Dinamica rotazionale

Quando un corpo non si limita a traslare ma ruota, entra in gioco una nuova grandezza: il momento d’inerzia. La dinamica rotazionale è l’analogo esatto della dinamica traslazionale, con il momento (torque) che sostituisce la forza e il momento d’inerzia che sostituisce la massa. Questo capitolo costruisce l’analogia passo per passo — accelerazione angolare, momento d’inerzia, seconda legge della rotazione — poi affronta pulegge massive, corpi che rotolano, conservazione del momento angolare e i celebri problemi del proiettile contro l’asta e della palla da biliardo. Prepara il terreno per la gravitazione: la stessa forza che fa cadere una mela tiene la Luna in orbita.

Sezioni

• Accelerazione angolare
• Momento d’inerzia
• Seconda legge di Newton per la rotazione
• Pulegge con massa
• Puleggia a doppio raggio
• Corpi che rotolano
• Analogia completa traslazione–rotazione
• Conservazione del momento angolare
• Proiettile contro asta: tre casi a confronto
• Urti in due dimensioni
• La palla da biliardo: dove colpire?

Riflessioni

• La simmetria traslazione–rotazione
• Il momento d’inerzia: una massa con la memoria della forma

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

When a body does not merely translate but rotates, a new quantity comes into play: the moment of inertia. Rotational dynamics is the exact analogue of translational dynamics, with torque replacing force and moment of inertia replacing mass. This chapter builds the analogy step by step — angular acceleration, moment of inertia, Newton’s second law for rotation — then tackles massive pulleys, rolling bodies, conservation of angular momentum and the famous problems of the projectile against a rod and the billiard ball. It lays the groundwork for gravitation: the same force that makes an apple fall keeps the Moon in orbit.

Sections

• Angular acceleration
• Moment of inertia
• Newton’s second law for rotation
• Pulleys with mass
• Double-radius pulley
• Rolling bodies
• The complete translation–rotation analogy
• Conservation of angular momentum
• Projectile against a rod: three cases compared
• Collisions in two dimensions
• The billiard ball: where to strike?

Reflections

• The translation–rotation symmetry
• Moment of inertia: a mass with a memory of shape

Exercises

• All worked exercises of the chapter

L’accelerazione angolare $\alpha$ misura quanto rapidamente cambia la velocità angolare di un corpo che ruota. È l’esatto analogo rotazionale dell’accelerazione lineare: dove nel moto rettilineo l’accelerazione dice quanto in fretta varia $v$, nel moto rotatorio $\alpha$ dice quanto in fretta varia $\omega$.

$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$

Si misura in radianti al secondo quadrato ($\mathrm{rad/s^2}$). Se $\alpha$ è costante, il moto rotatorio segue equazioni orarie identiche a quelle del moto uniformemente accelerato, con $\theta$ al posto di $s$, $\omega$ al posto di $v$ e $\alpha$ al posto di $a$.

Analogie traslazione / rotazione

$v \leftrightarrow \omega \qquad a \leftrightarrow \alpha \qquad m \leftrightarrow I \qquad F \leftrightarrow M \qquad p \leftrightarrow L$

Questa tabella di corrispondenze è la chiave di tutto il capitolo: ogni formula traslazionale ha un gemello rotazionale che si ottiene sostituendo ciascun simbolo con il suo corrispondente.

Le due accelerazioni di un punto del corpo

Un punto materiale che si trova a distanza $r$ dall’asse di rotazione non ha una sola accelerazione, ma due contributi distinti, perché la sua velocità è un vettore che può cambiare sia in modulo sia in direzione:

• accelerazione tangenziale $a_t = \alpha\,r$ — cambia il modulo di $\vec{v}$ (il punto va più veloce o più lento lungo la circonferenza);
• accelerazione centripeta $a_c = \omega^2 r$ — cambia la direzione di $\vec{v}$ (il punto curva, restando sulla circonferenza).

Formula chiave

$a_t = \alpha\,r \qquad\qquad a_c = \omega^2 r$

L’intuizione è che più il punto è lontano dall’asse, più è veloce e più accelera tangenzialmente a parità di $\alpha$: è lo stesso motivo per cui l’estremità di una pala di elicottero si muove molto più rapidamente del mozzo, pur avendo la stessa velocità angolare.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Accelerazione angolare · Velocità angolare Metodi: Analogia traslazione-rotazione

Esercizi collegati: Problema — Quale ω(t) per un disco frenato · Problema — Ruota a 40 giri al minuto · Problema — Puleggia a doppio raggio

Angular acceleration $\alpha$ measures how rapidly the angular velocity of a rotating body changes. It is the exact rotational analogue of linear acceleration: where in rectilinear motion the acceleration tells how quickly $v$ varies, in rotational motion $\alpha$ tells how quickly $\omega$ varies.

$\alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t}$

It is measured in radians per second squared ($\mathrm{rad/s^2}$). If $\alpha$ is constant, the rotational motion follows kinematic equations identical to those of uniformly accelerated motion, with $\theta$ in place of $s$, $\omega$ in place of $v$ and $\alpha$ in place of $a$.

