Esercizi — Termologia

Tutti gli esercizi del capitolo, svolti passo-passo, in ordine di comparsa nel capitolo: prima gli esempi guidati e gli esercizi svolti nel testo, poi i problemi di fine capitolo (numerici, concettuali, ranking, grafici, stime di Fermi).

Esempi ed esercizi svolti nel testo

• Il binario in inverno
• Una tazza di caffè
• Calorimetro delle mescolanze
• Pentola di rame in acqua
• Dal ghiaccio al vapore
• Cubetto di ghiaccio nel tè
• Termocoperta contro finestra
• Quanto irraggia un termosifone

Problemi di fine capitolo

• Sbarra di alluminio
• Calorimetro di rame
• Scambio caffè e vapore
• Finestra di vetro singolo
• La pentola sul fornello
• Quattro tazze
• Tre barre alla stessa temperatura
• Bagno caldo
• Ghiaccio nel tè caldo
• Dalla potenza al calore specifico
• Dal grafico alla conducibilità
• Pianeta senza calore latente
• Alluminio con lambda raddoppiato
• Scambio termico fra tre fluidi
• Pentola sul fuoco
• Il termoforo
• Due tessuti
• Raffreddamento di Newton
• Cubetti per la limonata
• Tenda polare
• Doppio vetro con intercapedine
• Binario d’acciaio
• Dilatazione di un volume
• Caffè nel thermos
• Temperatura e calore
• Dispersione di una casa
• Efficienza isolanti
• Ghiaccioli di un freezer
• Aria con c doppio

All the exercises of the chapter, worked step by step, in order of appearance in the chapter: first the guided examples and worked exercises in the text, then the end-of-chapter problems (numerical, conceptual, ranking, graphical, Fermi estimates).

Guided examples and worked exercises in the text

• Il binario in inverno
• Una tazza di caffè
• Calorimetro delle mescolanze
• Pentola di rame in acqua
• Dal ghiaccio al vapore
• Cubetto di ghiaccio nel tè
• Termocoperta contro finestra
• Quanto irraggia un termosifone

End-of-chapter problems

• Sbarra di alluminio
• Calorimetro di rame
• Scambio caffè e vapore
• Finestra di vetro singolo
• La pentola sul fornello
• Quattro tazze
• Tre barre alla stessa temperatura
• Bagno caldo
• Ghiaccio nel tè caldo
• Dalla potenza al calore specifico
• Dal grafico alla conducibilità
• Pianeta senza calore latente
• Alluminio con lambda raddoppiato
• Scambio termico fra tre fluidi
• Pentola sul fuoco
• Il termoforo
• Due tessuti
• Raffreddamento di Newton
• Cubetti per la limonata
• Tenda polare
• Doppio vetro con intercapedine
• Binario d’acciaio
• Dilatazione di un volume
• Caffè nel thermos
• Temperatura e calore
• Dispersione di una casa
• Efficienza isolanti
• Ghiaccioli di un freezer
• Aria con c doppio

Testo

Un binario ferroviario di $30$ m è posato a $T_0=20\ ^{\circ}$C. A pieno sole, in agosto, la temperatura del binario sale a $T=55\ ^{\circ}$C. Per l’acciaio $\lambda=1{,}2\cdot10^{-5}\ \mathrm{K}^{-1}$. Di quanto si allunga?

Soluzione

Impostazione. La dilatazione lineare vale $\Delta\ell=\ell_0\,\lambda\,\Delta T$, con $\Delta T=T-T_0=55-20=35\ \mathrm{K}$. Sostituzione numerica: $\Delta\ell=30\cdot 1{,}2\cdot10^{-5}\cdot 35\approx 1{,}26\cdot10^{-2}\ \mathrm{m}=1{,}26\ \mathrm{cm}$ $\ev{\Delta\ell\approx 1{,}26\ \mathrm{cm}}$ Senza giunti di dilatazione il binario si imbarcherebbe: i giunti sono i piccoli spazi lasciati fra una rotaia e l’altra proprio per assorbire questo allungamento.

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Argomenti: Termologia Concetti: Dilatazione termica

Problem

A railway track $30$ m long is laid at $T_0=20\ ^{\circ}$C. In full summer sun, in August, the track’s temperature rises to $T=55\ ^{\circ}$C. For steel, $\lambda=1.2\cdot10^{-5}\ \mathrm{K}^{-1}$. By how much does it lengthen?

Solution

Setting up. Linear expansion is $\Delta\ell=\ell_0\,\lambda\,\Delta T$, with $\Delta T=T-T_0=55-20=35\ \mathrm{K}$. Numerical substitution: $\Delta\ell=30\cdot 1.2\cdot10^{-5}\cdot 35\approx 1.26\cdot10^{-2}\ \mathrm{m}=1.26\ \mathrm{cm}$ $\ev{\Delta\ell\approx 1.26\ \mathrm{cm}}$ Without expansion joints the track would buckle: the joints are the small gaps left between one rail and the next precisely to absorb this lengthening.

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Topics: Termologia Concepts: Dilatazione termica

Testo

Quanto calore serve per portare $200$ g d’acqua da $20\ ^{\circ}$C a $95\ ^{\circ}$C? E a quanti minuti corrisponde su un fornello a induzione da $1{,}5$ kW?

Soluzione

Impostazione. Il calore per scaldare l’acqua è $Q=m\,c\,\Delta T$, con $c=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ e $\Delta T=95-20=75\ \mathrm{K}$. Sostituzione: $Q=0{,}2\cdot 4186\cdot 75\approx 6{,}28\cdot10^{4}\ \mathrm{J}\approx 63\ \mathrm{kJ}$ Tempo a potenza costante $P=1500\ \mathrm{W}$, da $t=Q/P$: $t=\frac{63000}{1500}=42\ \mathrm{s}$ $\ev{Q\approx 63\ \mathrm{kJ},\quad t\approx 42\ \mathrm{s}}$ Il tempo è ideale: trascura le perdite del bollitore. In pratica servono 1,5–2 minuti.

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore specifico e capacità termica

Problem

How much heat is needed to bring $200$ g of water from $20\ ^{\circ}$C to $95\ ^{\circ}$C? And how many minutes does that correspond to on a $1.5$ kW induction hob?

Solution

Setting up. The heat to warm the water is $Q=m\,c\,\Delta T$, with $c=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$ and $\Delta T=95-20=75\ \mathrm{K}$. Substitution: $Q=0.2\cdot 4186\cdot 75\approx 6.28\cdot10^{4}\ \mathrm{J}\approx 63\ \mathrm{kJ}$ Time at constant power $P=1500\ \mathrm{W}$, from $t=Q/P$: $t=\frac{63000}{1500}=42\ \mathrm{s}$ $\ev{Q\approx 63\ \mathrm{kJ},\quad t\approx 42\ \mathrm{s}}$ The time is ideal: it neglects the kettle’s losses. In practice it takes 1.5–2 minutes.

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Topics: Termologia Concepts: Calore specifico e capacità termica

Testo

In un calorimetro ideale (perdite nulle) versiamo $300$ g d’acqua a $80\ ^{\circ}$C e $200$ g d’acqua a $20\ ^{\circ}$C. Qual è la temperatura di equilibrio?

Soluzione

Impostazione. Sistema isolato: il calore ceduto dall’acqua calda uguaglia quello assorbito dalla fredda. Con lo stesso calore specifico $c$: $m_1 c (T_e - 80) + m_2 c (T_e - 20) = 0$ Sostituzione (il $c$ si semplifica, masse in grammi): $300\,(T_e - 80) + 200\,(T_e - 20) = 0$ $500\,T_e = 28000$ $\ev{T_e = 56\ ^{\circ}\mathrm{C}}$ È la media pesata sulle masse: $0{,}6\cdot 80 + 0{,}4\cdot 20 = 56$.

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Argomenti: Termologia Competenze: Equazione calorimetrica Metodi: Equazione calorimetrica delle miscele Oggetti: Calorimetro

Problem

In an ideal calorimeter (no losses) we pour $300$ g of water at $80\ ^{\circ}$C and $200$ g of water at $20\ ^{\circ}$C. What is the equilibrium temperature?

Solution

Setup. Isolated system: the heat released by the hot water equals the heat absorbed by the cold water. With the same specific heat $c$: $m_1 c (T_e - 80) + m_2 c (T_e - 20) = 0$ Substitution ($c$ cancels out, masses in grams): $300\,(T_e - 80) + 200\,(T_e - 20) = 0$ $500\,T_e = 28000$ $\ev{T_e = 56\ ^{\circ}\mathrm{C}}$ It is the mass-weighted average: $0{,}6\cdot 80 + 0{,}4\cdot 20 = 56$.

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Argomenti: Termologia Competenze: Equazione calorimetrica Metodi: Equazione calorimetrica delle miscele Oggetti: Calorimetro

Testo

Una pentola di rame di $500$ g a $200\ ^{\circ}$C è tuffata in $1$ kg d’acqua a $20\ ^{\circ}$C. Qual è la temperatura di equilibrio? Dati: $c_{\text{rame}}=385\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, $c_{\text{acqua}}=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$.

Soluzione

Impostazione. Sistema isolato: calore ceduto dal rame più calore assorbito dall’acqua uguale a zero. $m_{Cu}\,c_{Cu}\,(T_e-200)+m_{H_2O}\,c_{H_2O}\,(T_e-20)=0$ Sostituzione (masse in kg): $0{,}5\cdot 385\cdot(T_e-200)+1\cdot 4186\cdot(T_e-20)=0$ $192{,}5\,(T_e-200)+4186\,(T_e-20)=0$ $4378{,}5\,T_e=192{,}5\cdot200+4186\cdot20=38500+83720=122220$ $\ev{T_e\approx 27{,}9\ ^{\circ}\mathrm{C}}$ L’acqua, col suo enorme calore specifico, “vince” sul rame: la temperatura sale di pochi gradi.

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore specifico e capacità termica Competenze: Equazione calorimetrica Oggetti: Calorimetro

Problem

A $500$ g copper pot at $200\ ^{\circ}$C is plunged into $1$ kg of water at $20\ ^{\circ}$C. What is the equilibrium temperature? Data: $c_{\text{rame}}=385\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$, $c_{\text{acqua}}=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$.

Solution

Setup. Isolated system: heat released by the copper plus heat absorbed by the water equals zero. $m_{Cu}\,c_{Cu}\,(T_e-200)+m_{H_2O}\,c_{H_2O}\,(T_e-20)=0$ Substitution (masses in kg): $0{,}5\cdot 385\cdot(T_e-200)+1\cdot 4186\cdot(T_e-20)=0$ $192{,}5\,(T_e-200)+4186\,(T_e-20)=0$ $4378{,}5\,T_e=192{,}5\cdot200+4186\cdot20=38500+83720=122220$ $\ev{T_e\approx 27{,}9\ ^{\circ}\mathrm{C}}$ The water, with its enormous specific heat, “wins” over the copper: the temperature rises by only a few degrees.

