Grandezze fisiche e unità di misura

Una grandezza fisica è tutto ciò che si può misurare: una lunghezza, un tempo, una massa, una temperatura. Misurare significa attribuire a una grandezza un valore numerico insieme a un’unità di misura, e nessuna misura è mai perfettamente esatta. Questa sezione introduce il linguaggio delle misure: le unità del Sistema Internazionale, le conversioni, le cifre significative, la notazione scientifica e il modo di trattare l’incertezza.

• Che cos’è una grandezza fisica
• Conversione di unità
• Cifre significative e incertezza
• Misure come intervallo
• Notazione scientifica e ordini di grandezza
• Percentuali e incertezza nei sondaggi

A physical quantity is anything that can be measured: a length, a time, a mass, a temperature. Measuring means assigning a quantity a numerical value together with a unit of measurement, and no measurement is ever perfectly exact. This section introduces the language of measurement: the units of the International System, conversions, significant figures, scientific notation, and how to handle uncertainty.

• Che cos’è una grandezza fisica
• Conversione di unità
• Cifre significative e incertezza
• Misure come intervallo
• Notazione scientifica e ordini di grandezza
• Percentuali e incertezza nei sondaggi

Una grandezza fisica è tutto ciò che si può misurare: una lunghezza, un intervallo di tempo, una massa, una temperatura. Ciò che distingue una grandezza fisica da una semplice qualità è proprio la possibilità di associarle un numero attraverso una procedura di misura ripetibile.

Ogni grandezza fisica è composta da due parti inseparabili: un valore numerico e un’unità di misura. Il valore da solo non dice nulla — dire “la stanza è lunga 5” è privo di significato finché non si precisa se si tratta di 5 metri, 5 passi o 5 chilometri. Nessuna misura ha senso senza specificare l’unità: l’unità è ciò che fissa il “metro di paragone” rispetto al quale il numero acquista significato.

Principio — Le sette grandezze fondamentali del SI

Il Sistema Internazionale (SI) si basa su sette grandezze fondamentali. Tutte le altre grandezze si derivano da queste.

Grandezza	Simbolo	Unità SI	Simbolo unità
Lunghezza	$\ell$	metro	m
Massa	$m$	chilogrammo	kg
Tempo	$t$	secondo	s
Corrente elettrica	$i$	ampere	A
Temperatura	$T$	kelvin	K
Quantità di sostanza	$n$	mole	mol
Intensità luminosa	$I_v$	candela	cd

Tutte le altre grandezze che incontreremo in fisica sono unità derivate, cioè si ottengono combinando fra loro le sette fondamentali. Alcune tra le più comuni:

• velocità: $[\,\text{m/s}\,]$
• accelerazione: $[\,\text{m/s}^2\,]$
• forza: $[\,\text{N}\,] = [\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\,]$
• energia: $[\,\text{J}\,] = [\,\text{N}\cdot\text{m}\,]$
• potenza: $[\,\text{W}\,] = [\,\text{J/s}\,]$

Il fatto che ogni unità derivata si possa esprimere come prodotto di potenze delle unità fondamentali è alla base dell’analisi dimensionale, uno strumento potente per controllare la coerenza delle formule.

Il SI dopo il 2019

Nel 2019 il SI è stato ridefinito in termini di costanti fondamentali della natura — come la velocità della luce $c$, la costante di Planck $h$, la costante di Boltzmann $k_B$, la carica elementare $e$ e il numero di Avogadro $N_A$ — anziché di prototipi materiali (come il vecchio cilindro di platino-iridio che definiva il chilogrammo). Le unità sono così ancorate a quantità immutabili e riproducibili ovunque nell’universo.

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A physical quantity is anything that can be measured: a length, a time interval, a mass, a temperature. What distinguishes a physical quantity from a mere quality is precisely the possibility of associating it with a number through a repeatable measurement procedure.

Every physical quantity is made up of two inseparable parts: a numerical value and a unit of measurement. The value alone says nothing — saying “the room is 5 long” is meaningless until we specify whether it is 5 metres, 5 paces or 5 kilometres. No measurement makes sense without specifying the unit: the unit is what fixes the “yardstick” against which the number acquires meaning.

Principle — The seven base quantities of the SI

The International System of Units (SI) is based on seven base quantities. All other quantities are derived from these.

