Spira come dipolo magnetico e motore elettrico

Una spira percorsa da corrente in un campo magnetico subisce una coppia: si comporta come una piccola calamita, un dipolo magnetico. Da qui nasce il motore elettrico. Questa sezione costruisce il momento magnetico $\vec{\mu} = iA\,\hat{n}$, la coppia e l’energia del dipolo, il funzionamento del motore con il commutatore e il bilancio energetico con la forza controelettromotrice, chiudendo con il solenoide.

• Momento magnetico di una spira
• Coppia ed energia di un dipolo magnetico
• Il motore elettrico
• Il commutatore
• Forza controelettromotrice e bilancio energetico
• Il solenoide

A current loop in a magnetic field experiences a torque: it behaves like a small magnet, a magnetic dipole. From this the electric motor is born. This section builds the magnetic moment $\vec{\mu} = iA\,\hat{n}$, the torque and energy of the dipole, how the motor works with the commutator, and the energy balance with the back electromotive force, closing with the solenoid.

• Magnetic moment of a loop
• Torque and energy of a magnetic dipole
• The electric motor
• The commutator
• Back electromotive force and energy balance
• The solenoid

Una spira percorsa da corrente immersa in un campo magnetico subisce una coppia: si comporta come una piccola calamita, cioè un dipolo magnetico. La grandezza che la caratterizza è il momento magnetico.

Principio — Momento magnetico di una spira

Una spira chiusa di area $A$ percorsa da corrente $i$ ha un momento magnetico: $\ev{\vec{\mu} = i\,A\,\hat{n}}$ dove $\hat{n}$ è il versore normale alla spira, orientato secondo la regola della mano destra: le dita seguono la corrente, il pollice indica $\hat{n}$.

Il momento magnetico riassume in un solo vettore tutto ciò che serve sapere della spira per prevederne il comportamento in un campo esterno: quanto è grande ($iA$) e come è orientata ($\hat{n}$). Il verso di $\hat{n}$ è dato dalla regola dell’autostop applicata alla corrente: arrotolando le dita destre nel senso di $i$, il pollice punta lungo $\vec{\mu}$.

Per una bobina di $N$ spire sovrapposte il momento si moltiplica per $N$: $|\vec{\mu}| = N\,i\,A$. Questa è la grandezza che compare in ogni formula di coppia ed energia del dipolo, ed è ciò che i costruttori massimizzano (tante spire, area grande, corrente elevata) per ottenere motori e strumenti sensibili.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Dipolo magnetico

Esercizi collegati: Momento torcente su una spira quadrata · Quale campo dà coppia massima · Motore e dinamo

A current loop immersed in a magnetic field experiences a torque: it behaves like a small magnet, that is, a magnetic dipole. The quantity that characterises it is the magnetic moment.

Principle — Magnetic moment of a loop

A closed loop of area $A$ carrying current $i$ has a magnetic moment: $\ev{\vec{\mu} = i\,A\,\hat{n}}$ where $\hat{n}$ is the unit vector normal to the loop, oriented according to the right-hand rule: the fingers follow the current, the thumb indicates $\hat{n}$.

The magnetic moment summarises in a single vector everything needed to predict the loop’s behaviour in an external field: how large it is ($iA$) and how it is oriented ($\hat{n}$). The direction of $\hat{n}$ is given by the “hitchhiker’s” rule applied to the current: curling the right-hand fingers in the direction of $i$, the thumb points along $\vec{\mu}$.

For a coil of $N$ stacked loops the moment is multiplied by $N$: $|\vec{\mu}| = N\,i\,A$. This is the quantity that appears in every torque and energy formula for the dipole, and it is what manufacturers maximise (many loops, large area, high current) to obtain sensitive motors and instruments.

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Esercizi collegati: Torque on a square loop · Which field gives maximum torque · Motor and dynamo

Immerso in un campo uniforme $\vec{B}$, un dipolo magnetico $\vec{\mu}$ non viene traslato (le forze sui lati opposti della spira si bilanciano) ma ruotato: il campo tende ad allinearlo a sé.

Legge — Coppia ed energia di un dipolo magnetico

Per un dipolo $\vec{\mu}$ in un campo uniforme $\vec{B}$: $\vec{M}_\text{torc} = \vec{\mu}\times\vec{B} \qquad E_\text{pot} = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

Il modulo della coppia è $|\vec{M}| = \mu B\sin\beta$, con $\beta$ angolo tra $\vec{\mu}$ e $\vec{B}$: massima quando il dipolo è perpendicolare al campo, nulla quando è allineato. L’energia potenziale è invece minima quando $\vec{\mu}$ è parallelo a $\vec{B}$ (equilibrio stabile) e massima quando è antiparallelo (equilibrio instabile).

