Legge di Coulomb

La legge di Coulomb quantifica la forza tra due cariche puntiformi: proporzionale al prodotto delle cariche e inversa al quadrato della distanza, esattamente come la gravitazione di Newton. Questa sezione ne dà l’enunciato, mostra che tutte le forze di contatto ne sono una manifestazione, ne ripercorre la storia sperimentale e la estende a più cariche con il principio di sovrapposizione.

• Legge di Coulomb
• Le forze di contatto sono elettromagnetiche
• Dalla bilancia di torsione ai fulmini di Franklin
• Principio di sovrapposizione

Prova tu — simulazione interattiva

Una carica positiva libera si muove nel campo di una carica negativa fissa: la traiettoria dipende dal segno e dal valore delle cariche, proprio come un pianeta attorno al Sole ma con la legge di Coulomb al posto di quella di gravitazione.

Coulomb’s law quantifies the force between two point charges: proportional to the product of the charges and inversely proportional to the square of the distance, exactly like Newton’s gravitation. This section gives its statement, shows that all contact forces are a manifestation of it, retraces its experimental history, and extends it to multiple charges with the superposition principle.

• Coulomb’s law
• Contact forces are electromagnetic
• From the torsion balance to Franklin’s lightning
• Superposition principle

Try it — interactive simulation

A free positive charge moves in the field of a fixed negative charge: the trajectory depends on the sign and magnitude of the charges, just like a planet around the Sun but with Coulomb’s law instead of gravitation.

Due cariche puntiformi ferme si esercitano a vicenda una forza diretta lungo la retta che le congiunge. Il suo modulo cresce con il prodotto delle cariche e cala rapidamente con la distanza: raddoppiando la separazione, la forza si riduce a un quarto. È la legge che Charles-Augustin de Coulomb misurò sperimentalmente nel 1785 con la sua bilancia di torsione.

Formula chiave — Legge di Coulomb

$\ev{F = k\,\frac{\abs{q_1}\,\abs{q_2}}{r^2}}$ dove $k = 8{,}99\cdot 10^9\;\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$.

La costante $k$ è enorme rispetto alla costante di gravitazione $G$: è questo, unito alla piccolezza del coulomb, a dirci quanto sia intensa l’interazione elettrica. Il verso della forza dipende dai segni delle cariche:

• la forza è repulsiva se le cariche hanno lo stesso segno;
• la forza è attrattiva se hanno segno opposto.

In entrambi i casi le due forze — quella che $q_1$ esercita su $q_2$ e quella che $q_2$ esercita su $q_1$ — sono uguali in modulo e opposte in verso, in accordo con la terza legge di Newton.

Forza di Coulomb: cariche uguali si respingono, cariche opposte si attraggono. Le forze $\vec{F}_{12}$ e $\vec{F}_{21}$ sono sempre uguali e opposte (terza legge di Newton).

La struttura $1/r^2$ e la proporzionalità al prodotto delle “sorgenti” rendono questa legge il gemello elettrico della gravitazione universale — una somiglianza che nasconde però differenze profonde, discusse nella riflessione conclusiva del capitolo.

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Esercizi collegati: Campo di una carica puntiforme a 9 cm · Esercizio svolto — Tre cariche ai vertici di un triangolo · Problema — Forza tra due cariche da 1 microcoulomb

Two stationary point charges exert on each other a force directed along the line joining them. Its magnitude grows with the product of the charges and falls off rapidly with distance: doubling the separation reduces the force to a quarter. This is the law that Charles-Augustin de Coulomb measured experimentally in 1785 with his torsion balance.

Key formula — Coulomb's law

$\ev{F = k\,\frac{\abs{q_1}\,\abs{q_2}}{r^2}}$ where $k = 8{.}99\cdot 10^9\;\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2 = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$.

The constant $k$ is enormous compared with the gravitational constant $G$: this, combined with the smallness of the coulomb, tells us how intense the electric interaction is. The direction of the force depends on the signs of the charges:

• the force is repulsive if the charges have the same sign;
• the force is attractive if they have opposite signs.

In both cases the two forces — the one $q_1$ exerts on $q_2$ and the one $q_2$ exerts on $q_1$ — are equal in magnitude and opposite in direction, in agreement with Newton’s third law.

Coulomb force: like charges repel, opposite charges attract. The forces $\vec{F}_{12}$ and $\vec{F}_{21}$ are always equal and opposite (Newton’s third law).