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Topics: Termologia Concepts: Calore specifico e capacità termica Skills: Equazione calorimetrica Objects: Calorimetro

Testo

Quanto calore serve per portare $50$ g di ghiaccio a $-10\ ^{\circ}$C fino a $50$ g di vapore a $120\ ^{\circ}$C, a pressione atmosferica? Dati: $c_{\text{ghiaccio}}=2090$, $c_{\text{acqua}}=4186$, $c_{\text{vapore}}=2010\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$; $L_f=3{,}34\cdot10^{5}$, $L_v=2{,}26\cdot10^{6}\ \mathrm{J/kg}$.

Soluzione

Impostazione. Il percorso ha cinque tratti: riscaldamento del ghiaccio, fusione, riscaldamento dell’acqua, vaporizzazione, riscaldamento del vapore. Massa $m=0{,}050$ kg. $Q_1=m\,c_{gh}\,\Delta T=0{,}050\cdot 2090\cdot 10=1045\ \mathrm{J}$ $Q_2=m\,L_f=0{,}050\cdot 3{,}34\cdot10^{5}=1{,}67\cdot10^{4}\ \mathrm{J}$ $Q_3=m\,c_{acq}\,\Delta T=0{,}050\cdot 4186\cdot 100\approx 2{,}09\cdot10^{4}\ \mathrm{J}$ $Q_4=m\,L_v=0{,}050\cdot 2{,}26\cdot10^{6}=1{,}13\cdot10^{5}\ \mathrm{J}$ $Q_5=m\,c_{vap}\,\Delta T=0{,}050\cdot 2010\cdot 20\approx 2010\ \mathrm{J}$ Totale: $Q_{tot}=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5\approx 1{,}54\cdot10^{5}\ \mathrm{J}\approx 154\ \mathrm{kJ}$ $\ev{Q_{tot}\approx 154\ \mathrm{kJ}}$ Il solo $Q_4$ vale il 73% del totale: bollire l’acqua è molto più “caro” che scaldarla.

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore latente e cambiamenti di stato · Calore specifico e capacità termica Metodi: Diagramma temperatura-calore

Problem

How much heat is needed to take $50$ g of ice at $-10\ ^{\circ}$C to $50$ g of steam at $120\ ^{\circ}$C, at atmospheric pressure? Data: $c_{\text{ghiaccio}}=2090$, $c_{\text{acqua}}=4186$, $c_{\text{vapore}}=2010\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$; $L_f=3{,}34\cdot10^{5}$, $L_v=2{,}26\cdot10^{6}\ \mathrm{J/kg}$.

Solution

Setup. The path has five stages: heating the ice, melting, heating the water, vaporisation, heating the steam. Mass $m=0{,}050$ kg. $Q_1=m\,c_{gh}\,\Delta T=0{,}050\cdot 2090\cdot 10=1045\ \mathrm{J}$ $Q_2=m\,L_f=0{,}050\cdot 3{,}34\cdot10^{5}=1{,}67\cdot10^{4}\ \mathrm{J}$ $Q_3=m\,c_{acq}\,\Delta T=0{,}050\cdot 4186\cdot 100\approx 2{,}09\cdot10^{4}\ \mathrm{J}$ $Q_4=m\,L_v=0{,}050\cdot 2{,}26\cdot10^{6}=1{,}13\cdot10^{5}\ \mathrm{J}$ $Q_5=m\,c_{vap}\,\Delta T=0{,}050\cdot 2010\cdot 20\approx 2010\ \mathrm{J}$ Total: $Q_{tot}=Q_1+Q_2+Q_3+Q_4+Q_5\approx 1{,}54\cdot10^{5}\ \mathrm{J}\approx 154\ \mathrm{kJ}$ $\ev{Q_{tot}\approx 154\ \mathrm{kJ}}$ $Q_4$ alone accounts for 73% of the total: boiling the water is far more “expensive” than heating it.

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Topics: Termologia Concepts: Calore latente e cambiamenti di stato · Calore specifico e capacità termica Methods: Diagramma temperatura-calore

Testo

Tuffiamo un cubetto di ghiaccio di $20$ g, inizialmente a $-5\ ^{\circ}$C, in $200$ g di tè (assumilo acqua pura) a $80\ ^{\circ}$C. Qual è la temperatura finale, supponendo che il ghiaccio si fonda tutto? Dati: $c_{\text{ghiaccio}}=2090$, $c_{\text{acqua}}=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$; $L_f=3{,}34\cdot10^{5}\ \mathrm{J/kg}$.

Soluzione

Impostazione. Il tè cede calore; il ghiaccio ne assorbe in tre passi: riscaldamento fino a $0\ ^{\circ}$C, fusione, riscaldamento dell’acqua di fusione fino a $T_e$. Calore ceduto dal tè: $Q_{ced}=0{,}2\cdot 4186\cdot(80-T_e)$. Calore assorbito dal ghiaccio: $Q_1=0{,}02\cdot 2090\cdot 5=209\ \mathrm{J},\quad Q_2=0{,}02\cdot 3{,}34\cdot10^{5}=6680\ \mathrm{J},\quad Q_3=0{,}02\cdot 4186\cdot T_e$ Bilancio $Q_{ced}=Q_1+Q_2+Q_3$: $837{,}2\,(80-T_e)=209+6680+83{,}72\,T_e$ $66976-837{,}2\,T_e=6889+83{,}72\,T_e$ $60087=920{,}9\,T_e$ $\ev{T_e\approx 65{,}2\ ^{\circ}\mathrm{C}}$ Il tè si raffredda di circa 15°, soprattutto per via del calore latente di fusione del ghiaccio.

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore latente e cambiamenti di stato Competenze: Equazione calorimetrica

Problem

We drop a $20$ g ice cube, initially at $-5\ ^{\circ}$C, into $200$ g of tea (take it as pure water) at $80\ ^{\circ}$C. What is the final temperature, assuming all the ice melts? Data: $c_{\text{ghiaccio}}=2090$, $c_{\text{acqua}}=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$; $L_f=3{,}34\cdot10^{5}\ \mathrm{J/kg}$.