Translation / rotation analogies

$v \leftrightarrow \omega \qquad a \leftrightarrow \alpha \qquad m \leftrightarrow I \qquad F \leftrightarrow M \qquad p \leftrightarrow L$

This correspondence table is the key to the whole chapter: every translational formula has a rotational twin obtained by replacing each symbol with its counterpart.

The two accelerations of a point on the body

A point mass located at distance $r$ from the axis of rotation does not have a single acceleration, but two distinct contributions, because its velocity is a vector that can change both in magnitude and in direction:

• tangential acceleration $a_t = \alpha\,r$ — changes the magnitude of $\vec{v}$ (the point goes faster or slower along the circumference);
• centripetal acceleration $a_c = \omega^2 r$ — changes the direction of $\vec{v}$ (the point curves, staying on the circumference).

Key formula

$a_t = \alpha\,r \qquad\qquad a_c = \omega^2 r$

The intuition is that the farther the point is from the axis, the faster it is and the more it accelerates tangentially for the same $\alpha$: it’s the same reason the tip of a helicopter blade moves much faster than the hub, despite having the same angular velocity.

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Topics: Dinamica rotazionale Concepts: Accelerazione angolare · Velocità angolare Methods: Analogia traslazione-rotazione

Related exercises: Problem — Which ω(t) for a braked disc · Problem — Wheel at 40 rpm · Problem — Double-radius pulley

Il momento d’inerzia $I$ misura quanto è difficile far ruotare un corpo attorno a un certo asse. È l’analogo rotazionale della massa: come la massa esprime la resistenza di un corpo a cambiare il proprio stato di moto traslazionale, così il momento d’inerzia esprime la resistenza a cambiare lo stato di rotazione.

La differenza cruciale è che $I$ non è una proprietà intrinseca del corpo, ma dipende da come la massa è distribuita rispetto all’asse scelto. Lo stesso oggetto, fatto ruotare attorno ad assi diversi, ha momenti d’inerzia diversi. La massa che si trova lontano dall’asse conta molto di più, perché per farla muovere alla stessa velocità angolare occorre imprimerle una velocità lineare maggiore.

Principio — Momento d'inerzia

Per un sistema di masse puntiformi: $\ev{I = \sum_i m_i\,r_i^2}$ dove $r_i$ è la distanza della massa $i$-esima dall’asse di rotazione.

Il fattore $r_i^2$ (distanza al quadrato) spiega perché la geometria pesa così tanto: raddoppiare la distanza di una massa dall’asse quadruplica il suo contributo a $I$. Concentrare la massa vicino all’asse rende il corpo “agile” in rotazione; spostarla verso il bordo lo rende “pigro”.

Momenti d'inerzia notevoli (asse per il centro)

Corpo	Momento d’inerzia
Cilindro pieno	$I = \tfrac{1}{2}mR^2$
Cilindro cavo (anello)	$I = mR^2$
Sfera piena	$I = \tfrac{2}{5}mR^2$
Sfera cava	$I = \tfrac{2}{3}mR^2$
Asta (asse al centro)	$I = \tfrac{1}{12}mL^2$

A parità di massa e raggio, l’anello ha il momento d’inerzia più grande (tutta la massa è al raggio massimo), la sfera piena il più piccolo (molta massa vicino al centro). È esattamente il motivo per cui, lasciati rotolare giù da uno stesso piano, la sfera piena vince la gara e l’anello arriva ultimo.

Il teorema degli assi paralleli (Huygens–Steiner)

Se si conosce il momento d’inerzia $I_\text{CM}$ rispetto a un asse passante per il centro di massa, quello rispetto a un asse parallelo a distanza $d$ vale:

$I_P = I_\text{CM} + M d^2$

Ad esempio, per un’asta uniforme il momento rispetto al centro è $\tfrac{1}{12}ML^2$; rispetto a un estremo (a distanza $d = L/2$) diventa

$I_\text{estremo} = \tfrac{1}{12}ML^2 + M\left(\tfrac{L}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$

un valore quattro volte più grande, perché ora tutta la massa ruota mediamente più lontano dall’asse.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento d’inerzia Oggetti: Corpo rigido

Esercizi collegati: Problema — Asta incernierata che cade dall’orizzontale · Problema — Ranking di quattro oggetti che rotolano · Problema — Ranking dei momenti d’inerzia di tre cilindri

The moment of inertia $I$ measures how difficult it is to make a body rotate about a given axis. It is the rotational analogue of mass: just as mass expresses a body’s resistance to changing its translational state of motion, the moment of inertia expresses its resistance to changing its state of rotation.

The crucial difference is that $I$ is not an intrinsic property of the body, but depends on how the mass is distributed relative to the chosen axis. The same object, rotated about different axes, has different moments of inertia. Mass located far from the axis counts much more, because to make it move at the same angular velocity it must be given a greater linear velocity.

Principle — Moment of inertia

For a system of point masses: $\ev{I = \sum_i m_i\,r_i^2}$ where $r_i$ is the distance of the $i$-th mass from the axis of rotation.

