Principio di sovrapposizione

Quando due o più onde si incontrano nello stesso punto, la perturbazione risultante è semplicemente la somma delle singole perturbazioni: è il principio di sovrapposizione. Da questa regola apparentemente banale nascono alcuni dei fenomeni più ricchi della fisica ondulatoria — l’interferenza, la diffrazione e i battimenti. Questa sezione li introduce uno a uno.

• Principio di sovrapposizione
• Interferenza
• Diffrazione
• Battimenti

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Due sorgenti in fase generano frange di interferenza: dove le onde si sommano l’ampiezza cresce, dove si oppongono si annulla.

When two or more waves meet at the same point, the resulting perturbation is simply the sum of the individual perturbations: this is the superposition principle. From this apparently trivial rule arise some of the richest phenomena in wave physics — interference, diffraction and beats. This section introduces them one by one.

• