Esempi multi-argomento

Quattro tracce-tipo che combinano più aree del programma, il cuore della prova scritta. Il sito le propone con un’analisi essenziale del procedimento — l’obiettivo è mostrare come si imposta un problema integrato; qui ciascuna è portata fino al risultato numerico, così puoi confrontare la tua soluzione. Ogni esempio evidenzia le connessioni tra le aree coinvolte.

Esempi

• Sbarretta in campo magnetico (induzione + dinamica + energia)
• Decadimento radioattivo (nucleare + cinetica + relatività)
• Fotoelettrone in campo magnetico (quantistica + magnetismo)
• Circuito RC e trasmissione d’onda (circuiti + onde + energia)

Four model exam papers that combine several areas of the syllabus, the heart of the written exam. The site presents them with an essential analysis of the method — the aim is to show how to set up an integrated problem; here each one is taken all the way to the numerical result, so you can check your solution against it. Each example highlights the connections between the areas involved.

Examples

• Conducting bar in a magnetic field (induction + dynamics + energy)
• Radioactive decay (nuclear physics + kinetics + relativity)
• Photoelectron in a magnetic field (quantum physics + magnetism)
• RC circuit and wave transmission (circuits + waves + energy)

Testo

Una sbarretta conduttrice di massa $m$, lunghezza $\ell$, resistenza $R$ scivola senza attrito su due binari orizzontali paralleli, immersi in un campo magnetico uniforme $\pq{B}$ perpendicolare al piano dei binari. La sbarretta parte da ferma con una forza esterna costante $\pq{F}_0$ applicata. Determinare: (a) la legge oraria della velocità, (b) la velocità limite, (c) la potenza dissipata nella resistenza a regime.

Soluzione

Impostazione (schema a stadi). Il problema intreccia tre leggi: la seconda di Newton (dinamica), la legge di Faraday-Neumann-Lenz (induzione) e il bilancio energetico. Le mettiamo in sequenza.

Stadio 1 — induzione. Muovendosi con velocità $v$, la sbarretta genera una forza elettromotrice indotta (legge di Faraday, area che varia): $\Gamma_E = -B\ell v$ La corrente nel circuito, di resistenza $R$, vale in modulo: $i = \frac{B\ell v}{R}$

Stadio 2 — dinamica. La corrente nel campo produce una forza di Laplace $F_\text{ind} = Bi\ell$ che, per la legge di Lenz, si oppone al moto. La seconda legge di Newton lungo i binari è: $m\,\ddt{v} = F_0 - Bi\ell = F_0 - \frac{B^2\ell^2}{R}\,v$ È un’equazione differenziale lineare del primo ordine in $v$.

(a) Legge oraria. Ponendo $\tau = \dfrac{mR}{B^2\ell^2}$ e integrando con la condizione $v(0)=0$: $\ev{v(t) = \frac{F_0 R}{B^2\ell^2}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$ La velocità cresce esponenzialmente e satura: la stessa forma della carica di un condensatore.

(b) Velocità limite. A regime $\ddt{v}=0$, dunque $F_0 = \dfrac{B^2\ell^2}{R}v_\infty$: $\ev{v_\infty = \frac{F_0 R}{B^2\ell^2}}$

(c) Bilancio energetico a regime. A velocità costante l’accelerazione è nulla: tutta la potenza fornita dalla forza esterna viene dissipata per effetto Joule in $R$. $P_\text{diss} = P_\text{esterna} = F_0\, v_\infty = \frac{F_0^2 R}{B^2\ell^2}$ $\ev{P_\text{diss} = \frac{F_0^2 R}{B^2\ell^2}}$

Le tre aree si incastrano: l’induzione (cap. 18) fornisce la corrente, che entra nella dinamica (forza variabile, cap. 2) e determina la legge oraria; la conservazione dell’energia (cap. 4) chiude il conto a regime. La struttura matematica è la stessa equazione differenziale $\dot v = a - bv$ che governa anche la caduta con attrito viscoso.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica · Dinamica · Lavoro ed energia Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Forza di Laplace · Effetto Joule Competenze: Conservazione dell’energia

Problem

A conducting bar of mass $m$, length $\ell$, resistance $R$ slides without friction on two parallel horizontal rails, immersed in a uniform magnetic field $\pq{B}$ perpendicular to the plane of the rails. The bar starts from rest with a constant external force $\pq{F}_0$ applied. Determine: (a) the velocity as a function of time, (b) the terminal velocity, (c) the power dissipated in the resistance at steady state.

