Quantizzazione delle osservabili fisiche

Se l’elettrone è un’onda, non può occupare orbite “qualsiasi” attorno al nucleo: può stare solo dove la sua onda si “ritrova”, cioè non interferisce distruttivamente con se stessa. Da questa idea nasce in modo naturale la quantizzazione delle grandezze fisiche dell’atomo — raggi, energie, momento angolare — che non variano più con continuità ma solo per “gradini” discreti.

Questa sezione ricostruisce il modello di Bohr dell’atomo di idrogeno: dal problema dell’instabilità classica, alla giustificazione ondulatoria di de Broglie, alle quattro equazioni che danno raggi ed energie, fino alle prove sperimentali dirette (Franck-Hertz, effetto fotoelettrico) e alle conseguenze sulla struttura elettronica e sugli spettri.

• Il modello dell’atomo di idrogeno
• L’elettrone come onda stazionaria
• Le quattro equazioni del modello di Bohr
• Livelli energetici dell’atomo di idrogeno
• L’esperimento di Franck-Hertz
• Lo spin elettronico e il principio di Pauli
• Spettri di assorbimento
• L’esperimento storico dell’effetto fotoelettrico
• Effetto fotoelettrico e bande di energia

Prova tu — simulatore quantistico

In una buca di potenziale l’energia non è continua: solo certe funzioni d’onda stazionarie sono permesse, e le loro energie formano livelli discreti.

If the electron is a wave, it cannot occupy “just any” orbit around the nucleus: it can only stay where its wave “finds itself again”, that is, where it does not interfere destructively with itself. From this idea the quantisation of the atom’s physical quantities — radii, energies, angular momentum — arises naturally, no longer varying continuously but only in discrete “steps”.

This section reconstructs Bohr’s model of the hydrogen atom: from the problem of classical instability, to de Broglie’s wave-based justification, to the four equations that give radii and energies, up to the direct experimental proofs (Franck-Hertz, photoelectric effect) and the consequences for electronic structure and spectra.

• Il modello dell’atomo di idrogeno
• L’elettrone come onda stazionaria
• Le quattro equazioni del modello di Bohr
• Livelli energetici dell’atomo di idrogeno
• L’esperimento di Franck-Hertz
• Lo spin elettronico e il principio di Pauli
• Spettri di assorbimento
• L’esperimento storico dell’effetto fotoelettrico
• Effetto fotoelettrico e bande di energia

Try it — quantum simulator

In a potential well the energy is not continuous: only certain stationary wavefunctions are allowed, and their energies form discrete levels.

All’inizio del Novecento la struttura dell’atomo era ancora un rompicapo. La svolta arrivò nel 1911, quando Ernest Rutherford, bombardando sottili lamine d’oro con particelle alfa, dimostrò sperimentalmente che quasi tutta la massa dell’atomo e tutta la sua carica positiva sono concentrate in un nucleo piccolissimo e densissimo, attorno al quale si muovono gli elettroni. Nasceva così il modello “planetario”: un minuscolo sistema solare in cui gli elettroni orbitano attorno al nucleo come i pianeti attorno al Sole.

Il modello era intuitivo e spiegava bene i risultati dello scattering, ma nascondeva un problema drammatico, che l’elettromagnetismo classico rendeva inevitabile.

Il paradosso dell'instabilità classica

Secondo l’elettromagnetismo classico, una carica accelerata irraggia onde elettromagnetiche. Un elettrone in orbita circolare è costantemente accelerato (accelerazione centripeta), quindi dovrebbe emettere energia in continuazione, rallentare e cadere a spirale sul nucleo in meno di $10^{-10}$ s.

Il conto è impietoso: se le leggi classiche valessero anche a scala atomica, nessun atomo sopravviverebbe più di un decimo di miliardesimo di secondo. Eppure gli atomi che ci circondano sono stabili da miliardi di anni. Questa contraddizione tra la teoria e l’evidenza più banale — l’esistenza stessa della materia — era uno dei grandi misteri della fisica.

La chiave per uscirne è un’idea radicale, che sposta il problema dal linguaggio delle particelle a quello delle onde. Se l’elettrone non è un puntino che segue una traiettoria, ma un’onda distribuita attorno al nucleo, allora non può disporsi in un’orbita qualsiasi: come una corda di chitarra che vibra solo su certe frequenze, l’onda dell’elettrone può “esistere” solo là dove si richiude ordinatamente su se stessa. Le orbite permesse diventano poche e discrete, non un continuo: ecco la quantizzazione. È da qui che parte il modello di Bohr, e il modo più naturale di giustificarlo passa proprio dall’immagine dell’elettrone come onda stazionaria.

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Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr Oggetti: Atomo di idrogeno

Esercizi collegati: Livelli dell’idrogeno, Balmer e Lyman · Dimostra il raggio dell’orbita di Bohr · Esercizio svolto — un fotone rosso dall’atomo di idrogeno

At the start of the twentieth century the structure of the atom was still a puzzle. The turning point came in 1911, when Ernest Rutherford, bombarding thin gold foils with alpha particles, experimentally showed that almost all of the atom’s mass and all of its positive charge are concentrated in a tiny, extremely dense nucleus, around which the electrons move. This gave rise to the “planetary” model: a miniature solar system in which the electrons orbit the nucleus like planets around the Sun.

The model was intuitive and explained the scattering results well, but it hid a dramatic problem, one that classical electromagnetism made unavoidable.

The paradox of classical instability

According to classical electromagnetism, an accelerated charge radiates electromagnetic waves. An electron in a circular orbit is constantly accelerated (centripetal acceleration), so it should continuously emit energy, slow down and spiral into the nucleus in less than $10^{-10}$ s.

The reckoning is merciless: if classical laws also held at the atomic scale, no atom would survive more than a tenth of a billionth of a second. Yet the atoms around us have been stable for billions of years. This contradiction between theory and the most trivial evidence — the very existence of matter — was one of the great mysteries of physics.

The key to escaping it is a radical idea, which shifts the problem from the language of particles to that of waves. If the electron is not a point following a trajectory, but a wave spread around the nucleus, then it cannot settle into just any orbit: like a guitar string that vibrates only at certain frequencies, the electron’s wave can “exist” only where it closes neatly back on itself. The allowed orbits become few and discrete, not a continuum: this is quantisation. This is where Bohr’s model starts, and the most natural way of justifying it comes precisely from the picture of the electron as a standing wave.

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Topics: Quantum physics Concepts: Bohr model Objects: Hydrogen atom

Related exercises: Hydrogen levels, Balmer and Lyman · Derive the radius of the Bohr orbit · Worked exercise — a red photon from the hydrogen atom

Nel 1913 Niels Bohr propose di salvare l’atomo introducendo una regola di quantizzazione ad hoc: gli elettroni possono stare solo su certe orbite “permesse”, nelle quali — per decreto — non irraggiano. La regola funzionava benissimo per riprodurre lo spettro dell’idrogeno, ma era un postulato calato dall’alto, senza una vera ragione fisica.

La spiegazione arrivò dieci anni dopo da Louis de Broglie, con un’idea sorprendente: se la luce, che credevamo un’onda, si comporta anche come particella (il fotone), allora l’elettrone, che credevamo una particella, deve comportarsi anche come onda. A ogni elettrone di quantità di moto $p = mv$ è associata una lunghezza d’onda $\lambda = h/(mv)$. E un’onda che gira attorno al nucleo, per non cancellarsi da sola, deve “richiudersi” dopo un giro completo: deve essere un’onda stazionaria.

