Ottica geometrica

Quando la lunghezza d’onda della luce è molto più piccola degli oggetti che incontra, si può dimenticare la natura ondulatoria e trattare la luce come raggi rettilinei: è l’ottica geometrica, nata con Euclide e perfezionata da Snell, Cartesio, Huygens e Newton. Questa sezione parte dal raggio di luce, passa per ombra, riflessione e rifrazione, e arriva a specchi e lenti, tutti governati da un’unica equazione dei punti coniugati. Chiude con l’intensità luminosa, l’occhio umano e la lente di ingrandimento.

• Il raggio di luce
• Ombra e penombra
• Leggi della riflessione
• Specchi sferici e punti coniugati
• Rifrazione e legge di Snell
• Lenti sottili
• Quattro dispositivi, una sola formula
• Intensità e distanza dalla sorgente
• Come funziona l’occhio
• La lente di ingrandimento

When the wavelength of light is much smaller than the objects it meets, its wave nature can be set aside and light treated as straight-line rays: this is geometric optics, born with Euclid and refined by Snell, Descartes, Huygens and Newton. This section starts from the ray of light, moves through shadow, reflection and refraction, and arrives at mirrors and lenses, all governed by a single conjugate points equation. It closes with light intensity, the human eye and the magnifying glass.

• Il raggio di luce
• Ombra e penombra
• Leggi della riflessione
• Specchi sferici e punti coniugati
• Rifrazione e legge di Snell
• Lenti sottili
• Quattro dispositivi, una sola formula
• Intensità e distanza dalla sorgente
• Come funziona l’occhio
• La lente di ingrandimento

La luce è un’onda, ma quando la sua lunghezza d’onda — poche centinaia di nanometri — è molto più piccola delle dimensioni degli oggetti che incontra (specchi, lenti, finestre), la sua natura ondulatoria diventa irrilevante. In questo regime la luce si può trattare semplicemente come un fascio di raggi rettilinei. È il punto di vista dell’ottica geometrica, nata con Euclide e perfezionata nei secoli da Snell, Cartesio, Huygens e Newton.

L’idea di fondo è potente proprio perché è semplice: dimenticare le creste e le valli dell’onda e seguire solo la direzione lungo cui l’energia luminosa si propaga. Ogni fenomeno di questo capitolo — ombre, riflessione, rifrazione, specchi e lenti — si costruisce tracciando raggi e vedendo dove vanno a finire.

Principio — Il raggio di luce

In un mezzo omogeneo, la luce viaggia in linea retta alla stessa velocità. Quando cambia mezzo (o il mezzo non è omogeneo), i raggi possono cambiare direzione e velocità, ma restano retti dentro ciascun mezzo.

Questa condizione — la rettilineità dentro ciascun mezzo omogeneo — è ciò che rende disegnabili i raggi: bastano righello e matita per prevedere il percorso della luce, finché non incontra una superficie che la fa deviare.

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Light is a wave, but when its wavelength — a few hundred nanometres — is much smaller than the size of the objects it meets (mirrors, lenses, windows), its wave nature becomes irrelevant. In this regime light can simply be treated as a bundle of straight rays. This is the viewpoint of geometrical optics, born with Euclid and refined over the centuries by Snell, Descartes, Huygens and Newton.

The underlying idea is powerful precisely because it is simple: forget the crests and troughs of the wave and follow only the direction along which the light energy propagates. Every phenomenon in this chapter — shadows, reflection, refraction, mirrors and lenses — is built by tracing rays and seeing where they end up.

Principle — The light ray

In a homogeneous medium, light travels in a straight line at constant speed. When it changes medium (or the medium is not homogeneous), rays can change direction and speed, but remain straight within each medium.

This condition — straight-line travel within each homogeneous medium — is what makes rays drawable: a ruler and pencil are enough to predict the path of light, until it meets a surface that deflects it.

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Quando una sorgente luminosa illumina un oggetto opaco, dietro l’oggetto si forma un’ombra, la regione dove la luce non arriva. La nitidezza del suo contorno dipende però dalle dimensioni della sorgente. Se la sorgente è puntiforme, il contorno dell’ombra è netto: da ogni punto dietro l’oggetto o si vede la sorgente, o non la si vede. Se invece la sorgente ha un’estensione finita, compare una zona intermedia di penombra, dove si vede solo una parte della sorgente: la luce c’è, ma indebolita, e l’ombra sfuma gradualmente.