The factor $r_i^2$ (distance squared) explains why geometry matters so much: doubling the distance of a mass from the axis quadruples its contribution to $I$. Concentrating mass near the axis makes the body “agile” in rotation; moving it towards the edge makes it “sluggish”.

Notable moments of inertia (axis through the centre)

Body	Moment of inertia
Solid cylinder	$I = \tfrac{1}{2}mR^2$
Hollow cylinder (ring)	$I = mR^2$
Solid sphere	$I = \tfrac{2}{5}mR^2$
Hollow sphere	$I = \tfrac{2}{3}mR^2$
Rod (axis at centre)	$I = \tfrac{1}{12}mL^2$

For equal mass and radius, the ring has the largest moment of inertia (all the mass is at the maximum radius), the solid sphere the smallest (much mass close to the centre). This is exactly why, when let roll down the same slope, the solid sphere wins the race and the ring comes last.

The parallel axis theorem (Huygens–Steiner)

If the moment of inertia $I_\text{CM}$ about an axis through the centre of mass is known, the one about a parallel axis at distance $d$ is:

$I_P = I_\text{CM} + M d^2$

For example, for a uniform rod the moment about the centre is $\tfrac{1}{12}ML^2$; about one end (at distance $d = L/2$) it becomes

$I_\text{end} = \tfrac{1}{12}ML^2 + M\left(\tfrac{L}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{3}ML^2$

a value four times larger, because now all the mass rotates, on average, farther from the axis.

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Topics: Dinamica rotazionale Concepts: Momento d’inerzia Objects: Corpo rigido

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Così come nella dinamica traslazionale la forza netta causa un’accelerazione, nella dinamica rotazionale è il momento (o torque) a causare un’accelerazione angolare. L’equazione che lega le due grandezze è l’analogo perfetto di $\sum F = ma$.

Legge fondamentale della dinamica rotazionale

$\ev{\sum M = I\,\alpha}$ dove $\sum M$ è la somma dei momenti delle forze rispetto all’asse di rotazione e $\alpha$ è l’accelerazione angolare.

Leggendo l’equazione componente per componente: il momento gioca il ruolo della forza, il momento d’inerzia quello della massa, l’accelerazione angolare quello dell’accelerazione lineare. Un momento grande produce molta accelerazione angolare; un momento d’inerzia grande la smorza. Per mettere in rotazione un volano pesante serve un momento imponente, esattamente come per accelerare un camion serve una forza imponente.

Il momento di una forza rispetto a un asse si calcola come $M = F\,r\sin\theta$, dove $r$ è la distanza dal punto di applicazione all’asse e $\theta$ l’angolo tra la forza e il braccio: solo la componente della forza perpendicolare al braccio fa ruotare il corpo, mentre la componente radiale è inefficace (spinge verso l’asse o lontano da esso, senza produrre rotazione).

Problema inverso

L’equazione si legge anche al contrario: se conosci l’accelerazione angolare (per esempio da $\alpha = \Delta\omega/\Delta t$), puoi ricavare il momento netto applicato, $\sum M = I\,\alpha$. È il metodo con cui si misura sperimentalmente la coppia di un motore osservando quanto rapidamente porta in rotazione un volano di momento d’inerzia noto.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Momento d’inerzia · Accelerazione angolare Competenze: Impostazione simbolica

Esercizi collegati: Problema — Vero o falso su momento angolare e inerzia · Problema — Atwood con puleggia massiva · Problema — Puleggia a doppio raggio

Just as in translational dynamics the net force causes an acceleration, in rotational dynamics it is the moment (or torque) that causes an angular acceleration. The equation linking the two quantities is the perfect analogue of $\sum F = ma$.

Fundamental law of rotational dynamics

$\ev{\sum M = I\,\alpha}$ where $\sum M$ is the sum of the moments of the forces about the axis of rotation and $\alpha$ is the angular acceleration.

Reading the equation component by component: the moment plays the role of the force, the moment of inertia that of the mass, the angular acceleration that of the linear acceleration. A large moment produces a lot of angular acceleration; a large moment of inertia damps it. To set a heavy flywheel spinning you need a sizeable moment, exactly as accelerating a lorry needs a sizeable force.

The moment of a force about an axis is calculated as $M = F\,r\sin\theta$, where $r$ is the distance from the point of application to the axis and $\theta$ the angle between the force and the arm: only the component of the force perpendicular to the arm makes the body rotate, while the radial component is ineffective (it pushes towards the axis or away from it, without producing rotation).

The inverse problem

The equation can also be read the other way round: if you know the angular acceleration (for example from $\alpha = \Delta\omega/\Delta t$), you can work out the net moment applied, $\sum M = I\,\alpha$. This is the method used to measure a motor’s torque experimentally, by observing how quickly it spins up a flywheel of known moment of inertia.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Momento d’inerzia · Accelerazione angolare Competenze: Impostazione simbolica

Esercizi collegati: Problema — Vero o falso su momento angolare e inerzia · Problema — Atwood con puleggia massiva · Problema — Puleggia a doppio raggio

Nei problemi elementari la puleggia è ideale: priva di massa, si limita a deviare la fune. Ma una puleggia reale ha massa, e allora non trasmette più passivamente la tensione: per essere messa in rotazione ha bisogno di un momento netto, e quel momento nasce dalla differenza di tensione ai due lati della fune.

