L'attrito

L’attrito è la forza di contatto parallela alla superficie che si oppone allo scivolamento. Ha due regimi: statico (forza vincolare che assume il valore necessario, fino a un massimo $\mu_s R$) e dinamico (valore costante $\mu_d R$ mentre il corpo scivola, che dissipa energia cinetica in calore).

• Attrito statico
• Attrito dinamico
  • Tabella — Coefficienti di attrito statico e dinamico
  • Attrito viscoso e velocità limite (velocità terminale)

Friction is the contact force, parallel to the surface, that opposes sliding. It has two regimes: static (a constraint force that takes on the necessary value, up to a maximum $\mu_s R$) and kinetic (constant value $\mu_d R$ while the body slides, which dissipates kinetic energy as heat).

• Static friction
• Kinetic friction
  • Table — Coefficients of static and kinetic friction
  • Viscous drag and limiting (terminal) velocity

L’attrito statico è la forza che impedisce a un corpo di scivolare rispetto alla superficie su cui è appoggiato. Agisce parallelamente alla superficie di contatto ed è diretto in verso opposto al moto incipiente, cioè al moto che il corpo comincerebbe ad avere se l’attrito non ci fosse. È la forza che tiene fermo un libro su un piano leggermente inclinato, o che permette a una cassa spinta debolmente di restare immobile: finché la spinta non è troppo forte, l’attrito statico la equilibra esattamente.

La caratteristica cruciale è che l’attrito statico non ha un valore fisso: è una forza vincolare, che assume di volta in volta il valore “necessario” a impedire lo scivolamento, ma solo fino a un limite massimo.

Principio — Attrito statico

L’attrito statico assume il valore necessario per impedire il moto, fino a un valore massimo: $F_{a,\text{statico}} \leq \mu_s\,\abs{\vv{R}}$ dove $\mu_s$ è il coefficiente di attrito statico e $\vv{R}$ la reazione vincolare normale. Se la forza richiesta per tenere fermo il corpo supera $\mu_s\,\abs{\vv{R}}$, il corpo scivola e l’attrito diventa dinamico.

Vale la pena soffermarsi sulla natura di questa forza. Come la reazione normale, l’attrito statico non è determinato da una formula che ne fissa il valore: è determinato dalla condizione di equilibrio. Se spingo la cassa con $3\ \text{N}$ e lei resta ferma, l’attrito statico vale esattamente $3\ \text{N}$; se aumento la spinta a $5\ \text{N}$ e la cassa è ancora immobile, l’attrito vale $5\ \text{N}$. La disuguaglianza $F_{a,\text{statico}} \leq \mu_s\,\abs{\vv{R}}$ non dice quanto vale l’attrito, ma fino a quale soglia esso può spingersi: superata quella soglia, il vincolo cede e il moto ha inizio.

Tip

L’attrito statico è una forza vincolare: come la reazione normale, assume il valore necessario a soddisfare i vincoli del problema. La differenza è che possiede un valore massimo, oltre il quale non può più garantire l’equilibrio.

▶8.01x Lez. 8 — Attrito — Walter Lewin

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Argomenti: Attrito Concetti: Attrito statico · Forza normale

Esercizi collegati: Problema — Coefficiente di attrito statico · Velocità massima in curva piana · La scatola di fiammiferi che accelera

Static friction is the force that prevents a body from sliding relative to the surface it rests on. It acts parallel to the contact surface and is directed opposite to the incipient motion, that is, the motion the body would begin to have if friction were absent. It is the force that holds a book still on a slightly inclined surface, or that allows a weakly pushed crate to remain stationary: as long as the push is not too strong, static friction balances it exactly.

The crucial feature is that static friction does not have a fixed value: it is a constraint force, which takes on, case by case, the value “necessary” to prevent sliding, but only up to a maximum limit.

Principle — Static friction

Static friction takes on the value necessary to prevent motion, up to a maximum value: $F_{a,\text{statico}} \leq \mu_s\,\abs{\vv{R}}$ where $\mu_s$ is the coefficient of static friction and $\vv{R}$ the normal constraint reaction. If the force required to keep the body still exceeds $\mu_s\,\abs{\vv{R}}$, the body slides and the friction becomes kinetic.

