Esercizi — Forza di Coulomb ed elettrostatica

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esercizi guidati e i problemi delle sezioni, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, vero/falso, ranking, grafici, stime di Fermi, fantafisica).

Esercizi e problemi nel testo

• Esercizio svolto — Tre cariche ai vertici di un triangolo
• Equilibrio su una retta
• Collisione tra cariche con attrito
• Due cariche rilasciate da ferme
• Esercizio svolto — Carica su molla, equilibrio ed espansione
• Due cariche in moto circolare
• I due pistoleri
• Due cariche lanciate verso l’alto
• Esercizio svolto — Particella carica come proiettile vicino a un piano carico

Problemi di fine capitolo

• Forza tra due cariche da 1 microcoulomb
• Vero o falso su cariche e conduttori
• Forza tra due sfere con stessa carica
• Carica di una sfera data la forza
• Forza risultante su tre cariche
• Induzione su una sferetta metallica
• Frazione di elettroni da trasferire
• Forza di Coulomb nell’atomo di idrogeno
• Equilibrio di tre cariche sull’asse
• Ranking di forze coulombiane (coppie A-D)
• Il pettine e la carta
• Forza tra cariche +2 e -3 microcoulomb
• Campo elettrico di una carica da 5 nanocoulomb
• Rapporto tra forza gravitazionale e coulombiana
• Getto d’acqua deviato da una bacchetta
• Ranking di tre coppie di cariche
• Vero o falso su carica e campo
• Campo al centro di un triangolo equilatero
• Quantizzazione della carica
• Induzione elettrostatica su sfera metallica
• Conduttore in campo esterno
• Due cariche uguali e una carica di prova
• Ranking di forze coulombiane (coppie identiche)
• Ranking di campi elettrici
• Forza tra due palline cariche
• Campo elettrico a 30 cm
• Potenziale di una carica negativa
• Dipolo elettrico
• Condensatore piano
• Dato F, trova q
• Dato E, trova r
• Dato V, trova q
• Fantafisica: cariche tutte positive
• Fantafisica: costante k raddoppiata
• Due cariche su un’asta
• Pendolo elettrico
• Parafulmine
• Gabbia di Faraday
• Lettura grafico V(r) di carica puntiforme
• Lettura grafico campo di un dipolo
• Stima di Fermi: forza fra due elettroni
• Stima di Fermi: capacità della Terra
• Sfida: equilibrio di tre cariche allineate

All the chapter’s exercises, worked step-by-step, in the order they appear in the chapter: first the guided exercises and section problems, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, true/false, ranking, graphs, Fermi estimates, fantasy physics).

Exercises and problems in the text

• Worked exercise — Three charges at the vertices of a triangle
• Equilibrium on a line
• Collision between charges with friction
• Two charges released from rest
• Worked exercise — Charge on a spring, equilibrium and expansion
• Two charges in circular motion
• The two gunslingers
• Two charges thrown upwards
• Worked exercise — Charged particle as a projectile near a charged plane

End-of-chapter problems

• Force between two 1-microcoulomb charges
• True or false on charges and conductors
• Force between two spheres with the same charge
• Charge of a sphere given the force
• Resultant force on three charges
• Induction on a small metal sphere
• Fraction of electrons to transfer
• Coulomb force in the hydrogen atom
• Equilibrium of three charges on the axis
• Ranking of Coulomb forces (pairs A-D)
• The comb and the paper
• Force between +2 and -3 microcoulomb charges
• Electric field of a 5-nanocoulomb charge
• Ratio between gravitational and Coulomb force
• Water jet deflected by a rod
• Ranking of three pairs of charges
• True or false on charge and field
• Field at the centre of an equilateral triangle
• Quantisation of charge
• Electrostatic induction on a metal sphere
• Conductor in an external field
• Two equal charges and a test charge
• Ranking of Coulomb forces (identical pairs)
• Ranking of electric fields
• Force between two charged balls
• Electric field at 30 cm
• Potential of a negative charge
• Electric dipole
• Parallel-plate capacitor
• Given F, find q
• Given E, find r
• Given V, find q
• Fantasy physics: all charges positive
• Fantasy physics: constant k doubled
• Two charges on a rod
• Electric pendulum
• Lightning rod
• Faraday cage
• Reading a graph: V(r) of a point charge
• Reading a graph: field of a dipole
• Fermi estimate: force between two electrons
• Fermi estimate: capacitance of the Earth
• Challenge: equilibrium of three collinear charges

Testo

Tre cariche $q_1 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $q_2 = -3\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ e $q_3 = 5\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ sono poste ai vertici di un triangolo equilatero di lato $\ell = 0{,}1\ \text{m}$. Trovare la forza risultante che agisce su $q_3$.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. Sulla carica $q_3$ agiscono due forze coulombiane: $\vv{F}_{13}$ (da $q_1$) e $\vv{F}_{23}$ (da $q_2$). Entrambe hanno modulo dato dalla legge di Coulomb con $r = \ell$.

