — mentre la conservazione dell’energia fissa il modulo delle velocità a partire dalla variazione di $E_{\text{pot,el}}$ tra le due configurazioni.

Le due equazioni insieme bastano a determinare completamente lo stato finale. Il valore di questo metodo sta proprio nell’incastro: né la sola conservazione della quantità di moto (che dà i rapporti tra le velocità ma non i moduli), né la sola conservazione dell’energia (che dà l’energia totale ma non come si ripartisce), risolverebbero il problema da sole. È la loro combinazione a chiuderlo.

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Conservazione della quantità di moto Competenze: Metodo delle due tabelle Metodi: Metodo delle due tabelle parallele

Esercizi collegati: Problema — Due cariche rilasciate da ferme · Problema — I due pistoleri · Problema — Due cariche lanciate verso l’alto

Problems involving two charges interacting without external forces — released from rest, or fired at each other — have a recurring structure: they bring two conservation laws into play at once. Recognising both is the key to solving them.

The two conservations

• Momentum (a vector quantity): conserved because no external forces act on the system of the two charges. The Coulomb force is internal and, by Newton’s third law, does not alter the total momentum.
• Energy (a scalar quantity): conserved because the Coulomb force is conservative and admits the potential energy $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2 / r$.

This is exactly the same scheme as the method of two parallel tables already used for mechanical collisions: one table for momentum (before/after), one for energy (before/after). Conservation of momentum links the velocities of the two particles together — for example, for two masses initially at rest, it imposes $m_1\vv{v}_1 + m_2\vv{v}_2 = 0$, i.e. $\vv{v}_2 = -\dfrac{m_1}{m_2}\vv{v}_1$ — while conservation of energy fixes the magnitude of the velocities from the change in $E_{\text{pot,el}}$ between the two configurations.

The two equations together are enough to fully determine the final state. The value of this method lies precisely in how they interlock: neither momentum conservation alone (which gives the ratios between the velocities but not their magnitudes), nor energy conservation alone (which gives the total energy but not how it is shared out), would solve the problem by itself. It is their combination that closes it.

Links

Topics: Electrostatics Concepts: Electrostatic potential energy · Conservation of momentum Skills: Method of the two tables Methods: Method of the two parallel tables

Related exercises: Problem — Two charges released from rest · Problem — The two gunslingers · Problem — Two charges launched upward

Quando due cariche si muovono sotto la loro reciproca attrazione o repulsione, la forza di Coulomb è una forza interna al sistema. E c’è un principio, valido per qualunque sistema di particelle, che le forze interne non possono violare:

Principio — Il moto del centro di massa

Il centro di massa di un sistema si muove come se tutte le forze interne non esistessero, sotto l’azione delle sole forze esterne. La forza di Coulomb tra le due cariche, per quanto intensa, non sposta di un millimetro la traiettoria del centro di massa.

Ne segue una separazione netta e molto comoda. Se sul sistema agisce, per esempio, la sola gravità terrestre (forza esterna), il centro di massa descrive una parabola ideale, esattamente come un proiettile puntiforme: la sua altezza massima, il suo tempo di volo, la sua velocità si calcolano ignorando del tutto l’interazione elettrica tra le due cariche. È solo quando si vuole conoscere la velocità delle singole cariche che entra in gioco l’energia potenziale elettrostatica.

Questo suggerisce il trucco del centro di massa per i problemi di collisione con forze conservative (Coulomb, molle): si scompone l’energia cinetica totale in energia del centro di massa più energia interna (teorema di König),

$E_{\text{cin,tot}} = E_{\text{cin,CM}} + E_{\text{cin,int}}$

e si osserva che il moto del CM è banale, mentre tutta la “fisica” dell’interazione sta nell’energia interna. Una domanda come “fino a che distanza si avvicinano le due cariche?” si traduce allora nella condizione $E_{\text{cin,int}} = 0$: il punto di massimo avvicinamento è quello in cui, nel riferimento del centro di massa, le due particelle sono momentaneamente ferme e tutta l’energia interna è diventata energia potenziale elettrostatica. Un problema a due corpi si riduce così a un semplice bilancio energetico a un corpo.

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Conservazione della quantità di moto Metodi: Teorema di König

Esercizi collegati: Problema — Due cariche rilasciate da ferme · Problema — I due pistoleri · Problema — Due cariche lanciate verso l’alto

When two charges move under their mutual attraction or repulsion, the Coulomb force is an internal force to the system. And there is a principle, valid for any system of particles, that internal forces cannot violate:

Principle — The motion of the centre of mass

The centre of mass of a system moves as if all internal forces did not exist, under the action of external forces alone. The Coulomb force between the two charges, however intense, does not shift the trajectory of the centre of mass by a millimetre.

A neat and very convenient separation follows. If the system is acted on, say, only by Earth’s gravity (an external force), the centre of mass traces an ideal parabola, exactly like a point-like projectile: its maximum height, its time of flight, its velocity are calculated by completely ignoring the electric interaction between the two charges. It is only when you want to know the velocity of the individual charges that electrostatic potential energy comes into play.

This suggests the centre-of-mass trick for collision problems with conservative forces (Coulomb, springs): the total kinetic energy is split into centre-of-mass energy plus internal energy (König’s theorem),

$E_{\text{cin,tot}} = E_{\text{cin,CM}} + E_{\text{cin,int}}$

and one notes that the motion of the CM is trivial, while all the “physics” of the interaction lies in the internal energy. A question like “how close do the two charges get to each other?” then translates into the condition $E_{\text{cin,int}} = 0$: the point of closest approach is where, in the centre-of-mass frame, the two particles are momentarily at rest and all the internal energy has become electrostatic potential energy. A two-body problem is thus reduced to a simple one-body energy balance.

Links

Topics: Electrostatics Concepts: Electrostatic potential energy · Conservation of momentum Methods: König’s theorem

Related exercises: Problem — Two charges released from rest · Problem — The two gunslingers · Problem — Two charges launched upward