Quantity	Symbol	SI unit	Unit symbol
Length	$\ell$	metre	m
Mass	$m$	kilogramme	kg
Time	$t$	second	s
Electric current	$i$	ampere	A
Temperature	$T$	kelvin	K
Amount of substance	$n$	mole	mol
Luminous intensity	$I_v$	candela	cd

All the other quantities we shall meet in physics are derived units, obtained by combining the seven base ones. Some of the most common:

• velocity: $[\,\text{m/s}\,]$
• acceleration: $[\,\text{m/s}^2\,]$
• force: $[\,\text{N}\,] = [\,\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\,]$
• energy: $[\,\text{J}\,] = [\,\text{N}\cdot\text{m}\,]$
• power: $[\,\text{W}\,] = [\,\text{J/s}\,]$

The fact that every derived unit can be expressed as a product of powers of the base units is the foundation of dimensional analysis, a powerful tool for checking the consistency of formulae.

The SI after 2019

In 2019 the SI was redefined in terms of fundamental constants of nature — such as the speed of light $c$, the Planck constant $h$, the Boltzmann constant $k_B$, the elementary charge $e$ and the Avogadro number $N_A$ — rather than material prototypes (such as the old platinum-iridium cylinder that defined the kilogramme). The units are thus anchored to unchanging quantities, reproducible anywhere in the universe.

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Spesso una stessa grandezza è espressa in unità diverse da quelle che ci servono, e occorre convertire. Per farlo in modo sicuro si usa il metodo dei fattori di conversione: si moltiplica la grandezza per frazioni che valgono $1$ — per esempio $1\;\text{km}/1000\;\text{m} = 1$ — scelte in modo da far cancellare le unità indesiderate e lasciare solo quelle desiderate.

L’idea chiave è che moltiplicare per una frazione uguale a $1$ non cambia il valore fisico della grandezza, ma ne cambia il modo in cui è scritta. Trattando le unità come fattori algebrici che si semplificano al numeratore e al denominatore, il metodo diventa quasi automatico e riduce drasticamente il rischio di errori.

Consideriamo un rubinetto che lascia cadere $30\;\text{cL}$ d’acqua ogni $4\;\text{s}$: quanti litri si riempiono in 3 giorni? Prima conviene convertire tutto in unità coerenti. Il tempo in secondi è

$3\;\text{giorni} = 3\cdot 24\cdot 60\cdot 60\;\text{s} = 259\,200\;\text{s}$

e il volume perso a ogni goccia in litri è

$30\;\text{cL} = 0{,}3\;\text{L}.$

Il rapporto tra volume e tempo è $0{,}3/4 = 0{,}075\;\text{L/s}$. Quindi in 3 giorni si raccoglie

$V = 0{,}075\cdot 259\,200 = 19\,440\;\text{L} \approx 19\;\text{m}^3,$

cioè l’equivalente di uno stanzino di $3\times 3\times 2$ metri pieno d’acqua: un ottimo motivo per non trascurare i rubinetti che perdono.

Formula chiave

$\begin{aligned} 1\;\text{L} &= 1\;\text{dm}^3 \\ 1\;\text{m}^3 &= 1000\;\text{L} \\ 1\;\text{giorno} &= 86\,400\;\text{s} \\ 1\;\text{km/h} &= \frac{1}{3{,}6}\;\text{m/s} \end{aligned}$

Vale la pena memorizzare in particolare l’ultima: per passare da km/h a m/s si divide per $3{,}6$, e viceversa si moltiplica per $3{,}6$. È la conversione più frequente in cinematica.

Generatore di esercizi

Allena la conversione con il generatore casuale qui sotto: scegli il tipo di unità (semplici o composte, con eventuali potenze), la notazione e le cifre significative, genera gli esercizi e prova a risolverli prima di mostrare le soluzioni.

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Often the same quantity is expressed in units different from those we need, and a conversion is required. To do this safely we use the conversion factors method: the quantity is multiplied by fractions equal to $1$ — for example $1\;\text{km}/1000\;\text{m} = 1$ — chosen so as to cancel the unwanted units and leave only the desired ones.

The key idea is that multiplying by a fraction equal to $1$ does not change the physical value of the quantity, but changes the way it is written. By treating units as algebraic factors that simplify in the numerator and denominator, the method becomes almost automatic and drastically reduces the risk of errors.

