Oscillatori accoppiati: i modi normali

Quando due o più oscillatori sono collegati fra loro, le equazioni del moto si accoppiano e i corpi non oscillano più indipendentemente. Un cambio di variabili le disaccoppia, rivelando i modi normali: moti collettivi a frequenza definita. La loro sovrapposizione produce i battimenti, e il limite di molti oscillatori conduce alla corda vibrante e all’analisi di Fourier.

• Modi normali dell’oscillatore accoppiato
• Battimenti: migrazione di energia
• Da due oscillatori alla corda vibrante

When two or more oscillators are linked together, the equations of motion become coupled and the bodies no longer oscillate independently. A change of variables decouples them, revealing the normal modes: collective motions at a definite frequency. Their superposition produces beats, and the limit of many oscillators leads to the vibrating string and to Fourier analysis.

• Normal modes of the coupled oscillator
• Beats: energy migration
• From two oscillators to the vibrating string

Cosa succede quando due o più oscillatori sono collegati fra loro? Il sistema più semplice è quello di due masse identiche $m$ collegate da tre molle: due molle alle pareti (costante $K$) e una molla centrale (costante $\kappa$) che le accoppia.

Due masse identiche collegate alle pareti da molle $K$ e fra loro dalla molla di accoppiamento $\kappa$ (in oro).

Le equazioni del moto per le due masse sono accoppiate: ognuna contiene sia $x_1$ sia $x_2$.

$\begin{cases} m\,\ddot x_1 = -K\,x_1 - \kappa\,(x_1 - x_2) \\ m\,\ddot x_2 = -K\,x_2 - \kappa\,(x_2 - x_1) \end{cases}$

Non sono più due oscillatori indipendenti. Il trucco per risolverle è un cambio di variabili: $X = (x_1 + x_2)/2$ (moto del centro di massa) e $\xi = x_1 - x_2$ (differenza relativa).

Principio — Modi normali dell'oscillatore accoppiato

Sommando e sottraendo le due equazioni si ottengono due equazioni disaccoppiate: $m\,\ddot X = -K\,X \qquad m\,\ddot\xi = -(K + 2\kappa)\,\xi$ Il sistema ha quindi due modi normali indipendenti:

• modo simmetrico ($x_1 = x_2$, le masse oscillano in fase): $\omega_+ = \sqrt{K/m}$; la molla centrale non si deforma.
• modo antisimmetrico ($x_1 = -x_2$, in opposizione di fase): $\omega_- = \sqrt{(K + 2\kappa)/m}$.

Formula chiave — I due modi normali

$\omega_+ = \sqrt{\frac{K}{m}} \ \text{(in fase)}, \qquad \omega_- = \sqrt{\frac{K + 2\kappa}{m}} \ \text{(controfase)}$ Ogni moto del sistema è una sovrapposizione dei due modi. Il modo antisimmetrico è più veloce perché la molla centrale, deformandosi, aggiunge richiamo.

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Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Modi normali Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Molla

Esercizi collegati: Problema — Due altalene accoppiate · Esercizio svolto — Due pendoli accoppiati da un filo · Esercizio svolto — Trovare A e φ dalle condizioni iniziali

What happens when two or more oscillators are linked together? The simplest system is that of two identical masses $m$ connected by three springs: two springs to the walls (constant $K$) and one central spring (constant $\kappa$) coupling them.

Two identical masses connected to the walls by springs $K$ and to each other by the coupling spring $\kappa$ (in gold).

The equations of motion for the two masses are coupled: each one contains both $x_1$ and $x_2$.

$\begin{cases} m\,\ddot x_1 = -K\,x_1 - \kappa\,(x_1 - x_2) \\ m\,\ddot x_2 = -K\,x_2 - \kappa\,(x_2 - x_1) \end{cases}$

They are no longer two independent oscillators. The trick for solving them is a change of variables: $X = (x_1 + x_2)/2$ (motion of the centre of mass) and $\xi = x_1 - x_2$ (relative difference).

Principle — Normal modes of the coupled oscillator

Adding and subtracting the two equations gives two decoupled equations: $m\,\ddot X = -K\,X \qquad m\,\ddot\xi = -(K + 2\kappa)\,\xi$ The system therefore has two independent normal modes:

• symmetric mode ($x_1 = x_2$, the masses oscillate in phase): $\omega_+ = \sqrt{K/m}$; the central spring does not deform.
• antisymmetric mode ($x_1 = -x_2$, in phase opposition): $\omega_- = \sqrt{(K + 2\kappa)/m}$.

Key formula — The two normal modes

$\omega_+ = \sqrt{\frac{K}{m}} \ \text{(in phase)}, \qquad \omega_- = \sqrt{\frac{K + 2\kappa}{m}} \ \text{(out of phase)}$ Every motion of the system is a superposition of the two modes. The antisymmetric mode is faster because the central spring, deforming, adds a restoring effect.

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Topics: Oscillations and harmonic motion Concepts: Normal modes Skills: Symbolic set-up Objects: Spring

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Ogni moto generale di due oscillatori accoppiati si scrive come sovrapposizione dei due modi normali (simmetrico e antisimmetrico). Una scelta particolarmente istruttiva di condizioni iniziali è quella “ginnica”: si sposta solo una massa e si tiene l’altra ferma.

In questo caso il moto risultante è un battimento. Poiché lo stato iniziale contiene entrambi i modi in ugual misura, e i due modi hanno frequenze leggermente diverse ($\omega_+$ e $\omega_-$), essi vanno lentamente fuori fase e poi di nuovo in fase. Il risultato osservabile è che l’energia oscilla periodicamente fra le due masse: prima oscilla solo la prima, poi l’energia “migra” alla seconda, poi torna alla prima, e così via. Il periodo di questa migrazione è

$T_b = \frac{2\pi}{\omega_- - \omega_+}$

tanto più lungo quanto più deboli è l’accoppiamento (cioè quanto più $\omega_-$ e $\omega_+$ sono vicine).

Battimenti in una frase

Due modi normali di frequenze vicine, sovrapposti, producono un lento andirivieni dell’energia. È lo stesso fenomeno che si sente come “battito” quando due corde quasi accordate suonano insieme: qui però il battito è spaziale, l’energia rimbalza fra i due oscillatori.

Un esempio classico da laboratorio è quello di due pendoli accoppiati da un filo: spostando solo il primo, dopo qualche oscillazione l’energia passa tutta al secondo, poi ritorna. Il fenomeno prelude alla coppia di livelli vicini della meccanica quantistica.

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Esercizi collegati: Problema — Due altalene accoppiate · Esercizio svolto — Due pendoli accoppiati da un filo · Battimenti di due frequenze vicine

Any general motion of two coupled oscillators can be written as a superposition of the two normal modes (symmetric and antisymmetric). A particularly instructive choice of initial conditions is the “gymnastic” one: displace only one mass and keep the other still.

In this case the resulting motion is a beat. Since the initial state contains both modes in equal measure, and the two modes have slightly different frequencies ($\omega_+$ and $\omega_-$), they slowly drift out of phase and then back into phase. The observable result is that energy oscillates periodically between the two masses: first only the first one oscillates, then the energy “migrates” to the second, then returns to the first, and so on. The period of this migration is

$T_b = \frac{2\pi}{\omega_- - \omega_+}$

which is longer the weaker the coupling (i.e. the closer $\omega_-$ and $\omega_+$ are).

Beats in a sentence

Two normal modes of nearby frequencies, superposed, produce a slow back-and-forth of energy. It is the same phenomenon heard as a “beat” when two nearly tuned strings sound together: here, though, the beat is spatial, the energy bounces between the two oscillators.

A classic laboratory example is that of two pendulums coupled by a string: displacing only the first, after a few oscillations the energy passes entirely to the second, then returns. The phenomenon is a prelude to the close energy-level pair of quantum mechanics.

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Il passo da due oscillatori accoppiati a un numero qualsiasi è naturale. Con $N$ masse identiche collegate da $N+1$ molle alle pareti e $N-1$ molle di accoppiamento, si ottengono $N$ modi normali, ciascuno con la propria frequenza.

Nel limite $N \to \infty$, con masse e molle che diventano densità continue, il sistema converge a una corda vibrante: i suoi modi normali sono le armoniche stazionarie che studieremo nel capitolo sulle onde. La catena discreta di masse-molle e la corda continua sono la stessa fisica, vista a due risoluzioni diverse.

Qui nasce l'analisi di Fourier

Ogni moto periodico complicato è sovrapposizione di moti armonici puri: è il contenuto dell’analisi di Fourier, e nasce esattamente da questo passaggio. Lo stesso schema logico ritorna per i fononi di un solido (vibrazioni reticolari quantizzate), per i campi della teoria quantistica dei campi, per i modi delle onde gravitazionali. La fisica è molto più monotematica di quanto sembri: imparato l’oscillatore armonico e i suoi modi, si è imparato un pezzo di quasi tutto.

Riepilogo del filo conduttore

• 2 oscillatori accoppiati $\to$ 2 modi normali (simmetrico, antisimmetrico).
• Sovrapposizione di modi vicini $\to$ battimenti, energia che migra avanti e indietro.
• Generalizzazione a $N$ masse $\to$ corda vibrante e, nel continuo, onde e Fourier.

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Argomenti: Oscillazioni e moto armonico Concetti: Modi normali · Onde stazionarie Oggetti: Corda vibrante

Esercizi collegati: Problema — Due altalene accoppiate · Esercizio svolto — Due pendoli accoppiati da un filo · Problema — Riconoscere il terzo modo normale

The step from two coupled oscillators to any number is natural. With $N$ identical masses connected by $N+1$ springs to the walls and $N-1$ coupling springs, one obtains $N$ normal modes, each with its own frequency.

In the limit $N \to \infty$, with masses and springs becoming continuous densities, the system converges to a vibrating string: its normal modes are the standing-wave harmonics we shall study in the chapter on waves. The discrete chain of masses and springs and the continuous string are the same physics, seen at two different resolutions.

This is where Fourier analysis is born

Every complicated periodic motion is a superposition of pure harmonic motions: this is the content of Fourier analysis, and it arises exactly from this passage. The same logical pattern recurs for the phonons of a solid (quantised lattice vibrations), for the fields of quantum field theory, for the modes of gravitational waves. Physics is much more single-themed than it seems: once you have learned the harmonic oscillator and its modes, you have learned a piece of almost everything.

Summary of the thread

• 2 coupled oscillators $\to$ 2 normal modes (symmetric, antisymmetric).
• Superposition of nearby modes $\to$ beats, energy migrating back and forth.
• Generalisation to $N$ masses $\to$ vibrating string and, in the continuum limit, waves and Fourier.

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