Solution

Setup (staged approach). The problem interweaves three laws: Newton’s second law (dynamics), the Faraday-Neumann-Lenz law (induction) and the energy balance. We put them in sequence.

Stage 1 — induction. Moving with velocity $v$, the bar generates an induced electromotive force (Faraday’s law, changing area): $\Gamma_E = -B\ell v$ The current in the circuit, of resistance $R$, has magnitude: $i = \frac{B\ell v}{R}$

Stage 2 — dynamics. The current in the field produces a Laplace force $F_\text{ind} = Bi\ell$ which, by Lenz’s law, opposes the motion. Newton’s second law along the rails is: $m\,\ddt{v} = F_0 - Bi\ell = F_0 - \frac{B^2\ell^2}{R}\,v$ This is a first-order linear differential equation in $v$.

(a) Velocity as a function of time. Setting $\tau = \dfrac{mR}{B^2\ell^2}$ and integrating with the condition $v(0)=0$: $\ev{v(t) = \frac{F_0 R}{B^2\ell^2}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}$ The velocity grows exponentially and saturates: the same form as the charging of a capacitor.

(b) Terminal velocity. At steady state $\ddt{v}=0$, hence $F_0 = \dfrac{B^2\ell^2}{R}v_\infty$: $\ev{v_\infty = \frac{F_0 R}{B^2\ell^2}}$

(c) Energy balance at steady state. At constant velocity the acceleration is zero: all the power supplied by the external force is dissipated by the Joule effect in $R$. $P_\text{diss} = P_\text{esterna} = F_0\, v_\infty = \frac{F_0^2 R}{B^2\ell^2}$ $\ev{P_\text{diss} = \frac{F_0^2 R}{B^2\ell^2}}$

The three areas interlock: induction (ch. 18) supplies the current, which feeds into the dynamics (variable force, ch. 2) and determines the velocity as a function of time; conservation of energy (ch. 4) closes the account at steady state. The mathematical structure is the same differential equation $\dot v = a - bv$ that also governs falling with viscous drag.

Links

Topics: Electromagnetic induction · Dynamics · Work and energy Concepts: Faraday-Neumann-Lenz law · Laplace force · Joule effect Skills: Conservation of energy

Testo

Un nucleo di $^{210}$Po (massa $\approx 209{,}982\;u$) decade per emissione $\alpha$ in $^{206}$Pb (massa $\approx 205{,}974\;u$) più una particella $\alpha$ (massa $\approx 4{,}0026\;u$). Il nucleo iniziale è a riposo. Determinare: (a) l’energia liberata, (b) la velocità della particella $\alpha$, (c) se la trattazione relativistica è necessaria.

Soluzione

(a) Energia liberata (difetto di massa). L’energia proviene dalla massa che “sparisce” nel decadimento (equivalenza massa-energia di Einstein). Il difetto di massa è: $\Delta m = m(^{210}\text{Po}) - m(^{206}\text{Pb}) - m(\alpha) = 209{,}982 - 205{,}974 - 4{,}0026 = 0{,}0054\;u$ Convertendo con $1\;u \approx 931{,}5$ MeV$/c^2$: $\ev{Q = \Delta m\, c^2 \approx 0{,}0054 \times 931{,}5 \approx 5{,}0\;\text{MeV}}$

(b) Velocità della particella $\alpha$. Il nucleo di partenza è fermo, quindi la quantità di moto totale si conserva ed è nulla: i due frammenti rinculano con quantità di moto opposte, $p_\alpha = p_\text{Pb}$. L’energia $Q$ si ripartisce in modo inversamente proporzionale alle masse, così l’$\alpha$ (più leggero) prende la quota maggiore: $E_\alpha \approx Q\,\frac{m_\text{Pb}}{m_\text{Pb}+m_\alpha} = 5{,}0\times\frac{205{,}974}{209{,}977} \approx 4{,}93\;\text{MeV}$ Uso la formula cinetica classica $E_\alpha = \tfrac12 m_\alpha v_\alpha^2$ (verifico dopo che è lecita). Con $m_\alpha = 4{,}0026\,u = 6{,}65\cdot 10^{-27}\;$kg e $E_\alpha = 4{,}93\;\text{MeV} = 7{,}90\cdot 10^{-13}\;$J: $v_\alpha = \sqrt{\frac{2E_\alpha}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{2\cdot 7{,}90\cdot 10^{-13}}{6{,}65\cdot 10^{-27}}} \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\;\text{m/s}$ $\ev{v_\alpha \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\;\text{m/s}}$

(c) Serve la relatività? Il rapporto con la velocità della luce è $\frac{v_\alpha}{c} \approx \frac{1{,}5\cdot 10^{7}}{3{,}0\cdot 10^{8}} \approx 0{,}05$ cioè circa il 5% di $c$. Il fattore di Lorentz differisce dall’unità di appena $\sim 0{,}1\%$: la formula classica $E_k=\tfrac12 m v^2$ è più che adeguata. La relatività entra invece in modo essenziale nel punto (a), dove $Q = \Delta m\,c^2$: senza equivalenza massa-energia il decadimento non si spiegherebbe affatto.

