Quantità di moto e urti

L’energia è una grandezza scalare conservata; in questo capitolo incontriamo un’altra grandezza conservata, ma vettoriale: la quantità di moto. La combinazione di queste due leggi di conservazione permette di risolvere problemi altrimenti impossibili, come gli urti e le esplosioni.

Sezioni

• Quantità di moto e impulso
• Conservazione della quantità di moto
• Esplosioni
• Urti
• Il metodo delle due tabelle parallele
• Verso il centro di massa

Riflessioni

• Perché si conserva la quantità di moto?
• Quantità di moto: il principio prima della legge

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Energy is a conserved scalar quantity; in this chapter we meet another conserved quantity, but a vector one: momentum. Combining these two conservation laws lets us solve problems that would otherwise be impossible, such as collisions and explosions.

Sections

• Quantità di moto e impulso
• Conservazione della quantità di moto
• Esplosioni
• Urti
• Il metodo delle due tabelle parallele
• Verso il centro di massa

Reflections

• Why is momentum conserved?
• Momentum: the principle before the law

Exercises

• All the chapter’s worked exercises

Se le forze esterne sono nulle — o se il loro impulso totale è trascurabile nell’intervallo considerato — la quantità di moto totale del sistema si conserva:

Principio — Conservazione della quantità di moto

$\vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{ini}} = \vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{fin}}$

Quando si conserva

$\vv{p}$ si conserva quando le forze esterne sono nulle o trascurabili. Essendo un’equazione vettoriale, vale componente per componente: si può conservare lungo $x$ e non lungo $y$ (per esempio se una forza esterna agisce solo in verticale).

Questa condizione si realizza, in modo eccellente, in tre situazioni tipiche:

• nelle esplosioni: una granata ferma si spezza in frammenti sotto la spinta di forze interne (chimiche); la quantità di moto totale resta quella di partenza (spesso nulla);
• negli urti: due corpi collidono in un tempo brevissimo, durante il quale le forze di contatto interne sono enormi e le forze esterne (peso, attrito) danno un impulso trascurabile;
• nel rinculo: un’arma spara un proiettile in avanti e arretra all’indietro, in modo che la somma delle quantità di moto resti invariata.

In tutti questi casi le forze in gioco sono interne al sistema, e per la terza legge di Newton i loro impulsi si cancellano a coppie: è per questo che il totale non cambia.

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If the external forces are zero — or if their total impulse is negligible over the interval considered — the total momentum of the system is conserved:

Principle — Conservation of momentum

$\vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{ini}} = \vv{p}_{\text{tot}}^{\,\text{fin}}$

When it is conserved

$\vv{p}$ is conserved when the external forces are zero or negligible. Being a vector equation, it holds component by component: it can be conserved along $x$ and not along $y$ (for example if an external force acts only vertically).

This condition is realised, excellently, in three typical situations:

• in explosions: a stationary grenade breaks into fragments under the push of internal (chemical) forces; the total momentum stays equal to the starting one (often zero);
• in collisions: two bodies collide over a very short time, during which the internal contact forces are enormous and the external forces (weight, friction) give a negligible impulse;
• in recoil: a weapon fires a projectile forwards and moves backwards, so that the sum of the momenta stays unchanged.

In all these cases the forces at play are internal to the system, and by Newton’s third law their impulses cancel in pairs: that is why the total does not change.

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In un’esplosione un corpo inizialmente fermo si divide in più frammenti grazie all’energia interna (chimica, elastica, …) che viene liberata. Le forze che spingono via i pezzi sono tutte interne, quindi la quantità di moto totale non cambia: se il corpo era fermo, la somma delle quantità di moto dei frammenti resta zero.

Esplosione: il corpo fermo si divide. La quantità di moto totale resta zero; il frammento più leggero va più veloce.

Per due soli frammenti la conservazione impone $m_1\vv{v}_1 + m_2\vv{v}_2 = \vv{0}$, cioè i due pezzi partono in versi opposti con quantità di moto uguali e contrarie. Poiché $\lvert v_1\rvert/\lvert v_2\rvert = m_2/m_1$, il frammento più leggero schizza via più veloce.

Chi porta via l'energia

In un’esplosione il frammento più leggero, pur avendo la stessa quantità di moto (in modulo) dell’altro, porta via la maggior parte dell’energia cinetica. A parità di $p = mv$ infatti $E_\text{cin} = \tfrac{p^2}{2m}$: energia inversamente proporzionale alla massa. È il motivo per cui, in un urto o in un rinculo, è il pezzo piccolo quello “pericoloso”.

L’esempio numerico completo è svolto in Esercizio svolto — esplosione in due frammenti.

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Esercizi collegati: Esercizio svolto — esplosione in due frammenti · Rinculo di una pistola · Problema — Esplosione 2D con tre frammenti

In an explosion a body initially at rest splits into several fragments thanks to internal energy (chemical, elastic, …) that is released. The forces pushing the pieces apart are all internal, so the total momentum does not change: if the body was at rest, the sum of the fragments’ momenta stays zero.

Explosion: the stationary body splits. The total momentum stays zero; the lighter fragment goes faster.

For just two fragments, conservation requires $m_1\vv{v}_1 + m_2\vv{v}_2 = \vv{0}$, that is, the two pieces fly off in opposite directions with equal and opposite momenta. Since $\lvert v_1\rvert/\lvert v_2\rvert = m_2/m_1$, the lighter fragment shoots off faster.

Who carries away the energy

In an explosion the lighter fragment, despite having the same momentum (in magnitude) as the other, carries away most of the kinetic energy. For equal $p = mv$, in fact $E_\text{cin} = \tfrac{p^2}{2m}$: energy inversely proportional to mass. That is why, in a collision or a recoil, it is the small piece that is “dangerous”.

The full worked numerical example is in Esercizio svolto — esplosione in due frammenti.

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Le leggi di conservazione dell’energia e della quantità di moto sono i due pilastri della meccanica. La prima è scalare e governa “quanto” moto complessivo può cambiare forma; la seconda è vettoriale e governa “in che direzione” il sistema si sposta nel suo insieme. Messe insieme, permettono di risolvere urti ed esplosioni senza conoscere il dettaglio delle forze interne, spesso violentissime e impossibili da misurare.

C’è un filo rosso che percorre tutto il capitolo: in ogni urto con molla, in ogni esplosione, ricompare la stessa velocità privilegiata, quella del centro di massa. È il punto che sintetizza il moto dell’intero sistema, quello che si muove come se tutta la massa fosse concentrata lì e tutte le forze esterne agissero su di esso. Nel prossimo capitolo lo studieremo direttamente: vedremo che la quantità di moto totale non è altro che la massa totale per la velocità del centro di massa, $\vv{p}_\text{tot} = M\,\vv{v}_\text{CM}$, e che questa è la formulazione più profonda della sua conservazione.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Centro di massa

Esercizi collegati: Vero o falso (impulso e urti) · Urto 2D perpendicolare · Esercizio svolto — urto parzialmente anelastico

The conservation laws of energy and momentum are the two pillars of mechanics. The first is scalar and governs “how much” overall motion can change form; the second is vector and governs “in what direction” the system moves as a whole. Together, they allow collisions and explosions to be solved without knowing the details of the internal forces, which are often extremely violent and impossible to measure.

There is a common thread running through the whole chapter: in every spring collision, in every explosion, the same privileged velocity reappears, that of the centre of mass. It is the point that summarises the motion of the entire system, the one that moves as if all the mass were concentrated there and all the external forces acted on it. In the next chapter we shall study it directly: we shall see that the total momentum is nothing but the total mass times the velocity of the centre of mass, $\vv{p}_\text{tot} = M\,\vv{v}_\text{CM}$, and that this is the deepest formulation of its conservation.