Principio — Puleggia massiva

Per una puleggia di momento d’inerzia $I_p$ e raggio $R$: $\ev{(t_1 - t_2)\,R = I_p\,\alpha}$ dove $t_1$ e $t_2$ sono le tensioni ai due lati e $\alpha = a/R$ (vincolo di rotolamento della fune sulla gola).

Il termine $(t_1 - t_2)R$ è proprio il momento risultante delle due tensioni rispetto all’asse della puleggia: agiscono con lo stesso braccio $R$ ma in versi opposti, quindi il loro effetto rotazionale è la differenza.

Perché con la puleggia ideale le tensioni sono uguali

Con una puleggia senza massa $I_p = 0$, e quindi $(t_1 - t_2)R = 0 \Rightarrow t_1 = t_2$: la tensione è la stessa su entrambi i lati. Solo quando la puleggia ha massa le due tensioni si differenziano, e la differenza è ciò che la fa ruotare. Di conseguenza una puleggia massiva “rallenta” il sistema: l’accelerazione $a$ è minore che con una puleggia ideale, perché parte dell’azione delle masse serve a mettere in rotazione la puleggia stessa.

Macchina di Atwood con puleggia massiva: le tensioni ai due lati della fune sono diverse. La differenza $t_1 - t_2$ genera il momento che fa ruotare la puleggia.

Per risolvere un sistema di questo tipo si scrivono tre equazioni: la seconda legge di Newton per ciascuna massa appesa e l’equazione rotazionale della puleggia, legate dal vincolo $a = \alpha R$. Lo svolgimento numerico completo è nell’esercizio dedicato.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Momento d’inerzia Oggetti: Puleggia · Macchina di Atwood

Esercizi collegati: Problema — Vero o falso su momento angolare e inerzia · Problema — Atwood con puleggia massiva · Problema — Carrucola a due masse

In elementary problems the pulley is ideal: massless, it merely redirects the rope. But a real pulley has mass, and then it no longer passively transmits the tension: to be set spinning it needs a net moment, and that moment arises from the difference in tension on the two sides of the rope.

Principle — Massive pulley

For a pulley of moment of inertia $I_p$ and radius $R$: $\ev{(t_1 - t_2)\,R = I_p\,\alpha}$ where $t_1$ and $t_2$ are the tensions on the two sides and $\alpha = a/R$ (rolling constraint of the rope on the groove).

The term $(t_1 - t_2)R$ is precisely the resultant moment of the two tensions about the pulley’s axis: they act with the same arm $R$ but in opposite directions, so their rotational effect is the difference.

Why the tensions are equal with an ideal pulley

With a massless pulley $I_p = 0$, and so $(t_1 - t_2)R = 0 \Rightarrow t_1 = t_2$: the tension is the same on both sides. Only when the pulley has mass do the two tensions differ, and that difference is what makes it rotate. As a result a massive pulley “slows down” the system: the acceleration $a$ is smaller than with an ideal pulley, because part of the masses’ action goes into spinning up the pulley itself.

Atwood machine with a massive pulley: the tensions on the two sides of the rope are different. The difference $t_1 - t_2$ generates the moment that spins the pulley.

To solve a system of this kind you write three equations: Newton’s second law for each hanging mass and the pulley’s rotational equation, linked by the constraint $a = \alpha R$. The full numerical solution is in the dedicated exercise.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Momento d’inerzia Oggetti: Puleggia · Macchina di Atwood

Esercizi collegati: Problema — Vero o falso su momento angolare e inerzia · Problema — Atwood con puleggia massiva · Problema — Carrucola a due masse

Un caso più ricco della puleggia massiva ordinaria è la puleggia con due raggi diversi $r_1$ e $r_2$, sul cui bordo interno ed esterno si avvolgono due funi separate, ciascuna con la propria massa appesa. È il principio del verricello e del paranco differenziale.

L’idea chiave è che la puleggia è un unico corpo rigido: ruota con una sola accelerazione angolare $\alpha$. Ma i due punti di avvolgimento si trovano a distanze diverse dall’asse, quindi le due masse hanno accelerazioni lineari diverse, legate ad $\alpha$ dal vincolo geometrico:

$a_i = \alpha\,r_i$

Attenzione — accelerazioni diverse, stessa $\alpha$

Con raggi diversi le accelerazioni lineari delle due masse sono diverse: $a_1 \neq a_2$. Ciò che è unico è l’accelerazione angolare della puleggia. Il legame tra i due mondi è sempre $a_i = \alpha\,r_i$: sbagliare questo vincolo è l’errore più comune in questi problemi.