Solution

Setup. The tea releases heat; the ice absorbs it in three steps: heating up to $0\ ^{\circ}$C, melting, heating the meltwater up to $T_e$. Heat released by the tea: $Q_{ced}=0{,}2\cdot 4186\cdot(80-T_e)$. Heat absorbed by the ice: $Q_1=0{,}02\cdot 2090\cdot 5=209\ \mathrm{J},\quad Q_2=0{,}02\cdot 3{,}34\cdot10^{5}=6680\ \mathrm{J},\quad Q_3=0{,}02\cdot 4186\cdot T_e$ Balance $Q_{ced}=Q_1+Q_2+Q_3$: $837{,}2\,(80-T_e)=209+6680+83{,}72\,T_e$ $66976-837{,}2\,T_e=6889+83{,}72\,T_e$ $60087=920{,}9\,T_e$ $\ev{T_e\approx 65{,}2\ ^{\circ}\mathrm{C}}$ The tea cools by about 15 degrees, mostly because of the latent heat of melting of the ice.

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Topics: Termologia Concepts: Calore latente e cambiamenti di stato Skills: Equazione calorimetrica

Testo

Due “mura” separano una stanza a $20\ ^{\circ}$C dall’esterno a $0\ ^{\circ}$C. La prima è una lastra di vetro di area $A_v=2\ \mathrm{m}^2$, spessore $d_v=4\ \mathrm{mm}$, conducibilità $k_v=1{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$. La seconda è una coperta di lana di vetro di stessa area, spessore $d_c=8\ \mathrm{cm}$, $k_c=0{,}04\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$. Quanto calore esce per conduzione in un’ora, nei due casi?

Soluzione

Impostazione. Il flusso di calore per conduzione è $\dot Q=\dfrac{k\,A\,\Delta T}{d}$, con $\Delta T=20\ \mathrm{K}$. Vetro: $\dot Q_v=\frac{1{,}0\cdot 2\cdot 20}{0{,}004}=10000\ \mathrm{W}$ Termocoperta: $\dot Q_c=\frac{0{,}04\cdot 2\cdot 20}{0{,}08}=20\ \mathrm{W}$ Il rapporto è $500$ a $1$. In un’ora la finestra disperde $\dot Q_v\cdot 3600\approx 36\ \mathrm{MJ}$, la coperta solo $72\ \mathrm{kJ}$. $\ev{\dot Q_v : \dot Q_c\approx 500:1}$ Per questo i doppi vetri (intercapedine d’aria di ~1 cm, $k\approx 0{,}025$) sono così efficaci: il vero isolante è l’aria ferma, non il vetro (Bloomfield 2016) Riferimenti bibliografici.

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Argomenti: Termologia Concetti: Trasmissione del calore

Problem

Two “walls” separate a room at $20\ ^{\circ}$C from the outside at $0\ ^{\circ}$C. The first is a glass pane of area $A_v=2\ \mathrm{m}^2$, thickness $d_v=4\ \mathrm{mm}$, conductivity $k_v=1{,}0\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$. The second is a glass-wool blanket of the same area, thickness $d_c=8\ \mathrm{cm}$, $k_c=0{,}04\ \mathrm{W/(m\cdot K)}$. How much heat escapes by conduction in one hour, in the two cases?

Solution

Setup. The heat flow by conduction is $\dot Q=\dfrac{k\,A\,\Delta T}{d}$, with $\Delta T=20\ \mathrm{K}$. Glass: $\dot Q_v=\frac{1{,}0\cdot 2\cdot 20}{0{,}004}=10000\ \mathrm{W}$ Thermal blanket: $\dot Q_c=\frac{0{,}04\cdot 2\cdot 20}{0{,}08}=20\ \mathrm{W}$ The ratio is $500$ to $1$. In one hour the window loses $\dot Q_v\cdot 3600\approx 36\ \mathrm{MJ}$, the blanket only $72\ \mathrm{kJ}$. $\ev{\dot Q_v : \dot Q_c\approx 500:1}$ This is why double glazing (an air gap of ~1 cm, $k\approx 0{,}025$) is so effective: the real insulator is still air, not glass (Bloomfield 2016) Riferimenti bibliografici.

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Topics: Termologia Concepts: Trasmissione del calore

Testo

Un termosifone in ghisa ha area $A=1{,}5\ \mathrm{m}^2$ e temperatura $70\ ^{\circ}$C $=343$ K; emissività $\varepsilon=0{,}9$. La stanza è a $20\ ^{\circ}$C $=293$ K. Qual è la potenza radiativa netta? ($\sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$).

Soluzione

Impostazione. La potenza netta irraggiata (legge di Stefan-Boltzmann) è $P=\varepsilon\,\sigma\,A\,(T^4-T_{amb}^4)$. Sostituzione: $P=0{,}9\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot 1{,}5\cdot(343^4-293^4)\approx 0{,}9\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot 1{,}5\cdot 6{,}48\cdot10^{9}$ $\ev{P\approx 495\ \mathrm{W}}$ Quasi mezzo kilowatt solo per irraggiamento; il resto del calore emesso va per convezione dell’aria.

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Argomenti: Termologia Concetti: Trasmissione del calore

Problem

A cast-iron radiator has area $A=1{,}5\ \mathrm{m}^2$ and temperature $70\ ^{\circ}$C $=343$ K; emissivity $\varepsilon=0{,}9$. The room is at $20\ ^{\circ}$C $=293$ K. What is the net radiative power? ($\sigma=5{,}67\cdot10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2\cdot K^4)}$).