The $1/r^2$ structure and the proportionality to the product of the “sources” make this law the electric twin of universal gravitation — a resemblance that, however, hides deep differences, discussed in the chapter’s closing reflection.

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C’è un’idea sorprendente nascosta dietro la legge di Coulomb: quasi tutte le forze che incontriamo ogni giorno sono, in fondo, forze elettriche travestite.

Quando un libro preme su un tavolo e il tavolo lo sostiene (reazione vincolare), quando una fune tira un carico (tensione), quando l’attrito frena una cassa, o quando una molla si oppone alla compressione (forza elastica), non sta accadendo nulla di davvero “meccanico” nel senso di un contatto fra materia solida. A distanze piccolissime le superfici non si toccano mai: sono le nuvole di elettroni degli atomi dei due corpi che si respingono elettricamente. Tutte le forze di contatto sono quindi, alla radice, di natura elettromagnetica: nascono dall’interazione coulombiana tra le cariche degli atomi affacciati.

Le uniche vere forze a distanza

Se le forze di contatto sono elettromagnetiche mascherate, restano soltanto due interazioni fondamentali capaci di agire “veramente” a distanza nella fisica classica: la gravità e le forze elettromagnetiche. Tutto il resto — spinte, tensioni, attriti — è una loro conseguenza su scala atomica.

Questa osservazione unifica capitoli che sembravano separati: la reazione normale del piano inclinato, la tensione della fune nella macchina di Atwood, l’attrito che dissipa energia in calore sono tutte manifestazioni macroscopiche della stessa forza di Coulomb che, atomo per atomo, tiene insieme la materia.

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Esercizi collegati: Esercizio svolto — Tre cariche ai vertici di un triangolo · Problema — Forza tra due cariche da 1 microcoulomb · Problema — Forza tra due sfere con stessa carica

There is a surprising idea hidden behind Coulomb’s law: almost all the forces we encounter every day are, deep down, electric forces in disguise.

When a book presses on a table and the table supports it (normal force), when a rope pulls a load (tension), when friction slows down a crate, or when a spring resists compression (elastic force), nothing truly “mechanical” is happening in the sense of contact between solid matter. At very small distances the surfaces never actually touch: it is the electron clouds of the atoms of the two bodies that repel each other electrically. All contact forces are therefore, at root, of an electromagnetic nature: they arise from the Coulomb interaction between the charges of the facing atoms.

The only true forces at a distance

If contact forces are disguised electromagnetic forces, only two fundamental interactions remain capable of truly acting “at a distance” in classical physics: gravity and electromagnetic forces. Everything else — pushes, tensions, friction — is a consequence of them on the atomic scale.

This observation unifies chapters that seemed separate: the normal reaction on an inclined plane, the tension in the rope of Atwood’s machine, the friction that dissipates energy as heat, are all macroscopic manifestations of the same Coulomb force that, atom by atom, holds matter together.

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Nota storica

Charles-Augustin de Coulomb (1736–1806) era un ingegnere militare francese che aveva sviluppato una bilancia di torsione di straordinaria sensibilità. Nel 1785 la usò per misurare la forza tra cariche elettriche, dimostrando che segue un’inversa del quadrato della distanza: la stessa struttura della gravità di Newton, ma con le cariche al posto delle masse (Simonyi 2012, cap. 4).

Trent’anni prima, nel 1752, Benjamin Franklin (1706–1790) aveva compiuto il suo celebre — e pericolosissimo — esperimento con l’aquilone nella tempesta, dimostrando che il fulmine è un fenomeno elettrico. Un imitatore russo, Georg Wilhelm Richmann, restò fulminato tentando di replicare l’esperimento nel 1753 (Brandt 2009, cap. 12).

Michael Faraday (1791–1867), figlio di un fabbro e quasi completamente autodidatta, introdusse il concetto di campo elettrico, le “linee di forza”, che trasformò il modo stesso di pensare alle interazioni a distanza (Guillen 1995, cap. 3).

Il filo che unisce questi tre personaggi è il passaggio da una fisica delle forze a distanza a una fisica dei campi. Coulomb misura la forza tra cariche come un fatto istantaneo tra due punti; Faraday, mezzo secolo dopo, immagina lo spazio stesso riempito di linee di forza che trasmettono l’interazione — un’idea che aprirà la strada a tutta l’elettromagnetismo.

Per i riferimenti completi delle opere citate si veda Riferimenti bibliografici.