Combinando la seconda legge di Newton per le due masse con l’equazione rotazionale della puleggia $t_2\,r_2 - t_1\,r_1 = I\,\alpha$ e sostituendo il vincolo, si isola l’accelerazione angolare:

$\ev{\alpha = \frac{m_2\,g\,r_2 - m_1\,g\,r_1}{I + m_1\,r_1^2 + m_2\,r_2^2}}$

Il segno del numeratore decide il verso della rotazione: prevale la massa che agisce con il momento più grande, cioè con il prodotto $m\,g\,r$ maggiore — non necessariamente la massa più pesante, ma quella appesa al raggio più conveniente. È il segreto del paranco: una massa piccola su un raggio grande può sollevare una massa grande su un raggio piccolo. Il denominatore ha la struttura di un momento d’inerzia efficace del sistema: quello della puleggia più il contributo $m_i r_i^2$ di ciascuna massa, come se fosse un punto materiale a distanza $r_i$ dall’asse.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Accelerazione angolare Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Puleggia

Esercizi collegati: Problema — Puleggia a doppio raggio · Problema — Dato α, trova il momento · Problema — Tre regimi di ω(t)

A richer case than the ordinary massive pulley is the pulley with two different radii $r_1$ and $r_2$, on whose inner and outer rim two separate ropes wind, each with its own hanging mass. This is the principle behind the windlass and the differential pulley block.

The key idea is that the pulley is a single rigid body: it rotates with one single angular acceleration $\alpha$. But the two winding points sit at different distances from the axis, so the two masses have different linear accelerations, related to $\alpha$ by the geometric constraint:

$a_i = \alpha\,r_i$

Warning — different accelerations, same $\alpha$

With different radii the linear accelerations of the two masses are different: $a_1 \neq a_2$. What is unique is the pulley’s angular acceleration. The link between the two worlds is always $a_i = \alpha\,r_i$: getting this constraint wrong is the most common mistake in these problems.

Combining Newton’s second law for the two masses with the pulley’s rotational equation $t_2\,r_2 - t_1\,r_1 = I\,\alpha$ and substituting the constraint, the angular acceleration can be isolated:

$\ev{\alpha = \frac{m_2\,g\,r_2 - m_1\,g\,r_1}{I + m_1\,r_1^2 + m_2\,r_2^2}}$

The sign of the numerator decides the direction of rotation: the mass that acts with the greater moment wins, i.e. the greater product $m\,g\,r$ — not necessarily the heavier mass, but the one hanging at the more favourable radius. This is the secret of the pulley block: a small mass on a large radius can lift a large mass on a small radius. The denominator has the structure of an effective moment of inertia for the system: that of the pulley plus the contribution $m_i r_i^2$ of each mass, as if it were a point mass at distance $r_i$ from the axis.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Accelerazione angolare Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Puleggia

Esercizi collegati: Problema — Puleggia a doppio raggio · Problema — Dato α, trova il momento · Problema — Tre regimi di ω(t)

Quando un corpo rotola senza strisciare, il suo moto è simultaneamente traslazione (il centro di massa avanza) e rotazione (il corpo gira su sé stesso). Le due cose non sono indipendenti: sono legate dal vincolo di rotolamento, che nasce dal fatto che il punto di contatto con il piano non slitta.

Vincolo di rotolamento

$v = \omega\,r$ La velocità del centro di massa è legata alla velocità angolare dal raggio. Derivando: $a = \alpha\,r$.

La conseguenza energetica è profonda. L’energia cinetica di un corpo che rotola si divide in due contributi: quello traslazionale del centro di massa e quello rotazionale attorno al centro di massa (è il teorema di König applicato al rotolamento).

$E_\text{cin} = \underbrace{\tfrac{1}{2}m v^2}_{\text{traslazione}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\,\omega^2}_{\text{rotazione}}$

Poiché parte dell’energia disponibile finisce nella rotazione, un corpo che rotola giù da un piano arriva in fondo più lento di un blocco che scivola senza attrito dalla stessa altezza: il blocco mette tutta l’energia potenziale nella traslazione, il corpo che rotola deve dividerla.

Usando il vincolo $\omega = v/r$ e la conservazione dell’energia $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I_\text{CM}\,\omega^2$, si ricava la velocità in fondo. Quanto più il momento d’inerzia è grande (massa lontano dall’asse), tanto più lento è il corpo.

Velocità in fondo al piano (partendo da fermo, quota $h$)

Corpo	Velocità alla base
Blocco (scivola, no rotazione)	$v = \sqrt{2gh}$
Cilindro pieno (rotola)	$v = \sqrt{\tfrac{4}{3}gh}$
Sfera piena (rotola)	$v = \sqrt{\tfrac{10}{7}gh}$

Più la massa è lontana dall’asse, più il corpo è lento: in una gara di discesa vince la sfera piena, perde l’anello.