Solution

Setup. The net radiated power (Stefan-Boltzmann law) is $P=\varepsilon\,\sigma\,A\,(T^4-T_{amb}^4)$. Substitution: $P=0{,}9\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot 1{,}5\cdot(343^4-293^4)\approx 0{,}9\cdot 5{,}67\cdot10^{-8}\cdot 1{,}5\cdot 6{,}48\cdot10^{9}$ $\ev{P\approx 495\ \mathrm{W}}$ Almost half a kilowatt from radiation alone; the rest of the emitted heat goes into convection of the air.

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Topics: Termologia Concepts: Trasmissione del calore

Testo

Una sbarra di alluminio ($\ell_0=1{,}50$ m, $\lambda_{Al}=24\cdot10^{-6}\ \mathrm{K}^{-1}$) si dilata di $\Delta\ell=1$ mm. Determina la variazione di temperatura subita.

La sbarra di alluminio si allunga di $\Delta\ell$ al crescere della temperatura.

Soluzione

Impostazione. Dalla legge della dilatazione lineare $\Delta\ell=\ell_0\,\lambda\,\Delta T$ si ricava $\Delta T=\dfrac{\Delta\ell}{\ell_0\,\lambda}$. Sostituzione ($\Delta\ell=0{,}001$ m): $\Delta T=\frac{0{,}001}{1{,}50\cdot 24\cdot10^{-6}}=\frac{0{,}001}{3{,}6\cdot10^{-5}}\approx 27{,}8\ \mathrm{K}$ $\ev{\Delta T\approx 27{,}8\ \mathrm{K}}$

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Argomenti: Termologia Concetti: Dilatazione termica

Problem

An aluminium bar ($\ell_0=1{,}50$ m, $\lambda_{Al}=24\cdot10^{-6}\ \mathrm{K}^{-1}$) expands by $\Delta\ell=1$ mm. Find the temperature change it underwent.

The aluminium bar lengthens by $\Delta\ell$ as the temperature increases.

Solution

Setup. From the linear expansion law $\Delta\ell=\ell_0\,\lambda\,\Delta T$ we get $\Delta T=\dfrac{\Delta\ell}{\ell_0\,\lambda}$. Substitution ($\Delta\ell=0{,}001$ m): $\Delta T=\frac{0{,}001}{1{,}50\cdot 24\cdot10^{-6}}=\frac{0{,}001}{3{,}6\cdot10^{-5}}\approx 27{,}8\ \mathrm{K}$ $\ev{\Delta T\approx 27{,}8\ \mathrm{K}}$

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Topics: Termologia Concepts: Dilatazione termica

Testo

Versiamo $400$ g d’acqua a $50\ ^{\circ}$C in un calorimetro di rame inizialmente a $20\ ^{\circ}$C. La temperatura di equilibrio è $47{,}5\ ^{\circ}$C. Determina la capacità termica del calorimetro. ($c_{\text{acqua}}=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$).

L’acqua calda versata nel calorimetro di rame raggiunge l’equilibrio termico.

Soluzione

Impostazione. L’acqua cede calore, il calorimetro lo assorbe. Con $C_{cal}$ capacità termica del calorimetro: $m_w\,c_w\,(T_e-50)+C_{cal}\,(T_e-20)=0$ Sostituzione: $0{,}4\cdot 4186\cdot(47{,}5-50)+C_{cal}\,(47{,}5-20)=0$ $-4186+27{,}5\,C_{cal}=0$ $\ev{C_{cal}=\frac{4186}{27{,}5}\approx 152\ \mathrm{J/K}}$

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore specifico e capacità termica Competenze: Equazione calorimetrica Oggetti: Calorimetro

Problem

We pour $400$ g of water at $50\ ^{\circ}$C into a copper calorimeter initially at $20\ ^{\circ}$C. The equilibrium temperature is $47.5\ ^{\circ}$C. Determine the calorimeter’s heat capacity. ($c_{\text{water}}=4186\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}$).

The hot water poured into the copper calorimeter reaches thermal equilibrium.

Solution

Setting up. The water releases heat, the calorimeter absorbs it. With $C_{cal}$ the calorimeter’s heat capacity: $m_w\,c_w\,(T_e-50)+C_{cal}\,(T_e-20)=0$ Substitution: $0.4\cdot 4186\cdot(47.5-50)+C_{cal}\,(47.5-20)=0$ $-4186+27.5\,C_{cal}=0$ $\ev{C_{cal}=\frac{4186}{27.5}\approx 152\ \mathrm{J/K}}$

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Topics: Termologia Concepts: Calore specifico e capacità termica Skills: Equazione calorimetrica Objects: Calorimetro

Testo

Per scaldare $300$ ml di latte (assumi acqua) da $20\ ^{\circ}$C a $65\ ^{\circ}$C, una macchina espresso usa il vapore a $100\ ^{\circ}$C che si condensa nel latte. Quanti grammi di vapore servono? Dati: $c_{\text{acqua}} = 4186$ J/(kg·K), $L_v = 2{,}26 \cdot 10^{6}$ J/kg.

