Forza di Coulomb ed elettrostatica

L’elettrostatica studia le forze tra corpi carichi fermi. La forza elettrostatica è enormemente più intensa della gravità e governa la struttura della materia: è la forza che tiene insieme atomi e molecole. Questo capitolo introduce la carica elettrica, la legge di Coulomb con il suo principio di sovrapposizione, la condizione di equilibrio elettrostatico e l’energia potenziale elettrostatica, che estende il metodo energetico alle particelle cariche.

Sezioni

• La carica elettrica
• Legge di Coulomb
• Equilibrio elettrostatico
• Energia potenziale elettrostatica

Riflessioni

• Coulomb e Newton: due gemelli con un’asimmetria

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Electrostatics studies the forces between stationary charged bodies. The electrostatic force is enormously more intense than gravity and governs the structure of matter: it is the force that holds atoms and molecules together. This chapter introduces electric charge, Coulomb’s law with its superposition principle, the condition for electrostatic equilibrium, and electrostatic potential energy, which extends the energy method to charged particles.

Sections

• Electric charge
• Coulomb’s law
• Electrostatic equilibrium
• Electrostatic potential energy

Reflections

• Coulomb and Newton: two twins with an asymmetry

Exercises

• All worked exercises for the chapter

La carica elettrica è una proprietà intrinseca della materia, così come lo è la massa. È lei la sorgente e insieme il “bersaglio” di tutte le interazioni elettriche: due corpi si attraggono o si respingono elettricamente solo se sono carichi. A differenza della massa, però, la carica presenta una novità decisiva: può essere di due tipi, convenzionalmente detti positivo e negativo.

Questa dualità di segni è ciò che rende l’elettricità così diversa dalla gravità. Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono; e poiché esistono entrambi i segni, la materia ordinaria tende a essere neutra, con tante cariche positive quante negative, così che i suoi effetti elettrici si cancellano a distanza. È questa neutralità di fondo a nascondere, nella vita quotidiana, una forza in realtà enormemente più intensa della gravità.

Unità di misura

La carica si misura in coulomb (C). Nel Sistema Internazionale è una grandezza derivata dalla corrente elettrica.

A livello microscopico la carica è quantizzata: ogni carica osservata in natura è un multiplo intero della carica elementare $e$, quella dell’elettrone (negativa) e del protone (positiva, di valore opposto).

Carica elementare

$\ev{e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\;\text{C}}$

Il coulomb è dunque un’unità “grande”: un solo coulomb corrisponde a circa $6\cdot 10^{18}$ cariche elementari. È per questo che, nei problemi reali, le cariche in gioco si misurano spesso in microcoulomb ($\mu\text{C} = 10^{-6}\;\text{C}$) o nanocoulomb ($\text{nC} = 10^{-9}\;\text{C}$).

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Carica elettrica

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Electric charge is an intrinsic property of matter, just as mass is. It is both the source and the “target” of all electric interactions: two bodies attract or repel each other electrically only if they are charged. Unlike mass, though, charge presents a decisive novelty: it can come in two types, conventionally called positive and negative.

This duality of signs is what makes electricity so different from gravity. Charges of the same sign repel each other, charges of opposite sign attract; and since both signs exist, ordinary matter tends to be neutral, with as many positive charges as negative ones, so that its electric effects cancel out at a distance. It is this underlying neutrality that hides, in everyday life, a force that is actually enormously stronger than gravity.

Unit of measurement

Charge is measured in coulombs (C). In the International System it is a quantity derived from electric current.

At the microscopic level, charge is quantised: every charge observed in nature is an integer multiple of the elementary charge $e$, that of the electron (negative) and the proton (positive, of opposite value).

Elementary charge

$\ev{e = 1{.}6\cdot 10^{-19}\;\text{C}}$

The coulomb is thus a “large” unit: a single coulomb corresponds to about $6\cdot 10^{18}$ elementary charges. This is why, in real problems, the charges involved are often measured in microcoulombs ($\mu\text{C} = 10^{-6}\;\text{C}$) or nanocoulombs ($\text{nC} = 10^{-9}\;\text{C}$).

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Topics: Electrostatics Concepts: Electric charge

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Un problema classico dell’elettrostatica è trovare la posizione in cui una carica resta in equilibrio, cioè dove la forza netta esercitata su di essa da tutte le altre cariche si annulla. È l’analogo elettrico della ricerca dei punti di equilibrio in meccanica, e si risolve imponendo che i moduli delle forze opposte siano uguali.

Il caso più semplice è quello di una carica libera $q_C$ posta su una retta insieme a due cariche fisse. Perché $q_C$ sia in equilibrio, le due forze coulombiane che agiscono su di essa devono avere lo stesso modulo e verso opposto. Uguagliando i moduli si ottiene un’equazione nella posizione incognita $x$:

$k\,\frac{q_A\,q_C}{x^2} = k\,\frac{\abs{q_B}\,q_C}{(d-x)^2}$

La carica di prova $q_C$ si semplifica: la posizione di equilibrio non dipende dal valore né dal segno della carica che vi collochiamo, ma solo dalle due cariche fisse. Questo è un punto concettuale importante.

Attenzione ai segni e alle soluzioni fisiche

L’equazione dei moduli, elevata al quadrato, produce spesso due soluzioni algebriche. Bisogna sempre discutere quale sia fisicamente accettabile:

• se le due cariche fisse hanno lo stesso segno, il punto di equilibrio si trova tra di esse;
• se hanno segno opposto, il punto di equilibrio è esterno al segmento, dalla parte della carica di modulo minore (dove il suo contributo, più vicino, può pareggiare quello della carica maggiore, più lontana).

Nella soluzione dettagliata (si veda l’esercizio “Equilibrio su una retta” e la sfida “Equilibrio di tre cariche allineate”) si vede come impostare la condizione, risolvere l’equazione e scartare la radice non fisica ragionando sulla geometria del problema.

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Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb Competenze: Principio di sovrapposizione · Impostazione simbolica

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A classic electrostatics problem is finding the position where a charge stays in equilibrium, i.e. where the net force exerted on it by all other charges cancels out. It is the electric analogue of finding equilibrium points in mechanics, and it is solved by requiring that the magnitudes of the opposing forces be equal.

The simplest case is that of a free charge $q_C$ placed on a line together with two fixed charges. For $q_C$ to be in equilibrium, the two Coulomb forces acting on it must have the same magnitude and opposite direction. Equating the magnitudes gives an equation in the unknown position $x$:

$k\,\frac{q_A\,q_C}{x^2} = k\,\frac{\abs{q_B}\,q_C}{(d-x)^2}$

The test charge $q_C$ cancels out: the equilibrium position does not depend on the value or sign of the charge placed there, only on the two fixed charges. This is an important conceptual point.

Watch the signs and the physical solutions

The equation of magnitudes, once squared, often yields two algebraic solutions. You must always discuss which one is physically acceptable:

• if the two fixed charges have the same sign, the equilibrium point lies between them;
• if they have opposite signs, the equilibrium point is outside the segment, on the side of the smaller-magnitude charge (where its contribution, being closer, can match that of the larger, more distant charge).

In the detailed solution (see the exercise “Equilibrium on a line” and the challenge “Equilibrium of three aligned charges”) you can see how to set up the condition, solve the equation, and discard the unphysical root by reasoning about the geometry of the problem.

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Topics: Electrostatics Concepts: Coulomb’s law Skills: Superposition principle · Symbolic set-up

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Riflessione — Coulomb e Newton, gemelli?

A prima vista la legge di Coulomb e la legge di gravitazione universale sono indistinguibili: entrambe sono “forze centrali” che decrescono come $1/r^2$, entrambe proporzionali al prodotto di due “cariche” (la massa per la gravità, la carica elettrica per Coulomb), entrambe ammettono un potenziale che si annulla all’infinito e definiscono un campo vettoriale conservativo. La somiglianza è impressionante — eppure a uno sguardo più attento emergono differenze profonde.