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Esercizi collegati: Drill distanza per un dato campo · Campo di una carica puntiforme a 9 cm · Ranking del campo a varie configurazioni

Historical note

Charles-Augustin de Coulomb (1736–1806) was a French military engineer who had developed a torsion balance of extraordinary sensitivity. In 1785 he used it to measure the force between electric charges, showing that it follows an inverse square of the distance: the same structure as Newton’s gravity, but with charges in place of masses (Simonyi 2012, ch. 4).

Thirty years earlier, in 1752, Benjamin Franklin (1706–1790) had carried out his famous — and highly dangerous — kite experiment in a storm, showing that lightning is an electrical phenomenon. A Russian imitator, Georg Wilhelm Richmann, was killed attempting to repeat the experiment in 1753 (Brandt 2009, ch. 12).

Michael Faraday (1791–1867), the son of a blacksmith and almost entirely self-taught, introduced the concept of the electric field, the “lines of force”, which transformed the very way of thinking about interactions at a distance (Guillen 1995, ch. 3).

The thread linking these three figures is the shift from a physics of forces at a distance to a physics of fields. Coulomb measures the force between charges as an instantaneous fact between two points; Faraday, half a century later, imagines space itself filled with lines of force that transmit the interaction — an idea that would open the way to all of electromagnetism.

For full references to the works cited, see Riferimenti bibliografici.

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La legge di Coulomb, così com’è, descrive la forza tra due sole cariche. Ma cosa succede quando su una carica agiscono contemporaneamente molte altre cariche? La risposta è tanto semplice quanto potente: le forze si sommano, e si sommano vettorialmente.

Principio di sovrapposizione

La forza risultante su una carica $q$ è la somma vettoriale delle forze che ciascuna delle altre cariche eserciterebbe su di essa singolarmente: $\ev{\vv{F}_{\text{tot}} = \vv{F}_1 + \vv{F}_2 + \vv{F}_3 + \cdots}$

Il punto cruciale è la parola vettoriale: ogni contributo $\vv{F}_i$ ha un suo modulo (calcolato con la legge di Coulomb) e una sua direzione (lungo la congiungente con la carica $i$-esima, attrattiva o repulsiva secondo i segni). Non si sommano i moduli, ma le componenti: bisogna scegliere degli assi, proiettare ogni forza, sommare le componenti lungo $x$ e lungo $y$ separatamente, e infine ricomporre il vettore risultante.

Questa indipendenza dei contributi — ogni coppia di cariche “non sa” delle altre — non è affatto scontata, ma è una proprietà verificata sperimentalmente con altissima precisione. È ciò che rende trattabili sistemi con molte cariche: per quanto complicata sia la configurazione, la forza su ciascuna carica si ottiene sempre come somma di tanti semplici termini coulombiani.

L’applicazione tipica è il calcolo della forza su una carica posta ai vertici di una figura geometrica (si veda l’esercizio svolto sulle tre cariche ai vertici di un triangolo equilatero): si calcolano i singoli moduli, si scompongono lungo gli assi sfruttando la simmetria, e si ricompone la risultante.

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Coulomb’s law, as it stands, describes the force between only two charges. But what happens when many other charges act on a charge at the same time? The answer is as simple as it is powerful: the forces add up, and they add up vectorially.

Superposition principle

The resultant force on a charge $q$ is the vector sum of the forces that each of the other charges would exert on it individually: $\ev{\vv{F}_{\text{tot}} = \vv{F}_1 + \vv{F}_2 + \vv{F}_3 + \cdots}$

The crucial word is vectorially: each contribution $\vv{F}_i$ has its own magnitude (calculated with Coulomb’s law) and its own direction (along the line joining it to the $i$-th charge, attractive or repulsive according to the signs). The magnitudes are not summed; the components are: you must choose axes, project each force, sum the components along $x$ and along $y$ separately, and finally recompose the resultant vector.

This independence of the contributions — each pair of charges “unaware” of the others — is by no means obvious, but it is a property verified experimentally with very high precision. It is what makes systems with many charges tractable: however complicated the configuration, the force on each charge is always obtained as the sum of many simple Coulomb terms.

The typical application is calculating the force on a charge placed at the vertices of a geometric figure (see the worked exercise on three charges at the vertices of an equilateral triangle): the individual magnitudes are calculated, resolved along the axes exploiting symmetry, and the resultant is recomposed.

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