L’accelerazione lungo il piano si può scrivere in forma compatta come

$a = \frac{g\sin\theta}{1 + I_\text{CM}/(mr^2)}$

che mostra a colpo d’occhio la gerarchia: il fattore $I_\text{CM}/(mr^2)$ vale $\tfrac{2}{5}$ per la sfera piena, $\tfrac{1}{2}$ per il cilindro pieno, $1$ per l’anello — e non dipende dal raggio, così che due sfere di taglie diverse arrivano insieme. Lo svolgimento numerico dettagliato è nell’esercizio svolto sulla sfera.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Energia cinetica rotazionale · Conservazione dell’energia meccanica Oggetti: Sfera che rotola · Piano inclinato

Esercizi collegati: Esercizio svolto — sfera che rotola giù da un piano · Problema — Sfera che rotola, velocità alla base · Problema — Asta incernierata che cade dall’orizzontale

When a body rolls without slipping, its motion is simultaneously translation (the centre of mass moves forward) and rotation (the body spins on itself). The two are not independent: they are linked by the rolling constraint, which arises from the fact that the point of contact with the surface does not slide.

Rolling constraint

$v = \omega\,r$ The velocity of the centre of mass is related to the angular velocity by the radius. Differentiating: $a = \alpha\,r$.

The energy consequence is profound. The kinetic energy of a rolling body splits into two contributions: the translational one of the centre of mass and the rotational one about the centre of mass (this is König’s theorem applied to rolling).

$E_\text{cin} = \underbrace{\tfrac{1}{2}m v^2}_{\text{translation}} + \underbrace{\tfrac{1}{2}I_\text{CM}\,\omega^2}_{\text{rotation}}$

Since part of the available energy ends up in rotation, a body that rolls down a slope arrives at the bottom slower than a block that slides without friction from the same height: the block puts all its potential energy into translation, whereas the rolling body has to split it.

Using the constraint $\omega = v/r$ and conservation of energy $mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}I_\text{CM}\,\omega^2$, the velocity at the bottom can be found. The larger the moment of inertia (mass further from the axis), the slower the body.

Velocity at the bottom of the slope (starting from rest, height $h$)

Body	Velocity at the base
Block (slides, no rotation)	$v = \sqrt{2gh}$
Solid cylinder (rolls)	$v = \sqrt{\tfrac{4}{3}gh}$
Solid sphere (rolls)	$v = \sqrt{\tfrac{10}{7}gh}$

The further the mass is from the axis, the slower the body: in a downhill race the solid sphere wins, the ring loses.

The acceleration along the slope can be written compactly as

$a = \frac{g\sin\theta}{1 + I_\text{CM}/(mr^2)}$

which shows the hierarchy at a glance: the factor $I_\text{CM}/(mr^2)$ equals $\tfrac{2}{5}$ for the solid sphere, $\tfrac{1}{2}$ for the solid cylinder, $1$ for the ring — and it does not depend on the radius, so that two spheres of different sizes arrive together. The detailed numerical solution is in the worked exercise on the sphere.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Energia cinetica rotazionale · Conservazione dell’energia meccanica Oggetti: Sfera che rotola · Piano inclinato

Esercizi collegati: Esercizio svolto — sfera che rotola giù da un piano · Problema — Sfera che rotola, velocità alla base · Problema — Asta incernierata che cade dall’orizzontale

Una delle cose più belle della meccanica è che le leggi della rotazione hanno esattamente la stessa struttura di quelle della traslazione. Non è una somiglianza approssimativa: è un dizionario di traduzione perfetto, dove ogni grandezza traslazionale ha un corrispondente rotazionale che ne eredita tutte le proprietà.

Il dizionario traslazione ↔ rotazione

Traslazione	Rotazione	Relazione
Posizione $s$	Angolo $\theta$	$s = r\theta$
Velocità $v$	Velocità angolare $\omega$	$v = r\omega$
Accelerazione $a$	Accelerazione angolare $\alpha$	$a_t = r\alpha$
Massa $m$	Momento d’inerzia $I$	$I = \sum m_i r_i^2$
Forza $\vec{F}$	Momento $M$	$M = Fr\sin\theta$
$\sum F = ma$	$\sum M = I\alpha$
$\vec{p} = m\vec{v}$	$L = I\omega$
$E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}mv^2$	$E_\text{cin,rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$
Impulso $\vec{I}$	Impulso angolare $I_\text{ang}$

Le equazioni del moto rotatorio uniformemente accelerato

Poiché $\theta$, $\omega$, $\alpha$ stanno a $s$, $v$, $a$ come i loro gemelli, le equazioni orarie del moto rotatorio con $\alpha$ costante sono le stesse del moto rettilineo uniformemente accelerato, parola per parola:

$\theta_B - \theta_A = \omega_A(t_B-t_A) + \tfrac{1}{2}\alpha(t_B-t_A)^2$

$\omega_B - \omega_A = \alpha(t_B - t_A)$

$\omega_B^2 - \omega_A^2 = 2\alpha(\theta_B - \theta_A)$

Non c’è nulla di nuovo da imparare: basta cambiare i simboli. Chi ha capito la cinematica rettilinea ha già capito, gratis, la cinematica rotazionale.