Le connessioni: fisica nucleare (cap. 22) per il difetto di massa, conservazione della quantità di moto (cap. 5) per la ripartizione dell’energia, equivalenza massa-energia (cap. 20) per la sorgente stessa di $Q$.

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare · Relatività ristretta Concetti: Decadimento radioattivo · Energia di legame nucleare · Equivalenza massa-energia · Conservazione della quantità di moto

Problem

A nucleus of $^{210}$Po (mass $\approx 209{,}982\;u$) decays by $\alpha$ emission into $^{206}$Pb (mass $\approx 205{,}974\;u$) plus an $\alpha$ particle (mass $\approx 4{,}0026\;u$). The initial nucleus is at rest. Determine: (a) the energy released, (b) the velocity of the $\alpha$ particle, (c) whether relativistic treatment is necessary.

Solution

(a) Energy released (mass defect). The energy comes from the mass that “disappears” in the decay (Einstein’s mass-energy equivalence). The mass defect is: $\Delta m = m(^{210}\text{Po}) - m(^{206}\text{Pb}) - m(\alpha) = 209{,}982 - 205{,}974 - 4{,}0026 = 0{,}0054\;u$ Converting with $1\;u \approx 931{,}5$ MeV$/c^2$: $\ev{Q = \Delta m\, c^2 \approx 0{,}0054 \times 931{,}5 \approx 5{,}0\;\text{MeV}}$

(b) Velocity of the $\alpha$ particle. The initial nucleus is at rest, so the total momentum is conserved and equal to zero: the two fragments recoil with opposite momenta, $p_\alpha = p_\text{Pb}$. The energy $Q$ is shared out inversely proportional to the masses, so the (lighter) $\alpha$ particle takes the larger share: $E_\alpha \approx Q\,\frac{m_\text{Pb}}{m_\text{Pb}+m_\alpha} = 5{,}0\times\frac{205{,}974}{209{,}977} \approx 4{,}93\;\text{MeV}$ I use the classical kinetic formula $E_\alpha = \tfrac12 m_\alpha v_\alpha^2$ (I will check afterwards that this is valid). With $m_\alpha = 4{,}0026\,u = 6{,}65\cdot 10^{-27}\;$kg and $E_\alpha = 4{,}93\;\text{MeV} = 7{,}90\cdot 10^{-13}\;$J: $v_\alpha = \sqrt{\frac{2E_\alpha}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{2\cdot 7{,}90\cdot 10^{-13}}{6{,}65\cdot 10^{-27}}} \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\;\text{m/s}$ $\ev{v_\alpha \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\;\text{m/s}}$

(c) Is relativity needed? The ratio with the speed of light is $\frac{v_\alpha}{c} \approx \frac{1{,}5\cdot 10^{7}}{3{,}0\cdot 10^{8}} \approx 0{,}05$ that is, about 5% of $c$. The Lorentz factor differs from unity by barely $\sim 0{,}1\%$: the classical formula $E_k=\tfrac12 m v^2$ is more than adequate. Relativity, on the other hand, is essential in point (a), where $Q = \Delta m\,c^2$: without mass-energy equivalence the decay could not be explained at all.

The connections: nuclear physics (ch. 22) for the mass defect, conservation of momentum (ch. 5) for the energy split, mass-energy equivalence (ch. 20) for the very source of $Q$.

Links

Topics: Nuclear physics · Special relativity Concepts: Radioactive decay · Nuclear binding energy · Mass-energy equivalence · Conservation of momentum

Testo

Una superficie di sodio (lavoro di estrazione $W_0 = 2{,}3$ eV) è illuminata da luce monocromatica di lunghezza d’onda $\lambda = 300$ nm. Gli elettroni emessi entrano perpendicolarmente in un campo magnetico uniforme $B = 1{,}0$ mT. Determinare: (a) l’energia cinetica massima degli elettroni, (b) il raggio della traiettoria circolare nel campo.

