Il piano inclinato

Su un piano inclinato la mossa vincente è ruotare gli assi lungo la superficie: così la reazione vincolare e l’accelerazione hanno una sola componente e i conti si semplificano. Da qui si trattano il piano liscio, il piano con molla e il sistema a due masse collegate da una puleggia sulla sommità.

• Scelta degli assi
• Piano inclinato liscio
• Puleggia su doppio piano inclinato

Prova tu — simulazione interattiva

On an inclined plane the winning move is to rotate the axes along the surface: this way the constraint reaction and the acceleration each have only one component and the working simplifies. From here we cover the smooth plane, the plane with a spring, and the two-mass system connected by a pulley at the top.

• Choice of axes
• Smooth inclined plane
• Pulley on a double inclined plane

Try it — interactive simulation

Quando un corpo si trova su un piano inclinato di angolo $\theta$, la scelta più conveniente non è quella dei soliti assi orizzontale/verticale, ma quella di assi ruotati insieme al piano:

• asse $x$: lungo il piano, positivo verso l’alto (o verso il basso, a scelta);
• asse $y$: perpendicolare al piano, positivo verso l’esterno della superficie.

Il motivo è puramente pratico. Con assi “tilted” la reazione vincolare $\vec{R}$ ha una sola componente (tutta lungo $y$) e anche l’accelerazione ha una sola componente (tutta lungo $x$, perché il corpo non lascia il piano). L’unica forza che va scomposta è il peso, e i conti si semplificano enormemente.

Piano inclinato: gli assi $x$ e $y$ sono ruotati lungo il piano. Il peso $\vec{P}$ si scompone in una componente parallela ($mg\sin\theta$, che causa il moto) e una perpendicolare ($mg\cos\theta$, bilanciata da $\vec{R}$).

In questo sistema le componenti del peso diventano (con $x$ positivo verso l’alto):

$\vec{P} = \begin{pmatrix} -mg\sin\theta \\ -mg\cos\theta \end{pmatrix}$

mentre la reazione vincolare e l’accelerazione hanno una sola componente ciascuna:

$\vec{R} = \begin{pmatrix} 0 \\ R \end{pmatrix}, \qquad \vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$

Perché conviene ruotare gli assi

Con gli assi ruotati, la seconda legge di Newton si spezza in due equazioni disaccoppiate: una lungo il piano (che dà l’accelerazione) e una perpendicolare (che dà la reazione vincolare). Non compaiono mai componenti “miste”.

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Argomenti: Dinamica Concetti: Forza peso · Forza normale Competenze: Scelta degli assi · Scomposizione sul piano inclinato · Diagramma di corpo libero Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Piano inclinato

Esercizi collegati: Massa su piano liscio · Angolo di sopraelevazione della curva · Accelerazione sul piano inclinato con attrito

When a body sits on a plane inclined at angle $\theta$, the most convenient choice is not the usual horizontal/vertical axes, but axes rotated together with the plane:

• $x$ axis: along the plane, positive upwards (or downwards, as preferred);
• $y$ axis: perpendicular to the plane, positive outwards from the surface.

The reason is purely practical. With “tilted” axes the constraint reaction $\vec{R}$ has only one component (entirely along $y$) and the acceleration too has only one component (entirely along $x$, because the body does not leave the plane). The only force that needs to be resolved is the weight, and the working simplifies enormously.

Inclined plane: the $x$ and $y$ axes are rotated along the plane. The weight $\vec{P}$ is resolved into a component parallel to the plane ($mg\sin\theta$, which causes the motion) and one perpendicular to it ($mg\cos\theta$, balanced by $\vec{R}$).

In this system the components of the weight become (with $x$ positive upwards):

$\vec{P} = \begin{pmatrix} -mg\sin\theta \\ -mg\cos\theta \end{pmatrix}$

while the constraint reaction and the acceleration each have only one component:

$\vec{R} = \begin{pmatrix} 0 \\ R \end{pmatrix}, \qquad \vec{a} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$

Why it pays to rotate the axes

With rotated axes, Newton’s second law splits into two decoupled equations: one along the plane (giving the acceleration) and one perpendicular to it (giving the constraint reaction). No “mixed” components ever appear.

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Topics: Dinamica Concepts: Forza peso · Forza normale Skills: Scelta degli assi · Scomposizione sul piano inclinato · Diagramma di corpo libero Methods: Scomposizione in componenti cartesiane Objects: Piano inclinato

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Sul piano inclinato senza attrito agiscono solo due forze: il peso $\vec{P}$ e la reazione vincolare $\vec{R}$. Scomponendo lungo gli assi ruotati (vedi Scelta degli assi), la seconda legge di Newton $\vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}$ si spezza in due equazioni indipendenti:

$\begin{cases} -mg\sin\theta = ma \\ -mg\cos\theta + R = 0 \end{cases}$

Dalla prima equazione si ricava l’accelerazione lungo il piano, dalla seconda la reazione vincolare:

Formula chiave — Piano inclinato liscio

$a = g\sin\theta \qquad R = mg\cos\theta$

Due osservazioni fisiche importanti. La prima: l’accelerazione non dipende dalla massa. Tutti i corpi, pesanti o leggeri, scivolano su un piano liscio con la stessa accelerazione $g\sin\theta$ — esattamente come nella caduta libera, di cui il piano inclinato è una versione “diluita” (per $\theta = 90^\circ$ si ritrova $a = g$). La seconda: la reazione vincolare $R = mg\cos\theta$ bilancia solo la componente del peso premente contro il piano, ed è quindi minore del peso totale $mg$ (tranne quando $\theta = 0$).