Consider a tap dripping $30\;\text{cL}$ of water every $4\;\text{s}$: how many litres fill up in 3 days? It is best to first convert everything into consistent units. The time in seconds is

$3\;\text{days} = 3\cdot 24\cdot 60\cdot 60\;\text{s} = 259\,200\;\text{s}$

and the volume lost with each drop, in litres, is

$30\;\text{cL} = 0{,}3\;\text{L}.$

The ratio between volume and time is $0{,}3/4 = 0{,}075\;\text{L/s}$. So in 3 days one collects

$V = 0{,}075\cdot 259\,200 = 19\,440\;\text{L} \approx 19\;\text{m}^3,$

which is the equivalent of a $3\times 3\times 2$ metre closet full of water: a good reason not to overlook a dripping tap.

Key formula

$\begin{aligned} 1\;\text{L} &= 1\;\text{dm}^3 \\ 1\;\text{m}^3 &= 1000\;\text{L} \\ 1\;\text{day} &= 86\,400\;\text{s} \\ 1\;\text{km/h} &= \frac{1}{3{,}6}\;\text{m/s} \end{aligned}$

The last one is especially worth memorising: to go from km/h to m/s you divide by $3{,}6$, and vice versa you multiply by $3{,}6$. It is the most frequent conversion in kinematics.

Exercise generator

Practise conversions with the random generator below: pick the unit type (simple or composite, with optional powers), the notation and the number of significant figures, generate the exercises and try to solve them before revealing the solutions.

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Nessuna misura in fisica è mai perfettamente esatta: ogni strumento ha una sua sensibilità, cioè la più piccola variazione che riesce ancora a distinguere. Un righello graduato in millimetri non può dire nulla sui centesimi di millimetro; una bilancia da cucina non distingue il grammo dal mezzo grammo. La sensibilità dello strumento fissa quindi un limite naturale alla precisione con cui possiamo conoscere una grandezza.

Quando riportiamo una misura, le cifre che scriviamo comunicano implicitamente quanto ci fidiamo del risultato. Scrivere una cifra in più significa affermare di averla effettivamente misurata: per questo il numero di cifre riportate non è mai arbitrario, ma è esso stesso un’informazione sull’incertezza.

Principio — Regola delle cifre significative

Per contare le cifre significative di un numero ottenuto come risultato di una misura:

1. Si ignorano tutti gli zeri iniziali (quelli tra la virgola e la prima cifra diversa da zero).
2. Tutte le cifre rimanenti sono significative, compresi gli zeri in mezzo e quelli finali.

Contare le cifre significative

Misura	Cifre significative	Commento
$33\,240$	5	tutte le cifre non-zero o intermedie
$0{,}001080$	4	gli zeri iniziali non contano
$3030{,}32$	6	gli zeri interni contano
$0{,}50000$	5	gli zeri finali dopo la virgola contano
$0{,}0505$	3	lo zero interno conta, gli iniziali no
$50{,}00$	4	gli zeri finali contano

Tip

“Se scrivi $2{,}3250$ con lo zero finale, quello zero deve essere stato misurato. Altrimenti non va scritto.”

Un esempio concreto

Supponi di misurare l’altezza di una porta. A occhio: $2{,}3\;\text{m}$ (2 cifre significative, sei sicuro del metro e dei decimetri). Con un metro da muratore: $2{,}325\;\text{m}$ (4 cifre: sicuro fino al millimetro). Con un laser: $2{,}3250\;\text{m}$ (5 cifre: hai davvero misurato anche il decimo di millimetro). Più cifre significative $\Leftrightarrow$ misura più precisa.

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No measurement in physics is ever perfectly exact: every instrument has a sensitivity, i.e. the smallest variation it can still distinguish. A ruler graduated in millimetres can say nothing about hundredths of a millimetre; a kitchen scale cannot tell a gram from half a gram. The sensitivity of the instrument therefore sets a natural limit on the precision with which we can know a quantity.

When we report a measurement, the digits we write implicitly convey how much we trust the result. Writing one extra digit means claiming to have actually measured it: for this reason the number of digits reported is never arbitrary, but is itself a piece of information about the uncertainty.

Principle — Rule of significant figures

To count the significant figures of a number obtained as the result of a measurement:

1. Ignore all leading zeros (those between the decimal point and the first non-zero digit).
2. All remaining digits are significant, including zeros in the middle and trailing ones.

Counting significant figures

Measurement	Significant figures	Comment
$33\,240$	5	all non-zero or intermediate digits
$0{,}001080$	4	leading zeros do not count
$3030{,}32$	6	internal zeros count
$0{,}50000$	5	trailing zeros after the decimal point count
$0{,}0505$	3	the internal zero counts, the leading ones do not
$50{,}00$	4	trailing zeros count

Tip

“If you write $2{,}3250$ with the trailing zero, that zero must have been measured. Otherwise it should not be written.”

