Luce e relatività galileiana

Alla fine dell’Ottocento la meccanica di Newton e l’elettromagnetismo di Maxwell entrano in rotta di collisione: la prima prevede che le velocità si sommino, il secondo che la luce viaggi sempre alla stessa velocità. Questa sezione ricostruisce il paradosso, elenca le tre vie d’uscita possibili e racconta l’esperimento che scelse quale fosse quella giusta.

• Il paradosso della luce
• Le tre ipotesi
• L’etere e l’esperimento di Michelson-Morley

At the end of the 19th century, Newton’s mechanics and Maxwell’s electromagnetism were on a collision course: the first predicts that velocities add, the second that light always travels at the same speed. This section rebuilds the paradox, lists the three possible ways out, and recounts the experiment that chose which one was correct.

• The paradox of light
• The three hypotheses
• The ether and the Michelson-Morley experiment

Il principio di relatività galileiana afferma che le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ai tempi di Galileo e Newton “le leggi della fisica” erano le tre leggi della dinamica e la composizione galileiana delle velocità: se osservo un oggetto da terra, la sua velocità è la somma della velocità del veicolo che lo trasporta e della sua velocità relativa al veicolo,

$\vv{v}_{\text{suolo}} = \vv{v}_{\text{treno}} + \vv{v}_{\text{oggetto rel.\ treno}}$

È l’intuizione più naturale del mondo: chi corre su un treno che va a $30\;\text{m/s}$ e lancia in avanti una palla a $10\;\text{m/s}$ la vede allontanarsi, da terra, a $40\;\text{m/s}$. Ma all’inizio del Novecento erano comparse nuove leggi fondamentali, le equazioni di Maxwell dell’elettromagnetismo. Einstein si pose una domanda radicale: anche queste devono valere in ogni sistema di riferimento inerziale?

Il dominio di validità: Galileo garantisce l’invarianza delle leggi di Newton; Einstein estende la richiesta anche alle equazioni di Maxwell.

Se la risposta è sì, ci si scontra con un fatto sorprendente: dalle equazioni di Maxwell deriva che la velocità della luce nel vuoto vale $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. Ma $\varepsilon_0$ (costante dielettrica del vuoto) e $\mu_0$ (permeabilità magnetica del vuoto) sono costanti della natura: non dipendono dal sistema di riferimento. Quindi $c$ deve essere la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale. E qui l’edificio scricchiola.

Il paradosso

Secondo la composizione galileiana, se su un treno a $v = 30\;\text{m/s}$ accendi una torcia verso la direzione del moto, il raggio dovrebbe viaggiare a $c + 30\;\text{m/s}$ rispetto ai binari. Ma Maxwell dice che va sempre a $c$!

Delle due l’una: o le equazioni di Maxwell cambiano forma nei diversi sistemi di riferimento, oppure la composizione galileiana delle velocità è sbagliata.

Non c’è modo di conciliare le due cose lasciando tutto com’è. O si sacrifica l’universalità di Maxwell, o si sacrifica la regola di somma delle velocità che sembrava intoccabile. Il capitolo che segue è, in fondo, la storia di questa scelta.

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The principle of Galilean relativity states that the laws of physics are the same in all inertial reference frames. In Galileo’s and Newton’s day, “the laws of physics” meant the three laws of dynamics and the Galilean composition of velocities: if I observe an object from the ground, its velocity is the sum of the velocity of the vehicle carrying it and its velocity relative to the vehicle,

$\vv{v}_{\text{suolo}} = \vv{v}_{\text{treno}} + \vv{v}_{\text{oggetto rel.\ treno}}$

It is the most natural intuition in the world: someone running on a train moving at $30\;\text{m/s}$ who throws a ball forward at $10\;\text{m/s}$ sees it move away, as measured from the ground, at $40\;\text{m/s}$. But at the start of the twentieth century new fundamental laws had appeared, Maxwell’s equations of electromagnetism. Einstein asked a radical question: must these too hold in every inertial reference frame?

The domain of validity: Galileo guarantees the invariance of Newton’s laws; Einstein extends the requirement to Maxwell’s equations as well.

If the answer is yes, we run into a surprising fact: Maxwell’s equations imply that the speed of light in vacuum is $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$. But $\varepsilon_0$ (the vacuum permittivity) and $\mu_0$ (the vacuum permeability) are constants of nature: they do not depend on the reference frame. So $c$ must be the same in every inertial reference frame. And here the whole edifice starts to creak.