Soluzione

Energia richiesta dal latte. Il latte, di massa $m_L = 0{,}3$ kg, deve passare da $20\ ^{\circ}$C a $65\ ^{\circ}$C, con un salto $\Delta T = 45$ K: $Q_L = m_L \, c_{\text{acqua}} \, \Delta T = 0{,}3 \cdot 4186 \cdot 45 \approx 5{,}65 \cdot 10^{4}\ \mathrm{J}$ Energia ceduta dal vapore. Una massa $m_v$ (in kg) di vapore compie due passi: prima condensa a $100\ ^{\circ}$C liberando il calore latente, poi il liquido caldo si raffredda da $100\ ^{\circ}$C fino a $65\ ^{\circ}$C. $Q_1 = m_v \, L_v = m_v \cdot 2{,}26 \cdot 10^{6}\ \mathrm{J}$ $Q_2 = m_v \, c_{\text{acqua}} \cdot 35 = m_v \cdot 1{,}46 \cdot 10^{5}\ \mathrm{J}$ Bilancio. L’energia ceduta uguaglia quella assorbita dal latte: $m_v \left(2{,}26 \cdot 10^{6} + 1{,}46 \cdot 10^{5}\right) = 5{,}65 \cdot 10^{4}$ $m_v = \frac{5{,}65 \cdot 10^{4}}{2{,}41 \cdot 10^{6}} \approx 0{,}0235\ \mathrm{kg}$ Il termine di condensazione domina: quasi tutta l’energia utile viene dal calore latente, non dal successivo raffreddamento. $\ev{m_v \approx 24\ \mathrm{g}}$

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore latente e cambiamenti di stato · Calore specifico e capacità termica Competenze: Equazione calorimetrica

Problem

To heat $300$ ml of milk (treat it as water) from $20\ ^{\circ}$C to $65\ ^{\circ}$C, an espresso machine uses steam at $100\ ^{\circ}$C which condenses in the milk. How many grams of steam are needed? Data: $c_{\text{water}} = 4186$ J/(kg·K), $L_v = 2.26 \cdot 10^{6}$ J/kg.

Solution

Energy required by the milk. The milk, of mass $m_L = 0.3$ kg, must go from $20\ ^{\circ}$C to $65\ ^{\circ}$C, a rise of $\Delta T = 45$ K: $Q_L = m_L \, c_{\text{water}} \, \Delta T = 0.3 \cdot 4186 \cdot 45 \approx 5.65 \cdot 10^{4}\ \mathrm{J}$ Energy released by the steam. A mass $m_v$ (in kg) of steam goes through two steps: first it condenses at $100\ ^{\circ}$C releasing the latent heat, then the hot liquid cools from $100\ ^{\circ}$C down to $65\ ^{\circ}$C. $Q_1 = m_v \, L_v = m_v \cdot 2.26 \cdot 10^{6}\ \mathrm{J}$ $Q_2 = m_v \, c_{\text{water}} \cdot 35 = m_v \cdot 1.46 \cdot 10^{5}\ \mathrm{J}$ Balance. The energy released equals that absorbed by the milk: $m_v \left(2.26 \cdot 10^{6} + 1.46 \cdot 10^{5}\right) = 5.65 \cdot 10^{4}$ $m_v = \frac{5.65 \cdot 10^{4}}{2.41 \cdot 10^{6}} \approx 0.0235\ \mathrm{kg}$ The condensation term dominates: almost all the useful energy comes from the latent heat, not from the subsequent cooling. $\ev{m_v \approx 24\ \mathrm{g}}$

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Topics: Termologia Concepts: Calore latente e cambiamenti di stato · Calore specifico e capacità termica Skills: Equazione calorimetrica

Testo

Una finestra di vetro singolo ha area $A = 2$ m², spessore $d = 4$ mm e conducibilità $k_{\text{vetro}} = 1{,}0$ W/(m·K). La stanza interna è a $T_1 = 20\ ^{\circ}$C, l’esterno a $T_2 = -5\ ^{\circ}$C. Calcola il flusso di calore in regime stazionario, supponendo contatto termico perfetto fra vetro e aria.

Soluzione

Legge di Fourier. In regime stazionario il flusso attraverso una lastra piana è $\dot Q = k \, A \, \frac{\Delta T}{d}$ Sostituzione dei dati. Il salto di temperatura è $\Delta T = 20 - (-5) = 25$ K e lo spessore $d = 4$ mm $= 0{,}004$ m: $\dot Q = 1{,}0 \cdot 2 \cdot \frac{25}{0{,}004} = \frac{50}{0{,}004} = 1{,}25 \cdot 10^{4}\ \mathrm{W}$ Il valore idealizzato è enorme: nella realtà il flusso è molto minore perché i sottili strati d’aria a contatto col vetro (che qui trascuriamo) dominano la resistenza termica. È proprio per questo che un vetro singolo isola pochissimo. $\ev{\dot Q \approx 1{,}25 \cdot 10^{4}\ \mathrm{W}}$

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Argomenti: Termologia Concetti: Trasmissione del calore

Problem

A single-pane window has area $A = 2$ m², thickness $d = 4$ mm and conductivity $k_{\text{glass}} = 1.0$ W/(m·K). The room inside is at $T_1 = 20\ ^{\circ}$C, the outside at $T_2 = -5\ ^{\circ}$C. Calculate the heat flow in steady state, assuming perfect thermal contact between the glass and the air.

Solution

Fourier’s law. In steady state the flow through a flat slab is $\dot Q = k \, A \, \frac{\Delta T}{d}$ Substituting the data. The temperature gap is $\Delta T = 20 - (-5) = 25$ K and the thickness $d = 4$ mm $= 0.004$ m: $\dot Q = 1.0 \cdot 2 \cdot \frac{25}{0.004} = \frac{50}{0.004} = 1.25 \cdot 10^{4}\ \mathrm{W}$ The idealised value is huge: in reality the flow is much smaller, because the thin layers of air in contact with the glass (which we neglect here) dominate the thermal resistance. That’s precisely why a single pane insulates so poorly. $\ev{\dot Q \approx 1.25 \cdot 10^{4}\ \mathrm{W}}$

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Topics: Termologia Concepts: Trasmissione del calore

Testo

Si accende un fornello sotto una pentola d’acqua. Per dieci minuti la temperatura cresce in modo regolare. Poi, da un certo istante, l’acqua continua a ribollire ma il termometro non sale più di un grado. Spiega in cinque righe perché, anche se la fiamma è identica, la temperatura non cresce.

