Energia interna e temperatura

La grande intuizione della teoria cinetica è che la temperatura è energia cinetica media: la grandezza macroscopica che leggiamo sul termometro misura direttamente l’agitazione microscopica delle molecole. Questa sezione ricava la formula dell’energia interna in funzione della temperatura e dei gradi di libertà, spiega perché monoatomico e biatomico hanno formule diverse, e chiude con una curiosità storica sulla scala Celsius.

• Energia interna di un gas ideale
• Gradi di libertà
• La scala Celsius era al contrario

The great insight of kinetic theory is that temperature is average kinetic energy: the macroscopic quantity we read on the thermometer directly measures the microscopic agitation of the molecules. This section derives the formula for internal energy as a function of temperature and degrees of freedom, explains why monatomic and diatomic gases have different formulae, and closes with a historical curiosity about the Celsius scale.

• Energia interna di un gas ideale
• Gradi di libertà
• La scala Celsius era al contrario

Abbiamo visto che nel gas ideale l’energia interna è tutta cinetica. La teoria cinetica fa un passo in più e la lega direttamente alla temperatura: quanto più le molecole si agitano, tanto più alta è la temperatura. Il risultato quantitativo è una delle formule fondamentali del capitolo.

Legge — Energia interna di un gas ideale

$\ev{E_{\text{int}} = \frac{f}{2}\,N\,k_B\,T = \frac{f}{2}\,n\,R\,T}$ dove $f$ è il numero di gradi di libertà della molecola.

La formula esiste in due versioni equivalenti: una “per molecola” (con $N$ molecole e la costante di Boltzmann $k_B$) e una “per mole” (con $n$ moli e la costante dei gas $R$). Il ponte fra le due è la relazione $R = N_A\,k_B$, cioè la costante dei gas è semplicemente la costante di Boltzmann moltiplicata per il numero di Avogadro.

Formula chiave — Costanti

$k_B = 1{,}38\cdot 10^{-23}\;\text{J/K}$ $R = N_A\,k_B = 8{,}31\;\text{J/(mol·K)}$ Monoatomico: $f = 3$; biatomico: $f = 5$.

L’intuizione fisica è potente: la temperatura non è una sostanza né un fluido, ma una misura dell’agitazione. Raddoppiare la temperatura assoluta di un gas ideale significa raddoppiare la sua energia interna, cioè l’energia cinetica totale delle sue molecole. Lo zero assoluto ($T = 0$ K) corrisponde, in questo modello classico, ad agitazione nulla: le molecole sarebbero ferme.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna · Temperatura Competenze: Interpretazione micro-macro

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Elio in un camion che frena · Problema — Energia interna di gas monoatomico · Problema — Energia interna dell’elio, monoatomico e biatomico

We have seen that in an ideal gas the internal energy is entirely kinetic. Kinetic theory takes a further step and links it directly to temperature: the more the molecules agitate, the higher the temperature. The quantitative result is one of the chapter’s fundamental formulae.

Law — Internal energy of an ideal gas

$\ev{E_{\text{int}} = \frac{f}{2}\,N\,k_B\,T = \frac{f}{2}\,n\,R\,T}$ where $f$ is the number of degrees of freedom of the molecule.

The formula exists in two equivalent versions: one “per molecule” (with $N$ molecules and the Boltzmann constant $k_B$) and one “per mole” (with $n$ moles and the gas constant $R$). The bridge between the two is the relation $R = N_A\,k_B$, i.e. the gas constant is simply the Boltzmann constant multiplied by Avogadro’s number.

Key formula — Constants

$k_B = 1{,}38\cdot 10^{-23}\;\text{J/K}$ $R = N_A\,k_B = 8{,}31\;\text{J/(mol·K)}$ Monatomic: $f = 3$; diatomic: $f = 5$.

The physical intuition is powerful: temperature is not a substance or a fluid, but a measure of agitation. Doubling the absolute temperature of an ideal gas means doubling its internal energy, i.e. the total kinetic energy of its molecules. Absolute zero ($T = 0$ K) corresponds, in this classical model, to zero agitation: the molecules would be at rest.

Links

Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Energia interna · Temperatura Skills: Interpretazione micro-macro

Related exercises: Esercizio svolto — Elio in un camion che frena · Problema — Energia interna di gas monoatomico · Problema — Energia interna dell’elio, monoatomico e biatomico

Nella formula $E_{\text{int}} = \frac{f}{2}nRT$ compare il numero $f$ di gradi di libertà: i modi indipendenti in cui una molecola può muoversi e immagazzinare energia. Il principio di equipartizione assegna a ciascun grado di libertà un’energia media $\frac{1}{2}k_B T$ per molecola: contare i gradi di libertà significa quindi contare i “cassetti” in cui l’energia termica può depositarsi.

