La correzione di Maxwell: corrente di spostamento

Maxwell risolve il paradosso del condensatore con un’intuizione: un campo elettrico variabile nel tempo produce un campo magnetico, esattamente come un campo magnetico variabile produce un campo elettrico. Aggiunge così alla legge di Ampère il termine di corrente di spostamento. Questa sezione introduce la correzione e poi la mette alla prova calcolando il vero campo $\vec{B}$ che nasce dentro un condensatore mentre si carica.

• La corrente di spostamento
• Il campo magnetico dentro il condensatore che si carica

Maxwell resolves the capacitor paradox with an insight: a time-varying electric field produces a magnetic field, exactly as a varying magnetic field produces an electric field. He thus adds to Ampère’s law the displacement current term. This section introduces the correction and then puts it to the test by computing the real field $\vec{B}$ that arises inside a capacitor while it charges.

• The displacement current
• The magnetic field inside a charging capacitor

Tra le armature del condensatore non scorre una corrente di cariche, ma c’è un campo elettrico $\vec{E}$ che cresce man mano che le armature si caricano. Maxwell ebbe l’intuizione decisiva: un campo elettrico variabile nel tempo deve produrre un campo magnetico, esattamente come — per la legge di Faraday-Neumann — un campo magnetico variabile produce un campo elettrico. Aggiunse quindi alla legge di Ampère un termine che compensa esattamente la contraddizione del paradosso del condensatore.

Legge di Ampère-Maxwell

$\ev{\Gamma_B = \mu_0\,i_\text{conc} + \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt}}$ Il secondo termine, $\varepsilon_0\mu_0\,\dfrac{d\Phi_E}{dt}$, è la corrente di spostamento: un flusso elettrico variabile fa da sorgente del campo magnetico proprio come una corrente vera.

L’intuizione non è solo estetica: il nuovo termine ripara quantitativamente il paradosso. Verifichiamo che la circuitazione $\Gamma_B$ torni ad essere la stessa per entrambe le superfici $S_1$ e $S_2$ che condividono il bordo $\gamma$.

Verifica — $\Gamma_B$ è la stessa per $S_1$ e $S_2$

Per la superficie $S_2$, che passa tra le armature, non c’è corrente di cariche ma il campo elettrico cresce. La carica $Q$ sulle armature cresce e con essa il flusso $\Phi_E = Q/\varepsilon_0$ (per Gauss). Allora il termine di Maxwell vale $\varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} = \mu_0\,\frac{dQ}{dt} = \mu_0\,i$ Risultato: $\Gamma_B = 0 + \mu_0 i = \mu_0 i$, come per $S_1$ che taglia il filo. La contraddizione è risolta: la circuitazione dipende solo dal bordo, non dalla superficie.

Questa simmetria — $\vec{B}$ variabile genera $\vec{E}$, $\vec{E}$ variabile genera $\vec{B}$ — è il seme da cui, poche pagine più avanti, germoglieranno le onde elettromagnetiche.

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Between the capacitor’s plates no current of charges flows, but there is an electric field $\vec{E}$ that grows as the plates charge up. Maxwell had the decisive insight: a time-varying electric field must produce a magnetic field, exactly as — by the Faraday-Neumann law — a varying magnetic field produces an electric field. He therefore added to Ampère’s law a term that exactly compensates the contradiction of the capacitor paradox.

Ampère-Maxwell law

$\ev{\Gamma_B = \mu_0\,i_\text{link} + \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt}}$ The second term, $\varepsilon_0\mu_0\,\dfrac{d\Phi_E}{dt}$, is the displacement current: a varying electric flux acts as a source of the magnetic field just like a real current.

The insight is not merely aesthetic: the new term repairs the paradox quantitatively. Let us verify that the circulation $\Gamma_B$ becomes the same again for both surfaces $S_1$ and $S_2$ sharing the boundary $\gamma$.

Verification — $\Gamma_B$ is the same for $S_1$ and $S_2$

For surface $S_2$, which passes between the plates, there is no current of charges but the electric field grows. The charge $Q$ on the plates grows, and with it the flux $\Phi_E = Q/\varepsilon_0$ (by Gauss). Then Maxwell’s term equals $\varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} = \mu_0\,\frac{dQ}{dt} = \mu_0\,i$ Result: $\Gamma_B = 0 + \mu_0 i = \mu_0 i$, the same as for $S_1$, which cuts the wire. The contradiction is resolved: the circulation depends only on the boundary, not on the surface.