Una sorgente estesa (la lampada) proietta un’ombra centrale netta circondata da due bande di penombra, dove arriva solo parte della luce.

Sei una formica sul foglio

Immagina di essere una formica sullo schermo. Se vedi tutta la lampada, sei alla luce piena. Se ne vedi solo una parte, sei in penombra. Se non la vedi affatto, sei all’ombra.

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When a light source illuminates an opaque object, a shadow forms behind the object — the region where light does not reach. The sharpness of its edge, however, depends on the size of the source. If the source is point-like, the shadow’s edge is sharp: from every point behind the object, either the source is visible, or it is not. If instead the source has a finite extent, an intermediate zone of penumbra appears, where only part of the source is visible: there is light, but weakened, and the shadow fades gradually.

An extended source (the lamp) casts a sharp central shadow surrounded by two bands of penumbra, where only part of the light arrives.

You are an ant on the screen

Imagine being an ant on the screen. If you see all of the lamp, you are in full light. If you see only part of it, you are in penumbra. If you do not see it at all, you are in shadow.

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Quando un raggio di luce incontra una superficie riflettente, come uno specchio, non l’attraversa ma rimbalza. Il rimbalzo non è casuale: obbedisce a due leggi semplici e precise, che si riferiscono sempre alla normale, la retta perpendicolare alla superficie nel punto in cui il raggio la colpisce.

Principio — Leggi della riflessione

1. Il raggio incidente, il raggio riflesso e la normale alla superficie nel punto d’incidenza giacciono sullo stesso piano.
2. L’angolo di incidenza $\theta_i$ è uguale all’angolo di riflessione $\theta_r$, entrambi misurati rispetto alla normale: $\theta_i = \theta_r$

La seconda legge è il cuore operativo: la luce riparte inclinata dall’altra parte della normale, ma con lo stesso angolo con cui è arrivata. È questo semplice principio a spiegare perché uno specchio piano restituisce un’immagine così fedele.

Il raggio incidente e quello riflesso formano angoli uguali con la normale: $\theta_i = \theta_r$.

Specchi curvi

Per uno specchio curvo (concavo o convesso) si applica la stessa legge, ma localmente: basta disegnare la tangente allo specchio nel punto d’incidenza e trattarla come uno specchio piano. Il raggio riflesso forma con la tangente lo stesso angolo del raggio incidente.

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Esercizi collegati: Problema — Il telecomando e il foglio di carta · Problema — Raggi per oggetto oltre 2f (lente) · Problema — Angolo critico di una fibra ottica

When a ray of light meets a reflecting surface, such as a mirror, it does not pass through but bounces back. The bounce is not random: it obeys two simple, precise laws, which always refer to the normal, the line perpendicular to the surface at the point where the ray strikes it.

Principle — Laws of reflection

1. The incident ray, the reflected ray, and the normal to the surface at the point of incidence lie in the same plane.
2. The angle of incidence $\theta_i$ equals the angle of reflection $\theta_r$, both measured from the normal: $\theta_i = \theta_r$

The second law is the operative heart of the matter: the light sets off tilted on the other side of the normal, but at the same angle at which it arrived. This simple principle explains why a flat mirror returns such a faithful image.

The incident and reflected rays form equal angles with the normal: $\theta_i = \theta_r$.

Curved mirrors

For a curved mirror (concave or convex) the same law applies, but locally: simply draw the tangent to the mirror at the point of incidence and treat it as a flat mirror. The reflected ray forms the same angle with the tangent as the incident ray.

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Uno specchio sferico è una calotta di sfera con la superficie interna o esterna riflettente. Se la concavità è rivolta verso la luce incidente lo specchio è concavo, altrimenti è convesso. Ogni specchio sferico ha tre punti caratteristici: il vertice $V$, centro della calotta; il centro di curvatura $C$, centro della sfera; e il fuoco $F$, a mezza strada tra $V$ e $C$. La distanza focale vale quindi

$f = \frac{R}{2}$

dove $R$ è il raggio della sfera. Il fuoco è il punto dove convergono, dopo la riflessione, i raggi che arrivano paralleli all’asse ottico.

Per trovare graficamente dove si forma l’immagine di un punto si sfruttano tre raggi privilegiati, di cui basta tracciarne due.

Principio — Costruzione dei raggi (specchio concavo)

• Un raggio parallelo all’asse ottico si riflette passando per il fuoco $F$.
• Un raggio che passa per il fuoco $F$ si riflette parallelo all’asse.
• Un raggio che passa per il centro $C$ si riflette su sé stesso.