Un'analogia che non finisce mai

L’analogia è così profonda che ogni teorema della meccanica traslazionale ha un corrispondente rotazionale: la conservazione della quantità di moto $\vec{p}$ diventa la conservazione del momento angolare $L$, il teorema dell’impulso diventa il teorema dell’impulso angolare, e persino la macchina di Atwood ha un analogo rotazionale con le pulegge massive. Ogni volta che incontri una formula per un corpo rotante, prova a riconoscere quale formula traslazionale sta “rifacendosi il trucco” in coordinate angolari.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento angolare · Energia cinetica rotazionale Metodi: Analogia traslazione-rotazione

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One of the most beautiful things in mechanics is that the laws of rotation have exactly the same structure as those of translation. It is not an approximate resemblance: it is a perfect translation dictionary, where every translational quantity has a rotational counterpart that inherits all its properties.

The translation ↔ rotation dictionary

Translation	Rotation	Relation
Position $s$	Angle $\theta$	$s = r\theta$
Velocity $v$	Angular velocity $\omega$	$v = r\omega$
Acceleration $a$	Angular acceleration $\alpha$	$a_t = r\alpha$
Mass $m$	Moment of inertia $I$	$I = \sum m_i r_i^2$
Force $\vec{F}$	Moment $M$	$M = Fr\sin\theta$
$\sum F = ma$	$\sum M = I\alpha$
$\vec{p} = m\vec{v}$	$L = I\omega$
$E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}mv^2$	$E_\text{cin,rot} = \tfrac{1}{2}I\omega^2$
Impulse $\vec{I}$	Angular impulse $I_\text{ang}$

The equations of uniformly accelerated rotational motion

Since $\theta$, $\omega$, $\alpha$ stand to $s$, $v$, $a$ as their twins, the equations of motion for uniformly accelerated rotation with $\alpha$ constant are the same as for uniformly accelerated straight-line motion, word for word:

$\theta_B - \theta_A = \omega_A(t_B-t_A) + \tfrac{1}{2}\alpha(t_B-t_A)^2$

$\omega_B - \omega_A = \alpha(t_B - t_A)$

$\omega_B^2 - \omega_A^2 = 2\alpha(\theta_B - \theta_A)$

There is nothing new to learn: you just swap the symbols. Whoever has understood straight-line kinematics has already understood, for free, rotational kinematics.

An analogy that never ends

The analogy is so deep that every theorem of translational mechanics has a rotational counterpart: conservation of momentum $\vec{p}$ becomes conservation of angular momentum $L$, the impulse theorem becomes the angular impulse theorem, and even the Atwood machine has a rotational analogue with massive pulleys. Every time you meet a formula for a rotating body, try to recognise which translational formula is “redoing its make-up” in angular coordinates.

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Un problema affascinante che unisce impulso, impulso angolare e rotolamento: a che altezza bisogna colpire una palla da biliardo con la stecca affinché rotoli senza strisciare fin dall’inizio, senza slittare sul panno?

L’intuizione è che la stecca fa due cose contemporaneamente. Dà alla palla un impulso traslazionale (che accelera il centro di massa) e, poiché colpisce a una certa altezza $b$ dal tavolo, dà anche un impulso angolare rispetto al punto di contatto (che la mette in rotazione). Se colpisci troppo in basso, la palla trasla ma non ruota abbastanza e slitta in avanti; se colpisci troppo in alto, ruota troppo e slitta all’indietro. Esiste un’altezza magica in cui i due effetti si accordano perfettamente e il rotolamento puro è immediato.

Imponendo l’impulso traslazionale $m v_\text{CM} = I_x$ e l’impulso angolare rispetto al punto di contatto, con la condizione di rotolamento $v_\text{CM} = \omega r$, si trova

$\ev{b = \tfrac{7}{5}\,r}$

Bisogna colpire a $7/5$ del raggio dal tavolo, cioè leggermente sopra il centro della palla (che si trova a quota $r$). È il segreto che ogni buon giocatore di biliardo conosce per istinto: colpire appena sopra il centro fa partire la palla in rotolamento fluido, senza quello slittamento iniziale che ne rende imprevedibile la traiettoria. Lo svolgimento completo è nell’esercizio svolto dedicato.

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Rotolamento · Momento angolare · Impulso Oggetti: Sfera che rotola

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A fascinating problem that combines impulse, angular impulse and rolling: at what height must a billiard ball be struck with the cue so that it rolls without slipping from the very start, without skidding on the cloth?

The intuition is that the cue does two things at once. It gives the ball a translational impulse (which accelerates the centre of mass) and, since it strikes at a certain height $b$ above the table, it also gives an angular impulse about the point of contact (which sets it spinning). If you strike too low, the ball translates but doesn’t spin enough and skids forward; if you strike too high, it spins too much and skids backward. There is a magic height at which the two effects match perfectly and pure rolling begins immediately.

Imposing the translational impulse $m v_\text{CM} = I_x$ and the angular impulse about the point of contact, with the rolling condition $v_\text{CM} = \omega r$, gives

$\ev{b = \tfrac{7}{5}\,r}$

You must strike at $7/5$ of the radius above the table, i.e. slightly above the centre of the ball (which sits at height $r$). It’s the secret every good billiard player knows by instinct: striking just above the centre sets the ball off in smooth rolling, without the initial skid that would make its trajectory unpredictable. The full working is in the dedicated worked exercise.