Modulo di $\vv{F}_{13}$ (repulsiva: $q_1,q_3$ entrambe positive):

$F_{13} = k\,\frac{q_1 q_3}{\ell^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(2\cdot 10^{-4})(5\cdot 10^{-4})}{(0{,}1)^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-2}} = 8{,}99\cdot 10^4\ \text{N} \approx 89{,}9\ \text{kN}$

Modulo di $\vv{F}_{23}$ (attrattiva: $q_2<0$, $q_3>0$):

$F_{23} = k\,\frac{|q_2|\,q_3}{\ell^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(3\cdot 10^{-4})(5\cdot 10^{-4})}{(0{,}1)^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}5\cdot 10^{-7}}{10^{-2}} \approx 134{,}9\ \text{kN}$

Direzioni. Metto $q_3$ nel vertice in alto (C). $\vv{F}_{13}$ è repulsiva quindi punta lungo la retta $A\to C$ prolungata, cioè nella direzione $(\cos 60^\circ,\ \sin 60^\circ) = (0{,}5;\ 0{,}866)$. $\vv{F}_{23}$ è attrattiva quindi punta da $C$ verso $B$, direzione $(0{,}5;\ -0{,}866)$.

Componenti (in kN):

$F_x = F_{13}\cdot 0{,}5 + F_{23}\cdot 0{,}5 = 89{,}9\cdot 0{,}5 + 134{,}9\cdot 0{,}5 = 44{,}95 + 67{,}45 = 112{,}4\ \text{kN}$

$F_y = F_{13}\cdot 0{,}866 - F_{23}\cdot 0{,}866 = (89{,}9 - 134{,}9)\cdot 0{,}866 = -45\cdot 0{,}866 = -38{,}96\ \text{kN}$

Modulo risultante:

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{112{,}4^2 + 38{,}96^2} = \sqrt{12634 + 1518} \approx 118{,}9\ \text{kN}$

Direzione (angolo sotto l’orizzontale):

$\theta = \arctan\!\frac{|F_y|}{F_x} = \arctan\frac{38{,}96}{112{,}4} \approx 19{,}1^\circ$

$\ev{F \approx 118{,}9\ \text{kN},\quad \theta \approx 19{,}1^\circ \text{ sotto l'orizzontale}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione

Problem

Three charges $q_1 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $q_2 = -3\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ and $q_3 = 5\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ are placed at the vertices of an equilateral triangle of side $\ell = 0{,}1\ \text{m}$. Find the resultant force acting on $q_3$.

Solution

Use $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. Two Coulomb forces act on charge $q_3$: $\vv{F}_{13}$ (from $q_1$) and $\vv{F}_{23}$ (from $q_2$). Both have magnitude given by Coulomb’s law with $r = \ell$.

Magnitude of $\vv{F}_{13}$ (repulsive: $q_1,q_3$ both positive):

$F_{13} = k\,\frac{q_1 q_3}{\ell^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(2\cdot 10^{-4})(5\cdot 10^{-4})}{(0{,}1)^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-2}} = 8{,}99\cdot 10^4\ \text{N} \approx 89{,}9\ \text{kN}$

Magnitude of $\vv{F}_{23}$ (attractive: $q_2<0$, $q_3>0$):

$F_{23} = k\,\frac{|q_2|\,q_3}{\ell^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{(3\cdot 10^{-4})(5\cdot 10^{-4})}{(0{,}1)^2} = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{1{,}5\cdot 10^{-7}}{10^{-2}} \approx 134{,}9\ \text{kN}$

Directions. Place $q_3$ at the top vertex (C). $\vv{F}_{13}$ is repulsive, so it points along the line $A\to C$ extended, i.e. in direction $(\cos 60^\circ,\ \sin 60^\circ) = (0{,}5;\ 0{,}866)$. $\vv{F}_{23}$ is attractive, so it points from $C$ towards $B$, direction $(0{,}5;\ -0{,}866)$.

Components (in kN):

$F_x = F_{13}\cdot 0{,}5 + F_{23}\cdot 0{,}5 = 89{,}9\cdot 0{,}5 + 134{,}9\cdot 0{,}5 = 44{,}95 + 67{,}45 = 112{,}4\ \text{kN}$

$F_y = F_{13}\cdot 0{,}866 - F_{23}\cdot 0{,}866 = (89{,}9 - 134{,}9)\cdot 0{,}866 = -45\cdot 0{,}866 = -38{,}96\ \text{kN}$

Resultant magnitude:

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{112{,}4^2 + 38{,}96^2} = \sqrt{12634 + 1518} \approx 118{,}9\ \text{kN}$

Direction (angle below the horizontal):

$\theta = \arctan\!\frac{|F_y|}{F_x} = \arctan\frac{38{,}96}{112{,}4} \approx 19{,}1^\circ$

$\ev{F \approx 118{,}9\ \text{kN},\quad \theta \approx 19{,}1^\circ \text{ below the horizontal}}$

Links

Topics: Elettrostatica Concepts: Legge di Coulomb Skills: Principio di sovrapposizione

Testo

Due cariche $q_A = 4\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ e $q_B = -10^{-3}\ \text{C}$ sono poste a distanza $d = 3\ \text{m}$ su una retta. Dove si deve porre una carica $q_C$ affinché la forza netta su di essa sia nulla? Imposta $k\,q_A q_C/x^2 = k\,|q_B| q_C/(d-x)^2$ e discuti quale soluzione è fisica.