L’intersezione di (almeno) due di questi raggi dà la posizione dell’immagine.

La costruzione grafica si traduce in una relazione algebrica esatta. Se $p$ è la distanza oggetto–specchio e $q$ la distanza immagine–specchio, vale l’equazione dei punti coniugati:

Formula chiave

$\ev{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}}$ $I = -\dfrac{q}{p}$ Concavo: $f > 0$; convesso: $f < 0$. $q > 0$: immagine reale; $q < 0$: immagine virtuale.

L’ingrandimento $I = -q/p$ dice quanto è grande l’immagine rispetto all’oggetto e con quale orientamento: se $I$ è negativo l’immagine è capovolta, se è positivo è diritta. Il segno di $q$ distingue invece un’immagine reale — che si forma davanti allo specchio e si può raccogliere su uno schermo — da una virtuale, che sembra provenire da dietro lo specchio.

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A spherical mirror is a spherical cap with either the inner or outer surface reflecting. If the concavity faces the incident light the mirror is concave, otherwise it is convex. Every spherical mirror has three characteristic points: the vertex $V$, the centre of the cap; the centre of curvature $C$, the centre of the sphere; and the focus $F$, halfway between $V$ and $C$. The focal length is therefore

$f = \frac{R}{2}$

where $R$ is the radius of the sphere. The focus is the point where, after reflection, the rays arriving parallel to the optical axis converge.

To find graphically where the image of a point forms, three privileged rays are used, of which it is enough to draw two.

Principle — Ray construction (concave mirror)

• A ray parallel to the optical axis is reflected passing through the focus $F$.
• A ray passing through the focus $F$ is reflected parallel to the axis.
• A ray passing through the centre $C$ is reflected back on itself.

The intersection of (at least) two of these rays gives the position of the image.

The graphical construction translates into an exact algebraic relation. If $p$ is the object–mirror distance and $q$ the image–mirror distance, the conjugate points equation holds:

Key formula

$\ev{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}}$ $I = -\dfrac{q}{p}$ Concave: $f > 0$; convex: $f < 0$. $q > 0$: real image; $q < 0$: virtual image.

The magnification $I = -q/p$ gives the size of the image relative to the object and its orientation: if $I$ is negative the image is inverted, if positive it is upright. The sign of $q$ instead distinguishes a real image — which forms in front of the mirror and can be captured on a screen — from a virtual one, which appears to come from behind the mirror.

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Quando la luce passa da un mezzo a un altro — per esempio dall’aria al vetro — cambia velocità e, se l’angolo di incidenza non è nullo, cambia anche direzione. È il fenomeno della rifrazione. La deviazione è governata dagli indici di rifrazione dei due mezzi e dagli angoli, sempre misurati rispetto alla normale.

Principio — Legge di Snell

Se un raggio passa da un mezzo con indice $n_1$ a uno con indice $n_2$: $\ev{n_1\,\sin\theta_1 = n_2\,\sin\theta_2}$

L’indice di rifrazione di un mezzo è $n = c/v$, con $v$ velocità della luce nel mezzo: vale $n = 1$ nel vuoto, $n \approx 1{,}33$ nell’acqua e $n \approx 1{,}5$ nel vetro. Poiché nel vetro la luce è più lenta, passando dall’aria al vetro il raggio si avvicina alla normale; nel passaggio inverso se ne allontana.

Passando dall’aria al vetro, più denso, il raggio rifratto si avvicina alla normale: $\theta_2 < \theta_1$.

Riflessione totale interna: il "seno maggiore di 1"

Cosa succede se si prova a far passare la luce da un mezzo denso a uno meno denso (acqua $\to$ aria) con un angolo molto inclinato? La formula $\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1$ può dare $\sin\theta_2 > 1$, impossibile. La natura risolve il paradosso in modo spettacolare: il raggio non rifrange, viene interamente riflesso dentro il mezzo denso. È la riflessione totale interna, principio delle fibre ottiche, dove la luce resta intrappolata e viaggia per chilometri rimbalzando sulle pareti. L’angolo critico $\theta_c$, oltre il quale inizia la riflessione totale, vale $\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ Per acqua $\to$ aria si ha $\theta_c \approx 48^\circ$.

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Argomenti: Ottica Concetti: Rifrazione e legge di Snell

Esercizi collegati: Problema — Angolo critico di una fibra ottica · Problema — Lo strano cielo del pesce · Esercizio svolto — Indice di rifrazione cromatico

When light passes from one medium to another — for example from air to glass — it changes speed and, if the angle of incidence is not zero, it also changes direction. This is the phenomenon of refraction. The deviation is governed by the refractive indices of the two media and by the angles, always measured from the normal.

Principle — Snell's law

If a ray passes from a medium with index $n_1$ to one with index $n_2$: $\ev{n_1\,\sin\theta_1 = n_2\,\sin\theta_2}$

The refractive index of a medium is $n = c/v$, where $v$ is the speed of light in the medium: it equals $n = 1$ in a vacuum, $n \approx 1{,}33$ in water and $n \approx 1{,}5$ in glass. Since light is slower in glass, when passing from air to glass the ray bends towards the normal; in the reverse passage it bends away from it.

Passing from air to the denser glass, the refracted ray bends towards the normal: $\theta_2 < \theta_1$.

Total internal reflection: the "sine greater than 1"

What happens if light is made to pass from a dense medium to a less dense one (water $\to$ air) at a very steep angle? The formula $\sin\theta_2 = (n_1/n_2)\sin\theta_1$ can give $\sin\theta_2 > 1$, which is impossible. Nature resolves the paradox in spectacular fashion: the ray does not refract, it is entirely reflected back into the dense medium. This is total internal reflection, the principle behind optical fibres, where light stays trapped and travels for kilometres bouncing off the walls. The critical angle $\theta_c$, beyond which total reflection begins, is $\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$ For water $\to$ air, $\theta_c \approx 48^\circ$.

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Argomenti: Ottica Concetti: Rifrazione e legge di Snell

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Una lente sottile è un pezzo di vetro trasparente delimitato da due superfici curve, che modifica la direzione dei raggi sfruttando la rifrazione. La buona notizia è che la stessa equazione degli specchi si applica alle lenti: cambia solo la convenzione sul segno della focale.

Formula chiave

$\ev{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}} \qquad I = -\dfrac{q}{p}$ Lente convergente (convessa): $f > 0$. Lente divergente (concava): $f < 0$.

Una lente convergente fa convergere verso il fuoco i raggi paralleli; una divergente li fa divergere come se provenissero dal fuoco. Anche qui la posizione dell’immagine si costruisce graficamente con tre raggi privilegiati, di cui bastano due.

Principio — Costruzione dei raggi (lente convergente)

• Un raggio parallelo all’asse passa per il fuoco $F'$ dopo la lente.
• Un raggio che passa per $F$ prima della lente esce parallelo all’asse.
• Un raggio che passa per il centro della lente prosegue dritto.

Costruzione dell’immagine con una lente convergente: i tre raggi privilegiati si incontrano dove si forma l’immagine, qui reale e capovolta.

Potere diottrico

Il potere diottrico di una lente è $\mathcal{D} = 1/f$, misurato in m$^{-1}$, cioè in diottrie (D). Una lente da $+3$ D ha $f = 1/3$ m $\approx 33$ cm. Più corta è la focale, più forte è la lente.

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A thin lens is a piece of transparent glass bounded by two curved surfaces, which alters the direction of rays by exploiting refraction. The good news is that the same equation used for mirrors applies to lenses: only the sign convention for the focal length changes.

Key formula

$\ev{\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f}} \qquad I = -\dfrac{q}{p}$ Converging lens (convex): $f > 0$. Diverging lens (concave): $f < 0$.

A converging lens makes parallel rays converge towards the focus; a diverging lens makes them diverge as if they came from the focus. Here too, the position of the image is constructed graphically using three privileged rays, of which two are enough.

Principle — Ray construction (converging lens)

• A ray parallel to the axis passes through the focus $F'$ after the lens.
• A ray passing through $F$ before the lens exits parallel to the axis.
• A ray passing through the centre of the lens continues straight.

Image construction with a converging lens: the three privileged rays meet where the image forms, here real and inverted.

Optical power

The optical power of a lens is $\mathcal{D} = 1/f$, measured in m$^{-1}$, that is in dioptres (D). A $+3$ D lens has $f = 1/3$ m $\approx 33$ cm. The shorter the focal length, the stronger the lens.

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La stessa equazione dei punti coniugati governa lenti e specchi di entrambi i tipi, con convenzioni di segno diverse sulla focale. Una sola tabella riassume tutti e quattro i casi, da tenere sempre a portata di mano.