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Potremmo rispondere: “perché così dice la terza legge di Newton”, ed è vero. Ma c’è una risposta più profonda, che solo la fisica moderna ha saputo formulare: la quantità di moto si conserva perché lo spazio è omogeneo, cioè le leggi della natura sono le stesse qui e a due metri da qui.

Questa connessione tra simmetria e conservazione è il contenuto del cosiddetto teorema di Noether (1918): a ogni simmetria continua corrisponde una grandezza conservata.

• Omogeneità dello spazio $\to$ quantità di moto
• Omogeneità del tempo $\to$ energia
• Isotropia dello spazio $\to$ momento angolare

Le tre grandi leggi di conservazione della meccanica hanno, alla radice, una natura geometrica: non sono accidenti sperimentali, ma il riflesso del fatto che lo spazio e il tempo non hanno punti, istanti o direzioni privilegiate.

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Argomenti: Quantità di moto e urti Concetti: Conservazione della quantità di moto · Terza legge di Newton

Esercizi collegati: Razzo nel vuoto · Terzo principio rotto · Terza legge a senso unico

We could answer: “because Newton’s third law says so”, and that is true. But there is a deeper answer, one that only modern physics has managed to formulate: momentum is conserved because space is homogeneous, that is, the laws of nature are the same here and two metres from here.

This connection between symmetry and conservation is the content of the so-called Noether theorem (1918): to every continuous symmetry there corresponds a conserved quantity.

• Homogeneity of space $\to$ momentum
• Homogeneity of time $\to$ energy
• Isotropy of space $\to$ angular momentum

The three great conservation laws of mechanics have, at their root, a geometric nature: they are not experimental accidents, but the reflection of the fact that space and time have no privileged points, instants, or directions.

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La storia ufficiale racconta che $\vv{p} = m\vv{v}$ è una “definizione” e che la sua conservazione è un teorema che discende dalla terza legge di Newton. Tutto vero, ma c’è un altro modo di leggere la storia, oggi preferito da fisici e didatti: il principio di conservazione della quantità di moto è più fondamentale delle leggi di Newton stesse.

Vale infatti anche dove le leggi di Newton non valgono — in relatività ristretta, in meccanica quantistica — e si può ricavare, via teorema di Noether, dal fatto che le leggi della fisica sono invarianti per traslazioni spaziali. Non c’è alcun punto privilegiato dello spazio, e da questa sola simmetria discende, come per magia, la conservazione di $\vv{p}$.

È uno dei rari casi in cui un principio quasi metafisico (“lo spazio è omogeneo”) si traduce in una legge quantitativa con enorme valore predittivo. Conservare la quantità di moto, in fondo, vuol dire accettare che lo spazio non abbia un centro (Feynman, Leighton e Sands 1963; Battimelli e Stilli 1999).

Per l’elenco completo delle opere citate: Riferimenti bibliografici.

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Esercizi collegati: Razzo nel vuoto · Terzo principio rotto · Terza legge a senso unico

The official story tells us that $\vv{p} = m\vv{v}$ is a “definition” and that its conservation is a theorem that follows from Newton’s third law. All true, but there is another way of reading the story, today preferred by physicists and educators: the principle of conservation of momentum is more fundamental than Newton’s laws themselves.

Indeed, it holds even where Newton’s laws do not — in special relativity, in quantum mechanics — and it can be derived, via Noether’s theorem, from the fact that the laws of physics are invariant under spatial translations. There is no privileged point in space, and from this symmetry alone follows, as if by magic, the conservation of $\vv{p}$.

It is one of the rare cases in which an almost metaphysical principle (“space is homogeneous”) translates into a quantitative law of enormous predictive value. Conserving momentum, at bottom, means accepting that space has no centre (Feynman, Leighton and Sands 1963; Battimelli and Stilli 1999).

For the full list of works cited: Riferimenti bibliografici.

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