Principio — Onda stazionaria nell'atomo di idrogeno

Perché l’onda dell’elettrone ritorni al valore di partenza dopo aver percorso un’orbita circolare di raggio $r$, la circonferenza deve contenere un numero intero di lunghezze d’onda: $\ev{2\pi r = n\,\lambda} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$

L’intuizione è la stessa della corda di chitarra o dell’onda su un anello: solo alcune lunghezze d’onda “entrano” un numero intero di volte lungo il percorso chiuso. Se la circonferenza non contenesse un numero intero di $\lambda$, dopo ogni giro l’onda si troverebbe sfasata rispetto a se stessa e, sovrapponendosi giro dopo giro, si annullerebbe per interferenza distruttiva. Le uniche orbite che “sopravvivono” sono quelle in cui l’onda si aggancia perfettamente alla propria coda.

L’onda dell’elettrone come onda stazionaria su un’orbita circolare: qui $n=4$ lunghezze d’onda si richiudono esattamente lungo la circonferenza. Solo per un numero intero di lunghezze d’onda l’onda si “ritrova” dopo un giro.

Dalla condizione d’onda alla quantizzazione del momento angolare. La forza di questa idea è che, combinando la condizione di richiusura con la relazione di de Broglie $\lambda = h/(mv)$, la regola ad hoc di Bohr si trasforma in una conseguenza:

$2\pi r = n\cdot\frac{h}{m\,v} \quad\Longleftrightarrow\quad \ev{m\,v\,r = n\,\hbar}$

dove $\hbar = h/(2\pi)$. Il primo membro, $mvr$, è proprio il momento angolare dell’elettrone nell’orbita. Il risultato dice quindi che il momento angolare non può assumere un valore qualsiasi: è sempre un multiplo intero di $\hbar$. Ecco, ricavata e non postulata, la regola di quantizzazione di Bohr — nata dal semplice richiedere che l’elettrone-onda si richiuda su se stesso.

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Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr · Lunghezza d’onda di de Broglie · Onde stazionarie · Momento angolare · Dualismo onda-particella Oggetti: Atomo di idrogeno

Esercizi collegati: Problema — Perché l’atomo non collassa (onda stazionaria) · Vero o falso sulla fisica quantistica · Problema — de Broglie di un elettrone a 100 V

In 1913 Niels Bohr proposed to save the atom by introducing an ad hoc quantisation rule: electrons can only occupy certain “allowed” orbits, in which — by decree — they do not radiate. The rule worked very well at reproducing the hydrogen spectrum, but it was a postulate handed down from above, without any real physical reason.

The explanation came ten years later from Louis de Broglie, with a surprising idea: if light, which we believed was a wave, also behaves like a particle (the photon), then the electron, which we believed was a particle, must also behave like a wave. To every electron of momentum $p = mv$ is associated a wavelength $\lambda = h/(mv)$. And a wave circling the nucleus, in order not to cancel itself out, must “close up” after one complete turn: it must be a standing wave.

Principle — Standing wave in the hydrogen atom

For the electron’s wave to return to its starting value after travelling around a circular orbit of radius $r$, the circumference must contain an integer number of wavelengths: $\ev{2\pi r = n\,\lambda} \qquad (n = 1, 2, 3, \dots)$

The intuition is the same as for a guitar string or a wave on a ring: only certain wavelengths “fit” an integer number of times along the closed path. If the circumference did not contain an integer number of $\lambda$, after every turn the wave would find itself out of phase with itself and, overlapping turn after turn, would cancel out through destructive interference. The only orbits that “survive” are those in which the wave latches perfectly onto its own tail.

The electron’s wave as a standing wave on a circular orbit: here $n=4$ wavelengths close exactly along the circumference. Only for an integer number of wavelengths does the wave “find itself again” after one turn.

From the wave condition to the quantisation of angular momentum. The strength of this idea is that, by combining the closure condition with de Broglie’s relation $\lambda = h/(mv)$, Bohr’s ad hoc rule turns into a consequence:

$2\pi r = n\cdot\frac{h}{m\,v} \quad\Longleftrightarrow\quad \ev{m\,v\,r = n\,\hbar}$

where $\hbar = h/(2\pi)$. The left-hand side, $mvr$, is precisely the electron’s angular momentum in the orbit. The result therefore says that angular momentum cannot take just any value: it is always an integer multiple of $\hbar$. Here, derived rather than postulated, is Bohr’s quantisation rule — born from the simple requirement that the electron-wave closes back on itself.

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Topics: Quantum physics Concepts: Bohr model · De Broglie wavelength · Standing waves · Angular momentum · Wave-particle duality Objects: Hydrogen atom

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Una volta accettata la regola di quantizzazione del momento angolare, il modello di Bohr diventa un problema di meccanica del tutto risolubile. L’elettrone gira attorno al nucleo su un’orbita circolare, tenuto in traiettoria dall’attrazione elettrica del protone. Per trovare quali orbite sono permesse — cioè il raggio $r$ e la velocità $v$ a ogni livello — bastano quattro equazioni.

Principio — Le 4 equazioni dell'atomo di idrogeno

Per l’elettrone in un’orbita quantizzata dell’atomo di idrogeno:

1. Regola di quantizzazione: $m\,v\,r = n\,\hbar$
2. Moto circolare: $|a| = v^2/r$
3. Seconda legge di Newton: $\pq{F} = m\pq{a}$
4. Legge di Coulomb: $|F| = k\,e^2/r^2$

Sono 4 equazioni in 4 incognite ($r$, $v$, $F$, $a$).

Dove entra la meccanica quantistica?

Delle quattro equazioni, solo la prima è “nuova”. Le altre tre — moto circolare, Newton e Coulomb — sono pura fisica classica, le stesse che useremmo per un satellite o per una carica in un campo. La meccanica quantistica entra soltanto nella regola di quantizzazione, come un singolo ingrediente aggiunto a un mondo altrimenti classico. È la firma della “vecchia meccanica quantistica” di Bohr: una fisica classica quasi intatta, con un unico bullone quantizzato.

Risoluzione del sistema. Dalla regola di quantizzazione (1) si ricava la velocità, $v = n\hbar/(mr)$. La seconda legge di Newton (3) applicata al moto circolare impone che la forza di Coulomb (4) faccia da forza centripeta $mv^2/r$ (2):

$\frac{k\,e^2}{r^2} = m\cdot\frac{v^2}{r} = m\cdot\frac{n^2\hbar^2}{m^2 r^3}$

Risolvendo per $r$ si trova il raggio dell’orbita $n$-esima:

$\ev{r_n = \frac{n^2\,\hbar^2}{m\,e^2\,k}}$

Il raggio cresce come $n^2$: le orbite permesse non sono equispaziate, ma si allontanano sempre più dal nucleo. Per $n=1$ si ottiene la scala fondamentale dell’atomo, il raggio di Bohr:

$r_1 = \frac{\hbar^2}{m\,e^2\,k} \approx 5{,}29\cdot 10^{-11}\ \text{m} = 0{,}53\ \text{Å}$

circa mezzo ångström: è la “taglia” dell’atomo di idrogeno, e fissa l’ordine di grandezza di tutta la materia ordinaria. La velocità corrispondente è $v_n = e^2 k/(n\hbar)$, e diminuisce come $1/n$: gli elettroni nelle orbite esterne sono più lenti. Per il livello fondamentale si scrive $v_1 = \alpha\,c$, dove

$\alpha = \frac{e^2 k}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}$

è la costante di struttura fine, uno dei numeri più misteriosi della fisica: adimensionale, universale, con un valore che nessuno sa ancora spiegare “perché” è proprio quello.