Formula chiave

$|\vec{\mu}| = i\,A$ $\vec{M}_\text{torc} = \vec{\mu}\times\vec{B}$ $E_\text{pot} = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

È lo stesso comportamento dell’ago di una bussola, che è a tutti gli effetti un dipolo magnetico: ruota fino ad allinearsi al campo terrestre, orientandosi verso Nord. La tendenza all’allineamento, combinata con un meccanismo che inverte periodicamente la corrente, è ciò che rende possibile la rotazione continua di un motore elettrico.

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Esercizi collegati: Momento torcente su una spira quadrata · Quale campo dà coppia massima · Esercizio svolto — spira rettangolare in campo uniforme

Immersed in a uniform field $\vec{B}$, a magnetic dipole $\vec{\mu}$ is not translated (the forces on the opposite sides of the loop balance out) but rotated: the field tends to align it with itself.

Law — Torque and energy of a magnetic dipole

For a dipole $\vec{\mu}$ in a uniform field $\vec{B}$: $\vec{M}_\text{torc} = \vec{\mu}\times\vec{B} \qquad E_\text{pot} = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

The magnitude of the torque is $|\vec{M}| = \mu B\sin\beta$, with $\beta$ the angle between $\vec{\mu}$ and $\vec{B}$: maximum when the dipole is perpendicular to the field, zero when it is aligned. The potential energy, on the other hand, is minimum when $\vec{\mu}$ is parallel to $\vec{B}$ (stable equilibrium) and maximum when it is antiparallel (unstable equilibrium).

Key formula

$|\vec{\mu}| = i\,A$ $\vec{M}_\text{torc} = \vec{\mu}\times\vec{B}$ $E_\text{pot} = -\vec{\mu}\cdot\vec{B}$

This is the same behaviour as a compass needle, which is to all effects a magnetic dipole: it rotates until it aligns with the Earth’s field, orienting itself towards North. The tendency to align, combined with a mechanism that periodically reverses the current, is what makes the continuous rotation of an electric motor possible.

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Esercizi collegati: Torque on a square loop · Which field gives maximum torque · Worked exercise — rectangular loop in a uniform field

Una spira percorsa da corrente in un campo magnetico subisce una coppia che tende a farla ruotare: è il cuore del motore elettrico, il dispositivo che converte energia elettrica in energia meccanica.

Storia — Dal filo di Faraday ai tram

L’idea del motore elettrico nasce nel 1821: Michael Faraday costruì il primo prototipo rudimentale, in cui un filo percorso da corrente girava intorno a un magnete immerso nel mercurio. Il primo motore pratico fu costruito nel 1834 da Moritz von Jacobi, ingegnere prussiano, e usato per spingere una barca sul fiume Neva a San Pietroburgo. Oggi i motori elettrici muovono tutto, dai treni ad alta velocità agli hard disk al ventilatore dentro il PC.

Motore elettrico elementare: spira tra due magneti permanenti, asse di rotazione verticale, commutatore a spazzole alimentato dal generatore.

Analisi delle forze. Consideriamo una spira rettangolare di lati $\ell$ (paralleli all’asse) e $h$ (perpendicolari all’asse), percorsa da corrente $i$ in un campo uniforme $\vec{B}$. Ogni lato porta corrente in un campo, quindi sente $\vec{F} = i\vec{L}\times\vec{B}$:

• I due lati paralleli all’asse (lunghezza $\ell$) ricevono forze $F_1 = i\,\ell\,B$ di verso opposto: formano una coppia che fa ruotare la spira.
• I due lati perpendicolari all’asse (lunghezza $h$) ricevono forze lungo l’asse, che si bilanciano e non producono rotazione.

Momento in funzione dell’angolo. Quando il piano della spira forma un angolo con $\vec{B}$, ciascun lato lungo agisce con un braccio $(h/2)\sin\beta$, dove $\beta$ è l’angolo tra $\vec{\mu}$ e $\vec{B}$. Il momento totale è:

$|\vec{M}| = 2\cdot F_1\cdot\frac{h}{2}\sin\beta = i\,\ell\,B\,h\,\sin\beta = i\,A\,B\,\sin\beta$

dove $A = \ell h$ è l’area della spira. Usando $|\vec{\mu}| = iA$:

Legge — Momento torcente su una spira in campo magnetico

$\ev{|\vec{M}| = |\vec{\mu}|\,|\vec{B}|\,\sin\beta = i\,A\,B\,\sin\beta} \qquad \vec{M} = \vec{\mu}\times\vec{B}$ Il momento è massimo per $\beta = 90^\circ$ (spira parallela a $\vec{B}$) e nullo per $\beta = 0^\circ$ (spira perpendicolare a $\vec{B}$, cioè $\vec{\mu}$ allineato al campo).

