Le quattro equazioni di Maxwell (forma completa)

Con la correzione della corrente di spostamento le quattro equazioni assumono la loro forma finale: il cuore dell’elettromagnetismo classico. Questa sezione le raccoglie, le riscrive nel vuoto (dove nasce l’idea rivoluzionaria dell’onda auto-sostenuta) e ne accenna la forma differenziale con il simbolo $\nabla$.

• Le quattro equazioni di Maxwell
• Le equazioni nel vuoto e la nascita delle onde
• Maxwell in forma differenziale

With the correction of the displacement current, the four equations take on their final form: the heart of classical electromagnetism. This section collects them, rewrites them in vacuum (where the revolutionary idea of the self-sustaining wave is born) and outlines their differential form with the symbol $\nabla$.

• The four Maxwell equations
• The equations in vacuum and the birth of waves
• Maxwell in differential form

Ecco la forma finale delle quattro equazioni, il riassunto completo di tutto l’elettromagnetismo classico:

Equazioni di Maxwell (forma integrale)

$\Phi_E(\text{sup. chiusa}) = \frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0} \qquad\text{(Gauss } \vec{E}\text{)}$ $\Phi_B(\text{sup. chiusa}) = 0 \qquad\text{(Gauss } \vec{B}\text{)}$ $\Gamma_E = -\frac{d\Phi_B}{dt} \qquad\text{(Faraday-Neumann)}$ $\Gamma_B = \mu_0\,i_\text{conc} + \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} \qquad\text{(Ampère-Maxwell)}$

Leggiamole come un tutto coerente:

• Gauss per $\vec{E}$: le cariche elettriche sono sorgenti (o pozzi) del campo elettrico; le linee di $\vec{E}$ nascono e muoiono sulle cariche.
• Gauss per $\vec{B}$: non esistono monopoli magnetici; le linee di $\vec{B}$ sono sempre chiuse.
• Faraday-Neumann: un flusso magnetico variabile genera un campo elettrico che circola.
• Ampère-Maxwell: sia le correnti di cariche, sia un flusso elettrico variabile generano un campo magnetico che circola.

Tecnologia moderna

Le equazioni di Maxwell reggono tutta la tecnologia elettromagnetica: radio, Wi-Fi, laser, motori elettrici, fibre ottiche, forni a microonde. Quattro righe che governano un intero mondo di dispositivi.

Le prime due equazioni parlano di flussi (aspetto “sorgente”), le ultime due di circuitazioni (aspetto “vortice”). La simmetria tra le ultime due — un campo che varia genera l’altro — è ciò che rende possibile l’onda elettromagnetica.

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Here is the final form of the four equations, the complete summary of all of classical electromagnetism:

Maxwell's equations (integral form)

$\Phi_E(\text{closed surf.}) = \frac{Q_\text{int}}{\varepsilon_0} \qquad\text{(Gauss } \vec{E}\text{)}$ $\Phi_B(\text{closed surf.}) = 0 \qquad\text{(Gauss } \vec{B}\text{)}$ $\Gamma_E = -\frac{d\Phi_B}{dt} \qquad\text{(Faraday-Neumann)}$ $\Gamma_B = \mu_0\,i_\text{link} + \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} \qquad\text{(Ampère-Maxwell)}$

Let us read them as a coherent whole:

• Gauss for $\vec{E}$: electric charges are sources (or sinks) of the electric field; the lines of $\vec{E}$ begin and end on charges.
• Gauss for $\vec{B}$: no magnetic monopoles exist; the lines of $\vec{B}$ are always closed.
• Faraday-Neumann: a varying magnetic flux generates a circulating electric field.
• Ampère-Maxwell: both currents of charges and a varying electric flux generate a circulating magnetic field.

Modern technology

Maxwell’s equations underpin all electromagnetic technology: radio, Wi-Fi, lasers, electric motors, optical fibres, microwave ovens. Four lines that govern an entire world of devices.

The first two equations speak of fluxes (the “source” aspect), the last two of circulations (the “vortex” aspect). The symmetry between the last two — a changing field generates the other — is what makes the electromagnetic wave possible.

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In una regione di spazio senza cariche e senza correnti ($Q_\text{int} = 0$ e $i_\text{conc} = 0$), le quattro equazioni di Maxwell si semplificano notevolmente:

$\begin{aligned} \Phi_E &= 0 & \Phi_B &= 0 \\ \Gamma_E &= -\frac{d\Phi_B}{dt} & \Gamma_B &= \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} \end{aligned}$

Nel vuoto le due equazioni della circuitazione diventano quasi simmetriche: un $\vec{E}$ variabile produce $\vec{B}$, e un $\vec{B}$ variabile produce $\vec{E}$. Da questa reciprocità nasce un’idea rivoluzionaria.