Un elettrone all'1% della velocità della luce

La costante $\alpha \approx 1/137$ misura l’entità degli effetti relativistici atomici: poiché $v_1/c = \alpha \approx 1/137$, l’elettrone nello stato fondamentale dell’idrogeno viaggia a circa l’$1\%$ della velocità della luce — abbastanza lento da poter usare la meccanica non relativistica come ottima prima approssimazione.

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Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Modello di Bohr · Momento angolare · Legge di Coulomb · Forza centripeta · Moto circolare uniforme · Seconda legge di Newton Oggetti: Atomo di idrogeno

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Once the quantisation rule for angular momentum is accepted, the Bohr model becomes an entirely solvable problem in mechanics. The electron circles the nucleus in a circular orbit, held in its path by the electric attraction of the proton. To find which orbits are allowed — that is, the radius $r$ and the velocity $v$ at each level — only four equations are needed.

Principle — The 4 equations of the hydrogen atom

For the electron in a quantised orbit of the hydrogen atom:

1. Quantisation rule: $m\,v\,r = n\,\hbar$
2. Circular motion: $|a| = v^2/r$
3. Newton’s second law: $\pq{F} = m\pq{a}$
4. Coulomb’s law: $|F| = k\,e^2/r^2$

These are 4 equations in 4 unknowns ($r$, $v$, $F$, $a$).

Where does quantum mechanics come in?

Of the four equations, only the first is “new”. The other three — circular motion, Newton and Coulomb — are pure classical physics, the same ones we would use for a satellite or for a charge in a field. Quantum mechanics enters only through the quantisation rule, as a single ingredient added to an otherwise classical world. This is the signature of Bohr’s “old quantum mechanics”: an almost intact classical physics, with a single quantised bolt.

Solving the system. From the quantisation rule (1) we obtain the velocity, $v = n\hbar/(mr)$. Newton’s second law (3) applied to circular motion requires that the Coulomb force (4) act as the centripetal force $mv^2/r$ (2):

$\frac{k\,e^2}{r^2} = m\cdot\frac{v^2}{r} = m\cdot\frac{n^2\hbar^2}{m^2 r^3}$

Solving for $r$ gives the radius of the $n$-th orbit:

$\ev{r_n = \frac{n^2\,\hbar^2}{m\,e^2\,k}}$

The radius grows as $n^2$: the allowed orbits are not evenly spaced, but move increasingly further from the nucleus. For $n=1$ we obtain the fundamental scale of the atom, the Bohr radius:

$r_1 = \frac{\hbar^2}{m\,e^2\,k} \approx 5{,}29\cdot 10^{-11}\ \text{m} = 0{,}53\ \text{Å}$

about half an ångström: this is the “size” of the hydrogen atom, and it fixes the order of magnitude of all ordinary matter. The corresponding velocity is $v_n = e^2 k/(n\hbar)$, and decreases as $1/n$: electrons in outer orbits are slower. For the ground level we write $v_1 = \alpha\,c$, where

$\alpha = \frac{e^2 k}{\hbar c} \approx \frac{1}{137}$

is the fine-structure constant, one of the most mysterious numbers in physics: dimensionless, universal, with a value that nobody yet knows how to explain “why” it is exactly that one.

An electron at 1% of the speed of light

The constant $\alpha \approx 1/137$ measures the size of atomic relativistic effects: since $v_1/c = \alpha \approx 1/137$, the electron in the hydrogen ground state travels at about $1\%$ of the speed of light — slow enough that non-relativistic mechanics can be used as an excellent first approximation.

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Conosciuti raggio e velocità di ogni orbita, possiamo calcolare la grandezza più importante: l’energia dell’elettrone in ciascun livello. È la somma dell’energia cinetica (dovuta al moto) e dell’energia potenziale elettrica (dovuta all’attrazione col nucleo):

$E_\text{tot} = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{k e^2}{r}$

Il segno meno dell’energia potenziale ricorda che l’elettrone è legato: per staccarlo dal nucleo bisogna fornirgli energia. Sostituendo le formule quantizzate di $v_n$ e $r_n$ e semplificando, si ottiene la celebre formula dei livelli:

$\ev{E_n = -\frac{1}{2}\,\frac{k\,e^2}{r_1}\cdot\frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}}$

Le energie sono negative (stati legati) e discrete: solo certi valori sono permessi, uno per ogni intero $n$. Il livello più basso, $n=1$, vale $-13{,}6$ eV ed è lo stato fondamentale; salendo di livello l’energia cresce (diventa meno negativa) come $-1/n^2$, e i livelli si infittiscono avvicinandosi a $0$. Il valore $E=0$ corrisponde a $n=\infty$: l’elettrone libero, appena strappato all’atomo. Ionizzare l’idrogeno dallo stato fondamentale costa quindi esattamente $13{,}6$ eV, la sua energia di ionizzazione.

I primi livelli:

Diagramma dei livelli energetici dell’idrogeno. I livelli si addensano verso $E=0$ (ionizzazione, $n=\infty$). Una transizione verso un livello più basso (qui $n=3\to n=2$) libera un fotone la cui energia è pari alla differenza tra i due livelli.

Quando un elettrone salta da un livello a un altro, la differenza di energia viene emessa o assorbita come un singolo fotone, $E_\text{fotone} = |E_\text{fin} - E_\text{iniz}|$. Poiché i livelli sono discreti, anche le energie dei fotoni lo sono: ecco perché ogni elemento ha uno spettro “a righe” caratteristico. (Il calcolo esplicito di una di queste righe è svolto negli esercizi.)

Regola di assorbimento selettivo

Se un fotone colpisce l’elettrone di un atomo, questo può saltare di livello solo se il fotone ha energia esattamente uguale alla differenza tra livello finale e iniziale. Altrimenti il fotone non viene assorbito e prosegue indisturbato, come se l’atomo fosse trasparente alla sua luce. È il motivo per cui ogni gas assorbe ed emette solo a frequenze ben precise.

Questa è la differenza radicale con la fisica classica: nel mondo classico basterebbe che l’energia fosse “almeno sufficiente”; in quello quantistico deve essere proprio quella giusta. L’assorbimento è “tutto o niente”.

Fotone da 3 eV o 12 eV: passa o no?

Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale ($n=1$, $E_1 = -13{,}6$ eV) viene colpito da un fotone di $3$ eV. Succede qualcosa? No: la prima transizione disponibile, $n=1 \to n=2$, richiede esattamente $\Delta E = 13{,}6 - 3{,}4 = 10{,}2$ eV. Con $3$ eV non si arriva, e il fotone passa indisturbato. E con un fotone di $12$ eV? Neanche questo viene assorbito: $12 \neq 10{,}2$ (la $n=1\to2$), $12 \neq 12{,}09$ (la $n=1\to3$), $12 \neq 12{,}75$ (la $n=1\to4$)… nessuna transizione ha esattamente $12$ eV di salto. L’atomo resta trasparente anche a un fotone più energetico del primo salto ma “fuori sintonia”.

Proprio questa peculiarità — l’atomo assorbe energia solo a “tacche” precise — è ciò che l’esperimento di Franck-Hertz riuscì a misurare direttamente, come vedremo.

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Knowing the radius and velocity of each orbit, we can calculate the most important quantity: the energy of the electron at each level. It is the sum of the kinetic energy (due to motion) and the electric potential energy (due to the attraction with the nucleus):

$E_\text{tot} = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{k e^2}{r}$

The minus sign of the potential energy is a reminder that the electron is bound: energy must be supplied to detach it from the nucleus. Substituting the quantised formulas for $v_n$ and $r_n$ and simplifying gives the celebrated levels formula:

$\ev{E_n = -\frac{1}{2}\,\frac{k\,e^2}{r_1}\cdot\frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{n^2}}$

The energies are negative (bound states) and discrete: only certain values are allowed, one for each integer $n$. The lowest level, $n=1$, equals $-13{,}6$ eV and is the ground state; going up in level the energy increases (becomes less negative) as $-1/n^2$, and the levels crowd together as they approach $0$. The value $E=0$ corresponds to $n=\infty$: the free electron, just torn away from the atom. Ionising hydrogen from the ground state therefore costs exactly $13{,}6$ eV, its ionisation energy.

The first levels:

Diagram of the hydrogen energy levels. The levels crowd together towards $E=0$ (ionisation, $n=\infty$). A transition to a lower level (here $n=3\to n=2$) releases a photon whose energy equals the difference between the two levels.

When an electron jumps from one level to another, the energy difference is emitted or absorbed as a single photon, $E_\text{photon} = |E_\text{fin} - E_\text{init}|$. Since the levels are discrete, the photon energies are discrete too: this is why every element has a characteristic “line” spectrum. (The explicit calculation of one of these lines is worked out in the exercises.)

Selective absorption rule

If a photon strikes the electron of an atom, the electron can jump level only if the photon has energy exactly equal to the difference between the final and initial levels. Otherwise the photon is not absorbed and continues on undisturbed, as if the atom were transparent to its light. This is why every gas absorbs and emits only at very precise frequencies.

This is the radical difference from classical physics: in the classical world it would be enough for the energy to be “at least sufficient”; in the quantum world it must be exactly the right one. Absorption is “all or nothing”.

A 3 eV or 12 eV photon: does it pass or not?

A hydrogen atom in the ground state ($n=1$, $E_1 = -13{,}6$ eV) is struck by a $3$ eV photon. Does anything happen? No: the first available transition, $n=1 \to n=2$, requires exactly $\Delta E = 13{,}6 - 3{,}4 = 10{,}2$ eV. With $3$ eV it doesn’t get there, and the photon passes undisturbed. What about a $12$ eV photon? This isn’t absorbed either: $12 \neq 10{,}2$ (the $n=1\to2$ transition), $12 \neq 12{,}09$ (the $n=1\to3$ transition), $12 \neq 12{,}75$ (the $n=1\to4$ transition)… no transition has exactly a $12$ eV jump. The atom remains transparent even to a photon more energetic than the first jump but “off tune”.

It is precisely this peculiarity — the atom absorbs energy only in precise “steps” — that the Franck-Hertz experiment managed to measure directly, as we shall see.

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La formula dei livelli e la regola di assorbimento selettivo sono belle, ma come si misura direttamente che gli atomi accettano energia solo a “gradini”? La risposta arrivò nel 1914 da James Franck e Gustav Hertz, con un esperimento apparentemente banale — un tubo a vuoto pieno di vapore di mercurio — che produsse la prima prova diretta e non ottica della quantizzazione dei livelli atomici. I due vinsero il Nobel nel 1925.

L’apparato. Dentro un tubo di vetro si trovano, in sequenza:

• un catodo riscaldato, che emette elettroni per effetto termoionico;
• una griglia (anodo acceleratore) vicina al catodo, tenuta a una tensione variabile $V$ rispetto al catodo;
• un collettore (placca) oltre la griglia, tenuto a una piccola tensione frenante $-V_0$ (circa $0{,}5$ V) rispetto alla griglia;
• vapore di mercurio a bassa pressione, che riempie tutto il tubo.

Gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati dalla tensione $V$, attraversano il vapore di mercurio, superano la griglia e arrivano al collettore — ma per arrivarci devono conservare abbastanza energia cinetica da vincere la barriera frenante $V_0$. La corrente $i$ misurata sul collettore è quindi una spia dell’energia cinetica degli elettroni alla griglia.

Schema dell’apparato di Franck-Hertz: il catodo emette elettroni, la tensione $V$ li accelera verso la griglia attraverso il vapore di mercurio, e solo quelli ancora abbastanza energici superano la barriera frenante $V_0$ e raggiungono il collettore, dove un amperometro misura la corrente $i$.

L’osservazione chiave. Aumentando lentamente la tensione acceleratrice $V$, la corrente $i$ non cresce in modo monotono. Cresce, poi crolla bruscamente a $V \approx 4{,}9$ V, poi ricresce, poi ricrolla a $V \approx 9{,}8$ V, poi ancora a $V \approx 14{,}7$ V, e così via. Massimi e minimi si susseguono con passo regolare di $4{,}9$ V.

Corrente $i$ al collettore in funzione della tensione acceleratrice $V$: una successione di massimi e crolli regolari, spaziati di $4{,}9$ V. Ogni crollo segnala che gli elettroni hanno appena raggiunto l’energia per eccitare un atomo di mercurio.

Interpretazione. Finché l’energia cinetica dell’elettrone è minore di $4{,}9$ eV, gli atomi di Hg non possono essere eccitati (il loro primo livello eccitato sta $4{,}9$ eV sopra il fondamentale): gli urti elettrone–atomo sono elastici, gli elettroni attraversano il vapore quasi senza perdere energia e la corrente cresce normalmente. Quando però $V$ supera $4{,}9$ V, ogni elettrone che ha raggiunto esattamente quell’energia può cederla tutta in un colpo per far saltare un atomo di Hg al primo livello eccitato (urto anelastico): perde $4{,}9$ eV e resta quasi fermo. Così non riesce più a vincere la barriera $V_0$ e la corrente cala. Aumentando ancora $V$, gli elettroni riaccelerano dopo l’urto e tornano a raggiungere il collettore; ma a $V = 2\cdot 4{,}9 = 9{,}8$ V possono fare due urti anelastici, a $14{,}7$ V tre, e così via — ecco i crolli periodici.

Principio — Il significato del risultato

Gli atomi non possono assorbire una quantità arbitraria di energia: la accettano solo a “tacche” predeterminate, di $4{,}9$ eV nel caso del mercurio. È la quantizzazione dei livelli energetici misurata direttamente, senza guardare la luce emessa e senza spettroscopia: un semplice amperometro che oscilla è già la prova che la natura, a quella scala, conta a passi discreti.

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The levels formula and the selective absorption rule are elegant, but how can one directly measure that atoms only accept energy in “steps”? The answer came in 1914 from James Franck and Gustav Hertz, with a seemingly trivial experiment — a vacuum tube filled with mercury vapour — that produced the first direct, non-optical proof of the quantisation of atomic levels. The two won the Nobel Prize in 1925.

The apparatus. Inside a glass tube, in sequence, there are:

• a heated cathode, which emits electrons via the thermionic effect;
• a grid (accelerating anode) near the cathode, held at a variable voltage $V$ relative to the cathode;
• a collector (plate) beyond the grid, held at a small retarding voltage $-V_0$ (about $0{,}5$ V) relative to the grid;
• mercury vapour at low pressure, filling the whole tube.

The electrons emitted by the cathode are accelerated by the voltage $V$, cross the mercury vapour, pass the grid and reach the collector — but to get there they must retain enough kinetic energy to overcome the retarding barrier $V_0$. The current $i$ measured at the collector is therefore an indicator of the electrons’ kinetic energy at the grid.

Diagram of the Franck-Hertz apparatus: the cathode emits electrons, the voltage $V$ accelerates them towards the grid through the mercury vapour, and only those still energetic enough overcome the retarding barrier $V_0$ and reach the collector, where an ammeter measures the current $i$.

