Temperatura e termometro

La temperatura è una proprietà misurabile dei corpi: per misurarla si mettono in contatto termico con un termometro e si legge una variabile fisica tarata su una scala. Questa sezione definisce la temperatura tramite l’equilibrio termico, presenta le tre scale (Celsius, Kelvin, Fahrenheit) e studia la dilatazione termica dei corpi con la temperatura.

• Temperatura, termometro ed equilibrio termico
• Le tre scale di temperatura
• Dilatazione termica
• L’anomalia dell’acqua

Temperature is a measurable property of bodies: to measure it, one puts a thermometer in thermal contact with the body and reads a physical variable calibrated on a scale. This section defines temperature via thermal equilibrium, presents the three scales (Celsius, Kelvin, Fahrenheit), and studies the thermal expansion of bodies with temperature.

• Temperature, thermometer and thermal equilibrium
• The three temperature scales
• Thermal expansion
• The anomaly of water

La temperatura è una proprietà misurabile dei corpi. Misurarla significa mettere il corpo in contatto termico con uno strumento — il termometro — e leggere la posizione di una variabile fisica tarata su una scala. Quella variabile può essere l’altezza di una colonna di liquido, la resistenza elettrica di un filo, oppure la lunghezza d’onda dell’emissione termica: qualunque grandezza che risponda in modo riproducibile allo stato termico serve allo scopo.

Ma perché un termometro funziona? Perché due corpi a contatto raggiungono, dopo un certo tempo, la stessa temperatura. È l’osservazione fondamentale su cui poggia tutta la termologia, formalizzata nel principio zero della termodinamica.

Principio — Equilibrio termico (principio zero)

Due corpi A e B posti in contatto termico raggiungono dopo un certo tempo lo stesso valore di una certa grandezza, che chiamiamo temperatura. Se A è in equilibrio termico con B e B con C, allora A è in equilibrio termico con C (Atkins 2010).

La proprietà di transitività — se A sta con B e B sta con C, allora A sta con C — è ciò che rende sensato l’uso del termometro: mettendo B (il termometro) in equilibrio prima con A e poi con C, possiamo confrontare A e C senza mai metterli direttamente a contatto. Senza questa proprietà, il concetto stesso di temparatura come “etichetta” condivisa da corpi in equilibrio non avrebbe senso.

Contesto storico

Il principio zero (Carathéodory, 1909) viene chiamato così perché logicamente precede il primo e il secondo principio della termodinamica: senza di esso, neanche il concetto di temperatura sarebbe definito. La sua numerazione “zero” fu introdotta quando i primi due principi erano già battezzati. Vedi Riferimenti bibliografici.

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Temperature is a measurable property of bodies. Measuring it means putting the body in thermal contact with an instrument — the thermometer — and reading the position of a physical variable calibrated on a scale. That variable might be the height of a column of liquid, the electrical resistance of a wire, or the wavelength of thermal emission: any quantity that responds reproducibly to the thermal state will do.

But why does a thermometer work? Because two bodies in contact reach, after some time, the same temperature. This is the fundamental observation on which all of thermology rests, formalised in the zeroth law of thermodynamics.

Principle — Thermal equilibrium (zeroth law)

Two bodies A and B placed in thermal contact reach, after some time, the same value of a certain quantity, which we call temperature. If A is in thermal equilibrium with B and B with C, then A is in thermal equilibrium with C (Atkins 2010).

The property of transitivity — if A matches B and B matches C, then A matches C — is what makes the use of the thermometer meaningful: by placing B (the thermometer) in equilibrium first with A and then with C, we can compare A and C without ever putting them directly in contact. Without this property, the very concept of temperature as a “label” shared by bodies in equilibrium would not make sense.

Historical context

The zeroth law (Carathéodory, 1909) is so called because it logically precedes the first and second laws of thermodynamics: without it, not even the concept of temperature would be defined. Its “zero” numbering was introduced when the first two laws had already been named. See Riferimenti bibliografici.

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Una scala di temperatura si costruisce scegliendo due punti fissi riproducibili e dividendo l’intervallo fra loro in un numero convenzionale di gradi. Nella storia si sono affermate tre scale principali.