• Gas monoatomico ($f = 3$): la molecola è un singolo atomo, che può solo traslare lungo i tre assi $x$, $y$, $z$. Tre traslazioni, quindi $f = 3$ e $E_\text{int} = \frac{3}{2}nRT$.
• Gas biatomico ($f = 5$): la molecola è come un piccolo manubrio. Oltre alle tre traslazioni, può ruotare attorno a due assi perpendicolari all’asse molecolare (la rotazione attorno all’asse stesso ha momento d’inerzia trascurabile e non conta). Tre traslazioni più due rotazioni, quindi $f = 5$ e $E_\text{int} = \frac{5}{2}nRT$.

Approfondimento — I gradi di libertà "si accendono"

A temperature molto alte (oltre il migliaio di kelvin) si attivano anche i gradi di libertà vibrazionali dei due atomi lungo l’asse molecolare, e $f$ aumenta ancora. Ma alle temperature ordinarie la meccanica quantistica li “congela”, e $f = 3$ (monoatomico) o $f = 5$ (biatomico) è sufficiente. Il fatto che i gradi vibrazionali restino spenti a temperatura ambiente fu uno dei primi indizi storici che la fisica classica non basta a spiegare i calori specifici.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna Competenze: Interpretazione micro-macro

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Elio in un camion che frena · Esercizio svolto — Equipartizione e gradi di libertà · Problema — Energia interna di gas monoatomico

The formula $E_{\text{int}} = \frac{f}{2}nRT$ contains the number $f$ of degrees of freedom: the independent ways in which a molecule can move and store energy. The equipartition principle assigns to each degree of freedom an average energy of $\frac{1}{2}k_B T$ per molecule: counting degrees of freedom therefore means counting the “drawers” in which thermal energy can be stored.

• Monatomic gas ($f = 3$): the molecule is a single atom, which can only translate along the three axes $x$, $y$, $z$. Three translations, so $f = 3$ and $E_\text{int} = \frac{3}{2}nRT$.
• Diatomic gas ($f = 5$): the molecule is like a small dumbbell. Besides the three translations, it can rotate about two axes perpendicular to the molecular axis (rotation about the axis itself has negligible moment of inertia and does not count). Three translations plus two rotations, so $f = 5$ and $E_\text{int} = \frac{5}{2}nRT$.

Further detail — Degrees of freedom "switch on"

At very high temperatures (above a thousand kelvin or so) the vibrational degrees of freedom of the two atoms along the molecular axis also become active, and $f$ increases further. But at ordinary temperatures quantum mechanics “freezes” them, and $f = 3$ (monatomic) or $f = 5$ (diatomic) is enough. The fact that the vibrational modes remain switched off at room temperature was one of the first historical clues that classical physics is not enough to explain specific heats.

Links

Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Energia interna Skills: Interpretazione micro-macro

Related exercises: Esercizio svolto — Elio in un camion che frena · Esercizio svolto — Equipartizione e gradi di libertà · Problema — Energia interna di gas monoatomico

Anders Celsius (1701–1744) inventò la scala centigrada che porta il suo nome, ma nel suo termometro originale il punto di ebollizione dell’acqua era segnato a $0°$ e quello di congelamento a $100°$: esattamente al contrario di come la usiamo oggi. Fu solo dopo la sua morte che la scala venne invertita nella forma che conosciamo.

Prima della standardizzazione, i punti fissi proposti dai vari costruttori di termometri includevano il punto di fusione del burro, la temperatura delle grotte profonde, e persino “l’acqua più calda sopportabile da una mano tenuta ferma”. Il disordine era tale che nel 1776 la Royal Society di Londra dovette nominare una commissione, presieduta da Cavendish, per stabilire punti di riferimento definitivi (Oxford Handbook 2014, pp. 473–474).

Curiosità

La scelta dei punti fissi di una scala termometrica non è mai stata “ovvia”: è il frutto di una lunga negoziazione fra praticità sperimentale e riproducibilità. La fisica moderna ha poi ancorato la scala assoluta (kelvin) a costanti fondamentali, rendendola indipendente da qualunque sostanza particolare.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Temperatura

Esercizi collegati: Esercizio svolto — Elio in un camion che frena · Problema — Temperatura di fuga dell’idrogeno · Problema — Temperatura che raddoppia la pressione

Anders Celsius (1701–1744) invented the centigrade scale that bears his name, but in his original thermometer the boiling point of water was marked as $0°$ and the freezing point as $100°$: exactly the opposite of how we use it today. It was only after his death that the scale was inverted into the form we know.

Before standardisation, the fixed points proposed by various thermometer makers included the melting point of butter, the temperature of deep caves, and even “the hottest water a hand held still can bear”. The disorder was such that in 1776 the Royal Society of London had to appoint a committee, chaired by Cavendish, to establish definitive reference points (Oxford Handbook 2014, pp. 473–474).

Curiosity

The choice of fixed points for a temperature scale has never been “obvious”: it is the outcome of a long negotiation between experimental practicality and reproducibility. Modern physics has since anchored the absolute scale (kelvin) to fundamental constants, making it independent of any particular substance.

Links

Topics: Teoria cinetica dei gas Concepts: Temperatura

Related exercises: Esercizio svolto — Elio in un camion che frena · Problema — Temperatura di fuga dell’idrogeno · Problema — Temperatura che raddoppia la pressione