In tutti e quattro i casi vale la stessa “formula passepartout”:

Formula chiave

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} \qquad I = -\dfrac{q}{p}$

Basta ricordare il segno di $f$ e il significato dei segni di $p$ e $q$. Passepartout, come dice Giancarlo: una chiave che apre tutte le porte dell’ottica geometrica.

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The same conjugate points equation governs lenses and mirrors of both types, with different sign conventions for the focal length. A single table summarises all four cases, worth keeping always at hand.

In all four cases the same “passe-partout formula” holds:

Key formula

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{f} \qquad I = -\dfrac{q}{p}$

Just remember the sign of $f$ and the meaning of the signs of $p$ and $q$. Passe-partout, as Giancarlo says: a key that opens every door of geometric optics.

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Per una sorgente luminosa (o sonora) puntiforme e isotropa, cioè che emette ugualmente in tutte le direzioni, la potenza totale $P$ si distribuisce su una sfera il cui raggio cresce man mano che ci si allontana. La stessa energia deve coprire una superficie sempre più grande, quindi diventa più “diluita”.

Poiché la superficie di una sfera è $4\pi r^2$, l’intensità $I$ — la potenza per unità di area — decresce come $1/r^2$: è la celebre legge dell’inverso del quadrato.

Formula chiave

$\ev{I(r) = \dfrac{P}{4\pi r^2}}$

Il significato pratico è netto: raddoppiare la distanza dalla sorgente non dimezza l’intensità, ma la riduce a un quarto. È il motivo per cui una lampada o un altoparlante sembrano affievolirsi così rapidamente quando ci si allontana.

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Argomenti: Ottica · Onde Concetti: Intensità di un’onda

Esercizi collegati: Problema — Distanza massima di un tuono · Problema — Ranking delle potenze di quattro onde · Problema — Potenza acustica di una conversazione

For a point-like, isotropic light (or sound) source, that is one emitting equally in all directions, the total power $P$ is spread over a sphere whose radius grows the further away one goes. The same energy must cover an ever larger surface, so it becomes more “diluted”.

Since the surface area of a sphere is $4\pi r^2$, the intensity $I$ — the power per unit area — decreases as $1/r^2$: this is the famous inverse-square law.

Key formula

$\ev{I(r) = \dfrac{P}{4\pi r^2}}$

The practical meaning is stark: doubling the distance from the source does not halve the intensity, it reduces it to a quarter. This is why a lamp or a loudspeaker seems to fade so quickly as one moves away.

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Argomenti: Ottica · Onde Concetti: Intensità di un’onda

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L’occhio umano è un mirabile sistema ottico naturale. La luce entra attraverso la cornea e il cristallino — una lente convergente biologica — e va a formare un’immagine sulla retina, uno strato di cellule fotosensibili che trasmette il segnale al cervello tramite il nervo ottico. È, in sostanza, una fotocamera con una sola lente e uno schermo posto a distanza fissa.

Proprio la distanza fissa tra lente e schermo pone un problema che l’occhio risolve in modo elegante.

Principio — L'accomodazione

Nell’occhio la distanza $q$ tra il cristallino e la retina è fissa ($q \approx 2$ cm). Per mettere a fuoco oggetti a distanze $p$ diverse, il cristallino deve cambiare la propria focale $f$, grazie ai piccoli muscoli ciliari che lo deformano. È il fenomeno dell’accomodazione.

In una macchina fotografica si mette a fuoco spostando la lente rispetto al sensore; nell’occhio, invece, si tiene $q$ costante e si varia $f$. Quando questo meccanismo non funziona perfettamente nascono i difetti visivi.

Miopia, ipermetropia e gli occhiali

In un occhio “normale”, a muscoli rilassati, l’immagine di un oggetto molto lontano si forma esattamente sulla retina. Nella miopia l’occhio è leggermente “troppo lungo”: l’immagine degli oggetti lontani cade davanti alla retina. Si corregge con una lente divergente ($f < 0$) che sparpaglia i raggi prima che entrino nell’occhio, facendo retrocedere l’immagine. Nell’ipermetropia l’occhio è “troppo corto” per gli oggetti vicini: il cristallino non riesce a incurvarsi abbastanza per metterli a fuoco. Si usa allora una lente convergente ($f > 0$) per aiutare l’accomodazione. Le diottrie prescritte dall’oculista sono esattamente il valore $\mathcal{D} = 1/f$ della lente correttiva, positivo per gli ipermetropi e negativo per i miopi. Un occhiale da $-2$ D significa lente divergente con $f = -50$ cm.