Soluzione

Le due cariche hanno segno opposto. Su una carica di prova $q_C$ posta tra loro, la forza di $q_A$ e quella di $q_B$ hanno la stessa direzione (una respinge, l’altra attrae, ma entrambe la spingono verso $q_B$): non possono annullarsi. L’equilibrio esiste solo fuori dal segmento, dal lato della carica di modulo minore ($q_B$), dove le due forze possono opporsi.

Misuro $x$ dalla posizione di $q_A$. Nella regione oltre $q_B$ ($x > d$) la distanza da $q_B$ vale $x-d$. Impongo pari modulo:

$k\,\frac{|q_A|\,q_C}{x^2} = k\,\frac{|q_B|\,q_C}{(x-d)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{|q_A|}{x^2} = \frac{|q_B|}{(x-d)^2}$

Con $|q_A| = 4\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ e $|q_B| = 1\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ il rapporto è $|q_A|/|q_B| = 4$:

$\left(\frac{x}{x-d}\right)^2 = \frac{|q_A|}{|q_B|} = 4 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x-d} = \pm 2$

Radice $+2$ (regione esterna, $x>d$):

$x = 2(x-d) \;\Longrightarrow\; x = 2x - 2d \;\Longrightarrow\; x = 2d = 6\ \text{m}$

Radice $-2$ (regione interna):

$x = -2(x-d) \;\Longrightarrow\; 3x = 2d \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{2}{3}d = 2\ \text{m}$

La radice interna $x = 2\ \text{m}$ va scartata: lì le forze sono concordi (cariche di segno opposto), quindi non si annullano davvero — è una soluzione algebrica spuria dell’equazione dei moduli. La soluzione fisica è quella esterna, $3\ \text{m}$ oltre $q_B$:

$\ev{x = 6\ \text{m da }q_A\ \ (\text{ossia }3\ \text{m oltre }q_B,\ \text{dal lato della carica minore})}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione · Impostazione simbolica

Problem

Two charges $q_A = 4\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ and $q_B = -10^{-3}\ \text{C}$ are placed at a distance $d = 3\ \text{m}$ on a line. Where must a charge $q_C$ be placed so that the net force on it is zero? Set up $k\,q_A q_C/x^2 = k\,|q_B| q_C/(d-x)^2$ and discuss which solution is physical.

Solution

The two charges have opposite sign. For a test charge $q_C$ placed between them, the force from $q_A$ and that from $q_B$ have the same direction (one repels, the other attracts, but both push it towards $q_B$): they cannot cancel. Equilibrium exists only outside the segment, on the side of the charge with smaller magnitude ($q_B$), where the two forces can oppose each other.

Measure $x$ from the position of $q_A$. In the region beyond $q_B$ ($x > d$) the distance from $q_B$ is $x-d$. Impose equal magnitude:

$k\,\frac{|q_A|\,q_C}{x^2} = k\,\frac{|q_B|\,q_C}{(x-d)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{|q_A|}{x^2} = \frac{|q_B|}{(x-d)^2}$

With $|q_A| = 4\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ and $|q_B| = 1\cdot 10^{-3}\ \text{C}$ the ratio is $|q_A|/|q_B| = 4$:

$\left(\frac{x}{x-d}\right)^2 = \frac{|q_A|}{|q_B|} = 4 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x-d} = \pm 2$

Root $+2$ (outer region, $x>d$):

$x = 2(x-d) \;\Longrightarrow\; x = 2x - 2d \;\Longrightarrow\; x = 2d = 6\ \text{m}$

Root $-2$ (inner region):

$x = -2(x-d) \;\Longrightarrow\; 3x = 2d \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{2}{3}d = 2\ \text{m}$

The inner root $x = 2\ \text{m}$ must be discarded: there the forces are in the same direction (charges of opposite sign), so they do not actually cancel — it is a spurious algebraic solution of the equation of magnitudes. The physical solution is the outer one, $3\ \text{m}$ beyond $q_B$:

$\ev{x = 6\ \text{m from }q_A\ \ (\text{i.e. }3\ \text{m beyond }q_B,\ \text{on the side of the smaller charge})}$

Links

Topics: Elettrostatica Concepts: Legge di Coulomb Skills: Principio di sovrapposizione · Impostazione simbolica

Testo

Due particelle ($q_1 = 10^{-3}\ \text{C}$, $m_1 = 1\ \text{kg}$; $q_2 = -10^{-4}\ \text{C}$, $m_2 = 2\ \text{kg}$) sono inizialmente a distanza $d = 10\ \text{m}$. Tra loro agisce un attrito $F_a = 5\ \text{N}$, dissipativo e costante lungo la traiettoria. Le cariche si attraggono: si incontrano? Usa una tabella energetica con $E_{\text{cin}}$, $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2/r$ ed $E_{\text{term}}$; confronta l’energia liberata dall’avvicinamento con il lavoro dell’attrito.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. Le cariche hanno segno opposto, quindi si attraggono e l’energia potenziale elettrostatica è negativa:

$E_{\text{pot,el}}(r) = k\,\frac{q_1 q_2}{r},\qquad q_1 q_2 = (10^{-3})(-10^{-4}) = -10^{-7}\ \text{C}^2$

Bilancio (diagramma a bolle): l’avvicinamento libera energia potenziale (che diventa cinetica), mentre l’attrito ne dissipa in calore. Le cariche si incontrano se, avvicinandosi, l’energia potenziale liberata supera il lavoro dell’attrito.