Soluzione

(a) Energia cinetica massima (effetto fotoelettrico). L’equazione di Einstein per l’effetto fotoelettrico dice che l’energia del fotone si spende in parte per estrarre l’elettrone ($W_0$) e in parte diventa energia cinetica: $E_{k,\max} = hf - W_0 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ Conviene ricordare la costante pratica $hc \approx 1240\;\text{eV}\cdot\text{nm}$: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{300} \approx 4{,}13\;\text{eV}$ $\ev{E_{k,\max} = 4{,}13 - 2{,}3 \approx 1{,}83\;\text{eV}}$

(b) Raggio nel campo magnetico (forza di Lorentz). Prima la velocità dell’elettrone (non relativistica: $E_k\ll m_e c^2$). Converto $E_k = 1{,}83\;\text{eV} = 2{,}93\cdot 10^{-19}\;$J: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}93\cdot 10^{-19}}{9{,}11\cdot 10^{-31}}} \approx 8{,}0\cdot 10^{5}\;\text{m/s}$ Nel campo la forza di Lorentz $\pq{F}=q\pq{v}\times\pq{B}$ è centripeta e genera un moto circolare uniforme. Uguagliando forza di Lorentz e forza centripeta, $evB = m_e v^2/r$, si ricava: $r = \frac{m_e v}{eB} = \frac{9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 8{,}0\cdot 10^{5}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}}$ $\ev{r \approx 4{,}6\cdot 10^{-3}\;\text{m} \approx 4{,}6\;\text{mm}}$

Le connessioni: effetto fotoelettrico (cap. 21) per convertire luce in energia cinetica, forza di Lorentz (cap. 17) per il moto circolare, con la conservazione dell’energia (cap. 4) che lega frequenza della luce e velocità dell’elettrone. Nota il ponte tra i mondi: un fenomeno quantistico (il fotone) fissa la velocità, un fenomeno classico (il moto in campo magnetico) ne determina la traiettoria.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica · Magnetismo Concetti: Effetto fotoelettrico · Fotone · Forza di Lorentz · Moto circolare uniforme

Problem

A sodium surface (work function $W_0 = 2{,}3$ eV) is illuminated by monochromatic light of wavelength $\lambda = 300$ nm. The emitted electrons enter perpendicularly into a uniform magnetic field $B = 1{,}0$ mT. Determine: (a) the maximum kinetic energy of the electrons, (b) the radius of the circular trajectory in the field.

Solution

(a) Maximum kinetic energy (photoelectric effect). Einstein’s equation for the photoelectric effect states that the photon’s energy is spent partly on extracting the electron ($W_0$) and partly becomes kinetic energy: $E_{k,\max} = hf - W_0 = \frac{hc}{\lambda} - W_0$ It is useful to remember the practical constant $hc \approx 1240\;\text{eV}\cdot\text{nm}$: $\frac{hc}{\lambda} = \frac{1240}{300} \approx 4{,}13\;\text{eV}$ $\ev{E_{k,\max} = 4{,}13 - 2{,}3 \approx 1{,}83\;\text{eV}}$

(b) Radius in the magnetic field (Lorentz force). First, the electron’s velocity (non-relativistic: $E_k\ll m_e c^2$). Converting $E_k = 1{,}83\;\text{eV} = 2{,}93\cdot 10^{-19}\;$J: $v = \sqrt{\frac{2E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}93\cdot 10^{-19}}{9{,}11\cdot 10^{-31}}} \approx 8{,}0\cdot 10^{5}\;\text{m/s}$ In the field, the Lorentz force $\pq{F}=q\pq{v}\times\pq{B}$ is centripetal and generates uniform circular motion. Equating the Lorentz force and the centripetal force, $evB = m_e v^2/r$, gives: $r = \frac{m_e v}{eB} = \frac{9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 8{,}0\cdot 10^{5}}{1{,}602\cdot 10^{-19}\cdot 1{,}0\cdot 10^{-3}}$ $\ev{r \approx 4{,}6\cdot 10^{-3}\;\text{m} \approx 4{,}6\;\text{mm}}$

The connections: the photoelectric effect (ch. 21) to convert light into kinetic energy, the Lorentz force (ch. 17) for the circular motion, with conservation of energy (ch. 4) linking the light’s frequency and the electron’s velocity. Note the bridge between the two worlds: a quantum phenomenon (the photon) fixes the velocity, while a classical phenomenon (motion in a magnetic field) determines its trajectory.