A concrete example

Suppose you measure the height of a door. By eye: $2{,}3\;\text{m}$ (2 significant figures, you are sure of the metre and the decimetres). With a mason’s tape measure: $2{,}325\;\text{m}$ (4 figures: sure down to the millimetre). With a laser: $2{,}3250\;\text{m}$ (5 figures: you have really measured even the tenth of a millimetre). More significant figures $\Leftrightarrow$ more precise measurement.

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Un modo trasparente di riportare una misura incerta è scriverla come intervallo. Invece di dichiarare un unico valore, si dichiarano gli estremi entro cui il vero valore è certamente contenuto:

$b = [\,6{,}9\;;\;7{,}2\,]\;\text{cm}$

significa proprio questo — il valore reale della lunghezza $b$ sta da qualche parte fra $6{,}9\;\text{cm}$ e $7{,}2\;\text{cm}$, e non possiamo dire di più.

Equivalentemente si scrive $b = 7{,}0(1)\;\text{cm}$: qui la cifra tra parentesi indica la prima cifra incerta, cioè quella affetta da errore. Le due notazioni dicono esattamente la stessa cosa: la prima rende esplicito l’intervallo, la seconda è più compatta e mette in evidenza dove finisce la parte “sicura” della misura e dove comincia quella dubbia.

Il vantaggio della notazione a intervallo è che si presta a un’aritmetica semplice: quando si combinano più misure incerte, si può propagare l’incertezza ragionando direttamente sugli estremi. Un caso tipico è la stima dell’area di una figura irregolare.

Il metodo dei quadretti

Per stimare l’area di una figura irregolare — per esempio una macchia, una foglia, o un cerchio disegnato a mano — si sovrappone una griglia di quadretti di lato noto (diciamo $0{,}5\;\text{cm}$, cioè $0{,}25\;\text{cm}^2$ per quadretto) e si contano:

• i quadretti completamente dentro la figura: diciamo 39;
• quelli almeno parzialmente dentro (compresi i precedenti): diciamo 65.

Allora l’area minima e massima sono $A_\text{min} = 39\cdot 0{,}25 = 9{,}75\;\text{cm}^2 \qquad A_\text{max} = 65\cdot 0{,}25 = 16{,}25\;\text{cm}^2,$ quindi l’area è nota nell’intervallo $[\,9{,}75\;;\;16{,}25\,]\;\text{cm}^2$. Da qui, se la figura è approssimativamente circolare, si ricava anche il raggio da $r = \sqrt{A/\pi}$, che risulta $[\,1{,}76\;;\;2{,}27\,]\;\text{cm}$.

Metodo dei quadretti. Una griglia di lato noto è sovrapposta alla figura: contando i quadretti interamente contenuti e quelli anche solo sfiorati si ottengono l’area minima e massima, cioè un intervallo per l’area.

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A transparent way of reporting an uncertain measurement is to write it as an interval. Instead of stating a single value, the extremes within which the true value is certainly contained are stated:

$b = [\,6{,}9\;;\;7{,}2\,]\;\text{cm}$

means exactly this — the real value of the length $b$ lies somewhere between $6{,}9\;\text{cm}$ and $7{,}2\;\text{cm}$, and we cannot say more.

Equivalently one writes $b = 7{,}0(1)\;\text{cm}$: here the digit in brackets indicates the first uncertain digit, i.e. the one affected by error. The two notations say exactly the same thing: the first makes the interval explicit, the second is more compact and highlights where the “safe” part of the measurement ends and the doubtful part begins.

The advantage of interval notation is that it lends itself to simple arithmetic: when several uncertain measurements are combined, the uncertainty can be propagated by reasoning directly on the extremes. A typical case is the estimate of the area of an irregular figure.

The grid-square method

To estimate the area of an irregular figure — for example a stain, a leaf, or a hand-drawn circle — a grid of squares of known side is overlaid (say $0{,}5\;\text{cm}$, i.e. $0{,}25\;\text{cm}^2$ per square) and one counts:

• the squares entirely inside the figure: say 39;
• those at least partly inside (including the previous ones): say 65.

Then the minimum and maximum areas are $A_\text{min} = 39\cdot 0{,}25 = 9{,}75\;\text{cm}^2 \qquad A_\text{max} = 65\cdot 0{,}25 = 16{,}25\;\text{cm}^2,$ so the area is known to lie in the interval $[\,9{,}75\;;\;16{,}25\,]\;\text{cm}^2$. From here, if the figure is roughly circular, the radius can also be derived from $r = \sqrt{A/\pi}$, giving $[\,1{,}76\;;\;2{,}27\,]\;\text{cm}$.

