Campo magnetico prodotto da una corrente

Le cariche in moto non solo subiscono forze magnetiche, le creano: un filo percorso da corrente è una sorgente di campo magnetico. Questa sezione dà il campo di un filo rettilineo infinito e il teorema di Ampère, lo strumento generale (analogo del teorema di Gauss) da cui quel campo si ricava per simmetria.

• Campo di un filo rettilineo
• Il teorema di Ampère

Moving charges do not just experience magnetic forces, they create them: a wire carrying a current is a source of magnetic field. This section gives the field of an infinite straight wire and Ampère’s theorem, the general tool (analogous to Gauss’s theorem) from which that field is derived by symmetry.

• Field of a straight wire
• Ampère’s theorem

Le cariche in moto non solo subiscono forze magnetiche, le creano. Un filo percorso da corrente è una sorgente di campo magnetico: è la scoperta di Ørsted, resa quantitativa.

Legge — Campo di un filo rettilineo infinito

Un filo rettilineo percorso da corrente $i$ genera un campo magnetico di modulo: $\ev{|\vec{B}| = \frac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}}$ dove $r$ è la distanza perpendicolare dal filo.

Il campo decresce come $1/r$ allontanandosi dal filo (più lentamente del campo elettrico di una carica puntiforme, che va come $1/r^2$). Le linee di campo sono cerchi concentrici intorno al filo, giacenti in piani perpendicolari ad esso. Il verso si trova con la regola della mano destra: pollice nel verso della corrente, le dita che si arrotolano indicano il verso di $\vec{B}$.

Campo di un filo rettilineo: cerchi concentrici il cui verso segue la regola della mano destra (pollice lungo $i$).

Due fili paralleli percorsi da corrente si esercitano quindi forze a distanza tramite i rispettivi campi: correnti concordi si attraggono, correnti opposte si respingono. È il fenomeno alla base della vecchia definizione dell’ampere.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico

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Moving charges do not just experience magnetic forces, they create them. A wire carrying a current is a source of magnetic field: this is Ørsted’s discovery, made quantitative.

Law — Field of an infinite straight wire

A straight wire carrying current $i$ generates a magnetic field of magnitude: $\ev{|\vec{B}| = \frac{\mu_0\,i}{2\pi\,r}}$ where $r$ is the perpendicular distance from the wire.

The field decreases as $1/r$ moving away from the wire (more slowly than the electric field of a point charge, which goes as $1/r^2$). The field lines are concentric circles around the wire, lying in planes perpendicular to it. The direction is found with the right-hand rule: thumb along the direction of the current, the curling fingers indicate the direction of $\vec{B}$.

Field of a straight wire: concentric circles whose direction follows the right-hand rule (thumb along $i$).

Two parallel wires carrying current therefore exert forces on each other at a distance through their respective fields: currents in the same direction attract, currents in opposite directions repel. This phenomenon underlies the old definition of the ampere.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico

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Il campo magnetico prodotto da un filo si può derivare da un teorema generale, analogo al teorema di Gauss ma applicato a un percorso chiuso invece che a una superficie.

Legge — Teorema di Ampère

La circuitazione di $\vec{B}$ lungo un percorso chiuso è proporzionale alla corrente totale concatenata: $\ev{\Gamma_B = \oint \vec{B}\cdot \dd\vec{s} = \mu_0\,i_\text{concatenata}}$

“Concatenata” significa: la somma delle correnti che attraversano una qualsiasi superficie che ha il percorso come bordo. La potenza del teorema, come per Gauss in elettrostatica, sta nel fatto che quando c’è simmetria la circuitazione si calcola senza integrare: $\vec{B}$ è costante lungo il percorso scelto e si porta fuori dal segno di integrale.

Derivazione — Il campo del filo da Ampère

Scegliendo come percorso un cerchio di raggio $r$ centrato sul filo, per simmetria $|\vec{B}|$ è costante lungo il cerchio e tangente ad esso, quindi $\Gamma_B = 2\pi r\,|\vec{B}|$. Il teorema impone $2\pi r\,|\vec{B}| = \mu_0 i \quad\Longrightarrow\quad |\vec{B}| = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ Si ritrova esattamente il campo del filo rettilineo, ora dimostrato invece che postulato.

Il teorema di Ampère è lo strumento chiave per calcolare il campo di configurazioni simmetriche: filo, cavo coassiale, lamina piana, solenoide e toroide. Nella sua forma completa, con l’aggiunta della corrente di spostamento di Maxwell, diventerà una delle quattro equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Teorema di Ampère Competenze: Analisi dimensionale

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The magnetic field produced by a wire can be derived from a general theorem, analogous to Gauss’s theorem but applied to a closed path instead of a surface.

Law — Ampère's theorem

The circulation of $\vec{B}$ along a closed path is proportional to the total enclosed current: $\ev{\Gamma_B = \oint \vec{B}\cdot \dd\vec{s} = \mu_0\,i_\text{concatenata}}$

“Enclosed” means: the sum of the currents passing through any surface bounded by the path. The power of the theorem, as with Gauss’s theorem in electrostatics, lies in the fact that when there is symmetry the circulation can be calculated without integrating: $\vec{B}$ is constant along the chosen path and can be taken outside the integral sign.

Derivation — The field of the wire from Ampère

Choosing a circle of radius $r$ centred on the wire as the path, by symmetry $|\vec{B}|$ is constant along the circle and tangent to it, so $\Gamma_B = 2\pi r\,|\vec{B}|$. The theorem imposes $2\pi r\,|\vec{B}| = \mu_0 i \quad\Longrightarrow\quad |\vec{B}| = \frac{\mu_0 i}{2\pi r}$ We recover exactly the field of the straight wire, now proven rather than postulated.

Ampère’s theorem is the key tool for calculating the field of symmetric configurations: wire, coaxial cable, flat sheet, solenoid and toroid. In its complete form, with the addition of Maxwell’s displacement current, it becomes one of the four fundamental equations of electromagnetism.

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