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Esercizi collegati: Esercizio svolto — spira rettangolare in campo uniforme · Momento torcente su una spira quadrata · Quale campo dà coppia massima

A current loop in a magnetic field experiences a torque that tends to make it rotate: this is the heart of the electric motor, the device that converts electrical energy into mechanical energy.

History — From Faraday's wire to trams

The idea of the electric motor was born in 1821: Michael Faraday built the first rudimentary prototype, in which a current-carrying wire rotated around a magnet immersed in mercury. The first practical motor was built in 1834 by Moritz von Jacobi, a Prussian engineer, and used to propel a boat on the Neva river in Saint Petersburg. Today electric motors move everything, from high-speed trains to hard disks to the fan inside a PC.

Elementary electric motor: loop between two permanent magnets, vertical rotation axis, brush commutator fed by the generator.

Force analysis. Consider a rectangular loop with sides $\ell$ (parallel to the axis) and $h$ (perpendicular to the axis), carrying current $i$ in a uniform field $\vec{B}$. Each side carries current in a field, so it feels $\vec{F} = i\vec{L}\times\vec{B}$:

• The two sides parallel to the axis (length $\ell$) receive forces $F_1 = i\,\ell\,B$ in opposite directions: they form a couple that makes the loop rotate.
• The two sides perpendicular to the axis (length $h$) receive forces along the axis, which balance out and produce no rotation.

Torque as a function of the angle. When the plane of the loop forms an angle with $\vec{B}$, each long side acts with a moment arm $(h/2)\sin\beta$, where $\beta$ is the angle between $\vec{\mu}$ and $\vec{B}$. The total torque is:

$|\vec{M}| = 2\cdot F_1\cdot\frac{h}{2}\sin\beta = i\,\ell\,B\,h\,\sin\beta = i\,A\,B\,\sin\beta$

where $A = \ell h$ is the area of the loop. Using $|\vec{\mu}| = iA$:

Law — Torque on a loop in a magnetic field

$\ev{|\vec{M}| = |\vec{\mu}|\,|\vec{B}|\,\sin\beta = i\,A\,B\,\sin\beta} \qquad \vec{M} = \vec{\mu}\times\vec{B}$ The torque is maximum for $\beta = 90^\circ$ (loop parallel to $\vec{B}$) and zero for $\beta = 0^\circ$ (loop perpendicular to $\vec{B}$, i.e. $\vec{\mu}$ aligned with the field).

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Se nulla intervenisse, la spira raggiungerebbe l’equilibrio ($\beta = 0$, $\vec{\mu}$ parallelo a $\vec{B}$) e si fermerebbe: il momento torcente si annulla proprio quando la spira è allineata al campo, e da lì oscillerebbe attorno all’equilibrio fino a fermarsi. Per avere una rotazione continua serve un trucco.

Il commutatore a spazzole inverte la corrente nella spira ogni mezza rotazione. Così, ogni volta che la spira supera la posizione di allineamento, la corrente cambia verso, il momento torcente riparte nello stesso senso di rotazione e la spira continua a girare indefinitamente invece di fermarsi.

Il meccanismo è semplice: il circuito della spira è collegato all’esterno tramite due semicilindri conduttori (semianelli) che ruotano con la spira, e due contatti fissi (spazzole) che strisciano su di essi. A ogni mezzo giro le spazzole passano da un semianello all’altro, invertendo il contatto e quindi il verso della corrente.

Formula chiave — Motore elettrico

$|\vec{M}| = N\,i\,A\,B\,\sin\beta$ con $N$ = numero di spire.

Un solo avvolgimento produce però un momento molto irregolare, che si annulla a ogni allineamento. Per avere una coppia più uniforme i motori reali usano più bobine sfasate e commutatori a molti segmenti: mentre una bobina passa per il punto morto, le altre sono in piena spinta, e il momento torcente risultante oscilla molto meno.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Dipolo magnetico

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If nothing intervened, the loop would reach equilibrium ($\beta = 0$, $\vec{\mu}$ parallel to $\vec{B}$) and stop: the torque vanishes exactly when the loop is aligned with the field, and from there it would oscillate around equilibrium until stopping. To get continuous rotation a trick is needed.