Celsius ($°$C). Tarata sul punto di fusione del ghiaccio ($0\,°$C) e su quello di ebollizione dell’acqua a pressione atmosferica ($100\,°$C). È la scala quotidiana in Europa.

Kelvin (K). La scala assoluta: $0$ K corrisponde allo zero termodinamico, dove l’agitazione molecolare cessa (almeno classicamente). Non esistono temperature negative in kelvin. La conversione dalla scala Celsius è:

$\ev{T_K = T_C + 273{,}15}$

Un fatto importante: le differenze di temperatura sono identiche nelle due scale, perché differiscono solo per una traslazione dell’origine:

$\Delta T_K = \Delta T_C$

Fahrenheit ($°$F). Scala storica, ancora usata negli USA. Il ghiaccio fonde a $32\,°$F e l’acqua bolle a $212\,°$F, per cui l’intervallo fra i due punti fissi vale $180$ gradi anziché $100$. La conversione è:

$T_F = \tfrac{9}{5}\,T_C + 32$

Quando si usa quale scala

In fisica si usano quasi sempre i kelvin, in particolare ogni volta che compaiono rapporti fra temperature ($T_1/T_2$), come nella legge dei gas o nell’irraggiamento: un rapporto ha senso solo su una scala assoluta. Per le sole differenze $\Delta T$, invece, è indifferente lavorare in $°$C o in K.

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A temperature scale is built by choosing two reproducible fixed points and dividing the interval between them into a conventional number of degrees. Historically, three main scales have become established.

Celsius ($°$C). Calibrated on the melting point of ice ($0\,°$C) and the boiling point of water at atmospheric pressure ($100\,°$C). It is the everyday scale in Europe.

Kelvin (K). The absolute scale: $0$ K corresponds to absolute zero, where molecular agitation ceases (at least classically). There are no negative temperatures in kelvin. The conversion from the Celsius scale is:

$\ev{T_K = T_C + 273{,}15}$

An important fact: temperature differences are identical on the two scales, because they differ only by a shift of the origin:

$\Delta T_K = \Delta T_C$

Fahrenheit ($°$F). A historical scale, still used in the USA. Ice melts at $32\,°$F and water boils at $212\,°$F, so the interval between the two fixed points is $180$ degrees rather than $100$. The conversion is:

$T_F = \tfrac{9}{5}\,T_C + 32$

Which scale to use when

In physics, kelvin is used almost always, in particular whenever ratios of temperatures appear ($T_1/T_2$), as in the gas law or in radiation: a ratio only makes sense on an absolute scale. For differences $\Delta T$ alone, however, it makes no difference whether you work in $°$C or in K.

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Quasi tutti i corpi si dilatano all’aumentare della temperatura. La ragione è microscopica: le oscillazioni degli atomi attorno alla loro posizione di equilibrio diventano più ampie, e — poiché il potenziale interatomico è asimmetrico — la posizione media di equilibrio si sposta verso distanze maggiori. Il corpo, nel complesso, si allunga.

Principio — Dilatazione lineare dei solidi

Una sbarra di lunghezza iniziale $\ell_0$ a temperatura $T_0$, scaldata a $T_0 + \Delta T$, assume la lunghezza $\ev{\ell = \ell_0\,(1 + \lambda\,\Delta T)}$ dove $\lambda$ è il coefficiente di dilatazione lineare del materiale (unità $\text{K}^{-1}$).

L’allungamento vero e proprio è quindi $\Delta\ell = \ell_0\,\lambda\,\Delta T$: proporzionale alla lunghezza di partenza e alla variazione di temperatura. Per le grandezze volumetriche vale una legge analoga:

$\ev{V = V_0\,(1 + \alpha\,\Delta T)}$

con coefficiente di dilatazione volumetrica $\alpha = 3\lambda$ (in regime di piccola variazione). Il fattore $3$ nasce dal fatto che un cubo si dilata simultaneamente nelle tre dimensioni.