Casi limite

Per $\theta \to 0$ il piano diventa orizzontale: $a \to 0$ e $R \to mg$ (il corpo sta fermo, la reazione regge tutto il peso). Per $\theta \to 90^\circ$ il piano diventa verticale: $a \to g$ (caduta libera) e $R \to 0$ (il piano non preme più).

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Esercizi collegati: Massa su piano liscio · Accelerazione sul piano inclinato con attrito · Molla su piano inclinato

On the frictionless inclined plane only two forces act: the weight $\vec{P}$ and the constraint reaction $\vec{R}$. Resolving along the rotated axes (see Choice of axes), Newton’s second law $\vec{P} + \vec{R} = m\vec{a}$ splits into two independent equations:

$\begin{cases} -mg\sin\theta = ma \\ -mg\cos\theta + R = 0 \end{cases}$

The first equation gives the acceleration along the plane, the second the constraint reaction:

Key formula — Smooth inclined plane

$a = g\sin\theta \qquad R = mg\cos\theta$

Two important physical observations. First: the acceleration does not depend on the mass. All bodies, heavy or light, slide down a smooth plane with the same acceleration $g\sin\theta$ — exactly as in free fall, of which the inclined plane is a “diluted” version (for $\theta = 90^\circ$ we recover $a = g$). Second: the constraint reaction $R = mg\cos\theta$ balances only the component of the weight pressing against the plane, and is therefore smaller than the total weight $mg$ (except when $\theta = 0$).

Limiting cases

As $\theta \to 0$ the plane becomes horizontal: $a \to 0$ and $R \to mg$ (the body stays still, the reaction carries the whole weight). As $\theta \to 90^\circ$ the plane becomes vertical: $a \to g$ (free fall) and $R \to 0$ (the plane no longer presses).

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Un caso classico: due masse collegate da una fune che passa sopra una puleggia posta alla sommità di un piano triangolare, con i due corpi su lati inclinati diversi. È il banco di prova per il metodo generale dei sistemi vincolati.

La strategia sfrutta le proprietà della fune e della puleggia ideali (vedi Proprietà della fune ideale): i due corpi hanno la stessa accelerazione in modulo $a$ e sono soggetti alla stessa tensione $t$. Si scrive allora la seconda legge di Newton, lungo il rispettivo piano, per ciascun corpo separatamente. Si ottengono due equazioni nelle due incognite $a$ e $t$.

Il trucco risolutivo è sommare (o sottrarre) le due equazioni scritte con una convenzione di segno coerente lungo la fune: così la tensione, che compare con segni opposti nei due corpi, si elimina e resta un’unica equazione nella sola accelerazione. Trovata $a$, si risostituisce in una delle due per ricavare $t$.

Metodo — Pulegge ideali

Per le pulegge ideali:

• Stessa $|a|$ ai due capi della fune.
• Stessa tensione $t$.
• Scrivere la seconda legge per ogni corpo, poi sommare per eliminare $t$.

L’applicazione numerica completa (due masse su un piano a $60^\circ$ e $30^\circ$, con una molla che agisce su una delle due) è svolta in Due masse su piano triangolare.

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Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione Competenze: Applicazione delle leggi di Newton · Impostazione simbolica Oggetti: Piano inclinato · Puleggia · Fune ideale

Esercizi collegati: Piano inclinato con puleggia e massa appesa · La puleggia di Atwood: la forza sull’asse · Due masse su piano triangolare

A classic case: two masses connected by a rope passing over a pulley at the top of a triangular wedge, with the two bodies on differently inclined sides. It is the testing ground for the general method of constrained systems.

The strategy exploits the properties of the ideal rope and pulley (see Properties of the ideal rope): the two bodies have the same acceleration in magnitude $a$ and are subject to the same tension $t$. Newton’s second law is then written, along the respective plane, for each body separately. This gives two equations in the two unknowns $a$ and $t$.

The trick to solving it is to add (or subtract) the two equations written with a consistent sign convention along the rope: this way the tension, which appears with opposite signs in the two bodies, cancels out, leaving a single equation in the acceleration alone. Once $a$ is found, it is substituted back into one of the two to obtain $t$.

Method — Ideal pulleys

For ideal pulleys:

• Same $|a|$ at the two ends of the rope.
• Same tension $t$.
• Write the second law for each body, then add to eliminate $t$.

The complete numerical application (two masses on a plane at $60^\circ$ and $30^\circ$, with a spring acting on one of them) is worked out in Two masses on a triangular plane.

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