Scomposizione dell'energia cinetica

L’energia cinetica totale di un sistema si scrive sempre come somma di due contributi: uno legato al moto del centro di massa e uno interno, calcolato rispetto al CM. È il teorema di König, la chiave per capire cos’è la temperatura di un gas.

• Teorema di König per l’energia cinetica
• Dimostrazione del teorema di König
• Energia cinetica interna e temperatura

A system’s total kinetic energy is always written as the sum of two contributions: one tied to the motion of the centre of mass and one internal, computed relative to the CM. This is König’s theorem, the key to understanding what the temperature of a gas is.

• König’s theorem for kinetic energy
• Proof of König’s theorem
• Internal kinetic energy and temperature

L’energia cinetica totale di un sistema si può sempre scrivere come somma di due contributi: uno legato al moto del centro di massa (come se tutta la massa viaggiasse compatta) e uno interno, calcolato rispetto al CM.

Legge — Teorema di König per l'energia cinetica

$\ev{E_{\text{cin,tot}} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M_{\text{tot}}\,v_{\text{CM}}^2}_{E_{\text{cin,CM}}} + \underbrace{\sum_i \tfrac{1}{2}m_i\,v_i'^2}_{E_{\text{cin,int}}}}$ dove $\vec{v}_i' = \vec{v}_i - \vec{v}_{\text{CM}}$ è la velocità del corpo $i$ nel sistema di riferimento del CM.

Il primo termine è l’energia cinetica del moto d’insieme; il secondo è l‘“agitazione interna” delle parti attorno al CM. Ci sono due modi equivalenti per calcolare $E_\text{cin,int}$, a seconda di quali velocità è più comodo usare.

Due modi per $E_\text{cin,int}$

$E_\text{cin,int} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 - \tfrac{1}{2}M_\text{tot} v_\text{CM}^2$ $E_\text{cin,int} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i\,|\vec{v}_i - \vec{v}_\text{CM}|^2$

Il primo usa le velocità nel laboratorio (energia totale meno energia del CM); il secondo usa direttamente le velocità relative al CM. Il risultato è lo stesso: un osservatore fermo e uno seduto sul CM calcolano la stessa $E_\text{cin,int}$.

Esempio — Verifica della scomposizione

Due palle: $m_1 = 3\;\text{kg}$ a $v_1 = 3\;\text{m/s}$, $m_2 = 7\;\text{kg}$ a $v_2 = 2\;\text{m/s}$ (moto 1D). La velocità del CM è $v_{\text{CM}} = (3\cdot 3 + 7\cdot 2)/10 = 2{,}3\;\text{m/s}$.

Metodo 1 (differenza): $E_{\text{cin,tot}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 9 + \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 4 = 27{,}5\;\text{J}$ $E_{\text{cin,CM}} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 2{,}3^2 = 26{,}45\;\text{J} \quad\Rightarrow\quad E_{\text{cin,int}} = 27{,}5 - 26{,}45 = 1{,}05\;\text{J}$

Metodo 2 (velocità relative): $v_1' = 3 - 2{,}3 = 0{,}7$, $v_2' = 2 - 2{,}3 = -0{,}3$ $E_{\text{cin,int}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 0{,}49 + \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 0{,}09 = 0{,}735 + 0{,}315 = 1{,}05\;\text{J} \;\checkmark$

Intuizione

Nel SRCM la quantità di moto totale è nulla ($\sum_i m_i \vec{v}_i' = \vec{0}$), perché l’osservatore si muove proprio alla velocità del CM. Al momento della massima compressione in un urto con molla, entrambi i corpi hanno velocità $v_\text{CM}$: l’$E_\text{cin,int} = 0$ e tutta l’energia interna è immagazzinata nella molla.

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Argomenti: Centro di massa Concetti: Energia cinetica · Energia interna Competenze: Cambio di sistema di riferimento

Esercizi collegati: Dimostrazione del teorema di König · Esercizio svolto — Gas fittizio di due palline · Energia cinetica interna di due palline

A system’s total kinetic energy can always be written as the sum of two contributions: one tied to the motion of the centre of mass (as if the whole mass travelled as a single block) and one internal, computed relative to the CM.

Law — König's theorem for kinetic energy

$\ev{E_{\text{cin,tot}} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M_{\text{tot}}\,v_{\text{CM}}^2}_{E_{\text{cin,CM}}} + \underbrace{\sum_i \tfrac{1}{2}m_i\,v_i'^2}_{E_{\text{cin,int}}}}$ where $\vec{v}_i' = \vec{v}_i - \vec{v}_{\text{CM}}$ is the velocity of body $i$ in the CM reference frame.