It is worth dwelling on the nature of this force. Like the normal reaction, static friction is not determined by a formula that fixes its value: it is determined by the equilibrium condition. If I push the crate with $3\ \text{N}$ and it stays still, the static friction is exactly $3\ \text{N}$; if I increase the push to $5\ \text{N}$ and the crate is still motionless, the friction is $5\ \text{N}$. The inequality $F_{a,\text{statico}} \leq \mu_s\,\abs{\vv{R}}$ does not say what the friction equals, but up to what threshold it can go: once that threshold is exceeded, the constraint gives way and motion begins.

Tip

Static friction is a constraint force: like the normal reaction, it takes on the value necessary to satisfy the constraints of the problem. The difference is that it has a maximum value, beyond which it can no longer guarantee equilibrium.

▶8.01x Lect 8 — Friction — Walter Lewin

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Topics: Friction Concepts: Static friction · Normal force

Related exercises: Problem — Coefficient of Static Friction · Maximum speed on a flat curve · The accelerating matchbox

Quando la forza applicata supera il valore massimo che l’attrito statico può opporre, il corpo comincia a scivolare e l’attrito cambia natura: diventa dinamico. A differenza di quello statico, l’attrito dinamico ha un valore ben determinato, proporzionale alla reazione vincolare normale attraverso il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$.

Formula chiave

$F_{a,\text{dinamico}} = \mu_d\,\abs{\vv{R}}$ L’attrito dinamico è sempre diretto in verso opposto al moto del corpo rispetto alla superficie.

L’attrito si oppone al moto relativo, non allo spostamento rispetto al laboratorio. Rispetto a una superficie ferma il lavoro è negativo. Un pacco posato su un nastro trasportatore, invece, riceve dall’attrito dinamico un lavoro positivo: il nastro lo trascina in avanti. Il lavoro totale della coppia di forze d’attrito dinamico (pacco e nastro) resta negativo, e quella differenza diventa energia termica. Percorrendo un tratto $\Delta\vv{s}$ rispetto alla superficie ferma, il lavoro dissipato vale

$L_a = -F_a\,\abs{\Delta\vv{s}}$

Questo lavoro non scompare: rappresenta energia cinetica che viene sottratta al moto e convertita in energia termica del corpo e della superficie. È l’attrito dinamico che fa scaldare le mani quando le sfreghiamo, o i freni di un’automobile in frenata. L’energia meccanica ordinata del moto si trasforma così in agitazione termica disordinata, e questa trasformazione non è reversibile: il corpo non riparte spontaneamente riassorbendo l’energia termica prodotta.

Warning

Attenzione a non confondere i due attriti dal punto di vista energetico. L’attrito statico non compie lavoro se la superficie è ferma e il punto di contatto non slitta: è il caso della camminata. Il pavimento spinge il centro di massa in avanti, ma il piede è fermo nell’istante del contatto, quindi il lavoro è nullo; l’energia cinetica viene dall’energia chimica interna. L’attrito statico compie lavoro quando la superficie si muove insieme al corpo, come una cassa ferma sul pianale di un camion che accelera: il pianale avanza, la cassa non slitta, e l’attrito statico le cede energia cinetica. L’attrito dinamico, quando c’è slittamento, dissipa.

Statico o dinamico? La differenza in breve

	Attrito statico	Attrito dinamico
Quando agisce	il corpo è fermo rispetto alla superficie	il corpo scivola sulla superficie
Valore	quello che serve, fino a un massimo: $F_{a,s} \le \mu_s\,\abs{\vv{R}}$	fisso: $F_{a,d} = \mu_d\,\abs{\vv{R}}$
Coefficiente	$\mu_s$	$\mu_d$, di solito minore: $\mu_d < \mu_s$

Per questo una cassa pesante è più faticosa da smuovere che da tenere in moto: per partire bisogna superare $\mu_s\,\abs{\vv{R}}$, poi basta vincere $\mu_d\,\abs{\vv{R}}$.

Tabella — Coefficienti di attrito statico e dinamico

I coefficienti $\mu_s$ e $\mu_d$ appartengono alla coppia di superfici in contatto, e dipendono anche da pulizia, usura e temperatura. I valori in tabella sono indicativi, arrotondati a una o due cifre: danno l’ordine di grandezza, non un dato di progetto. Provengono dalla Tabella 6.1 di OpenStax, University Physics Volume 1. Per la gomma quel testo elenca il calcestruzzo; il $\mu_d = 0{,}7$ sull’asciutto è lo stesso già usato in questa nota per la gomma sull’asfalto. Per il calcestruzzo bagnato OpenStax dà un intervallo ($0{,}5$–$0{,}7$ statico, $0{,}3$–$0{,}5$ dinamico): in tabella si riporta l’intervallo.

Coppia di superfici	$\mu_s$	$\mu_d$
Gomma–calcestruzzo asciutto	$1{,}0$	$0{,}7$
Gomma–calcestruzzo bagnato	$0{,}5$–$0{,}7$	$0{,}3$–$0{,}5$
Scarpe–ghiaccio	$0{,}1$	$0{,}05$
Acciaio–acciaio (asciutto)	$0{,}6$	$0{,}3$
Acciaio–acciaio (lubrificato)	$0{,}05$	$0{,}03$
Legno–legno	$0{,}5$	$0{,}3$
Teflon–acciaio	$0{,}04$	$0{,}04$

In quasi tutte le coppie $\mu_d < \mu_s$, come già detto sopra. Il Teflon è l’eccezione tabulata: i due coefficienti coincidono. Sul ghiaccio l’attrito crolla: per le scarpe è dell’ordine di $0{,}1$, circa cinque volte più piccolo del legno sul legno e dieci volte più piccolo della gomma sul calcestruzzo asciutto.

Come si misura $\mu_s$ con il piano inclinato. Si appoggia un oggetto sul piano e si aumenta lentamente l’angolo $\theta$. All’equilibrio, lungo il piano, $mg\sin\theta$ è bilanciato dall’attrito statico. Alla soglia di scivolamento l’attrito vale il suo massimo $\mu_s N$, e $N = \abs{\vv{R}} = mg\cos\theta_s$ (reazione normale), quindi $\ev{\mu_s = \tan\theta_s}$ dove $\theta_s$ è l’angolo di soglia. L’angolo di soglia misura direttamente il coefficiente, e la massa non entra. Lo stesso ragionamento è svolto negli esercizi Coefficiente di attrito dalla soglia di scivolamento e Soglia di scivolamento.

Attrito radente, volvente e viscoso

Statico e dinamico sono i due regimi dell’attrito radente, quello fra due superfici che strisciano o tendono a strisciare. Ma non è l’unico tipo di attrito.

• Attrito volvente: si oppone al rotolamento di una ruota o di una sfera su una superficie. Nasce perché ruota e terreno si deformano un poco nel punto di contatto. Per una ruota di raggio $r$: $F_v = \mu_v\,\frac{\abs{\vv{R}}}{r}$ Il coefficiente di attrito volvente $\mu_v$ non è un numero puro come $\mu_s$ e $\mu_d$: ha le dimensioni di una lunghezza e si misura in metri. Più grande è la ruota, minore è l’attrito.
• Attrito viscoso: è la resistenza di un fluido (aria, acqua, olio) a un corpo che lo attraversa. Non dipende da $\vv{R}$ ma dalla velocità: a velocità basse è proporzionale a essa, $\vv{F} = -b\,\vv{v}$.

Perché rotolare costa meno che strisciare. Per uno pneumatico d’auto su asfalto $\mu_v/r \approx 0{,}01$, mentre la gomma che striscia sull’asfalto ha $\mu_d \approx 0{,}7$: rotolando, la forza da vincere è circa settanta volte più piccola. È il motivo della ruota, dei cuscinetti a sfere e dei rulli sotto i carichi pesanti.

Attrito viscoso e velocità limite (velocità terminale)

Un corpo che cade in un fluido sente, oltre al peso, la resistenza del fluido, diretta contro la velocità. A velocità basse (gocce piccole, sferette nell’olio) vale l’attrito viscoso: $\vv{F} = -b\,\vv{v}$ dove $b$ (in kg/s) dipende dalla forma e dalle dimensioni del corpo e dalla viscosità del fluido. Per una sfera che si muove lentamente in un fluido (numero di Reynolds $\text{Re}\ll 1$) la costante $b$ si calcola: è la legge di Stokes, $\ev{\vv{F} = -6\pi\eta r\,\vv{v}}$ cioè $b = 6\pi\eta r$. Qui $r$ è il raggio della sfera e $\eta$ la viscosità dinamica del fluido (unità $\text{Pa}\cdot\text{s}$), già introdotta nei cenni di fluidodinamica. Il numero di Reynolds si valuta con il diametro della sfera come lunghezza caratteristica, $\text{Re} = \rho_f v (2r)/\eta$, con $\rho_f$ densità del fluido. Le soglie $2000$ e $4000$ di quella nota valgono per il moto in un tubo, non per la sfera: qui serve $\text{Re}\ll 1$. Nell’aria, a velocità più alte (paracadutista, pallone, automobile), la resistenza aerodinamica cresce invece circa con il quadrato della velocità, $F \propto v^2$.

Perché esiste una velocità limite. All’inizio della caduta $v = 0$ e c’è solo il peso: il corpo accelera con $g$. Più va veloce, più cresce la forza resistente, e la forza totale $mg - bv$ diminuisce. Quando la resistenza uguaglia il peso la forza totale è nulla e, per il primo principio della dinamica, la velocità resta costante: $mg = b\,v_\text{lim} \quad\Longrightarrow\quad \ev{v_\text{lim} = \frac{mg}{b}}$ È la velocità limite (o velocità terminale). Un corpo più pesante, a parità di forma, ha una velocità limite maggiore: per questo, nell’aria, un foglio di carta e una moneta non cadono insieme.

Il grafico $v(t)$. La velocità parte da zero con pendenza $g$ (la tangente iniziale è la retta della caduta libera), poi la curva si piega e si avvicina all’asintoto orizzontale $v = v_\text{lim}$ senza superarlo. Per l’attrito viscoso la curva è $v(t) = v_\text{lim}\,(1 - e^{-t/\tau})$ con $\tau = m/b$: dopo un tempo pari a qualche $\tau$ il corpo viaggia praticamente a velocità costante.

Esempi. Un paracadutista in caduta libera raggiunge una velocità terminale dell’ordine di $50\;\text{m/s}$; aprendo il paracadute aumenta enormemente la resistenza aerodinamica e la velocità limite scende a pochi metri al secondo, sicura per l’atterraggio. Le gocce di pioggia arrivano a terra a velocità limite di qualche metro al secondo: senza l’aria, cadendo da un chilometro, arriverebbero a oltre $100\;\text{m/s}$.

Esempio numerico. Una sferetta di massa $m = 0{,}10$ kg cade in un olio con $b = 0{,}50$ kg/s: $v_\text{lim} = \dfrac{0{,}10 \cdot 9{,}8}{0{,}50} \approx 2{,}0$ m/s, e $\tau = m/b = 0{,}20$ s. Dopo circa un secondo la velocità è già praticamente quella limite.

Sferetta in un fluido, con la spinta di Archimede. La formula $v_\text{lim} = mg/b$ scritta sopra non include la spinta di Archimede: nell’aria è di solito trascurabile, e nell’esempio dell’olio l’abbiamo trascurata per semplicità. In un liquido, però, in generale va tenuta in conto: all’equilibrio fra peso, spinta di Archimede $\tfrac{4}{3}\pi r^3\rho_f g$ e forza di Stokes si ottiene $\ev{v_\text{lim} = \frac{2r^2(\rho_s - \rho_f)g}{9\eta}}$ dove $\rho_s$ e $\rho_f$ sono le densità della sfera e del fluido.