Energia potenziale a $r = 10\ \text{m}$:

$E_{\text{pot,el}}(10) = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{-10^{-7}}{10} = -89{,}9\ \text{J}$

Avvicinandosi, $r$ diminuisce e $E_{\text{pot,el}} = k q_1 q_2/r \to -\infty$: l’energia liberata è illimitata. Confronto quantitativo chiudendo da $10\ \text{m}$ fino, per esempio, a $1\ \text{m}$:

$\Delta E_{\text{lib}} = |E_{\text{pot,el}}(1) - E_{\text{pot,el}}(10)| = k\,|q_1 q_2|\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{10}\right) = 899\cdot 0{,}9 \approx 809\ \text{J}$

Lavoro dell’attrito sui $10\ \text{m}$ iniziali:

$W_a = F_a\, d = 5\cdot 10 = 50\ \text{J}$

Già chiudendo di soli $9\ \text{m}$ si liberano $\sim 809\ \text{J} \gg 50\ \text{J}$; man mano che si avvicinano l’energia disponibile cresce senza limite mentre l’attrito dissipa al più $\sim 50\ \text{J}$ sull’intero tragitto. L’attrazione vince nettamente.

$\ev{\text{Sì, si incontrano: energia coulombiana liberata } (\gtrsim 800\ \text{J}) \gg W_a = 50\ \text{J}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Energia cinetica Competenze: Conservazione dell’energia Metodi: Diagramma a bolle di scambio energetico

Problem

Two particles ($q_1 = 10^{-3}\ \text{C}$, $m_1 = 1\ \text{kg}$; $q_2 = -10^{-4}\ \text{C}$, $m_2 = 2\ \text{kg}$) are initially at a distance $d = 10\ \text{m}$. A friction force $F_a = 5\ \text{N}$ acts between them, dissipative and constant along the path. The charges attract each other: do they meet? Use an energy table with $E_{\text{cin}}$, $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2/r$ and $E_{\text{term}}$; compare the energy released by the approach with the work done by friction.

Solution

Using $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. The charges have opposite signs, so they attract and the electrostatic potential energy is negative:

$E_{\text{pot,el}}(r) = k\,\frac{q_1 q_2}{r},\qquad q_1 q_2 = (10^{-3})(-10^{-4}) = -10^{-7}\ \text{C}^2$

Balance (bubble diagram): the approach releases potential energy (which becomes kinetic energy), while friction dissipates some of it as heat. The charges meet if, as they approach, the potential energy released exceeds the work done by friction.

Potential energy at $r = 10\ \text{m}$:

$E_{\text{pot,el}}(10) = 8{,}99\cdot 10^9 \cdot \frac{-10^{-7}}{10} = -89{,}9\ \text{J}$

As they approach, $r$ decreases and $E_{\text{pot,el}} = k q_1 q_2/r \to -\infty$: the energy released is unbounded. Quantitative comparison closing from $10\ \text{m}$ down to, say, $1\ \text{m}$:

$\Delta E_{\text{lib}} = |E_{\text{pot,el}}(1) - E_{\text{pot,el}}(10)| = k\,|q_1 q_2|\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{10}\right) = 899\cdot 0{,}9 \approx 809\ \text{J}$

Work done by friction over the initial $10\ \text{m}$:

$W_a = F_a\, d = 5\cdot 10 = 50\ \text{J}$

Already, closing by just $9\ \text{m}$ releases $\sim 809\ \text{J} \gg 50\ \text{J}$; as they get closer the available energy grows without bound while friction dissipates at most $\sim 50\ \text{J}$ over the whole path. The attraction wins clearly.

$\ev{\text{Yes, they meet: Coulomb energy released } (\gtrsim 800\ \text{J}) \gg W_a = 50\ \text{J}}$

Links

Topics: Electrostatics Concepts: Electrostatic potential energy · Kinetic energy Skills: Conservation of energy Methods: Energy-exchange bubble diagram

Testo

Due cariche vengono rilasciate da ferme: $q_1 = -3\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m_1 = 3\ \text{kg}$; $q_2 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m_2 = 6\ \text{kg}$. Inizialmente sono a distanza $d_A = 12\ \text{m}$ e si attraggono. Trovare le loro velocità quando la distanza è $d_B = 3\ \text{m}$. Usa due tabelle parallele (quantità di moto ed energia): la conservazione della quantità di moto dà $v_2 = -\tfrac12 v_1$, la conservazione dell’energia fissa $v_1$ tramite la variazione di $E_{\text{pot,el}}$.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. Sistema isolato, partono da fermo: quantità di moto totale nulla e conservata.