Soluzione

Fase di riscaldamento. Finché l’acqua è sotto il punto di ebollizione, il calore fornito dalla fiamma aumenta l’energia cinetica media delle molecole: cresce quindi la temperatura, in modo regolare, secondo la relazione $Q = m \, c \, \Delta T$. Raggiunta l’ebollizione. A pressione atmosferica l’acqua bolle a $100\ ^{\circ}$C. Da quel momento tutto il calore fornito viene assorbito come calore latente di vaporizzazione $L_v$: serve a rompere i legami fra le molecole e a trasformare il liquido in vapore, non ad aumentare la loro energia cinetica media. Perché il termometro non sale. La temperatura misura proprio quell’energia cinetica media, che durante il cambiamento di stato resta costante. La fiamma continua a immettere energia, ma questa esce dalla pentola sotto forma di vapore invece di scaldare l’acqua rimasta. Durante l’ebollizione il calore fornito alimenta il cambiamento di stato a temperatura costante, non l’aumento di temperatura.

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore latente e cambiamenti di stato

Problem

A stove is lit under a pot of water. For ten minutes the temperature rises steadily. Then, from a certain moment on, the water keeps boiling but the thermometer no longer rises more than a degree. Explain in five lines why, even though the flame is unchanged, the temperature stops rising.

Solution

Heating phase. As long as the water is below the boiling point, the heat supplied by the flame increases the molecules’ average kinetic energy: the temperature therefore rises steadily, according to $Q = m \, c \, \Delta T$. Reaching boiling point. At atmospheric pressure water boils at $100\ ^{\circ}$C. From that moment all the heat supplied is absorbed as latent heat of vaporisation $L_v$: it goes into breaking the bonds between the molecules and turning the liquid into vapour, not into increasing their average kinetic energy. Why the thermometer stops rising. Temperature measures precisely that average kinetic energy, which stays constant during the change of state. The flame keeps supplying energy, but it leaves the pot as vapour instead of heating the remaining water. During boiling the heat supplied feeds the change of state at constant temperature, not a rise in temperature.

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Topics: Termologia Concepts: Calore latente e cambiamenti di stato

Testo

Quattro tazze contengono ciascuna $200$ g di sostanza diversa, tutte a $20\ ^{\circ}$C. A ognuna viene ceduta la stessa quantità di calore $Q = 5000$ J. Le sostanze sono:

Tazza	Sostanza	$c$ [J/(kg·K)]
A	acqua	4186
B	olio d’oliva	1970
C	alluminio in polvere	900
D	sabbia silicea	830

Ordina le tazze per temperatura finale, dalla più fredda alla più calda.

Soluzione

Aumento di temperatura. Da $Q = m \, c \, \Delta T$ ricaviamo $\Delta T = Q / (m \, c)$, con $m = 0{,}2$ kg uguale per tutte: $\Delta T_A = \frac{5000}{0{,}2 \cdot 4186} \approx 5{,}97\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_B = \frac{5000}{0{,}2 \cdot 1970} \approx 12{,}69\ \mathrm{K}$ $\Delta T_C = \frac{5000}{0{,}2 \cdot 900} \approx 27{,}78\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_D = \frac{5000}{0{,}2 \cdot 830} \approx 30{,}12\ \mathrm{K}$ Temperature finali. Sommando i $20\ ^{\circ}$C iniziali si ottiene $T_A \approx 26{,}0\ ^{\circ}$C, $T_B \approx 32{,}7\ ^{\circ}$C, $T_C \approx 47{,}8\ ^{\circ}$C, $T_D \approx 50{,}1\ ^{\circ}$C. Conclusione. A parità di calore e di massa, più piccolo è il calore specifico $c$, più la sostanza si scalda. L’acqua, che ha il $c$ più alto, resta la più fredda; la sabbia, col $c$ più basso, diventa la più calda. $\ev{A < B < C < D}$

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore specifico e capacità termica

Problem

Four cups each contain $200$ g of a different substance, all at $20\ ^{\circ}$C. Each is given the same amount of heat $Q = 5000$ J. The substances are:

Cup	Substance	$c$ [J/(kg·K)]
A	water	4186
B	olive oil	1970
C	powdered aluminium	900
D	silica sand	830

Order the cups by final temperature, from coldest to hottest.

Solution

Temperature rise. From $Q = m \, c \, \Delta T$ we get $\Delta T = Q / (m \, c)$, with $m = 0.2$ kg the same for all: $\Delta T_A = \frac{5000}{0.2 \cdot 4186} \approx 5.97\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_B = \frac{5000}{0.2 \cdot 1970} \approx 12.69\ \mathrm{K}$ $\Delta T_C = \frac{5000}{0.2 \cdot 900} \approx 27.78\ \mathrm{K}, \quad \Delta T_D = \frac{5000}{0.2 \cdot 830} \approx 30.12\ \mathrm{K}$ Final temperatures. Adding the initial $20\ ^{\circ}$C gives $T_A \approx 26.0\ ^{\circ}$C, $T_B \approx 32.7\ ^{\circ}$C, $T_C \approx 47.8\ ^{\circ}$C, $T_D \approx 50.1\ ^{\circ}$C. Conclusion. For the same heat and mass, the smaller the specific heat $c$, the more the substance heats up. Water, with the highest $c$, stays the coldest; sand, with the lowest $c$, becomes the hottest. $\ev{A < B < C < D}$

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Topics: Termologia Concepts: Calore specifico e capacità termica

Testo

Tre barre di metallo, lunghe ognuna $\ell_0 = 2{,}0$ m a $20\ ^{\circ}$C, sono scaldate fino a $120\ ^{\circ}$C. I coefficienti di dilatazione lineare sono:

Barra	Metallo	$\lambda$ [K⁻¹]
A	ottone	$19 \cdot 10^{-6}$
B	invar	$1{,}2 \cdot 10^{-6}$
C	zinco	$30 \cdot 10^{-6}$

Ordina le barre per dilatazione assoluta $\Delta\ell$, dalla minore alla maggiore.