I coefficienti $\lambda$ variano molto da materiale a materiale:

Perché il Pyrex resiste agli shock termici

Il vetro Pyrex ha un $\lambda$ bassissimo: scaldato, si dilata pochissimo, e le tensioni interne fra parti a temperatura diversa restano basse. Ecco perché resiste agli shock termici molto meglio del vetro comune.

La dilatazione è tutt’altro che trascurabile nelle strutture: un binario ferroviario di decine di metri può allungarsi di più di un centimetro fra inverno ed estate. Per questo si lasciano i giunti di dilatazione, piccoli spazi fra una rotaia e l’altra, senza i quali il binario si imbarcherebbe (vedi l’esempio del binario).

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Almost all bodies expand as temperature increases. The reason is microscopic: the oscillations of atoms about their equilibrium position become wider, and — because the interatomic potential is asymmetric — the mean equilibrium position shifts towards greater distances. The body, overall, lengthens.

Principle — Linear expansion of solids

A rod of initial length $\ell_0$ at temperature $T_0$, heated to $T_0 + \Delta T$, takes on the length $\ev{\ell = \ell_0\,(1 + \lambda\,\Delta T)}$ where $\lambda$ is the material’s linear expansion coefficient (unit $\text{K}^{-1}$).

The actual elongation is thus $\Delta\ell = \ell_0\,\lambda\,\Delta T$: proportional to the starting length and to the temperature change. An analogous law holds for volumetric quantities:

$\ev{V = V_0\,(1 + \alpha\,\Delta T)}$

with volumetric expansion coefficient $\alpha = 3\lambda$ (for small changes). The factor of $3$ arises because a cube expands simultaneously along the three dimensions.

The coefficients $\lambda$ vary a great deal from material to material:

Why Pyrex withstands thermal shock

Pyrex glass has a very low $\lambda$: when heated, it expands very little, and internal stresses between parts at different temperatures stay low. This is why it withstands thermal shock far better than ordinary glass.

Expansion is far from negligible in structures: a railway track tens of metres long can lengthen by more than a centimetre between winter and summer. This is why expansion joints, small gaps between one rail and the next, are left in place — without them the track would buckle (see the railway track example).

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L’acqua è una delle pochissime sostanze con dilatazione termica anomala. Nella maggior parte dei materiali il volume cresce sempre con la temperatura, ma fra $0\,°$C e $4\,°$C l’acqua fa l’opposto: si contrae aumentando $T$, raggiungendo la massima densità proprio a $4\,°$C, e solo oltre quella soglia comincia a dilatarsi come tutti gli altri corpi.

Perché il ghiaccio galleggia e i laghi gelano dall'alto

Poiché l’acqua è più densa a $4\,°$C che a $0\,°$C, l’acqua più fredda (e il ghiaccio, meno denso ancora) resta in superficie. I laghi gelano quindi dall’alto verso il basso: sotto la crosta di ghiaccio l’acqua resta liquida a circa $4\,°$C, salvaguardando la vita acquatica per tutto l’inverno. Se l’acqua si comportasse “normalmente”, i laghi gelerebbero dal fondo e molti ecosistemi non sopravvivrebbero.

Questa apparente eccezione è in realtà una conseguenza della particolare struttura delle molecole d’acqua e dei loro legami a idrogeno, che vicino al punto di congelamento tendono a organizzarsi in un reticolo più “aperto” e quindi meno denso.

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Water is one of the very few substances with anomalous thermal expansion. In most materials volume always increases with temperature, but between $0\,°$C and $4\,°$C water does the opposite: it contracts as $T$ increases, reaching maximum density at exactly $4\,°$C, and only beyond that threshold does it begin to expand like every other body.

Why ice floats and lakes freeze from the top

Since water is denser at $4\,°$C than at $0\,°$C, colder water (and ice, which is even less dense) stays at the surface. Lakes therefore freeze from the top down: beneath the ice crust, the water remains liquid at around $4\,°$C, safeguarding aquatic life throughout the winter. If water behaved “normally”, lakes would freeze from the bottom and many ecosystems would not survive.

This apparent exception is actually a consequence of the particular structure of water molecules and their hydrogen bonds, which near the freezing point tend to arrange themselves into a more “open” and therefore less dense lattice.

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