Tabella quantità di moto:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; 3 v_1 + 6 v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_2 = -\tfrac{1}{2} v_1$

Tabella energia. La variazione di energia potenziale diventa energia cinetica. Con $q_1 q_2 = (-3\cdot 10^{-4})(2\cdot 10^{-4}) = -6\cdot 10^{-8}\ \text{C}^2$:

$E_{\text{pot,el}}(d_A) = k\,\frac{q_1 q_2}{d_A} = 8{,}99\cdot 10^9\cdot\frac{-6\cdot 10^{-8}}{12} = -44{,}95\ \text{J}$

$E_{\text{pot,el}}(d_B) = k\,\frac{q_1 q_2}{d_B} = 8{,}99\cdot 10^9\cdot\frac{-6\cdot 10^{-8}}{3} = -179{,}8\ \text{J}$

$\Delta E_{\text{pot}} = E_{\text{pot,el}}(d_B) - E_{\text{pot,el}}(d_A) = -179{,}8 - (-44{,}95) = -134{,}85\ \text{J}$

L’energia cinetica guadagnata è $E_{\text{cin}} = -\Delta E_{\text{pot}} = +134{,}85\ \text{J}$. Sostituendo $v_2 = -v_1/2$:

$E_{\text{cin}} = \tfrac12 m_1 v_1^2 + \tfrac12 m_2 v_2^2 = \tfrac12\cdot 3\, v_1^2 + \tfrac12\cdot 6\left(\tfrac{v_1}{2}\right)^2 = 1{,}5\,v_1^2 + 0{,}75\,v_1^2 = 2{,}25\,v_1^2$

$v_1^2 = \frac{134{,}85}{2{,}25} = 59{,}9 \;\Longrightarrow\; v_1 = 7{,}74\ \text{m/s},\qquad v_2 = -\tfrac12 v_1 = -3{,}87\ \text{m/s}$

$\ev{v_1 \approx 7{,}75\ \text{m/s},\qquad v_2 \approx -3{,}87\ \text{m/s}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Conservazione della quantità di moto Competenze: Metodo delle due tabelle Metodi: Metodo delle due tabelle parallele

Problem

Two charges are released from rest: $q_1 = -3\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m_1 = 3\ \text{kg}$; $q_2 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m_2 = 6\ \text{kg}$. Initially they are at a distance $d_A = 12\ \text{m}$ and attract each other. Find their velocities when the distance is $d_B = 3\ \text{m}$. Use two parallel tables (momentum and energy): conservation of momentum gives $v_2 = -\tfrac12 v_1$, and conservation of energy fixes $v_1$ through the change in $E_{\text{pot,el}}$.

Solution

Using $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. Isolated system, starting from rest: total momentum is zero and conserved.

Momentum table:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; 3 v_1 + 6 v_2 = 0 \;\Longrightarrow\; v_2 = -\tfrac{1}{2} v_1$

Energy table. The change in potential energy becomes kinetic energy. With $q_1 q_2 = (-3\cdot 10^{-4})(2\cdot 10^{-4}) = -6\cdot 10^{-8}\ \text{C}^2$:

$E_{\text{pot,el}}(d_A) = k\,\frac{q_1 q_2}{d_A} = 8{,}99\cdot 10^9\cdot\frac{-6\cdot 10^{-8}}{12} = -44{,}95\ \text{J}$

$E_{\text{pot,el}}(d_B) = k\,\frac{q_1 q_2}{d_B} = 8{,}99\cdot 10^9\cdot\frac{-6\cdot 10^{-8}}{3} = -179{,}8\ \text{J}$

$\Delta E_{\text{pot}} = E_{\text{pot,el}}(d_B) - E_{\text{pot,el}}(d_A) = -179{,}8 - (-44{,}95) = -134{,}85\ \text{J}$

The kinetic energy gained is $E_{\text{cin}} = -\Delta E_{\text{pot}} = +134{,}85\ \text{J}$. Substituting $v_2 = -v_1/2$:

$E_{\text{cin}} = \tfrac12 m_1 v_1^2 + \tfrac12 m_2 v_2^2 = \tfrac12\cdot 3\, v_1^2 + \tfrac12\cdot 6\left(\tfrac{v_1}{2}\right)^2 = 1{,}5\,v_1^2 + 0{,}75\,v_1^2 = 2{,}25\,v_1^2$

$v_1^2 = \frac{134{,}85}{2{,}25} = 59{,}9 \;\Longrightarrow\; v_1 = 7{,}74\ \text{m/s},\qquad v_2 = -\tfrac12 v_1 = -3{,}87\ \text{m/s}$

$\ev{v_1 \approx 7{,}75\ \text{m/s},\qquad v_2 \approx -3{,}87\ \text{m/s}}$

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Topics: Electrostatics Concepts: Electrostatic potential energy · Conservation of momentum Skills: Two-tables method Methods: Two parallel tables method

Testo

Una carica $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$ è fissata nell’origine. Una seconda carica $q_2 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ (massa $m = 3\ \text{kg}$) è collegata a una molla ($K = 20\ \text{N/m}$, lunghezza a riposo $\ell_0 = 0$) ancorata nell’origine. 1) Trovare la posizione di equilibrio. 2) Se il sistema ruota con periodo $T = 1\ \text{s}$, come cambia la posizione di equilibrio?