La prima differenza è nei numeri. Il rapporto tra forza coulombiana e forza gravitazionale tra due elettroni vale circa $4{,}2\times 10^{42}$: quarantadue ordini di grandezza. La costante $k \approx 9\cdot 10^9$ è enormemente più grande di $G$. Eppure la materia che ci circonda, su grande scala, è tenuta insieme dalla gravità, mentre l’elettricità sembra giocare un ruolo secondario nei moti planetari. Perché mai, se è così debole?

La risposta sta nei segni. La massa è di un unico segno e la gravità attrae sempre: non si può schermare, non si cancella, e per questo domina la dinamica su scala astronomica nonostante sia debolissima a livello microscopico. La carica elettrica, invece, esiste in due varietà, positiva e negativa, e tende spontaneamente a neutralizzarsi: la materia ordinaria è elettricamente quasi neutra a tutte le scale sopra il nanometro, e i suoi effetti coulombiani si schermano a vicenda. Una stella di massa solare, vista da lontano, è elettricamente neutra ma gravitazionalmente massiccia.

Vincere su scale diverse

La gravità vince sulle grandi scale (galassie, stelle) perché non può essere schermata. Le forze elettriche vincono sulle piccole scale (atomi, molecole) perché sono circa $10^{40}$ volte più intense — ma la neutralità complessiva della materia le rende invisibili da lontano.

Questa asimmetria carica/massa è una delle scelte fondamentali con cui la natura ha disegnato l’universo. Con tre cariche elettriche diverse (anziché due) la chimica non funzionerebbe; con una massa di entrambi i segni, le galassie si dissolverebbero. La fisica moderna riconosce in questo equilibrio uno dei prerequisiti per l’esistenza stessa di strutture stabili come gli atomi, le molecole e i corpi macroscopici.

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Argomenti: Elettrostatica Concetti: Legge di Coulomb · Legge di gravitazione universale Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica

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Reflection — Coulomb and Newton, twins?

At first glance, Coulomb’s law and the law of universal gravitation are indistinguishable: both are “central forces” that decrease as $1/r^2$, both proportional to the product of two “charges” (mass for gravity, electric charge for Coulomb), both admit a potential that vanishes at infinity and define a conservative vector field. The resemblance is striking — yet, on closer inspection, deep differences emerge.

The first difference is in the numbers. The ratio between the Coulomb force and the gravitational force between two electrons is about $4{.}2\times 10^{42}$: forty-two orders of magnitude. The constant $k \approx 9\cdot 10^9$ is enormously larger than $G$. And yet the matter around us, on a large scale, is held together by gravity, while electricity seems to play a secondary role in planetary motion. Why, if it is so weak?

The answer lies in the signs. Mass is of a single sign and gravity always attracts: it cannot be screened, it does not cancel out, and this is why it dominates dynamics on the astronomical scale despite being extremely weak at the microscopic level. Electric charge, on the other hand, exists in two varieties, positive and negative, and spontaneously tends to neutralise itself: ordinary matter is electrically almost neutral at all scales above the nanometre, and its Coulomb effects screen one another. A star of solar mass, seen from afar, is electrically neutral but gravitationally massive.

Winning at different scales

Gravity wins on large scales (galaxies, stars) because it cannot be screened. Electric forces win on small scales (atoms, molecules) because they are about $10^{40}$ times stronger — but the overall neutrality of matter makes them invisible from afar.

This charge/mass asymmetry is one of the fundamental choices with which nature designed the universe. With three different electric charges (instead of two), chemistry would not work; with mass of both signs, galaxies would dissolve. Modern physics recognises in this balance one of the prerequisites for the very existence of stable structures such as atoms, molecules and macroscopic bodies.

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Topics: Electrostatics Concepts: Coulomb’s law · Law of universal gravitation Skills: Analysis of limiting cases and “sci-fi physics”

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