The grid-square method. A grid of known side is overlaid on the figure: by counting the squares entirely contained and those merely touched, one obtains the minimum and maximum area, i.e. an interval for the area.

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Quando i numeri sono molto grandi o molto piccoli, scriverli per esteso diventa scomodo e soggetto a errori (basta un errore nel contare gli zeri). Conviene allora usare la notazione scientifica: ogni numero si scrive nella forma

$a\cdot 10^n \qquad \text{con}\quad 1 \leq a < 10,$

dove $a$ è la mantissa (un numero con una sola cifra prima della virgola) e $n$ è un intero, positivo per i numeri grandi e negativo per quelli piccoli. Qualche esempio dalle scale della natura:

• Massa dell’elettrone: $9{,}1\cdot 10^{-31}\;\text{kg}$
• Raggio del nucleo atomico: $\sim 10^{-15}\;\text{m}$
• Raggio della Terra: $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$
• Distanza Terra-Sole: $1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$
• Massa del Sole: $2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina. È un modo rapido di dire “quanto grande” è una quantità, ignorando i dettagli. Ad esempio, il raggio della Terra è dell’ordine di $10^7\;\text{m}$: più precisamente vale $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$, ma poiché $6{,}4 > \sqrt{10} \approx 3{,}2$ la mantissa “arrotonda” verso l’alto, e la potenza di 10 più vicina è $10^7$ e non $10^6$. Il criterio, in generale, è proprio questo: si confronta la mantissa con $\sqrt{10}\approx 3{,}2$ per decidere verso quale potenza arrotondare.

Sensibilità agli ordini di grandezza

In fisica è fondamentale sviluppare un‘“intuizione” per gli ordini di grandezza. Se un calcolo dà come risultato la massa della Luna $= 5\;\text{kg}$, si capisce subito che c’è un errore senza nemmeno rifare i conti: il risultato deve essere dell’ordine di $10^{22}\;\text{kg}$. Confrontare l’ordine di grandezza di un risultato con quello che ci si aspetta è il primo, rapidissimo controllo di ogni calcolo.

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When numbers are very large or very small, writing them out in full becomes cumbersome and error-prone (one slip in counting the zeros is enough). It is then convenient to use scientific notation: every number is written in the form

$a\cdot 10^n \qquad \text{with}\quad 1 \leq a < 10,$

where $a$ is the mantissa (a number with a single digit before the decimal point) and $n$ is an integer, positive for large numbers and negative for small ones. A few examples from the scales of nature:

• Electron mass: $9{,}1\cdot 10^{-31}\;\text{kg}$
• Atomic nucleus radius: $\sim 10^{-15}\;\text{m}$
• Earth’s radius: $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$
• Earth-Sun distance: $1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$
• Sun’s mass: $2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$

The order of magnitude of a number is the nearest power of 10. It is a quick way of saying “how large” a quantity is, ignoring the details. For instance, the Earth’s radius is of order $10^7\;\text{m}$: more precisely it equals $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$, but since $6{,}4 > \sqrt{10} \approx 3{,}2$ the mantissa “rounds” upward, and the nearest power of 10 is $10^7$ rather than $10^6$. The criterion, in general, is exactly this: the mantissa is compared with $\sqrt{10}\approx 3{,}2$ to decide which power to round towards.

Sensitivity to orders of magnitude

In physics it is essential to develop an “intuition” for orders of magnitude. If a calculation gives the mass of the Moon as $5\;\text{kg}$, it is immediately clear there is an error, without even redoing the sums: the result should be of order $10^{22}\;\text{kg}$. Comparing the order of magnitude of a result with what is expected is the first, fastest check of any calculation.

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Una percentuale è semplicemente una frazione scritta su 100: $54{,}2\% = 54{,}2/100 = 0{,}542$. Per passare dalla percentuale al valore assoluto si moltiplica per il totale — su 24 studenti, il $54{,}2\%$ è $24\cdot 0{,}542 \approx 13$ studenti. Viceversa, per passare da un conteggio a una percentuale si usa

$\text{percentuale} = \frac{\text{conteggio}}{\text{totale}}\cdot 100.$

Un risultato importante, e spesso trascurato, è che una percentuale calcolata su un campione finito di $N$ individui è per forza affetta da incertezza: tanto più piccolo è $N$, tanto più la stima può variare se ripetessimo il sondaggio su un altro gruppo. La statistica elementare fornisce una formula per quantificare questa incertezza.

