Il paradosso che introduce l'induzione

Prima di enunciare la legge di Faraday, un paradosso di relatività galileiana mostra che la forza di Lorentz da sola non basta: la stessa carica, vista da due riferimenti diversi, sembra subire forze incompatibili. La risoluzione richiede un’entità nuova, il campo elettrico indotto.

• Una carica e due punti di vista
• La risoluzione di Faraday

Before stating Faraday’s law, a paradox of Galilean relativity shows that the Lorentz force alone is not enough: the same charge, seen from two different frames, seems to experience incompatible forces. The resolution requires a new entity, the induced electric field.

• A charge and two points of view
• Faraday’s resolution

Consideriamo una carica $-q$ (negativa) che, vista dal sistema di riferimento A (il laboratorio), si muove verso destra con velocità $\vv{v}_0$ in presenza di un campo magnetico $\vv{B}$ uniforme, entrante nella pagina. La forza di Lorentz la spinge verso il basso. Ma cosa vede un osservatore solidale con la carica?

A sinistra il laboratorio (SR A): la carica si muove e la forza di Lorentz $\vv{F}_L$ la spinge in basso. A destra il riferimento della carica (SR B): la carica è ferma e il campo le trasla accanto.

Confrontiamo le due descrizioni:

• In SR A: la forza di Lorentz $\vv{F}_L = -q\,\vv{v}_0\times\vv{B}$ è ben definita e la carica accelera verso il basso.
• In SR B (solidale con la carica): la carica è ferma, quindi $\vv{F}_L = -q\,\vv{0}\times\vv{B} = \vv{0}$. Eppure, per il principio di relatività galileiana, la carica deve comunque accelerare verso il basso: altrimenti le due descrizioni del mondo si contraddirebbero.

Ecco il paradosso: nel riferimento B la forza magnetica è nulla, ma qualcosa deve pur accelerare la carica. Chi fa il lavoro sulla carica nel sistema B? La forza di Lorentz da sola non sa rispondere: manca un pezzo di fisica.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica · Magnetismo Concetti: Forza di Lorentz

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Consider a charge $-q$ (negative) that, seen from reference frame A (the laboratory), moves to the right with velocity $\vv{v}_0$ in the presence of a uniform magnetic field $\vv{B}$, pointing into the page. The Lorentz force pushes it downwards. But what does an observer moving together with the charge see?

On the left, the laboratory (frame A): the charge moves and the Lorentz force $\vv{F}_L$ pushes it downwards. On the right, the charge’s own frame (frame B): the charge is at rest and the field slides past it.

Let’s compare the two descriptions:

• In frame A: the Lorentz force $\vv{F}_L = -q\,\vv{v}_0\times\vv{B}$ is well defined and the charge accelerates downwards.
• In frame B (moving together with the charge): the charge is at rest, so $\vv{F}_L = -q\,\vv{0}\times\vv{B} = \vv{0}$. Yet, by the principle of Galilean relativity, the charge must still accelerate downwards: otherwise the two descriptions of the world would contradict each other.

Here is the paradox: in frame B the magnetic force is zero, but something must still accelerate the charge. Who does the work on the charge in frame B? The Lorentz force alone cannot answer this: a piece of physics is missing.

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Il paradosso della carica vista da due riferimenti si scioglie ammettendo un ingrediente nuovo. Nel riferimento B la carica è ferma e il campo magnetico le trasla accanto: quel $\vv{B}$ che cambia nel tempo (nel punto dove sta la carica) genera un campo elettrico indotto. È questo campo elettrico, non la forza di Lorentz, a fare il lavoro sulla carica nel sistema B.

Principio — Il campo elettrico indotto

Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico indotto $\vv{E}$, dotato di due proprietà nuove rispetto ai campi elettrostatici:

1. Non è conservativo: non ammette un potenziale.
2. Le sue linee di campo sono chiuse.

L’intuizione è che questo campo $\vv{E}$ indotto non somiglia affatto a quelli elettrostatici incontrati finora. Non nasce da cariche ferme, ma da un $\vv{B}$ che cambia; e le sue linee, invece di partire dalle cariche positive e finire sulle negative, si chiudono su se stesse, come le linee di $\vv{B}$. Proprio perché le linee sono chiuse, la circuitazione di $\vv{E}$ lungo un cammino chiuso può essere diversa da zero: è la porta d’ingresso alla legge di Faraday.

Le due descrizioni del paradosso tornano coerenti: in SR A a spingere la carica è la forza magnetica; in SR B è il campo elettrico indotto dal $\vv{B}$ variabile. La stessa accelerazione, due nomi diversi a seconda del riferimento: è la prima avvisaglia della profonda unità tra campo elettrico e campo magnetico.

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Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Campo elettrico

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The paradox of the charge seen from two frames dissolves once we admit a new ingredient. In frame B the charge is at rest and the magnetic field moves past it: that $\vv{B}$ which changes in time (at the point where the charge sits) generates an induced electric field. It is this electric field, not the Lorentz force, that does work on the charge in system B.

Principle — The induced electric field

A magnetic field that varies in time generates an induced electric field $\vv{E}$, endowed with two new properties compared with electrostatic fields:

1. It is not conservative: it admits no potential.
2. Its field lines are closed.

The intuition is that this induced field $\vv{E}$ does not resemble the electrostatic ones met so far at all. It does not arise from stationary charges, but from a changing $\vv{B}$; and its lines, instead of starting on positive charges and ending on negative ones, close on themselves, like the lines of $\vv{B}$. Precisely because the lines are closed, the circulation of $\vv{E}$ along a closed path can be non-zero: this is the gateway to Faraday’s law.

The two descriptions of the paradox become consistent again: in frame A it is the magnetic force that pushes the charge; in frame B it is the electric field induced by the changing $\vv{B}$. The same acceleration, two different names depending on the frame: this is the first hint of the deep unity between the electric field and the magnetic field.

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