The brush commutator reverses the current in the loop every half turn. So, every time the loop passes the alignment position, the current changes direction, the torque restarts in the same sense of rotation, and the loop keeps turning indefinitely instead of stopping.

The mechanism is simple: the loop’s circuit is connected to the outside via two conducting half-cylinders (split rings) that rotate with the loop, and two fixed contacts (brushes) that rub against them. Every half turn the brushes move from one half-ring to the other, reversing the contact and hence the direction of the current.

Key formula — Electric motor

$|\vec{M}| = N\,i\,A\,B\,\sin\beta$ with $N$ = number of loops.

A single winding, however, produces a very irregular torque, which vanishes at every alignment. To obtain a more uniform torque, real motors use several out-of-phase coils and multi-segment commutators: while one coil passes through the dead point, the others are at full drive, and the resulting torque oscillates much less.

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Quando la spira ruota nel campo magnetico, il flusso attraverso di essa varia: per la legge di Faraday (prossimo capitolo) si genera una forza elettromotrice indotta $\mathcal{E}_\text{ind}$ che, per la legge di Lenz, si oppone alla corrente imposta. È la forza controelettromotrice (f.c.e.m.) del motore, indicata con $\mathcal{E}_c$.

In un circuito con generatore $\mathcal{E}$, resistenza totale $R$ e f.c.e.m. $\mathcal{E}_c$, la corrente vale:

$i = \frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_c}{R}$

Più il motore gira veloce, più $\mathcal{E}_c$ cresce e più la corrente assorbita diminuisce. Il bilancio energetico al secondo si scrive moltiplicando per $i$: la potenza elettrica in ingresso si ripartisce tra dissipazione Joule e potenza meccanica utile.

$\underbrace{\mathcal{E}\,i}_{\text{pot. elettrica in}} = \underbrace{R\,i^2}_{\text{Joule}} + \underbrace{\mathcal{E}_c\,i}_{\text{pot. meccanica out}}$

Principio — Bilancio energetico del motore

$P_\text{el} = P_\text{Joule} + P_\text{mecc} \qquad P_\text{mecc} = \mathcal{E}_c\cdot i = M_\text{torc}\cdot\omega$ Il rendimento è $\eta = P_\text{mecc}/P_\text{el} = \mathcal{E}_c/\mathcal{E}$.

Il risultato ha una conseguenza pratica importante: a motore fermo ($\omega = 0$, quindi $\mathcal{E}_c = 0$) tutta la potenza elettrica viene dissipata in calore, e la corrente assorbita è massima ($i = \mathcal{E}/R$). È il momento di maggior rischio di surriscaldamento: un motore bloccato meccanicamente, ma ancora alimentato, può bruciarsi.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Dipolo magnetico · Forza elettromotrice · Effetto Joule

Esercizi collegati: Esercizio svolto — motore elettrico sotto carico · Motore e dinamo · Dinamo a bicicletta

When the loop rotates in the magnetic field, the flux through it changes: by Faraday’s law (next chapter) an induced electromotive force $\mathcal{E}_\text{ind}$ is generated which, by Lenz’s law, opposes the imposed current. This is the motor’s back electromotive force (back e.m.f.), denoted $\mathcal{E}_c$.

In a circuit with generator $\mathcal{E}$, total resistance $R$ and back e.m.f. $\mathcal{E}_c$, the current is:

$i = \frac{\mathcal{E} - \mathcal{E}_c}{R}$

The faster the motor spins, the more $\mathcal{E}_c$ grows and the more the current drawn decreases. The energy balance per second is written by multiplying by $i$: the input electrical power splits between Joule dissipation and useful mechanical power.

$\underbrace{\mathcal{E}\,i}_{\text{pot. elettrica in}} = \underbrace{R\,i^2}_{\text{Joule}} + \underbrace{\mathcal{E}_c\,i}_{\text{pot. meccanica out}}$

Principle — Energy balance of the motor

$P_\text{el} = P_\text{Joule} + P_\text{mecc} \qquad P_\text{mecc} = \mathcal{E}_c\cdot i = M_\text{torc}\cdot\omega$ The efficiency is $\eta = P_\text{mecc}/P_\text{el} = \mathcal{E}_c/\mathcal{E}$.