Principio — Esistenza delle onde elettromagnetiche

Nel vuoto, un campo $\vec{E}$ che cambia nel tempo genera un campo $\vec{B}$, che a sua volta, cambiando, genera un nuovo $\vec{E}$, e così via all’infinito. Questa catena auto-sostenuta di induzioni è un’onda elettromagnetica che si propaga nel vuoto, senza bisogno di alcun mezzo materiale.

È il punto di svolta di tutto il capitolo: i campi non hanno più bisogno di cariche o correnti che li mantengano. Una volta innescata, la perturbazione dei campi si stacca dalla sorgente e viaggia da sola. Resta da capire quanto velocemente viaggia — e la risposta, sorprendente, coincide con la velocità della luce.

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In a region of space with no charges and no currents ($Q_\text{int} = 0$ and $i_\text{link} = 0$), the four Maxwell equations simplify considerably:

$\begin{aligned} \Phi_E &= 0 & \Phi_B &= 0 \\ \Gamma_E &= -\frac{d\Phi_B}{dt} & \Gamma_B &= \varepsilon_0\mu_0\,\frac{d\Phi_E}{dt} \end{aligned}$

In vacuum, the two circulation equations become almost symmetric: a varying $\vec{E}$ produces $\vec{B}$, and a varying $\vec{B}$ produces $\vec{E}$. From this reciprocity a revolutionary idea is born.

Principle — Existence of electromagnetic waves

In vacuum, a field $\vec{E}$ that changes in time generates a field $\vec{B}$, which in turn, by changing, generates a new $\vec{E}$, and so on indefinitely. This self-sustaining chain of inductions is an electromagnetic wave that propagates through vacuum, with no need for any material medium.

This is the turning point of the whole chapter: the fields no longer need charges or currents to sustain them. Once triggered, the disturbance of the fields detaches from the source and travels on its own. What remains to be understood is how fast it travels — and the answer, surprisingly, coincides with the speed of light.

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Le quattro equazioni di Maxwell scritte finora sono in forma integrale: parlano di flussi su superfici e circuitazioni lungo curve chiuse. Esiste una forma equivalente, più compatta, che le riscrive in ogni punto dello spazio senza integrali:

$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\vec{B} = 0$

$\nabla\wedge\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\wedge\vec{B} = \mu_0\,\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

Il simbolo $\nabla$ (nabla) è un “vettore di derivate parziali” $\left(\partial/\partial x,\;\partial/\partial y,\;\partial/\partial z\right)$:

• $\nabla\cdot\vec{F}$ (divergenza) misura quanto un campo “parte da quel punto”, cioè le sue sorgenti puntuali;
• $\nabla\wedge\vec{F}$ (rotore) misura quanto un campo “ruota attorno a quel punto”, cioè i suoi vortici locali.

Contesto storico

La forma differenziale è quella in cui Maxwell scrisse il suo trattato del 1865 (con la notazione dei quaternioni di Hamilton); la forma vettoriale moderna è di Oliver Heaviside, negli anni 1880. Per le applicazioni numeriche — ogni simulazione di antenne, di microonde, di onde gravitazionali — è la forma usata in pratica. Per il liceo basta sapere che esiste ed è completamente equivalente alla forma integrale (Mazzoldi 2008).

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The four Maxwell equations written so far are in integral form: they speak of fluxes through surfaces and circulations along closed curves. There is an equivalent, more compact form that rewrites them at every point in space, without integrals:

$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\vec{B} = 0$

$\nabla\wedge\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\wedge\vec{B} = \mu_0\,\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

The symbol $\nabla$ (nabla) is a “vector of partial derivatives” $\left(\partial/\partial x,\;\partial/\partial y,\;\partial/\partial z\right)$:

• $\nabla\cdot\vec{F}$ (divergence) measures how much a field “originates from that point”, i.e. its point sources;
• $\nabla\wedge\vec{F}$ (curl) measures how much a field “rotates around that point”, i.e. its local vortices.

Historical context

The differential form is the one in which Maxwell wrote his 1865 treatise (using Hamilton’s quaternion notation); the modern vector form is due to Oliver Heaviside, in the 1880s. For numerical applications — every simulation of antennas, microwaves, gravitational waves — it is the form used in practice. For sixth-form purposes it is enough to know that it exists and is fully equivalent to the integral form (Mazzoldi 2008).

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