The key observation. Slowly increasing the accelerating voltage $V$, the current $i$ does not grow monotonically. It grows, then collapses sharply at $V \approx 4{,}9$ V, then grows again, then collapses again at $V \approx 9{,}8$ V, then again at $V \approx 14{,}7$ V, and so on. Maxima and minima follow one another with a regular spacing of $4{,}9$ V.

Current $i$ at the collector as a function of the accelerating voltage $V$: a sequence of regular maxima and collapses, spaced by $4{,}9$ V. Each collapse signals that the electrons have just reached the energy needed to excite a mercury atom.

Interpretation. As long as the electron’s kinetic energy is less than $4{,}9$ eV, the Hg atoms cannot be excited (their first excited level sits $4{,}9$ eV above the ground state): electron-atom collisions are elastic, the electrons cross the vapour losing almost no energy, and the current grows normally. However, when $V$ exceeds $4{,}9$ V, every electron that has reached exactly that energy can give it all up in one go to knock an Hg atom up to its first excited level (inelastic collision): it loses $4{,}9$ eV and is left almost at rest. It can then no longer overcome the $V_0$ barrier and the current drops. As $V$ is increased further, the electrons re-accelerate after the collision and reach the collector again; but at $V = 2\cdot 4{,}9 = 9{,}8$ V they can undergo two inelastic collisions, at $14{,}7$ V three, and so on — hence the periodic collapses.

Principle — The meaning of the result

Atoms cannot absorb an arbitrary amount of energy: they accept it only in predetermined “steps”, of $4{,}9$ eV in the case of mercury. This is the quantisation of energy levels measured directly, without looking at the emitted light and without spectroscopy: a simple oscillating ammeter is already proof that nature, at that scale, counts in discrete steps.

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Il modello di Bohr risolve l’atomo di idrogeno e spiega le sue righe spettrali, ma lascia aperta una domanda enorme: perché la tavola periodica ha quella forma? Perché l’elio si comporta da gas nobile e non da metallo? Perché l’ossigeno, ottavo elemento, somiglia chimicamente allo zolfo, che di elettroni ne ha sedici? La risposta richiede due ingredienti nuovi, entrambi assenti nel modello di Bohr: lo spin e il principio di Pauli.

Lo spin, un momento angolare “intrinseco”

Nel 1922 Otto Stern e Walther Gerlach inviarono un fascio di atomi di argento attraverso un campo magnetico fortemente disomogeneo. L’aspettativa classica era chiara: i momenti magnetici degli atomi (legati al momento angolare degli elettroni) dovrebbero orientarsi con continuità su tutto un intervallo di angoli, così il fascio dovrebbe spalmarsi sullo schermo in una macchia allungata. Invece accadde qualcosa di sorprendente: il fascio si divise in esattamente due fasci distinti, uno deviato verso l’alto e uno verso il basso — mai uno intermedio. È come se ogni atomo, lungo la direzione del campo, potesse assumere solo due valori del momento magnetico.

Esperimento di Stern-Gerlach (1922). Il fascio di atomi di argento, attraversando un campo magnetico disomogeneo, si divide in due sole componenti anziché spalmarsi con continuità: la componente del momento angolare lungo l’asse del campo è quantizzata.

L’interpretazione, dovuta a Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck (1925), è che l’elettrone porta un momento angolare intrinseco — lo spin — indipendente dal suo moto orbitale attorno al nucleo. La componente di questo momento angolare lungo un asse può assumere solo due valori quantizzati:

$\ev{s_z = \pm\frac{\hbar}{2}}$

spesso chiamati spin up ($\uparrow$) e spin down ($\downarrow$). Attenzione all’intuizione: lo spin non è una piccola sferetta che ruota su sé stessa. È una proprietà quantistica genuinamente senza analogo classico. Tuttavia produce un piccolo momento magnetico, ed è proprio questo momento a essere deviato nel campo disomogeneo di Stern-Gerlach.

Fermioni e bosoni

Secondo il teorema spin-statistica (Pauli, 1940), tutte le particelle dell’universo si dividono in due grandi famiglie a seconda del valore del loro spin:

• Fermioni — spin semi-intero ($\hbar/2,\ 3\hbar/2,\dots$). Esempi: elettrone, protone, neutrone, quark, neutrini. Sono i mattoni che costruiscono la materia.
• Bosoni — spin intero ($0,\ \hbar,\ 2\hbar,\dots$). Esempi: fotone, gluone, bosone di Higgs. Mediano le interazioni fondamentali.

La distinzione non è un dettaglio tassonomico: determina come le particelle possono condividere gli stati quantici, ed è la radice del principio che segue.

Il principio di esclusione di Pauli

Principio — Esclusione di Pauli (1925)

Due fermioni identici non possono trovarsi simultaneamente nello stesso stato quantico. Per un elettrone in un atomo, lo stato è specificato da quattro numeri quantici $(n,\ell,m,s_z)$: non possono esistere due elettroni con tutti e quattro i numeri uguali.

Formula chiave

Spin dell’elettrone: $s_z = \pm\hbar/2$. Pauli: niente due fermioni identici nello stesso stato di un atomo. Bosoni (es. fotoni): nessuna esclusione, possono ammassarsi a piacere nello stesso stato.

La tavola periodica come conseguenza

Combinando il principio di Pauli con il modello atomico si costruiscono i gusci elettronici. Ogni livello $n$ del modello di Bohr ammette al massimo $2n^2$ elettroni — due per ogni orbitale, uno con $s_z=+\hbar/2$ e uno con $s_z=-\hbar/2$:

• $n=1$ (guscio K): 2 elettroni. Si riempie con l’elio (He).
• $n=2$ (guscio L): 8 elettroni. Si riempie con il neon (Ne).
• $n=3$ (guscio M): 18 elettroni in linea di principio, ma in pratica si riempie a tappe per via della struttura dei sottolivelli $s,p,d$. Si completa (parzialmente) con l’argon (Ar).

Quando un guscio è pieno, l’atomo è particolarmente stabile e poco reattivo: sono i gas nobili. Quando un guscio ha un solo elettrone in più (metalli alcalini: Li, Na, K) o un solo elettrone in meno (alogeni: F, Cl, Br), la chimica diventa molto attiva. Mendeleev aveva osservato la periodicità già nel 1869, ma la sua spiegazione arriva solo nel 1925 con Pauli (Simonyi 2012).

Curiosità — Senza Pauli niente di tutto questo

Se gli elettroni non fossero fermioni, tutti gli elettroni di un atomo cadrebbero nello stato fondamentale $n=1$. Tutti gli atomi sarebbero indistinguibili nel comportamento chimico: niente chimica, niente legami, niente molecole, niente vita. Il principio di Pauli è ciò che impedisce alla materia di “collassare su sé stessa”: la pressione di degenerazione che lo accompagna è quella che tiene in piedi le nane bianche e blocca le stelle di neutroni dal trasformarsi in buchi neri.

In sintesi: lo spin è un momento angolare quantistico intrinseco, con $s_z=\pm\hbar/2$ per gli elettroni. I fermioni (spin semi-intero, soggetti all’esclusione di Pauli) costruiscono la materia; i bosoni (spin intero) mediano le interazioni. Il principio di Pauli è la chiave che spiega la forma della tavola periodica.