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The human eye is a remarkable natural optical system. Light enters through the cornea and the lens — a biological converging lens — and forms an image on the retina, a layer of light-sensitive cells that transmits the signal to the brain via the optic nerve. It is, in essence, a camera with a single lens and a screen placed at a fixed distance.

That fixed distance between lens and screen poses a problem which the eye solves elegantly.

Principle — Accommodation

In the eye the distance $q$ between the lens and the retina is fixed ($q \approx 2$ cm). To focus on objects at different distances $p$, the lens must change its own focal length $f$, thanks to the small ciliary muscles that deform it. This is the phenomenon of accommodation.

In a camera, focusing is achieved by moving the lens relative to the sensor; in the eye, instead, $q$ is kept constant while $f$ is varied. When this mechanism does not work perfectly, visual defects arise.

Short-sightedness, long-sightedness and glasses

In a “normal” eye, with relaxed muscles, the image of a very distant object forms exactly on the retina. In short-sightedness (myopia) the eye is slightly “too long”: the image of distant objects falls in front of the retina. It is corrected with a diverging lens ($f < 0$) that spreads the rays before they enter the eye, pushing the image back. In long-sightedness (hypermetropia) the eye is “too short” for nearby objects: the lens cannot curve enough to bring them into focus. A converging lens ($f > 0$) is then used to aid accommodation. The dioptres prescribed by the optician are exactly the value $\mathcal{D} = 1/f$ of the corrective lens, positive for the long-sighted and negative for the short-sighted. A $-2$ D pair of glasses means a diverging lens with $f = -50$ cm.

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La più semplice fra le combinazioni ottiche è la lente di ingrandimento: una lente convergente posta a una distanza $p < f$ dall’oggetto. In queste condizioni i raggi rifratti divergono ancora dopo la lente, e l’occhio vede un’immagine virtuale, dritta e ingrandita, posta dalla stessa parte dell’oggetto rispetto alla lente.

Ciò che conta davvero, quando si guarda qualcosa, non è la dimensione assoluta dell’immagine ma l’angolo sotto cui la si vede: più grande è l’angolo, più dettagli l’occhio riesce a distinguere. Per questo si definisce l’ingrandimento angolare come il rapporto fra l’angolo $\theta'$ sotto cui appare l’immagine attraverso la lente e l’angolo $\theta$ sotto cui appare l’oggetto a occhio nudo, posto alla distanza minima di accomodamento $d_0 = 25$ cm (la distanza di lettura standard). Con un po’ di geometria si trova:

Formula chiave

$\ev{G = \dfrac{\theta'}{\theta} \approx 1 + \dfrac{d_0}{f}}$

La formula vale per lenti tenute vicino all’occhio; se l’occhio è “rilassato” a fuoco all’infinito si ha invece $G = d_0/f$. In entrambi i casi l’ingrandimento cresce al diminuire della focale.

Lenti da gioielliere

Per questo le lenti da gioielliere o da lavoro fine hanno focali $f \sim 5$–$15$ mm: l’ingrandimento $G$ va da circa $18\times$ a circa $5\times$.

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The simplest of optical combinations is the magnifying glass: a converging lens placed at a distance $p < f$ from the object. Under these conditions the refracted rays still diverge after the lens, and the eye sees a virtual image, upright and magnified, on the same side of the lens as the object.

What really matters, when looking at something, is not the absolute size of the image but the angle under which it is seen: the larger the angle, the more detail the eye can make out. For this reason the angular magnification is defined as the ratio between the angle $\theta'$ under which the image appears through the lens and the angle $\theta$ under which the object appears to the naked eye, placed at the minimum accommodation distance $d_0 = 25$ cm (the standard reading distance). With a bit of geometry one finds:

Key formula

$\ev{G = \dfrac{\theta'}{\theta} \approx 1 + \dfrac{d_0}{f}}$

The formula holds for lenses held close to the eye; if the eye is “relaxed” and focused at infinity, one instead has $G = d_0/f$. In both cases the magnification grows as the focal length decreases.

Jeweller's loupes

This is why jewellers’ or fine-work loupes have focal lengths $f \sim 5$–$15$ mm: the magnification $G$ ranges from about $18\times$ to about $5\times$.

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