Soluzione

Uso $k = 9\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$ (valore del testo). Le cariche sono concordi, quindi la forza di Coulomb spinge $q_2$ verso l’esterno; la molla (con $\ell_0=0$) la tira verso il centro con forza $K x$.

1) Equilibrio (senza rotazione). Bilancio tra molla (verso il centro) e Coulomb (verso l’esterno):

$K x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2} \;\Longrightarrow\; K x^3 = k\,q_1 q_2$

$20\, x^3 = 9\cdot 10^9\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-4} = 9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-8} = 180 \;\Longrightarrow\; x^3 = 9$

$\ev{x_{\text{eq}} = \sqrt[3]{9} \approx 2{,}08\ \text{m}}$

2) Con rotazione (periodo $T = 1\ \text{s}$). Nel riferimento rotante compare la forza centrifuga $m\omega^2 x$ diretta verso l’esterno, con

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\ \text{rad/s} \;\Longrightarrow\; m\omega^2 = 3\cdot(2\pi)^2 = 3\cdot 39{,}48 = 118{,}4\ \text{N/m}$

Bilancio forza verso il centro (molla) = forze verso l’esterno (Coulomb + centrifuga):

$K x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2} + m\omega^2 x \;\Longrightarrow\; (K - m\omega^2)\,x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2}$

La rigidezza efficace è

$K - m\omega^2 = 20 - 118{,}4 = -98{,}4\ \text{N/m} < 0$

Il primo membro $(K-m\omega^2)x$ è negativo (per $x>0$), mentre il secondo membro $k q_1 q_2/x^2$ è positivo: l’equazione non ha soluzione reale positiva. Fisicamente la molla non è più in grado di trattenere la carica: molla insufficiente e forza centrifuga sono nette verso l’esterno insieme alla repulsione coulombiana, quindi il raggio cresce indefinitamente.

$\ev{\text{Con } T=1\text{ s: } K - m\omega^2 < 0 \Rightarrow \text{nessun equilibrio, la carica sfugge verso l'esterno}}$

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Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

Problem

A charge $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$ is fixed at the origin. A second charge $q_2 = 2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ (mass $m = 3\ \text{kg}$) is attached to a spring ($K = 20\ \text{N/m}$, natural length $\ell_0 = 0$) anchored at the origin. 1) Find the equilibrium position. 2) If the system rotates with period $T = 1\ \text{s}$, how does the equilibrium position change?

Solution

Using $k = 9\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$ (the textbook’s value). The charges have the same sign, so the Coulomb force pushes $q_2$ outward; the spring (with $\ell_0=0$) pulls it towards the centre with force $K x$.

1) Equilibrium (without rotation). Balance between the spring (towards the centre) and Coulomb (outward):

$K x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2} \;\Longrightarrow\; K x^3 = k\,q_1 q_2$

$20\, x^3 = 9\cdot 10^9\cdot 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-4} = 9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-8} = 180 \;\Longrightarrow\; x^3 = 9$

$\ev{x_{\text{eq}} = \sqrt[3]{9} \approx 2{,}08\ \text{m}}$

2) With rotation (period $T = 1\ \text{s}$). In the rotating frame a centrifugal force $m\omega^2 x$ appears, directed outward, with

$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\ \text{rad/s} \;\Longrightarrow\; m\omega^2 = 3\cdot(2\pi)^2 = 3\cdot 39{,}48 = 118{,}4\ \text{N/m}$

Balance of the inward force (spring) against the outward forces (Coulomb + centrifugal):

$K x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2} + m\omega^2 x \;\Longrightarrow\; (K - m\omega^2)\,x = k\,\frac{q_1 q_2}{x^2}$

The effective stiffness is

$K - m\omega^2 = 20 - 118{,}4 = -98{,}4\ \text{N/m} < 0$

The left-hand side $(K-m\omega^2)x$ is negative (for $x>0$), while the right-hand side $k q_1 q_2/x^2$ is positive: the equation has no positive real solution. Physically the spring is no longer able to hold the charge back: an insufficient spring and the centrifugal force act net outward together with the Coulomb repulsion, so the radius grows without bound.

$\ev{\text{Con } T=1\text{ s: } K - m\omega^2 < 0 \Rightarrow \text{nessun equilibrio, la carica sfugge verso l'esterno}}$

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Topics: Elettrostatica Concepts: Legge di Coulomb Skills: Impostazione simbolica Objects: Molla

Testo

Due cariche in moto circolare. La carica 1 ($q_1 = 3\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m = 1\ \text{kg}$) è fissa al centro. La carica 2 ($q_2 = -2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m = 1\ \text{kg}$) orbita a distanza $R = 5{,}83\ \text{m}$. La forza di Coulomb attrattiva fornisce la forza centripeta. Trovare la velocità e il periodo dell’orbita.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. La forza coulombiana attrattiva (cariche di segno opposto) fa da centripeta:

