Circuiti a scala infinita

Un circuito a scala infinita (o ladder network) è una catena periodica di celle identiche che si estende all’infinito. Non si può ridurre gruppo dopo gruppo, perché i gruppi non finiscono mai. La chiave è il trucco dell’autosomiglianza: aggiungere una cella al circuito lascia il circuito identico a se stesso, e questa condizione si traduce in una singola equazione per la resistenza equivalente. Nel caso particolare di resistori tutti uguali, la soluzione fa comparire il rapporto aureo.

• Il trucco dell’autosomiglianza
• Il caso aureo: resistori uguali

An infinite ladder circuit (or ladder network) is a periodic chain of identical cells extending to infinity. It cannot be reduced group by group, because the groups never end. The key is the self-similarity trick: adding a cell to the circuit leaves the circuit identical to itself, and this condition translates into a single equation for the equivalent resistance. In the special case of all-equal resistors, the solution brings out the golden ratio.

• The self-similarity trick
• The golden case: equal resistors

Un circuito a scala infinita è una catena periodica di celle identiche: su ogni cella un resistore $R_A$ in serie lungo il filo superiore e un resistore $R_B$ in shunt (verticale, tra i due fili). La rete non si può semplificare gruppo dopo gruppo, perché i gruppi sono infiniti. La strategia vincente sfrutta l’autosomiglianza: il sotto-circuito che parte dal secondo nodo è identico all’intero circuito.

Scala infinita: $R_A$ in serie sul filo superiore, $R_B$ in shunt. Il sotto-circuito dal secondo nodo in poi è identico all’intero, da cui l’equazione di autosomiglianza.

Sia $Z_\infty$ la resistenza equivalente vista ai terminali. Se si aggiunge una cella davanti, il resto della scala rimane identico e vale ancora $Z_\infty$. Ma la nuova cella è: $R_A$ in serie, poi $R_B$ in parallelo con tutto il resto ($Z_\infty$). Quindi $Z_\infty$ deve soddisfare l’equazione in cui compare da entrambi i lati:

$Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty}$

Moltiplicando tutto per $(R_B + Z_\infty)$ e sviluppando:

$Z_\infty(R_B + Z_\infty) = R_A(R_B + Z_\infty) + R_B\,Z_\infty$

$Z_\infty^2 + R_B\,Z_\infty = R_A\,R_B + R_A\,Z_\infty + R_B\,Z_\infty$

Il termine $R_B Z_\infty$ si cancella e resta un’equazione di secondo grado:

Formula chiave

$\ev{Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A\,R_B = 0}$

La formula risolutiva dà due radici; solo quella positiva è fisicamente accettabile (una resistenza non può essere negativa):

$\ev{Z_\infty = \frac{R_A + \sqrt{R_A^2 + 4\,R_A R_B}}{2}}$

Principio — Autosomiglianza

Un circuito infinito periodico è identico a se stesso privato della prima cella. Imporre questa uguaglianza traduce la struttura infinita in una singola equazione algebrica per $Z_\infty$.

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica

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An infinite ladder circuit is a periodic chain of identical cells: on each cell a resistor $R_A$ in series along the upper wire and a resistor $R_B$ in shunt (vertical, between the two wires). The network cannot be simplified group by group, because the groups are infinite. The winning strategy exploits self-similarity: the sub-circuit starting from the second node is identical to the whole circuit.

Infinite ladder: $R_A$ in series on the upper wire, $R_B$ in shunt. The sub-circuit from the second node onward is identical to the whole, hence the self-similarity equation.

Let $Z_\infty$ be the equivalent resistance seen at the terminals. If a cell is added at the front, the rest of the ladder remains identical and is still worth $Z_\infty$. But the new cell is: $R_A$ in series, then $R_B$ in parallel with everything else ($Z_\infty$). So $Z_\infty$ must satisfy the equation in which it appears on both sides:

$Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty}$

Multiplying everything by $(R_B + Z_\infty)$ and expanding:

$Z_\infty(R_B + Z_\infty) = R_A(R_B + Z_\infty) + R_B\,Z_\infty$

$Z_\infty^2 + R_B\,Z_\infty = R_A\,R_B + R_A\,Z_\infty + R_B\,Z_\infty$

The term $R_B Z_\infty$ cancels, leaving a second-degree equation:

Key formula

$\ev{Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A\,R_B = 0}$

The quadratic formula gives two roots; only the positive one is physically acceptable (a resistance cannot be negative):

$\ev{Z_\infty = \frac{R_A + \sqrt{R_A^2 + 4\,R_A R_B}}{2}}$

Principle — Self-similarity

An infinite periodic circuit is identical to itself with the first cell removed. Imposing this equality translates the infinite structure into a single algebraic equation for $Z_\infty$.

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Topics: Electric circuits Concepts: Resistors in series and parallel Skills: Symbolic problem setup

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Un caso particolarmente elegante della scala infinita si ottiene quando tutti i resistori valgono lo stesso $R$, cioè $R_A = R_B = R$. L’equazione di autosomiglianza diventa:

$Z_\infty^2 - R\,Z_\infty - R^2 = 0$

Applicando la formula risolutiva e tenendo solo la radice positiva:

$Z_\infty = \frac{R + \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \frac{R(1 + \sqrt{5})}{2} = R\,\varphi$

dove

$\ev{\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618}$

è il celebre rapporto aureo. La scala infinita di resistori identici “conosce” la sezione aurea.

Il risultato è sorprendente: il circuito non ha nulla di geometricamente speciale, eppure genera spontaneamente il numero irrazionale più famoso della geometria. La radice aurea appare ogni volta che qualcosa si definisce tramite la propria autosomiglianza — ed è esattamente ciò che fa la scala infinita.

Perché proprio $\varphi$

Il rapporto aureo è la soluzione positiva di $x^2 = x + 1$, cioè $x = 1 + 1/x$: un numero uguale a “uno più il proprio reciproco”. La scala infinita costruisce fisicamente questa relazione, con $R$ in serie ($+R$) e $R$ in parallelo (il reciproco), da cui $Z_\infty = R\varphi$.

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A particularly elegant case of the infinite ladder is obtained when all the resistors have the same value $R$, i.e. $R_A = R_B = R$. The self-similarity equation becomes:

$Z_\infty^2 - R\,Z_\infty - R^2 = 0$

Applying the quadratic formula and keeping only the positive root:

$Z_\infty = \frac{R + \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \frac{R(1 + \sqrt{5})}{2} = R\,\varphi$

where

$\ev{\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618}$

is the celebrated golden ratio. The infinite ladder of identical resistors “knows” the golden section.

The result is surprising: the circuit has nothing geometrically special about it, yet it spontaneously generates the most famous irrational number in geometry. The golden root appears whenever something is defined through its own self-similarity — and that is exactly what the infinite ladder does.

Why exactly $\varphi$

The golden ratio is the positive solution of $x^2 = x + 1$, i.e. $x = 1 + 1/x$: a number equal to “one plus its own reciprocal”. The infinite ladder physically builds this relation, with $R$ in series ($+R$) and $R$ in parallel (the reciprocal), hence $Z_\infty = R\varphi$.

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