The first term is the kinetic energy of the overall motion; the second is the “internal agitation” of the parts around the CM. There are two equivalent ways to compute $E_\text{cin,int}$, depending on which velocities are more convenient to use.

Two ways to get $E_\text{cin,int}$

$E_\text{cin,int} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i^2 - \tfrac{1}{2}M_\text{tot} v_\text{CM}^2$ $E_\text{cin,int} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i\,|\vec{v}_i - \vec{v}_\text{CM}|^2$

The first uses the velocities in the lab frame (total energy minus CM energy); the second uses directly the velocities relative to the CM. The result is the same: an observer at rest and one sitting on the CM compute the same $E_\text{cin,int}$.

Example — Checking the decomposition

Two balls: $m_1 = 3\;\text{kg}$ at $v_1 = 3\;\text{m/s}$, $m_2 = 7\;\text{kg}$ at $v_2 = 2\;\text{m/s}$ (1D motion). The CM velocity is $v_{\text{CM}} = (3\cdot 3 + 7\cdot 2)/10 = 2{,}3\;\text{m/s}$.

Method 1 (difference): $E_{\text{cin,tot}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 9 + \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 4 = 27{,}5\;\text{J}$ $E_{\text{cin,CM}} = \tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 2{,}3^2 = 26{,}45\;\text{J} \quad\Rightarrow\quad E_{\text{cin,int}} = 27{,}5 - 26{,}45 = 1{,}05\;\text{J}$

Method 2 (relative velocities): $v_1' = 3 - 2{,}3 = 0{,}7$, $v_2' = 2 - 2{,}3 = -0{,}3$ $E_{\text{cin,int}} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 0{,}49 + \tfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 0{,}09 = 0{,}735 + 0{,}315 = 1{,}05\;\text{J} \;\checkmark$

Hint

In the CMRF the total momentum is zero ($\sum_i m_i \vec{v}_i' = \vec{0}$), because the observer moves at exactly the CM’s velocity. At the point of maximum compression in a spring collision, both bodies have velocity $v_\text{CM}$: $E_\text{cin,int} = 0$ and all the internal energy is stored in the spring.

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Topics: Centre of mass Concepts: Kinetic energy · Internal energy Skills: Changing reference frame

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La dimostrazione del teorema di König è breve ed elegante, e mostra da dove viene la scomparsa del termine misto.

Scriviamo la velocità di ciascun corpo come somma della velocità del CM più quella relativa: $\vec{v}_i = \vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'$. L’energia cinetica totale diventa

$E_\text{cin,tot} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i|\vec{v}_\text{CM}+\vec{v}_i'|^2$

Espandendo il modulo al quadrato, $|\vec{v}_\text{CM}+\vec{v}_i'|^2 = v_\text{CM}^2 + 2\,\vec{v}_\text{CM}\cdot\vec{v}_i' + v_i'^2$, si ottengono tre termini:

$E_\text{cin,tot} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M_\text{tot}v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\vec{v}_\text{CM}\cdot\sum_i m_i\vec{v}_i'}_{\text{termine misto}} + \underbrace{\sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2}_{E_\text{cin,int}}$

Il termine misto è nullo, perché $\sum_i m_i\vec{v}_i' = \vec{0}$: la quantità di moto nel SRCM è sempre zero. Restano quindi solo il termine del CM e quello interno, ed è proprio la tesi del teorema.

Conseguenza negli urti

Questa scomposizione è fondamentale negli urti: l’$E_{\text{cin,CM}}$ non cambia mai, perché $\vec{v}_{\text{CM}}$ è costante (nessuna forza esterna netta). In un urto completamente anelastico, invece, l’$E_{\text{cin,int}}$ si azzera completamente, trasformandosi in energia termica. Ecco perché in un urto anelastico “si perde energia cinetica” ma la quantità di moto — e quindi il moto del CM — resta intatta: a sparire è solo la parte interna.

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Argomenti: Centro di massa Concetti: Energia cinetica · Urto anelastico Competenze: Impostazione simbolica

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The proof of König’s theorem is short and elegant, and shows where the vanishing of the cross term comes from.