This result has an important practical consequence: with the motor stopped ($\omega = 0$, hence $\mathcal{E}_c = 0$) all the electrical power is dissipated as heat, and the current drawn is maximum ($i = \mathcal{E}/R$). This is the moment of greatest risk of overheating: a motor that is mechanically jammed but still powered can burn out.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Dipolo magnetico · Forza elettromotrice · Effetto Joule

Esercizi collegati: Worked exercise — electric motor under load · Motor and dynamo · Bicycle dynamo

Un solenoide è una serie di spire impilate, tutte percorse dalla stessa corrente. Il suo effetto magnetico è quello di una lunga calamita cilindrica: concentra un campo intenso e uniforme al suo interno, quasi nullo all’esterno.

Legge — Campo di un solenoide ideale

Dentro un solenoide di $N$ spire, lunghezza $L$, percorso da corrente $i$, il campo è uniforme e parallelo all’asse: $\ev{|\vec{B}|_\text{int} = \mu_0\,i\,\frac{N}{L}}$ All’esterno, $|\vec{B}|_\text{ext}\approx 0$.

Compare il rapporto $n = N/L$, il numero di spire per unità di lunghezza: il campo dipende solo dalla densità di avvolgimento e dalla corrente, non dal diametro del solenoide.

Solenoide ideale: campo uniforme e parallelo all’asse all’interno, praticamente nullo fuori.

Analogia

Il solenoide è l’analogo magnetico del condensatore piano: genera al suo interno un campo uniforme (come il condensatore genera un $\vec{E}$ uniforme) e quasi nullo all’esterno.

Il verso di $\vec{B}$: la regola dell’autostop. La formula dà il modulo, non il verso. Il verso dipende da come è avvolto il filo e in che senso scorre la corrente: invertendo la corrente si inverte $\vec{B}$. Il modo più affidabile per determinarlo è la regola dell’autostop: si avvolgono le quattro dita della mano destra attorno al solenoide, chiuse a pugno, nello stesso verso in cui scorre la corrente nelle spire; il pollice esteso, come quello di un autostoppista, indica il verso del campo $\vec{B}$ all’interno.

Regola dell’autostop: dita destre arrotolate nel verso della corrente, pollice lungo $\vec{B}$ dentro il solenoide.

Sempre mano destra

La regola vale sempre con la mano destra. Usando la sinistra si ottiene il verso opposto e si sbaglia di sicuro. Si può usare anche al contrario: noto il verso di $\vec{B}$ (per esempio con una bussola), si dispone il pollice destro in quel verso e le dita mostrano il senso in cui scorre la corrente.

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Argomenti: Magnetismo Concetti: Campo magnetico · Teorema di Ampère Competenze: Regola della mano destra

Esercizi collegati: Verifica dimensionale del campo del solenoide · Campo dentro un solenoide · Problema — Campo B nel condensatore in carica

A solenoid is a series of stacked loops, all carrying the same current. Its magnetic effect is that of a long cylindrical magnet: it concentrates an intense, uniform field inside itself, almost zero outside.

Law — Field of an ideal solenoid

Inside a solenoid of $N$ loops, length $L$, carrying current $i$, the field is uniform and parallel to the axis: $\ev{|\vec{B}|_\text{int} = \mu_0\,i\,\frac{N}{L}}$ Outside, $|\vec{B}|_\text{ext}\approx 0$.

The ratio $n = N/L$ appears, the number of turns per unit length: the field depends only on the winding density and the current, not on the diameter of the solenoid.

Ideal solenoid: uniform field parallel to the axis inside, practically zero outside.

Analogy

The solenoid is the magnetic analogue of the parallel-plate capacitor: it generates a uniform field inside itself (just as the capacitor generates a uniform $\vec{E}$) and an almost zero field outside.

The direction of $\vec{B}$: the hitchhiker’s rule. The formula gives the magnitude, not the direction. The direction depends on how the wire is wound and which way the current flows: reversing the current reverses $\vec{B}$. The most reliable way to determine it is the hitchhiker’s rule: curl the four fingers of the right hand around the solenoid, closed into a fist, in the same direction the current flows in the loops; the extended thumb, like that of a hitchhiker, indicates the direction of the field $\vec{B}$ inside.

Hitchhiker’s rule: right-hand fingers curled in the direction of the current, thumb along $\vec{B}$ inside the solenoid.

Always the right hand

The rule always holds with the right hand. Using the left hand gives the opposite direction and is certainly wrong. It can also be used in reverse: knowing the direction of $\vec{B}$ (for example with a compass), place the right thumb in that direction and the fingers show the direction the current flows.

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Esercizi collegati: Dimensional check of the solenoid field · Field inside a solenoid · Problem — B field in a charging capacitor