Esempio numerico (sfera in glicerina). Una sferetta d’acciaio di raggio $r = 1{,}0\;\text{mm}$ e densità $\rho_s = 7{,}8\cdot 10^3\;\text{kg/m}^3$ cade in glicerina a $20\;^\circ\text{C}$ ($\eta = 1{,}5\;\text{Pa}\cdot\text{s}$, $\rho_f = 1{,}26\cdot 10^3\;\text{kg/m}^3$): $v_\text{lim} = \frac{2(1{,}0\cdot 10^{-3})^2\bigl(7{,}8\cdot 10^3 - 1{,}26\cdot 10^3\bigr)\cdot 9{,}8}{9\cdot 1{,}5} \approx 9{,}5\cdot 10^{-3}\;\text{m/s}$ circa un centimetro al secondo. Il numero di Reynolds è $\text{Re} \approx 0{,}016$, molto minore di $1$: la legge di Stokes è applicabile. Lo stesso principio sta alla base del viscosimetro a caduta di sfera e, con le dovute correzioni, dell’esperimento della goccia d’olio di Millikan, con cui fu misurata la carica elementare.

Dove la ritrovi: Paracadute e velocità limite · Sciatore a velocità limite · Magnete in tubo, velocità limite (lì la «resistenza» non è dell’aria ma delle correnti di Foucault, che frenano il magnete tanto più quanto più va veloce: anche lui raggiunge una velocità limite).

La velocità cresce sempre più lentamente e tende a $v_\text{lim}$: la forza totale va a zero.

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Collegamenti

Argomenti: Attrito Concetti: Attrito dinamico · Energia termica da attrito

Esercizi collegati: Problema — Blocco spinto con attrito · Esercizio svolto — blocco su piano inclinato con molla e attrito · Problema — Spingere una cassa in moto

When the applied force exceeds the maximum value that static friction can oppose, the body begins to slide and the friction changes nature: it becomes kinetic. Unlike the static case, kinetic friction has a well-defined value, proportional to the normal constraint reaction through the coefficient of kinetic friction $\mu_d$.

Key formula

$F_{a,\text{dinamico}} = \mu_d\,\abs{\vv{R}}$ Kinetic friction is always directed opposite to the motion of the body relative to the surface.

Friction opposes relative motion, not the displacement relative to the laboratory. Relative to a surface at rest the work is negative. A parcel set down on a conveyor belt, by contrast, receives positive work from kinetic friction: the belt drags it forward. The total work of the pair of kinetic-friction forces (parcel and belt) remains negative, and that difference becomes thermal energy. Over a displacement $\Delta\vv{s}$ relative to the surface at rest, the dissipated work is

$L_a = -F_a\,\abs{\Delta\vv{s}}$

This work does not vanish: it represents kinetic energy that is taken from the motion and converted into thermal energy of the body and the surface. It is kinetic friction that makes our hands warm up when we rub them, or a car’s brakes when braking. The ordered mechanical energy of motion is thus transformed into disordered thermal agitation, and this transformation is not reversible: the body does not spontaneously set off again by reabsorbing the thermal energy produced.

Warning

Be careful not to confuse the two types of friction from an energy standpoint. Static friction does not do work if the surface is at rest and the contact point does not slip: that is walking. The floor pushes the centre of mass forward, but the foot is instantaneously at rest, so the work is zero; the kinetic energy comes from internal chemical energy. Static friction does work when the surface moves with the body, as with a crate that does not slip on the bed of an accelerating truck: the bed advances, and static friction hands the crate kinetic energy. Kinetic friction, when there is slip, dissipates.

Static or kinetic? The difference in short

	Static friction	Kinetic friction
When it acts	the body is at rest relative to the surface	the body slides on the surface
Value	whatever is needed, up to a maximum: $F_{a,s} \le \mu_s\,\abs{\vv{R}}$	fixed: $F_{a,d} = \mu_d\,\abs{\vv{R}}$
Coefficient	$\mu_s$	$\mu_d$, usually smaller: $\mu_d < \mu_s$

This is why a heavy crate is harder to set in motion than to keep moving: to start you must exceed $\mu_s\,\abs{\vv{R}}$, then overcoming $\mu_d\,\abs{\vv{R}}$ is enough.