The paradox

According to Galilean composition, if you switch on a torch pointing in the direction of motion on a train moving at $v = 30\;\text{m/s}$, the beam should travel at $c + 30\;\text{m/s}$ relative to the tracks. But Maxwell says it always travels at $c$!

One of two things must be true: either Maxwell’s equations change form in different reference frames, or the Galilean composition of velocities is wrong.

There is no way to reconcile the two while leaving everything else as it is. Either Maxwell’s universality is sacrificed, or the velocity-addition rule that seemed untouchable is sacrificed. The chapter that follows is, at bottom, the story of this choice.

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Di fronte alla contraddizione tra meccanica classica ed elettromagnetismo, alla fine del XIX secolo si potevano in principio formulare tre ipotesi distinte. Ciascuna salva due delle tre affermazioni in gioco — la validità delle trasformazioni di Galileo, la correttezza delle equazioni di Maxwell, l’indipendenza di Maxwell dal sistema di riferimento — e sacrifica la terza.

• I ipotesi: esiste un sistema di riferimento privilegiato (l’etere) in cui le equazioni di Maxwell valgono; in altri sistemi valgono le trasformazioni di Galileo, e le equazioni di Maxwell sono “deformate”.
• II ipotesi: le equazioni di Maxwell, così come le conosciamo, sono valide solo in un certo sistema; negli altri (raggiungibili con Galileo) assumono forme diverse.
• III ipotesi: le trasformazioni di Galileo non sono corrette. Se vogliamo che Maxwell valga in ogni SRI, dobbiamo cambiare la legge di trasformazione tra sistemi di riferimento.

Le prime due ipotesi hanno un tratto in comune: entrambe accettano che le trasformazioni di Galileo restino la legge corretta per passare da un sistema di riferimento all’altro, e per questo devono postulare un riferimento speciale in cui la luce ha davvero velocità $c$. La terza è la più radicale — e la più scomoda per l’intuizione — perché mette in discussione il modo stesso in cui componiamo spazio e tempo tra osservatori.

Note

A decidere quale delle tre sopravvivesse non fu un ragionamento, ma una misura: l’esperimento di Michelson-Morley. E fu Einstein, nel 1905, a trarne fino in fondo le conseguenze.

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Faced with the contradiction between classical mechanics and electromagnetism, at the end of the 19th century one could in principle formulate three distinct hypotheses. Each saves two of the three claims at stake — the validity of the Galilean transformations, the correctness of Maxwell’s equations, the independence of Maxwell’s equations from the reference frame — and sacrifices the third.

• Hypothesis I: there exists a privileged reference frame (the ether) in which Maxwell’s equations hold; in other frames the Galilean transformations hold, and Maxwell’s equations are “deformed”.
• Hypothesis II: Maxwell’s equations, as we know them, are valid only in a certain frame; in others (reachable via Galilean transformations) they take different forms.
• Hypothesis III: the Galilean transformations are not correct. If we want Maxwell’s equations to hold in every IRF, we must change the law of transformation between reference frames.

The first two hypotheses share a common trait: both accept that the Galilean transformations remain the correct law for passing from one reference frame to another, and for this reason they must postulate a special frame in which light really does travel at speed $c$. The third is the most radical — and the most uncomfortable for intuition — because it calls into question the very way we combine space and time between observers.

Note

What decided which of the three would survive was not an argument, but a measurement: the Michelson-Morley experiment. And it was Einstein, in 1905, who drew out its full consequences.

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Per oltre mezzo secolo la soluzione “comoda” fu l’etere: un ipotetico mezzo rigido e onnipresente nel quale le onde elettromagnetiche si propagavano, proprio come il suono si propaga nell’aria. La luce avrebbe avuto velocità $c$ rispetto all’etere, e gli altri osservatori ne vedrebbero valori diversi. In questo modo si salvavano insieme le trasformazioni di Galileo e l’idea che $c$ fosse la velocità della luce in un solo riferimento speciale — quello fermo nell’etere.

Nel 1887 Albert Michelson e Edward Morley costruirono un interferometro di straordinaria precisione per misurare la velocità della Terra rispetto all’etere. L’idea era di dividere un raggio di luce in due tramite uno specchio semiriflettente, far percorrere a ciascuna metà un cammino diverso — uno parallelo al moto terrestre, l’altro perpendicolare — poi ricomporli e cercare uno spostamento delle frange d’interferenza causato dal diverso tempo di viaggio dei due raggi.