Links

Topics: Quantum physics · Magnetism Concepts: Photoelectric effect · Photon · Lorentz force · Uniform circular motion

Testo

Un condensatore di capacità $C = 10\;\mu$F, inizialmente carico a $V_0 = 100$ V, si scarica su una resistenza $R = 100\;\Omega$. Il circuito comprende anche un’antenna che dovrebbe irradiare un’onda EM a frequenza $f = 1$ MHz. Determinare: (a) la costante di tempo $\tau$ della scarica, (b) l’energia inizialmente immagazzinata, (c) discutere l’analogia tra la scarica RC e l’estinzione esponenziale di un’onda smorzata, e perché il circuito non può generare l’onda richiesta.

Soluzione

(a) Costante di tempo. Per un circuito RC il tempo caratteristico della scarica è il prodotto resistenza-capacità: $\tau = RC = 100 \times 10\cdot 10^{-6} = 10^{-3}\;\text{s}$ $\ev{\tau = 1\;\text{ms}}$

(b) Energia immagazzinata. L’energia in un condensatore carico è $E = \tfrac12 CV^2$: $E_0 = \tfrac12 C V_0^2 = \tfrac12\cdot 10\cdot 10^{-6}\cdot (100)^2$ $\ev{E_0 = 0{,}05\;\text{J}}$

(c) Analogia e limite del circuito. La tensione decade esponenzialmente: $V(t) = V_0\,e^{-t/\tau}$

Scarica esponenziale del condensatore: dopo un tempo $\tau$ la tensione è scesa al 37% del valore iniziale.

La frequenza tipica della scarica è $\sim 1/\tau \approx 1$ kHz, mille volte più bassa del megahertz richiesto dall’antenna. Il circuito RC è troppo lento per modulare un segnale radio: per generare onde a MHz serve un circuito LC risonante, in cui l’energia oscilla avanti e indietro tra condensatore e induttore invece di dissiparsi.

Analogia universale. La forma $V(t)=V_0 e^{-t/\tau}$ è identica all’inviluppo di un’onda smorzata e alla legge $N(t)=N_0 e^{-\lambda t}$ di una popolazione di nuclei radioattivi. Il decadimento esponenziale è una struttura matematica che ricorre ovunque una grandezza diminuisca a un tasso proporzionale al proprio valore.

Le connessioni: circuiti RC (cap. 15), onde EM e circuiti risonanti (cap. 19), con analogie verso il decadimento radioattivo (cap. 22) e l’oscillatore smorzato (cap. 4b).

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici · Onde elettromagnetiche Concetti: Circuito RC · Capacità e condensatore · Decadimento radioattivo

Problem

A capacitor of capacitance $C = 10\;\mu$F, initially charged to $V_0 = 100$ V, discharges through a resistance $R = 100\;\Omega$. The circuit also includes an antenna that is supposed to radiate an EM wave at frequency $f = 1$ MHz. Determine: (a) the discharge time constant $\tau$, (b) the energy initially stored, (c) discuss the analogy between the RC discharge and the exponential decay of a damped wave, and why the circuit cannot generate the required wave.

Solution

(a) Time constant. For an RC circuit, the characteristic discharge time is the product of resistance and capacitance: $\tau = RC = 100 \times 10\cdot 10^{-6} = 10^{-3}\;\text{s}$ $\ev{\tau = 1\;\text{ms}}$

(b) Stored energy. The energy in a charged capacitor is $E = \tfrac12 CV^2$: $E_0 = \tfrac12 C V_0^2 = \tfrac12\cdot 10\cdot 10^{-6}\cdot (100)^2$ $\ev{E_0 = 0{,}05\;\text{J}}$

(c) Analogy and the circuit’s limitation. The voltage decays exponentially: $V(t) = V_0\,e^{-t/\tau}$

Exponential discharge of the capacitor: after a time $\tau$ the voltage has dropped to 37% of its initial value.

The typical discharge frequency is $\sim 1/\tau \approx 1$ kHz, a thousand times lower than the megahertz required by the antenna. The RC circuit is too slow to modulate a radio signal: to generate MHz waves you need a resonant LC circuit, in which the energy oscillates back and forth between the capacitor and the inductor instead of dissipating.

Universal analogy. The form $V(t)=V_0 e^{-t/\tau}$ is identical to the envelope of a damped wave and to the law $N(t)=N_0 e^{-\lambda t}$ of a population of radioactive nuclei. Exponential decay is a mathematical structure that recurs whenever a quantity decreases at a rate proportional to its own value.

The connections: RC circuits (ch. 15), EM waves and resonant circuits (ch. 19), with analogies to radioactive decay (ch. 22) and the damped oscillator (ch. 4b).

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Topics: Electric circuits · Electromagnetic waves Concepts: RC circuit · Capacitance and the capacitor · Radioactive decay