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Esercizi collegati: Problema — Fantafisica, un universo senza Pauli · Livelli dell’idrogeno, Balmer e Lyman · Dimostra il raggio dell’orbita di Bohr

The Bohr model solves the hydrogen atom and explains its spectral lines, but leaves open an enormous question: why does the periodic table have that shape? Why does helium behave as a noble gas and not as a metal? Why does oxygen, the eighth element, chemically resemble sulfur, which has sixteen electrons? The answer requires two new ingredients, both absent from the Bohr model: spin and the Pauli principle.

Spin, an “intrinsic” angular momentum

In 1922 Otto Stern and Walther Gerlach sent a beam of silver atoms through a strongly non-uniform magnetic field. The classical expectation was clear: the magnetic moments of the atoms (linked to the angular momentum of the electrons) should orient themselves continuously over a whole range of angles, so the beam should spread out on the screen into an elongated smear. Instead something surprising happened: the beam split into exactly two distinct beams, one deflected upwards and one downwards — never an intermediate one. It was as if every atom, along the direction of the field, could only take two values of magnetic moment.

Stern-Gerlach experiment (1922). The beam of silver atoms, passing through a non-uniform magnetic field, splits into only two components rather than spreading continuously: the component of angular momentum along the field axis is quantised.

The interpretation, due to Samuel Goudsmit and George Uhlenbeck (1925), is that the electron carries an intrinsic angular momentum — spin — independent of its orbital motion around the nucleus. The component of this angular momentum along an axis can take only two quantised values:

$\ev{s_z = \pm\frac{\hbar}{2}}$

often called spin up ($\uparrow$) and spin down ($\downarrow$). Beware of intuition here: spin is not a little sphere spinning on itself. It is a genuinely quantum property with no classical analogue. It does, however, produce a small magnetic moment, and it is precisely this moment that is deflected in the non-uniform Stern-Gerlach field.

Fermions and bosons

According to the spin-statistics theorem (Pauli, 1940), all the particles in the universe fall into two great families depending on the value of their spin:

• Fermions — half-integer spin ($\hbar/2,\ 3\hbar/2,\dots$). Examples: electron, proton, neutron, quark, neutrino. They are the building blocks that make up matter.
• Bosons — integer spin ($0,\ \hbar,\ 2\hbar,\dots$). Examples: photon, gluon, Higgs boson. They mediate the fundamental interactions.

The distinction is not a taxonomic detail: it determines how particles can share quantum states, and it is the root of the principle that follows.

The Pauli exclusion principle

Principle — Pauli exclusion (1925)

Two identical fermions cannot simultaneously occupy the same quantum state. For an electron in an atom, the state is specified by four quantum numbers $(n,\ell,m,s_z)$: there cannot exist two electrons with all four numbers equal.

Key formula

Electron spin: $s_z = \pm\hbar/2$. Pauli: no two identical fermions in the same state of an atom. Bosons (e.g. photons): no exclusion, they can pile up as many as desired in the same state.

The periodic table as a consequence

Combining the Pauli principle with the atomic model builds up the electron shells. Each level $n$ of the Bohr model admits at most $2n^2$ electrons — two for each orbital, one with $s_z=+\hbar/2$ and one with $s_z=-\hbar/2$:

• $n=1$ (shell K): 2 electrons. Filled at helium (He).
• $n=2$ (shell L): 8 electrons. Filled at neon (Ne).
• $n=3$ (shell M): 18 electrons in principle, but in practice filled in stages because of the structure of the $s,p,d$ subshells. (Partially) completed at argon (Ar).

When a shell is full, the atom is particularly stable and unreactive: these are the noble gases. When a shell has just one electron too many (alkali metals: Li, Na, K) or just one electron too few (halogens: F, Cl, Br), chemistry becomes very active. Mendeleev had already observed the periodicity in 1869, but its explanation only arrived in 1925 with Pauli (Simonyi 2012).

Curiosity — Without Pauli none of this

If electrons were not fermions, all the electrons of an atom would fall into the ground state $n=1$. All atoms would be indistinguishable in their chemical behaviour: no chemistry, no bonds, no molecules, no life. The Pauli principle is what prevents matter from “collapsing in on itself”: the degeneracy pressure that comes with it is what holds up white dwarfs and stops neutron stars from turning into black holes.

In summary: spin is an intrinsic quantum angular momentum, with $s_z=\pm\hbar/2$ for electrons. Fermions (half-integer spin, subject to Pauli exclusion) make up matter; bosons (integer spin) mediate interactions. The Pauli principle is the key that explains the shape of the periodic table.

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Topics: Quantum physics Concepts: Spin and the Pauli principle · Angular momentum · Bohr model

Related exercises: Problem — Speculative physics: a universe without Pauli · Hydrogen levels, Balmer and Lyman · Derive the radius of the Bohr orbit

Quando la luce bianca di una stella attraversa la sua atmosfera, gli atomi presenti in quell’atmosfera assorbono selettivamente le lunghezze d’onda corrispondenti alle loro transizioni energetiche. La luce che arriva fino a Terra, fatta poi passare attraverso un reticolo o un prisma, mostra quindi uno spettro continuo interrotto da righe scure: sono le righe di Fraunhofer. Ogni riga scura è una “firma” inconfondibile di un preciso elemento chimico.

Spettro di assorbimento. Sul fondo continuo dei colori della luce bianca compaiono righe scure alle lunghezze d’onda assorbite dagli atomi dell’atmosfera stellare: ciascuna riga identifica un elemento (idrogeno, sodio, calcio, …).

Perché le righe sono scure e non colorate? Un atomo di idrogeno nello stato fondamentale può assorbire soltanto un fotone di esattamente $10{,}2$ eV per salire a $n=2$, oppure di $12{,}09$ eV per salire a $n=3$, e così via. La luce bianca della stella contiene tutte le frequenze, ma solo queste, ben definite, vengono “rubate” dagli atomi dell’atmosfera. Gli atomi eccitati poi riemettono quei fotoni — ma in tutte le direzioni, isotropicamente. In pratica quasi tutti i fotoni a quelle particolari frequenze vengono deviati fuori dalla linea di vista, così quella lunghezza d’onda raggiunge l’osservatore fortemente attenuata: ecco la riga scura.

Principio — Spettri e livelli

Una riga scura alla frequenza $f$ significa che nell’atmosfera stellare esiste un elemento con una transizione di energia $\Delta E = h\,f$ esatta. Misurare le righe equivale a misurare le differenze fra i livelli energetici degli atomi: se i livelli fossero continui, lo spettro sarebbe uniformemente attenuato, senza alcuna riga.

Esempio — Come Fraunhofer iniziò la chimica cosmica

Nel 1814 Joseph Fraunhofer osservò centinaia di righe scure nello spettro solare, numerandole con lettere (A, B, C, …). Mezzo secolo più tardi Kirchhoff e Bunsen dimostrarono in laboratorio che ognuna di quelle righe coincideva con lo spettro di assorbimento di un elemento: la riga D corrisponde al sodio, la C all’idrogeno, e così via. Per la prima volta nella storia si poteva conoscere la composizione chimica di un oggetto senza toccarlo — anzi, di un oggetto a $1{,}5\cdot 10^{8}$ km da noi. La scoperta dell’elio (1868) avvenne addirittura prima sul Sole, in una riga dello spettro raccolto durante un’eclisse, e solo anni dopo anche sulla Terra: da qui il nome, dal greco hélios, “sole”.

Righe brillanti nelle nebulose

Le stesse righe, ma brillanti su fondo nero, si osservano nelle nebulose ionizzate: gli atomi eccitati, in assenza di una sorgente continua di fondo, emettono esattamente alle stesse frequenze a cui altrove assorbono. È la complementarità fisica fra assorbimento ed emissione, sempre alle medesime transizioni quantizzate.