Il calcolo dei due tempi se esistesse l'etere

Sia $L$ la lunghezza di ciascun braccio dell’interferometro e $v$ la velocità della Terra rispetto all’etere. Per il braccio $A$ parallelo al moto, la luce va all’andata contro l‘“onda di etere” (velocità $c-v$) e al ritorno a favore (velocità $c+v$): $T_A = \frac{L}{c-v} + \frac{L}{c+v} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2}$ Per il braccio $B$ perpendicolare al moto, la luce deve compensare lo spostamento laterale della Terra durante il viaggio, e percorre $2\sqrt{L^2 + (vT_B/2)^2}$ in un tempo: $T_B = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ Il rapporto tra i due tempi è: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Notate che il fattore $1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ — il futuro fattore di Lorentz $\gamma$ — compare qui già nel 1887, ben prima che Einstein lo formalizzasse. Michelson e Morley si aspettavano uno spostamento delle frange corrispondente a questa differenza temporale… e invece non trovarono nulla.

Il risultato fu nullo: nessuno spostamento delle frange di interferenza, nessuna evidenza di “vento dell’etere”. L’esperimento venne ripetuto in diverse stagioni (quando la Terra si muove in direzioni diverse intorno al Sole), ma sempre con esito nullo. Le conseguenze sono decisive: se non c’è alcun vento d’etere, non c’è alcun riferimento privilegiato, e l’ipotesi I e l’ipotesi II sono scartate. Resta solo la III: bisogna abbandonare le trasformazioni di Galileo.

L'esperimento più famoso che non trovò nulla

Michelson e Morley ripeterono la misura in diverse stagioni, pensando che almeno in primavera o in autunno la Terra, muovendosi in direzioni diverse intorno al Sole, avrebbe incontrato venti di etere distinguibili. Nulla. Per quasi 20 anni i fisici tentarono di salvare l’etere con ipotesi sempre più artificiose (contrazione di Fitzgerald, trascinamento parziale, e così via). Ma il problema era un altro: l’etere non esiste. La risposta di Einstein fu, in sostanza, “non ce n’era bisogno”.

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For over half a century the “convenient” solution was the ether: a hypothetical rigid, all-pervading medium in which electromagnetic waves propagated, just as sound propagates in air. Light would have velocity $c$ relative to the ether, and other observers would see different values. In this way both the Galilean transformations and the idea that $c$ was the speed of light in a single special frame — the one at rest in the ether — were saved together.

In 1887 Albert Michelson and Edward Morley built an interferometer of extraordinary precision to measure the Earth’s velocity relative to the ether. The idea was to split a beam of light in two using a half-silvered mirror, send each half along a different path — one parallel to the Earth’s motion, the other perpendicular — then recombine them and look for a shift in the interference fringes caused by the different travel times of the two beams.

Calculating the two times if the ether existed

Let $L$ be the length of each arm of the interferometer and $v$ the Earth’s velocity relative to the ether. For arm $A$, parallel to the motion, light travels outward against the “ether wind” (velocity $c-v$) and back with it (velocity $c+v$): $T_A = \frac{L}{c-v} + \frac{L}{c+v} = \frac{2L/c}{1 - v^2/c^2}$ For arm $B$, perpendicular to the motion, light must compensate for the Earth’s sideways displacement during the trip, and covers $2\sqrt{L^2 + (vT_B/2)^2}$ in a time: $T_B = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ The ratio of the two times is: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$

Notice that the factor $1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ — the future Lorentz factor $\gamma$ — already appears here in 1887, well before Einstein formalised it. Michelson and Morley expected a fringe shift corresponding to this time difference… and instead found nothing.

The result was null: no shift in the interference fringes, no evidence of an “ether wind”. The experiment was repeated across different seasons (when the Earth moves in different directions around the Sun), but always with a null result. The consequences are decisive: if there is no ether wind, there is no privileged frame, and hypotheses I and II are ruled out. Only hypothesis III remains: the Galilean transformations must be abandoned.

The most famous experiment that found nothing

Michelson and Morley repeated the measurement across different seasons, thinking that at least in spring or autumn the Earth, moving in different directions around the Sun, would encounter distinguishable ether winds. Nothing. For almost 20 years physicists tried to save the ether with increasingly contrived hypotheses (Fitzgerald contraction, partial dragging, and so on). But the real problem was different: the ether does not exist. Einstein’s answer was, in essence, “it was never needed”.

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