$k\,\frac{|q_1 q_2|}{R^2} = \frac{m v^2}{R} \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{\frac{k\,|q_1 q_2|}{m\,R}}$

Con $|q_1 q_2| = (3\cdot 10^{-4})(2\cdot 10^{-4}) = 6\cdot 10^{-8}\ \text{C}^2$:

$k\,|q_1 q_2| = 8{,}99\cdot 10^9\cdot 6\cdot 10^{-8} = 539{,}4\ \text{N·m}^2$

$v = \sqrt{\frac{539{,}4}{1\cdot 5{,}83}} = \sqrt{92{,}5} \approx 9{,}62\ \text{m/s}$

Periodo:

$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi\cdot 5{,}83}{9{,}62} \approx 3{,}81\ \text{s}$

$\ev{v \approx 9{,}6\ \text{m/s},\qquad T \approx 3{,}8\ \text{s}}$

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Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb · Forza centripeta

Problem

Two charges in circular motion. Charge 1 ($q_1 = 3\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m = 1\ \text{kg}$) is fixed at the centre. Charge 2 ($q_2 = -2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$, $m = 1\ \text{kg}$) orbits at distance $R = 5{,}83\ \text{m}$. The attractive Coulomb force provides the centripetal force. Find the orbital speed and period.

Solution

Using $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. The attractive Coulomb force (charges of opposite sign) acts as the centripetal force:

$k\,\frac{|q_1 q_2|}{R^2} = \frac{m v^2}{R} \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{\frac{k\,|q_1 q_2|}{m\,R}}$

With $|q_1 q_2| = (3\cdot 10^{-4})(2\cdot 10^{-4}) = 6\cdot 10^{-8}\ \text{C}^2$:

$k\,|q_1 q_2| = 8{,}99\cdot 10^9\cdot 6\cdot 10^{-8} = 539{,}4\ \text{N·m}^2$

$v = \sqrt{\frac{539{,}4}{1\cdot 5{,}83}} = \sqrt{92{,}5} \approx 9{,}62\ \text{m/s}$

Period:

$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi\cdot 5{,}83}{9{,}62} \approx 3{,}81\ \text{s}$

$\ev{v \approx 9{,}6\ \text{m/s},\qquad T \approx 3{,}8\ \text{s}}$

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Topics: Elettrostatica Concepts: Legge di Coulomb · Forza centripeta

Testo

I due pistoleri: proiettili carichi che si respingono. Due pistoleri si fronteggiano a $4\ \text{m}$ di distanza. Sparano contemporaneamente due proiettili carichi: proiettile 1 ($m_1 = 0{,}1\ \text{kg}$, $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$, $\vv{v}_1 = (300,\ 0)\ \text{m/s}$); proiettile 2 ($m_2 = 0{,}2\ \text{kg}$, $q_2 = 2\cdot 10^{-5}\ \text{C}$, $\vv{v}_2 = (-100,\ 0)\ \text{m/s}$). Trascurando la gravità, trovare la distanza minima di avvicinamento. Suggerimento: passa al riferimento del centro di massa, scomponi $E_{\text{cin,tot}}$ in $E_{\text{cin,CM}}$ ed $E_{\text{cin,int}}$ (teorema di König), poi imponi la conservazione dell’energia interna con $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2/r$.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. I proiettili sono carichi dello stesso segno: si respingono. Passo al centro di massa (CM), dove la sua velocità è costante (nessuna forza esterna).

Velocità del CM:

$v_{\text{CM}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}1\cdot 300 + 0{,}2\cdot(-100)}{0{,}3} = \frac{30 - 20}{0{,}3} = 33{,}3\ \text{m/s}$

Energia cinetica interna (teorema di König). Massa ridotta e velocità relativa:

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}1\cdot 0{,}2}{0{,}3} = 0{,}0667\ \text{kg},\qquad v_{\text{rel}} = 300 - (-100) = 400\ \text{m/s}$

$E_{\text{cin,int}} = \tfrac12\,\mu\, v_{\text{rel}}^2 = \tfrac12\cdot 0{,}0667\cdot 400^2 \approx 5333\ \text{J}$

Conservazione dell’energia interna. Alla distanza minima la velocità relativa si annulla, quindi tutta $E_{\text{cin,int}}$ (più l’energia potenziale iniziale) si trasforma in energia potenziale elettrostatica. Con $q_1 q_2 = 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-5} = 2\cdot 10^{-9}\ \text{C}^2$ e $k\,q_1 q_2 = 17{,}98\ \text{J·m}$:

$E_{\text{cin,int}} + \frac{k\,q_1 q_2}{d_0} = \frac{k\,q_1 q_2}{d_{\min}},\qquad d_0 = 4\ \text{m}$

$\frac{k\,q_1 q_2}{d_0} = \frac{17{,}98}{4} = 4{,}495\ \text{J}$

Risolvendo per $d_{\min}$:

$d_{\min} = \frac{k\,q_1 q_2}{E_{\text{cin,int}} + k q_1 q_2/d_0} = \frac{17{,}98}{5333 + 4{,}495} \approx 3{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{m}$

$\ev{d_{\min} \approx 3{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{m} \approx 3{,}4\ \text{mm}\quad (v_{\text{CM}} \approx 33{,}3\ \text{m/s})}$

L’energia interna disponibile ($\sim 5300\ \text{J}$) è enorme rispetto alla barriera coulombiana, quindi i proiettili si avvicinano fino a pochi millimetri prima di fermarsi e respingersi. (Il valore $1{,}83\ \text{m}$ della chiave del libro è errato.)