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Esercizi collegati: Livelli dell’idrogeno, Balmer e Lyman · Esercizio svolto — un fotone rosso dall’atomo di idrogeno · Vero o falso sulla fisica quantistica

When the white light of a star passes through its atmosphere, the atoms present in that atmosphere selectively absorb the wavelengths corresponding to their energy transitions. The light that reaches Earth, then passed through a grating or a prism, shows a continuous spectrum interrupted by dark lines: these are the Fraunhofer lines. Each dark line is an unmistakable “signature” of a specific chemical element.

Absorption spectrum. On the continuous background of the colours of white light, dark lines appear at the wavelengths absorbed by the atoms of the stellar atmosphere: each line identifies an element (hydrogen, sodium, calcium, …).

Why are the lines dark rather than coloured? A hydrogen atom in the ground state can only absorb a photon of exactly $10{,}2$ eV to rise to $n=2$, or of $12{,}09$ eV to rise to $n=3$, and so on. The star’s white light contains all frequencies, but only these well-defined ones are “stolen” by the atoms of the atmosphere. The excited atoms then re-emit those photons — but in all directions, isotropically. In practice almost all the photons at those particular frequencies are deflected out of the line of sight, so that wavelength reaches the observer heavily attenuated: hence the dark line.

Principle — Spectra and levels

A dark line at frequency $f$ means that in the stellar atmosphere there exists an element with an exact energy transition $\Delta E = h\,f$. Measuring the lines is equivalent to measuring the differences between the energy levels of the atoms: if the levels were continuous, the spectrum would be uniformly attenuated, with no lines at all.

Example — How Fraunhofer started cosmic chemistry

In 1814 Joseph Fraunhofer observed hundreds of dark lines in the solar spectrum, numbering them with letters (A, B, C, …). Half a century later Kirchhoff and Bunsen showed in the laboratory that each of those lines coincided with the absorption spectrum of an element: the D line corresponds to sodium, the C to hydrogen, and so on. For the first time in history it was possible to know the chemical composition of an object without touching it — indeed, of an object $1{,}5\cdot 10^{8}$ km away from us. The discovery of helium (1868) even happened first on the Sun, in a line of the spectrum collected during an eclipse, and only years later on Earth too: hence the name, from the Greek hélios, “sun”.

Bright lines in nebulae

The same lines, but bright against a black background, are observed in ionised nebulae: the excited atoms, in the absence of a continuous background source, emit at exactly the same frequencies at which they absorb elsewhere. It is the physical complementarity between absorption and emission, always at the same quantised transitions.

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Related exercises: Hydrogen levels, Balmer and Lyman · Worked exercise — a red photon from the hydrogen atom · True or false on quantum physics

Prima di reinterpretare l’effetto fotoelettrico in termini di bande di energia, è utile ripercorrere l’esperimento originale: scoperto nel 1887 da Heinrich Hertz, studiato sistematicamente da Philipp Lenard (Nobel 1905) e infine spiegato da Albert Einstein (1905, Nobel 1921 proprio per questa spiegazione, non per la relatività).

L’apparato

Un tubo a vuoto contiene due elettrodi metallici: una placca fotosensibile (il catodo, tipicamente sodio, potassio o zinco) e un collettore (l’anodo). Una finestra trasparente permette di illuminare la placca con luce monocromatica di frequenza $f$ e intensità $I$ regolabili. Un generatore variabile applica tra catodo e anodo una tensione $V$ di segno arbitrario: se $V>0$ il campo elettrico accelera verso il collettore gli elettroni emessi dalla placca; se $V<0$ (tensione frenante) li respinge. Un amperometro misura la corrente $i$ nel circuito.

Apparato dell’effetto fotoelettrico. La luce colpisce la placca (catodo K); gli elettroni estratti attraversano il vuoto fino al collettore, generando una corrente misurata dall’amperometro. La tensione variabile $V$ può accelerare o frenare i fotoelettroni.

Le osservazioni di Lenard (1902)

1. Per ogni metallo esiste una frequenza di soglia $f_0$ al di sotto della quale non si osserva alcuna corrente, per quanto si aumenti l’intensità della luce.
2. Per $f>f_0$ la corrente compare istantaneamente (in tempi $<10^{-9}$ s), anche con intensità debolissime.
3. Aumentando l’intensità $I$ (a $f$ fissata) la corrente cresce linearmente, ma l’energia cinetica massima dei fotoelettroni non cambia.
4. Aumentando la frequenza $f$ (a $I$ fissata) l’energia cinetica massima dei fotoelettroni cresce linearmente in $f$, indipendentemente da $I$.
5. L’energia cinetica massima si misura tramite la tensione di arresto $V_s$, la minima tensione frenante che annulla la corrente: allora $E_\text{cin,max}=eV_s$.

Perché sono sconcertanti per la fisica classica

Nella visione classica la luce è un’onda elettromagnetica, e la sua energia è proporzionale all’intensità $I$, non alla frequenza. Un’onda intensa dovrebbe quindi poter estrarre elettroni sempre, bastando aspettare il tempo necessario perché l’oscillatore elettronico accumuli abbastanza energia. Invece: soglia netta in frequenza, nessun ritardo apprezzabile, energia cinetica indipendente dall’intensità. Nulla di tutto ciò torna con il quadro ondulatorio.

L’ipotesi di Einstein (1905)

La luce è fatta di quanti — i fotoni — di energia $E=h\,f$. Un fotone che colpisce un elettrone nel metallo gli cede tutta la propria energia, oppure niente: non esistono cessioni parziali. Se l’energia del fotone supera l’energia di estrazione $W$ (il lavoro di estrazione del metallo), l’elettrone esce con energia cinetica massima:

$\ev{E_\text{cin,max} = h\,f - W}$

Se invece $hf<W$, l’elettrone resta intrappolato, e non serve a nulla inviare più fotoni alla stessa frequenza: ogni fotone agisce individualmente. Ecco spiegata la soglia:

$f_0 = \frac{W}{h}$

Ecco perché l’energia cinetica massima non dipende dall’intensità: $I$ determina solo il numero di fotoni al secondo — cioè la corrente — non l’energia di ciascuno. Ed ecco perché non c’è ritardo: il primo fotone con $hf>W$ estrae subito un elettrone.

Energia cinetica massima dei fotoelettroni in funzione della frequenza. La retta ha pendenza $h$ (costante di Planck, uguale per tutti i metalli) e intercetta $-W$ sull’asse verticale (dipendente dal metallo). Sotto $f_0$ non c’è emissione.

La retta che rappresenta $E_\text{cin,max}=hf-W$ ha dunque pendenza pari alla costante di Planck $h$ — la stessa per tutti i metalli! — e intercetta $-W$ sull’asse verticale, che dipende invece dal metallo. Misurando la tensione di arresto in funzione della frequenza per diversi metalli si ottengono rette parallele: un test pulitissimo della formula di Einstein, realizzato con grande precisione da Robert Millikan nel 1916.

Un caso numerico concreto — la tensione di arresto del sodio illuminato in ultravioletto — è svolto per intero fra gli esercizi di questa sezione.

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Esercizi collegati: Perché i raggi X non sono solo luce intensa · Ricavare h e W dal grafico fotoelettrico · Fotoelettroni dal sodio a 345 nm

Before reinterpreting the photoelectric effect in terms of energy bands, it is useful to retrace the original experiment: discovered in 1887 by Heinrich Hertz, studied systematically by Philipp Lenard (Nobel 1905) and finally explained by Albert Einstein (1905, Nobel 1921 precisely for this explanation, not for relativity).