Table — Coefficients of static and kinetic friction

The coefficients $\mu_s$ and $\mu_d$ belong to the pair of surfaces in contact, and also depend on cleanliness, wear and temperature. The values in the table are indicative, rounded to one or two digits: they give the order of magnitude, not a design figure. They come from Table 6.1 of OpenStax, University Physics Volume 1. For rubber that text lists concrete; the dry value $\mu_d = 0.7$ is the same one already used in this note for rubber on asphalt. For wet concrete OpenStax gives a range ($0.5$–$0.7$ static, $0.3$–$0.5$ kinetic): the table reports the range.

Surface pair	$\mu_s$	$\mu_d$
Rubber–concrete, dry	$1.0$	$0.7$
Rubber–concrete, wet	$0.5$–$0.7$	$0.3$–$0.5$
Shoes–ice	$0.1$	$0.05$
Steel–steel (dry)	$0.6$	$0.3$
Steel–steel (oiled)	$0.05$	$0.03$
Wood–wood	$0.5$	$0.3$
Teflon–steel	$0.04$	$0.04$

For almost every pair $\mu_d < \mu_s$, as already stated above. Teflon is the tabulated exception: the two coefficients coincide. On ice, friction drops sharply: for shoes it is of order $0.1$, about five times smaller than wood on wood and ten times smaller than rubber on dry concrete.

How to measure $\mu_s$ with an inclined plane. Place an object on the plane and slowly increase the angle $\theta$. In equilibrium, along the plane, $mg\sin\theta$ is balanced by static friction. At the slipping threshold friction takes its maximum value $\mu_s N$, and $N = \abs{\vv{R}} = mg\cos\theta_s$ (normal reaction), so $\ev{\mu_s = \tan\theta_s}$ where $\theta_s$ is the threshold angle. The threshold angle measures the coefficient directly, and the mass does not enter. The same argument is worked out in the exercises Coefficient of friction from the slipping threshold and Slipping threshold.

Sliding, rolling and viscous friction

Static and kinetic are the two regimes of sliding friction, the friction between two surfaces that slide or tend to slide. But it is not the only kind of friction.

• Rolling friction: it opposes the rolling of a wheel or a sphere on a surface. It arises because wheel and ground deform slightly at the contact point. For a wheel of radius $r$: $F_v = \mu_v\,\frac{\abs{\vv{R}}}{r}$ The coefficient of rolling friction $\mu_v$ is not a pure number like $\mu_s$ and $\mu_d$: it has the dimensions of a length and is measured in metres. The larger the wheel, the smaller the friction.
• Viscous friction: the resistance of a fluid (air, water, oil) to a body moving through it. It does not depend on $\vv{R}$ but on the speed: at low speeds it is proportional to it, $\vv{F} = -b\,\vv{v}$.

Why rolling costs less than sliding. For a car tyre on asphalt $\mu_v/r \approx 0.01$, while rubber sliding on asphalt has $\mu_d \approx 0.7$: when rolling, the force to overcome is about seventy times smaller. That is the reason for the wheel, ball bearings and rollers under heavy loads.

Viscous drag and limiting (terminal) velocity

A body falling through a fluid feels, besides its weight, the fluid resistance, directed against the velocity. At low speeds (small drops, beads in oil) viscous friction applies: $\vv{F} = -b\,\vv{v}$ where $b$ (in kg/s) depends on the body’s shape and size and on the fluid’s viscosity. For a sphere moving slowly through a fluid (Reynolds number $\text{Re}\ll 1$) the constant $b$ can be calculated: this is Stokes’ law, $\ev{\vv{F} = -6\pi\eta r\,\vv{v}}$ that is, $b = 6\pi\eta r$. Here $r$ is the radius of the sphere and $\eta$ is the dynamic viscosity of the fluid (unit $\text{Pa}\cdot\text{s}$), already introduced in the notes on fluid dynamics. The Reynolds number is evaluated with the diameter of the sphere as the characteristic length, $\text{Re} = \rho_f v (2r)/\eta$, with $\rho_f$ the density of the fluid. The thresholds $2000$ and $4000$ in that note apply to flow in a pipe, not to a sphere: here one needs $\text{Re}\ll 1$. In air, at higher speeds (skydiver, ball, car), air resistance (aerodynamic drag) instead grows roughly with the square of the speed, $F \propto v^2$.