This symmetry — a varying $\vec{B}$ generates $\vec{E}$, a varying $\vec{E}$ generates $\vec{B}$ — is the seed from which, a few pages further on, electromagnetic waves will sprout.

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Se davvero l’aggiunta di Maxwell ha senso fisico, deve esistere un vero campo magnetico tra le armature del condensatore mentre si carica. Calcoliamone il valore sfruttando la simmetria cilindrica.

Prendiamo due armature circolari di raggio $R_0$ separate da una piccola distanza: tra di esse il campo elettrico è uniforme, diretto da un’armatura all’altra, di modulo $E(t)$. Scegliamo come cammino un cerchio di raggio $r$ centrato sull’asse e parallelo alle armature. Per la simmetria di rotazione, il modulo di $\vec{B}$ su quel cerchio è costante e tangente, quindi $\Gamma_B = B\cdot 2\pi r$. Il flusso elettrico concatenato al cerchio è $\Phi_E = E\cdot\pi r^2$ finché $r < R_0$.

Applicando Ampère-Maxwell — senza corrente di cariche dentro il condensatore, $i_\text{conc} = 0$:

$B(r)\cdot 2\pi r = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} = \mu_0\varepsilon_0\,\pi r^2\,\frac{dE}{dt}$

Semplificando:

Campo interno ( $r \le R_0$)

$\ev{B(r) = \frac{\mu_0\varepsilon_0\,r}{2}\,\frac{dE}{dt}}$

Il campo magnetico cresce linearmente con la distanza dall’asse, proprio come dentro un filo percorso da corrente uniforme. Fuori dalle armature ($r > R_0$) il flusso elettrico concatenato resta bloccato a $E\cdot\pi R_0^2$, quindi

$B(r) = \frac{\mu_0\varepsilon_0\,R_0^2}{2r}\,\frac{dE}{dt} \qquad (r > R_0)$

esattamente come il campo magnetico esterno a un filo che portasse la corrente equivalente $i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,dE/dt$.

Simmetria perfetta

Per chi guarda il circuito dall’esterno, non si distingue un vero filo dal “filo fittizio” di corrente di spostamento: entrambi producono lo stesso campo magnetico $B \propto 1/r$.

Ordine di grandezza

Per una corrente equivalente $i\sim 1$ A, a $r = 1$ cm dall’asse: $B \sim \mu_0 i\,r/(2\pi R_0^2)$, dell’ordine di qualche $\mu$T — debole, ma misurabile.

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If Maxwell’s addition really has physical meaning, a real magnetic field must exist between the capacitor’s plates while it charges. Let us compute its value exploiting the cylindrical symmetry.

Take two circular plates of radius $R_0$ separated by a small distance: between them the electric field is uniform, directed from one plate to the other, with magnitude $E(t)$. Choose as the path a circle of radius $r$ centred on the axis and parallel to the plates. By rotational symmetry, the magnitude of $\vec{B}$ on that circle is constant and tangent, so $\Gamma_B = B\cdot 2\pi r$. The electric flux linked by the circle is $\Phi_E = E\cdot\pi r^2$ as long as $r < R_0$.

Applying Ampère-Maxwell — with no current of charges inside the capacitor, $i_\text{link} = 0$:

$B(r)\cdot 2\pi r = \mu_0\varepsilon_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} = \mu_0\varepsilon_0\,\pi r^2\,\frac{dE}{dt}$

Simplifying:

Field inside ( $r \le R_0$)

$\ev{B(r) = \frac{\mu_0\varepsilon_0\,r}{2}\,\frac{dE}{dt}}$

The magnetic field grows linearly with the distance from the axis, exactly as inside a wire carrying uniform current. Outside the plates ($r > R_0$) the linked electric flux stays capped at $E\cdot\pi R_0^2$, so

$B(r) = \frac{\mu_0\varepsilon_0\,R_0^2}{2r}\,\frac{dE}{dt} \qquad (r > R_0)$

exactly as the magnetic field outside a wire carrying the equivalent current $i = \varepsilon_0\,\pi R_0^2\,dE/dt$.

Perfect symmetry

For someone observing the circuit from outside, a real wire cannot be distinguished from the “fictitious wire” of displacement current: both produce the same magnetic field $B \propto 1/r$.

Order of magnitude

For an equivalent current $i\sim 1$ A, at $r = 1$ cm from the axis: $B \sim \mu_0 i\,r/(2\pi R_0^2)$, of the order of a few $\mu$T — weak, but measurable.

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