Il metodo chiave è la separazione moto del CM / moto interno: solo la parte interna dell’energia cinetica ($E_{\text{cin,int}}$) è disponibile per lavorare contro la repulsione coulombiana, mentre $E_{\text{cin,CM}}$ resta invariata e non contribuisce all’avvicinamento.

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Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Conservazione della quantità di moto Competenze: Conservazione della quantità di moto Metodi: Teorema di König Oggetti: Proiettile

Problem

The two gunslingers: charged projectiles repelling each other. Two gunslingers face off at $4\ \text{m}$ distance. They simultaneously fire two charged projectiles: projectile 1 ($m_1 = 0{,}1\ \text{kg}$, $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$, $\vv{v}_1 = (300,\ 0)\ \text{m/s}$); projectile 2 ($m_2 = 0{,}2\ \text{kg}$, $q_2 = 2\cdot 10^{-5}\ \text{C}$, $\vv{v}_2 = (-100,\ 0)\ \text{m/s}$). Neglecting gravity, find the minimum distance of approach. Hint: switch to the centre-of-mass frame, split $E_{\text{cin,tot}}$ into $E_{\text{cin,CM}}$ and $E_{\text{cin,int}}$ (König’s theorem), then impose conservation of the internal energy with $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2/r$.

Solution

Using $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. The projectiles are charged with the same sign: they repel each other. Switch to the centre of mass (CM), whose velocity is constant (no external force).

CM velocity:

$v_{\text{CM}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}1\cdot 300 + 0{,}2\cdot(-100)}{0{,}3} = \frac{30 - 20}{0{,}3} = 33{,}3\ \text{m/s}$

Internal kinetic energy (König’s theorem). Reduced mass and relative velocity:

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}1\cdot 0{,}2}{0{,}3} = 0{,}0667\ \text{kg},\qquad v_{\text{rel}} = 300 - (-100) = 400\ \text{m/s}$

$E_{\text{cin,int}} = \tfrac12\,\mu\, v_{\text{rel}}^2 = \tfrac12\cdot 0{,}0667\cdot 400^2 \approx 5333\ \text{J}$

Conservation of internal energy. At the minimum distance the relative velocity vanishes, so all of $E_{\text{cin,int}}$ (plus the initial potential energy) is converted into electrostatic potential energy. With $q_1 q_2 = 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-5} = 2\cdot 10^{-9}\ \text{C}^2$ and $k\,q_1 q_2 = 17{,}98\ \text{J·m}$:

$E_{\text{cin,int}} + \frac{k\,q_1 q_2}{d_0} = \frac{k\,q_1 q_2}{d_{\min}},\qquad d_0 = 4\ \text{m}$

$\frac{k\,q_1 q_2}{d_0} = \frac{17{,}98}{4} = 4{,}495\ \text{J}$

Solving for $d_{\min}$:

$d_{\min} = \frac{k\,q_1 q_2}{E_{\text{cin,int}} + k q_1 q_2/d_0} = \frac{17{,}98}{5333 + 4{,}495} \approx 3{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{m}$

$\ev{d_{\min} \approx 3{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{m} \approx 3{,}4\ \text{mm}\quad (v_{\text{CM}} \approx 33{,}3\ \text{m/s})}$

The available internal energy ($\sim 5300\ \text{J}$) is enormous compared with the Coulomb barrier, so the projectiles approach to within a few millimetres before stopping and repelling. (The textbook key value of $1{,}83\ \text{m}$ is wrong.)

The key method is the separation of CM motion / internal motion: only the internal part of the kinetic energy ($E_{\text{cin,int}}$) is available to do work against the Coulomb repulsion, while $E_{\text{cin,CM}}$ remains unchanged and does not contribute to the approach.

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Topics: Elettrostatica Concepts: Energia potenziale elettrostatica · Conservazione della quantità di moto Skills: Conservazione della quantità di moto Methods: Teorema di König Objects: Proiettile

Testo

Due cariche lanciate verso l’alto: CM e interazione. Due particelle cariche vengono lanciate verticalmente verso l’alto nel campo gravitazionale: $m_1 = 1\ \text{kg}$, $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$ in $\vv{s}_1 = (4,\ 10)$ con $\vv{v}_1 = (0,\ 1)\ \text{m/s}$; $m_2 = 2\ \text{kg}$, $q_2 = -2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ in $\vv{s}_2 = (0,\ 6)$ con $\vv{v}_2 = (0,\ 2)\ \text{m/s}$. Le cariche si attraggono. (a) Posizione e velocità iniziale del CM. (b) Massima altezza del CM (la forza coulombiana interna non lo sposta). (c) Se nel punto di massima altezza del CM le due cariche distano $1\ \text{m}$, calcola le loro velocità usando conservazione della quantità di moto e dell’energia.