Why there is a limiting velocity. At the start $v = 0$ and only the weight acts: the body accelerates at $g$. The faster it goes, the larger the drag, and the net force $mg - bv$ shrinks. When drag equals weight the net force is zero and, by Newton’s first law, the velocity stays constant: $mg = b\,v_\text{lim} \quad\Longrightarrow\quad \ev{v_\text{lim} = \frac{mg}{b}}$ This is the limiting velocity (or terminal velocity). A heavier body of the same shape has a higher terminal velocity: that is why, in air, a sheet of paper and a coin do not fall together.

The $v(t)$ graph. Velocity starts at zero with slope $g$ (the initial tangent is the free-fall line), then the curve bends and approaches the horizontal asymptote $v = v_\text{lim}$ without crossing it. For viscous drag the curve is $v(t) = v_\text{lim}\,(1 - e^{-t/\tau})$ with $\tau = m/b$: after a few $\tau$ the body moves at practically constant speed.

Examples. A skydiver in free fall reaches a terminal velocity of order $50\;\text{m/s}$; opening the parachute greatly increases air resistance and the terminal velocity drops to a few metres per second, safe for landing. Raindrops hit the ground at terminal velocities of a few metres per second: without air, falling from one kilometre, they would arrive at over $100\;\text{m/s}$.

Worked example. A bead of mass $m = 0.10$ kg falls through oil with $b = 0.50$ kg/s: $v_\text{lim} = \dfrac{0.10 \cdot 9.8}{0.50} \approx 2.0$ m/s, and $\tau = m/b = 0.20$ s. After about one second its speed is practically the limiting one.

A small sphere in a fluid, with Archimedes’ buoyancy. The formula $v_\text{lim} = mg/b$ written above does not include the buoyant force: in air it is usually negligible, and in the oil example we neglected it for simplicity. In a liquid, however, it must in general be kept: at equilibrium among the weight, Archimedes’ buoyant force $\tfrac{4}{3}\pi r^3\rho_f g$ and the Stokes force one obtains $\ev{v_\text{lim} = \frac{2r^2(\rho_s - \rho_f)g}{9\eta}}$ where $\rho_s$ and $\rho_f$ are the densities of the sphere and of the fluid.

Worked example (sphere in glycerin). A steel bead of radius $r = 1.0\;\text{mm}$ and density $\rho_s = 7.8\cdot 10^3\;\text{kg/m}^3$ falls in glycerin at $20\;^\circ\text{C}$ ($\eta = 1.5\;\text{Pa}\cdot\text{s}$, $\rho_f = 1.26\cdot 10^3\;\text{kg/m}^3$): $v_\text{lim} = \frac{2(1.0\cdot 10^{-3})^2\bigl(7.8\cdot 10^3 - 1.26\cdot 10^3\bigr)\cdot 9.8}{9\cdot 1.5} \approx 9.5\cdot 10^{-3}\;\text{m/s}$ about one centimetre per second. The Reynolds number is $\text{Re} \approx 0.016$, much smaller than $1$: Stokes’ law applies. The same principle underlies the falling-ball viscometer and, with the appropriate corrections, Millikan’s oil-drop experiment, with which the elementary charge was measured.

See it in: Parachute and terminal velocity · Skier at terminal velocity · Magnet in a tube, terminal velocity (there the “drag” comes from eddy currents, which brake the magnet more the faster it moves: it too reaches a terminal velocity).

Velocity grows more and more slowly and tends to $v_\text{lim}$: the net force goes to zero.

▶Friction — Physics Girl

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Topics: Friction Concepts: Kinetic friction · Thermal energy from friction

Related exercises: Problem — Block pushed with friction · Worked exercise — block on an incline with a spring and friction · Problem — Pushing a moving crate