Soluzione

Legge della dilatazione lineare. L’allungamento è $\Delta\ell = \ell_0 \, \lambda \, \Delta T$, con $\Delta T = 120 - 20 = 100$ K e $\ell_0 = 2{,}0$ m, quindi $\Delta\ell = 200 \cdot \lambda$ (in metri). $\Delta\ell_A = 200 \cdot 19 \cdot 10^{-6} = 3{,}8 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m} = 3{,}8\ \mathrm{mm}$ $\Delta\ell_B = 200 \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-6} = 2{,}4 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m} = 0{,}24\ \mathrm{mm}$ $\Delta\ell_C = 200 \cdot 30 \cdot 10^{-6} = 6{,}0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m} = 6{,}0\ \mathrm{mm}$ Conclusione. A parità di lunghezza iniziale e di salto termico, la dilatazione è proporzionale a $\lambda$. L’invar, quasi indilatabile, si allunga pochissimo; lo zinco è quello che si dilata di più. $\ev{B \ll A < C}$

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Argomenti: Termologia Concetti: Dilatazione termica

Problem

Three metal bars, each $\ell_0 = 2.0$ m long at $20\ ^{\circ}$C, are heated up to $120\ ^{\circ}$C. The linear expansion coefficients are:

Bar	Metal	$\lambda$ [K⁻¹]
A	brass	$19 \cdot 10^{-6}$
B	invar	$1.2 \cdot 10^{-6}$
C	zinc	$30 \cdot 10^{-6}$

Order the bars by absolute expansion $\Delta\ell$, from smallest to largest.

Solution

Law of linear expansion. The elongation is $\Delta\ell = \ell_0 \, \lambda \, \Delta T$, with $\Delta T = 120 - 20 = 100$ K and $\ell_0 = 2.0$ m, so $\Delta\ell = 200 \cdot \lambda$ (in metres). $\Delta\ell_A = 200 \cdot 19 \cdot 10^{-6} = 3.8 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m} = 3.8\ \mathrm{mm}$ $\Delta\ell_B = 200 \cdot 1.2 \cdot 10^{-6} = 2.4 \cdot 10^{-4}\ \mathrm{m} = 0.24\ \mathrm{mm}$ $\Delta\ell_C = 200 \cdot 30 \cdot 10^{-6} = 6.0 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m} = 6.0\ \mathrm{mm}$ Conclusion. For the same initial length and temperature rise, the expansion is proportional to $\lambda$. Invar, almost non-expanding, lengthens very little; zinc is the one that expands the most. $\ev{B \ll A < C}$

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Topics: Termologia Concepts: Dilatazione termica

Testo

Una vasca contiene $150$ kg d’acqua a $12\ ^{\circ}$C. Quanta energia, in MJ e in kWh, serve per portarla a $38\ ^{\circ}$C? Dato: $c_{\text{acqua}} = 4186$ J/(kg·K).

Soluzione

Calore necessario. Con $m = 150$ kg e salto $\Delta T = 38 - 12 = 26$ K: $Q = m \, c \, \Delta T = 150 \cdot 4186 \cdot 26 \approx 1{,}63 \cdot 10^{7}\ \mathrm{J} \approx 16{,}3\ \mathrm{MJ}$ Conversione in kWh. Poiché $1$ kWh $= 3{,}6 \cdot 10^{6}$ J: $Q = \frac{1{,}63 \cdot 10^{7}}{3{,}6 \cdot 10^{6}} \approx 4{,}53\ \mathrm{kWh}$ L’elevato calore specifico dell’acqua spiega perché scaldare una vasca piena richiede parecchia energia. $\ev{Q \approx 16{,}3\ \mathrm{MJ} \approx 4{,}53\ \mathrm{kWh}}$

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Argomenti: Termologia Concetti: Calore specifico e capacità termica

Problem

A bathtub contains $150$ kg of water at $12\ ^{\circ}$C. How much energy, in MJ and in kWh, is needed to bring it to $38\ ^{\circ}$C? Data: $c_{\text{water}} = 4186$ J/(kg·K).

Solution

Heat required. With $m = 150$ kg and a rise $\Delta T = 38 - 12 = 26$ K: $Q = m \, c \, \Delta T = 150 \cdot 4186 \cdot 26 \approx 1.63 \cdot 10^{7}\ \mathrm{J} \approx 16.3\ \mathrm{MJ}$ Conversion to kWh. Since $1$ kWh $= 3.6 \cdot 10^{6}$ J: $Q = \frac{1.63 \cdot 10^{7}}{3.6 \cdot 10^{6}} \approx 4.53\ \mathrm{kWh}$ Water’s high specific heat explains why heating a full bathtub takes quite a lot of energy. $\ev{Q \approx 16.3\ \mathrm{MJ} \approx 4.53\ \mathrm{kWh}}$

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Topics: Termologia Concepts: Calore specifico e capacità termica

Testo

Un bicchiere contiene $250$ g di tè a $85\ ^{\circ}$C. Si aggiunge un cubetto di ghiaccio di $30$ g a $-5\ ^{\circ}$C. Trascurando scambi con l’esterno e col bicchiere, calcola la temperatura di equilibrio. Dati: $c_{\text{acqua}} = 4186$ J/(kg·K), $c_{\text{ghiaccio}} = 2100$ J/(kg·K), $L_f = 334$ kJ/kg.