Let’s write the velocity of each body as the sum of the CM velocity plus the relative one: $\vec{v}_i = \vec{v}_\text{CM} + \vec{v}_i'$. The total kinetic energy becomes

$E_\text{cin,tot} = \sum_i \tfrac{1}{2}m_i|\vec{v}_\text{CM}+\vec{v}_i'|^2$

Expanding the squared modulus, $|\vec{v}_\text{CM}+\vec{v}_i'|^2 = v_\text{CM}^2 + 2\,\vec{v}_\text{CM}\cdot\vec{v}_i' + v_i'^2$, we get three terms:

$E_\text{cin,tot} = \underbrace{\tfrac{1}{2}M_\text{tot}v_\text{CM}^2}_{E_\text{cin,CM}} + \underbrace{\vec{v}_\text{CM}\cdot\sum_i m_i\vec{v}_i'}_{\text{termine misto}} + \underbrace{\sum_i \tfrac{1}{2}m_i v_i'^2}_{E_\text{cin,int}}$

The cross term is zero, because $\sum_i m_i\vec{v}_i' = \vec{0}$: the momentum in the CMRF is always zero. What remains is just the CM term and the internal one, which is exactly the theorem’s claim.

Consequence in collisions

This decomposition is fundamental in collisions: $E_{\text{cin,CM}}$ never changes, because $\vec{v}_{\text{CM}}$ is constant (no net external force). In a perfectly inelastic collision, on the other hand, $E_{\text{cin,int}}$ drops entirely to zero, turning into thermal energy. This is why in an inelastic collision “kinetic energy is lost” but momentum — and hence the CM’s motion — stays intact: only the internal part disappears.

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Topics: Centre of mass Concepts: Kinetic energy · Inelastic collision Skills: Symbolic set-up

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La scomposizione di König è la base per comprendere cos’è la temperatura di un gas. In un gas ideale le molecole hanno un moto disordinato: il centro di massa del gas può essere fermo (gas in una scatola ferma) o in moto (gas in una scatola che viaggia), ma le singole molecole hanno velocità molto più alte, in direzioni casuali.

La distinzione è cruciale: il moto d’insieme del gas è $E_\text{cin,CM}$, l’agitazione microscopica è $E_\text{cin,int}$. È solo quest’ultima a “essere” la temperatura.

Principio — Energia interna di un gas ideale

L’energia cinetica interna di un gas ideale monatomico è legata alla temperatura: $E_{\text{cin,int}} = \tfrac{3}{2}\,N\,k_B\,T = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T$ dove $N$ è il numero di particelle, $n$ il numero di moli, $k_B$ la costante di Boltzmann, $R = N_A k_B$ la costante dei gas.

Intuizione

Il gas in un treno a $100$ km/h ha una grande $E_\text{cin,CM}$, ma la sua temperatura dipende solo da $E_\text{cin,int}$, che rimane la stessa! Scaldare un gas significa aumentare l’agitazione relativa al CM, non farlo viaggiare più veloce. È il moto interno disordinato, non quello collettivo ordinato, a manifestarsi come calore.

L’esercizio svolto Gas fittizio di due palline mostra, con un modello giocattolo di due sole particelle, come si passa da $E_\text{cin,int}$ a una “temperatura”.

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Argomenti: Centro di massa Concetti: Energia interna · Temperatura · Energia cinetica Competenze: Interpretazione micro-macro

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König’s decomposition is the basis for understanding what the temperature of a gas is. In an ideal gas the molecules move in a disordered way: the gas’s centre of mass may be at rest (gas in a stationary box) or moving (gas in a moving box), but the individual molecules have much higher speeds, in random directions.

The distinction is crucial: the gas’s overall motion is $E_\text{cin,CM}$, the microscopic agitation is $E_\text{cin,int}$. Only the latter “is” the temperature.

Principle — Internal energy of an ideal gas

The internal kinetic energy of a monatomic ideal gas is tied to temperature: $E_{\text{cin,int}} = \tfrac{3}{2}\,N\,k_B\,T = \tfrac{3}{2}\,n\,R\,T$ where $N$ is the number of particles, $n$ the number of moles, $k_B$ the Boltzmann constant, $R = N_A k_B$ the gas constant.

Hint

Gas in a train travelling at $100$ km/h has a large $E_\text{cin,CM}$, but its temperature depends only on $E_\text{cin,int}$, which stays the same! Heating a gas means increasing the agitation relative to the CM, not making it travel faster. It is the disordered internal motion, not the ordered collective one, that shows up as heat.

The worked exercise Toy gas of two balls shows, with a toy model of just two particles, how you go from $E_\text{cin,int}$ to a “temperature”.

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