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Topics: Dinamica rotazionale Concepts: Rotolamento · Momento angolare · Impulso Objects: Sfera che rotola

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Se la dinamica rotazionale ti è sembrata familiare, non è un caso: ogni concetto traslazionale ha il suo doppio rotazionale. Massa $m \leftrightarrow$ momento d’inerzia $I$; velocità $v \leftrightarrow$ velocità angolare $\omega$; forza $F \leftrightarrow$ momento $M$; quantità di moto $p \leftrightarrow$ momento angolare $L$; energia $\tfrac{1}{2}mv^2 \leftrightarrow \tfrac{1}{2}I\omega^2$.

Questa simmetria non è decorativa. Riflette un fatto profondo sullo spazio in cui viviamo: nello spazio tridimensionale, traslazioni e rotazioni sono le uniche due “mosse” che conservano le distanze tra i punti di un corpo rigido. Ogni moto rigido è una combinazione di queste due, e per questo la meccanica ha esattamente due grandi capitoli paralleli — uno per lo scorrere, uno per il girare — che si specchiano l’uno nell’altro.

La conseguenza pratica è liberatoria: non devi imparare due fisiche, ma una sola, scritta in due alfabeti. Ogni volta che vedi una formula per un corpo rotante, prova a riconoscere quale formula traslazionale sta “rifacendosi il trucco” in coordinate angolari — e viceversa (Feynman 1963; Battimelli–Stilli 1999).

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Argomenti: Dinamica rotazionale Metodi: Analogia traslazione-rotazione

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If rotational dynamics has felt familiar to you, that’s no accident: every translational concept has its rotational double. Mass $m \leftrightarrow$ moment of inertia $I$; velocity $v \leftrightarrow$ angular velocity $\omega$; force $F \leftrightarrow$ torque $M$; momentum $p \leftrightarrow$ angular momentum $L$; energy $\tfrac{1}{2}mv^2 \leftrightarrow \tfrac{1}{2}I\omega^2$.

This symmetry is not decorative. It reflects a deep fact about the space we live in: in three-dimensional space, translations and rotations are the only two “moves” that preserve the distances between the points of a rigid body. Every rigid motion is a combination of these two, which is why mechanics has exactly two great parallel chapters — one for sliding, one for turning — that mirror each other.

The practical consequence is liberating: you don’t need to learn two physics, only one, written in two alphabets. Whenever you see a formula for a rotating body, try to recognise which translational formula is “redoing its make-up” in angular coordinates — and vice versa (Feynman 1963; Battimelli–Stilli 1999).

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Quando uno studente impara per la prima volta che “la massa, per la rotazione, non basta: serve il momento d’inerzia $I$”, spesso resta perplesso. La massa non era forse una proprietà intrinseca dell’oggetto? Perché adesso lo stesso corpo risulta più inerte o meno inerte a seconda dell’asse attorno al quale lo facciamo girare?

La risposta, una volta capita, è illuminante. La rotazione non sposta l’oggetto come un tutto: sposta i suoi singoli pezzi a velocità diverse, perché ciascun pezzo ha un raggio di rotazione diverso. La massa lontana dall’asse contribuisce molto di più, perché per farla muovere alla stessa velocità angolare servono più energia cinetica e più quantità di moto. La formula

$I = \sum_i m_i r_i^2$

è quindi una massa pesata dalla geometria: la stessa quantità di materia, distribuita in modi diversi, oppone una resistenza diversa al cambio di rotazione.

È per questo che il pattinatore accelera raccogliendo le braccia: non guadagna massa, cambia semplicemente la geometria — e quindi $I$ — mentre il momento angolare $L = I\omega$ resta costante. La rotazione ci insegna che il modo in cui la materia è disposta nello spazio non è mai un dettaglio decorativo: è dinamica pura (Feynman 1963; Battimelli–Stilli 1999).

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Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento d’inerzia

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When a student first learns that “mass, for rotation, is not enough: you need the moment of inertia $I$”, they’re often puzzled. Wasn’t mass supposed to be an intrinsic property of the object? Why does the same body turn out to be more or less inert depending on the axis about which we spin it?

The answer, once understood, is illuminating. Rotation doesn’t move the object as a whole: it moves its individual pieces at different speeds, because each piece has a different radius of rotation. Mass far from the axis contributes far more, because moving it at the same angular velocity requires more kinetic energy and more momentum. The formula

$I = \sum_i m_i r_i^2$

is therefore a mass weighted by geometry: the same amount of matter, distributed in different ways, offers different resistance to a change in rotation.

This is why a skater speeds up by pulling in her arms: she doesn’t gain mass, she simply changes the geometry — and hence $I$ — while the angular momentum $L = I\omega$ stays constant. Rotation teaches us that how matter is arranged in space is never a decorative detail: it is pure dynamics (Feynman 1963; Battimelli–Stilli 1999).

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Topics: Dinamica rotazionale Concepts: Momento d’inerzia

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