Boltzmann trasformò l’idea di “conteggio dei microstati” in una formula esatta: . Questa sezione presenta la definizione, la costante di Boltzmann e la sua unità di misura, e racconta la storia — a tratti drammatica — di chi la scoprì: da Clausius, che coniò la parola, a Boltzmann, la cui interpretazione probabilistica fu accettata solo dopo la sua morte.
Boltzmann turned the idea of “counting microstates” into an exact formula: . This section presents the definition, the Boltzmann constant and its unit, and tells the story — at times dramatic — of those who discovered it: from Clausius, who coined the word, to Boltzmann, whose probabilistic interpretation was accepted only after his death.
Il legame tra il numero di microstati e l’entropia è dato da una delle formule più importanti di tutta la fisica, dovuta a Ludwig Boltzmann.
Formula chiave — Entropia di Boltzmann
Qui è la costante di Boltzmann e è il numero di microstati compatibili con il macrostato. L’unità di misura dell’entropia è dunque il joule per kelvin (J/K), le stesse unità di , dato che il logaritmo è un numero puro.
Perché proprio il logaritmo? La scelta non è arbitraria. Il logaritmo trasforma un numero di configurazioni gigantesco (per una mole, è dell’ordine di elevato a numeri con cifre) in un valore maneggevole. Ma soprattutto rende l’entropia additiva: se uniamo due sistemi indipendenti, il numero totale di microstati è il prodotto dei due (, perché ogni microstato del primo si combina con ogni microstato del secondo), e grazie al logaritmo le entropie si sommano:
Questa additività è esattamente la proprietà che ci aspettiamo da una grandezza estensiva come l’energia: raddoppiando il sistema, l’entropia raddoppia.
Contano le variazioni, non i valori assoluti
Nella pratica dei problemi non ci interessano mai i valori assoluti di , ma solo le variazioni tra uno stato iniziale A e uno finale B. Per i sistemi più comuni (gas ideale, corpi solidi, termostati) esistono formule dirette che permettono di calcolare senza dover contare i microstati uno per uno.
Queste formule pratiche sono il tema della sezione successiva: sono il vero strumento di lavoro per risolvere i problemi di termodinamica.
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Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia Competenze: Interpretazione micro-macro
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The link between the number of microstates and the entropy is given by one of the most important formulas in all of physics, due to Ludwig Boltzmann.
Key formula — Boltzmann entropy
Here is the Boltzmann constant and is the number of microstates compatible with the macrostate. The unit of entropy is therefore joules per kelvin (J/K), the same units as , since the logarithm is a pure number.
Why the logarithm specifically? The choice is not arbitrary. The logarithm turns a gigantic number of configurations (for a mole, is of the order of raised to numbers with digits) into a manageable value. But above all it makes entropy additive: if we join two independent systems, the total number of microstates is the product of the two (, because every microstate of the first combines with every microstate of the second), and thanks to the logarithm the entropies add up:
This additivity is exactly the property we expect from an extensive quantity like energy: doubling the system doubles the entropy.
What matters is the change, not the absolute value
In practice, when solving problems we are never interested in the absolute values of , only in the changes between an initial state A and a final state B. For the most common systems (ideal gas, solid bodies, thermostats) there are direct formulas that let us calculate without having to count the microstates one by one.
These practical formulas are the subject of the next section: they are the real working tool for solving thermodynamics problems.
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Topics: Entropy and the second law Concepts: Entropy Skills: Micro-macro interpretation
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Contesto storico
Il termine entropia fu coniato nel 1865 dal fisico tedesco Rudolf Clausius (1822–1888), che lo derivò dal greco tropé (trasformazione). Clausius riassunse le due leggi della termodinamica in una frase divenuta celebre: “L’energia dell’universo è costante; l’entropia dell’universo tende a un massimo” (Simonyi 2012, cap. 4).
Questa frase condensa in una riga tutto il capitolo: il primo principio (l’energia si conserva) e il secondo principio (l’entropia cresce). L’aggettivo “tende a un massimo” contiene già l’idea inquietante della morte termica dell’universo, uno stato finale di entropia massima in cui nessuna trasformazione utile sarebbe più possibile.
Fu Ludwig Boltzmann (1844–1906) a dare all’entropia un significato microscopico con la formula , che oggi porta il suo nome ed è incisa sulla sua tomba nel Zentralfriedhof di Vienna. La sua interpretazione probabilistica — l’idea che le leggi della termodinamica siano statistiche e che l’entropia conti i microstati — fu osteggiata per decenni dai sostenitori dell’energetica (Ernst Mach, Wilhelm Ostwald), che arrivavano a rifiutare l’esistenza stessa degli atomi.
Alla conferenza di Lubecca del 1895 lo scontro tra Boltzmann e Ostwald fu descritto dal giovane Sommerfeld come la lotta tra un toro e un agile torero, ma stavolta il torero stava perdendo (Simonyi 2012, pp. 381–386). Boltzmann, depresso e in parte logorato da questa opposizione, si tolse la vita nel 1906 a Duino, vicino a Trieste, pochi anni prima che gli esperimenti di Jean Perrin sul moto browniano (1908) confermassero definitivamente l’esistenza degli atomi (Brandt 2009, cap. 5) — dando ragione, troppo tardi, all’uomo che quella teoria l’aveva costruita.
Per le opere citate vedi Riferimenti bibliografici.
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Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia · Secondo principio della termodinamica
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Historical context
The term entropy was coined in 1865 by the German physicist Rudolf Clausius (1822–1888), who derived it from the Greek tropé (transformation). Clausius summarised the two laws of thermodynamics in a now-famous sentence: “The energy of the universe is constant; the entropy of the universe tends to a maximum” (Simonyi 2012, ch. 4).
This sentence condenses the whole chapter into a single line: the first law (energy is conserved) and the second law (entropy increases). The phrase “tends to a maximum” already contains the unsettling idea of the heat death of the universe, a final state of maximum entropy in which no useful transformation would be possible any longer.
It was Ludwig Boltzmann (1844–1906) who gave entropy a microscopic meaning with the formula , which today bears his name and is engraved on his tomb in the Zentralfriedhof in Vienna. His probabilistic interpretation — the idea that the laws of thermodynamics are statistical and that entropy counts microstates — was opposed for decades by supporters of energetics (Ernst Mach, Wilhelm Ostwald), who went so far as to reject the very existence of atoms.
At the 1895 Lübeck conference the clash between Boltzmann and Ostwald was described by the young Sommerfeld as a fight between a bull and a nimble matador, but this time the matador was losing (Simonyi 2012, pp. 381–386). Boltzmann, depressed and partly worn down by this opposition, took his own life in 1906 at Duino, near Trieste, just a few years before Jean Perrin’s experiments on Brownian motion (1908) definitively confirmed the existence of atoms (Brandt 2009, ch. 5) — vindicating, too late, the man who had built that theory.
For the works cited see Riferimenti bibliografici.
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Topics: Entropy and the second law Concepts: Entropy · Second law of thermodynamics
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