Principio — Incertezza su una proporzione

$\ev{\text{err}(p) = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}}}$ dove $p$ è la proporzione (un numero tra 0 e 1, non in percentuale) e $N$ è la dimensione del campione.

Formula chiave

Più grande è il campione $N$, più piccolo è l’errore sulla percentuale: l’incertezza decresce come $1/\sqrt{N}$.

La dipendenza da $1/\sqrt{N}$ spiega perché per dimezzare l’incertezza di un sondaggio bisogna quadruplicare il numero di intervistati. È anche il motivo per cui i sondaggi seri coinvolgono migliaia di persone: solo così l’errore scende a pochi punti percentuali.

Consideriamo una classe di 24 studenti a cui si chiede: “Preferisci i cani o i gatti?”. Rispondono 13 cani e 11 gatti. La proporzione a favore dei cani è $p = 13/24 = 0{,}542$, ovvero $54{,}2\%$, con incertezza

$\text{err}(p) = \sqrt{\frac{0{,}542\cdot 0{,}458}{24}} \approx \sqrt{\frac{0{,}248}{24}} \approx 0{,}102,$

cioè $10{,}2\%$. I cani vincono con $(54{,}2 \pm 10{,}2)\%$, un intervallo $[\,44{,}1\%\;;\;64{,}3\%\,]$: per un campione così piccolo l’incertezza è enorme, e con soli 24 studenti non è statisticamente chiaro se la maggioranza preferisca davvero i cani.

Sanity check con campioni piccoli

Qualche verifica sulla formula:

• 3 rossi su 5 totali: $p=0{,}6$, err $\approx 22\%$.
• 2 verdi su 3 totali: $p=0{,}67$, err $\approx 27\%$.
• 8 favorevoli su 12 totali: $p=0{,}67$, err $\approx 14\%$.

Sotto i 20 campioni l’errore su una proporzione è dell’ordine del $20\%$ o più: una regola pratica da ricordare quando si leggono i sondaggi elettorali sui giornali.

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A percentage is simply a fraction expressed out of 100: $54{,}2\% = 54{,}2/100 = 0{,}542$. To go from a percentage to the absolute value, multiply by the total — out of 24 students, $54{,}2\%$ is $24\cdot 0{,}542 \approx 13$ students. Conversely, to go from a count to a percentage one uses

$\text{percentage} = \frac{\text{count}}{\text{total}}\cdot 100.$

An important, and often overlooked, result is that a percentage calculated on a finite sample of $N$ individuals is necessarily affected by uncertainty: the smaller $N$ is, the more the estimate can vary if the survey were repeated on a different group. Elementary statistics provides a formula to quantify this uncertainty.

Principle — Uncertainty on a proportion

$\ev{\text{err}(p) = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}}}$ where $p$ is the proportion (a number between 0 and 1, not a percentage) and $N$ is the sample size.

Key formula

The larger the sample $N$, the smaller the error on the percentage: the uncertainty decreases as $1/\sqrt{N}$.

The $1/\sqrt{N}$ dependence explains why halving the uncertainty of a survey requires quadrupling the number of respondents. It is also why serious surveys involve thousands of people: only then does the error drop to a few percentage points.

Consider a class of 24 students asked: “Do you prefer dogs or cats?” 13 answer dogs and 11 answer cats. The proportion in favour of dogs is $p = 13/24 = 0{,}542$, i.e. $54{,}2\%$, with uncertainty

$\text{err}(p) = \sqrt{\frac{0{,}542\cdot 0{,}458}{24}} \approx \sqrt{\frac{0{,}248}{24}} \approx 0{,}102,$

i.e. $10{,}2\%$. Dogs win with $(54{,}2 \pm 10{,}2)\%$, an interval $[\,44{,}1\%\;;\;64{,}3\%\,]$: for such a small sample the uncertainty is enormous, and with only 24 students it is not statistically clear whether the majority really prefers dogs.

Sanity check with small samples

A few checks on the formula:

• 3 reds out of 5 total: $p=0{,}6$, err $\approx 22\%$.
• 2 greens out of 3 total: $p=0{,}67$, err $\approx 27\%$.
• 8 in favour out of 12 total: $p=0{,}67$, err $\approx 14\%$.

Below 20 samples the error on a proportion is of the order of $20\%$ or more: a practical rule worth remembering when reading election polls in the newspapers.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Propagazione degli errori

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