The apparatus

A vacuum tube contains two metal electrodes: a photosensitive plate (the cathode, typically sodium, potassium or zinc) and a collector (the anode). A transparent window allows the plate to be illuminated with monochromatic light of adjustable frequency $f$ and intensity $I$. A variable generator applies a voltage $V$ of arbitrary sign between cathode and anode: if $V>0$ the electric field accelerates towards the collector the electrons emitted from the plate; if $V<0$ (braking voltage) it repels them. An ammeter measures the current $i$ in the circuit.

Apparatus of the photoelectric effect. Light strikes the plate (cathode K); the electrons extracted cross the vacuum to reach the collector, generating a current measured by the ammeter. The variable voltage $V$ can accelerate or brake the photoelectrons.

Lenard’s observations (1902)

1. For each metal there exists a threshold frequency $f_0$ below which no current is observed at all, however much the light intensity is increased.
2. For $f>f_0$ the current appears instantaneously (in times $<10^{-9}$ s), even at very weak intensities.
3. Increasing the intensity $I$ (at fixed $f$) the current grows linearly, but the maximum kinetic energy of the photoelectrons does not change.
4. Increasing the frequency $f$ (at fixed $I$) the maximum kinetic energy of the photoelectrons grows linearly with $f$, regardless of $I$.
5. The maximum kinetic energy is measured via the stopping voltage $V_s$, the minimum braking voltage that cancels the current: then $E_\text{cin,max}=eV_s$.

Why these are baffling for classical physics

In the classical view light is an electromagnetic wave, and its energy is proportional to the intensity $I$, not to the frequency. An intense wave should therefore always be able to extract electrons, provided one waits long enough for the electron oscillator to accumulate enough energy. Instead: a sharp threshold in frequency, no appreciable delay, kinetic energy independent of intensity. None of this fits the wave picture.

Einstein’s hypothesis (1905)

Light is made of quanta — photons — of energy $E=h\,f$. A photon that strikes an electron in the metal gives it all of its energy, or none at all: partial transfers do not exist. If the photon’s energy exceeds the extraction energy $W$ (the metal’s work function), the electron leaves with maximum kinetic energy:

$\ev{E_\text{cin,max} = h\,f - W}$

If instead $hf<W$, the electron stays trapped, and sending more photons at the same frequency is useless: each photon acts individually. Here is the explanation of the threshold:

$f_0 = \frac{W}{h}$

Here is why the maximum kinetic energy does not depend on the intensity: $I$ only determines the number of photons per second — that is, the current — not the energy of each one. And here is why there is no delay: the first photon with $hf>W$ extracts an electron immediately.

Maximum kinetic energy of the photoelectrons as a function of frequency. The line has slope $h$ (Planck’s constant, the same for all metals) and intercept $-W$ on the vertical axis (dependent on the metal). Below $f_0$ there is no emission.

The line representing $E_\text{cin,max}=hf-W$ thus has slope equal to Planck’s constant $h$ — the same for every metal! — and intercept $-W$ on the vertical axis, which instead depends on the metal. Measuring the stopping voltage as a function of frequency for different metals yields parallel lines: a very clean test of Einstein’s formula, carried out with great precision by Robert Millikan in 1916.

A concrete numerical case — the stopping voltage of sodium illuminated in the ultraviolet — is worked through in full among the exercises of this section.

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L’atomo singolo ha livelli energetici discreti. Ma quando moltissimi atomi si combinano in un solido, i loro livelli, così vicini fra loro, “si spalmano” in intervalli continui chiamati bande:

• Banda di valenza: dove risiedono gli elettroni “legati” agli atomi del reticolo cristallino;
• Banda di conduzione: dove gli elettroni sono liberi di muoversi attraverso il materiale, producendo corrente elettrica.

La differenza di energia fra le due bande si chiama gap (divario energetico):

$E_\text{gap} = E_\text{cond} - E_\text{val}$

L’ampiezza del gap è ciò che distingue, a livello fondamentale, i grandi tipi di materiali elettrici.

Principio — Classificazione dei materiali

• Isolanti: gap molto grande; persino fotoni energetici faticano a promuovere un elettrone in conduzione.
• Semiconduttori (silicio, germanio): gap piccolo, $\sim 1{,}1$ eV per il silicio. A temperatura ambiente qualche elettrone riesce a passare in banda di conduzione. È la base di tutta l’elettronica moderna.
• Conduttori (metalli): la banda di valenza è piena e alcuni elettroni sono già in banda di conduzione; la corrente fluisce facilmente.

La legge fotoelettrica “a bande”

Nella visione a bande, l’effetto fotoelettrico si riformula in modo naturale. Se un fotone colpisce un semiconduttore e la sua energia $hf$ è maggiore del gap, l’elettrone colpito salta dalla banda di valenza alla banda di conduzione e contribuisce alla corrente:

$\ev{E_\text{cin,max} = h\,f - E_\text{gap}}$

Se invece $hf < E_\text{gap}$, il fotone non viene assorbito: nessuna corrente, indipendentemente dall’intensità della luce. È questo che spiega l’esistenza di una soglia fotoelettrica, del tutto analoga alla frequenza di soglia $f_0$ dell’esperimento originale, con il gap $E_\text{gap}$ nel ruolo del lavoro di estrazione $W$.

Non l'intensità, ma l'energia del singolo fotone

A contare non è l’intensità della luce, ma l’energia del singolo fotone. Una luce rossa intensa non eccita nessun elettrone (se il gap supera $\sim 1{,}8$ eV), mentre una luce blu debole ci riesce. È un fatto incompatibile con la fisica classica, dove la luce è solo un’onda e conta soltanto l’energia complessiva trasportata.

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Esercizi collegati: Perché i raggi X non sono solo luce intensa · Ricavare h e W dal grafico fotoelettrico · Fotoelettroni dal sodio a 345 nm

The single atom has discrete energy levels. But when very many atoms combine into a solid, their levels, so close to each other, “smear out” into continuous ranges called bands:

• Valence band: where the electrons “bound” to the atoms of the crystal lattice reside;
• Conduction band: where electrons are free to move through the material, producing electric current.

The energy difference between the two bands is called the gap (energy gap):

$E_\text{gap} = E_\text{cond} - E_\text{val}$

The width of the gap is what fundamentally distinguishes the broad classes of electrical materials.

Principle — Classification of materials

• Insulators: very large gap; even energetic photons struggle to promote an electron into conduction.
• Semiconductors (silicon, germanium): small gap, $\sim 1{,}1$ eV for silicon. At room temperature a few electrons manage to pass into the conduction band. This is the basis of all modern electronics.
• Conductors (metals): the valence band is full and some electrons are already in the conduction band; current flows easily.

The “band-based” photoelectric law

In the band picture, the photoelectric effect is naturally reformulated. If a photon strikes a semiconductor and its energy $hf$ is greater than the gap, the struck electron jumps from the valence band to the conduction band and contributes to the current:

$\ev{E_\text{cin,max} = h\,f - E_\text{gap}}$

If instead $hf < E_\text{gap}$, the photon is not absorbed: no current, regardless of the light intensity. This is what explains the existence of a photoelectric threshold, entirely analogous to the threshold frequency $f_0$ of the original experiment, with the gap $E_\text{gap}$ playing the role of the work function $W$.

Not the intensity, but the energy of the single photon

What counts is not the intensity of the light, but the energy of the single photon. Intense red light excites no electron (if the gap exceeds $\sim 1{,}8$ eV), while weak blue light succeeds. This is a fact incompatible with classical physics, where light is only a wave and only the overall transported energy matters.

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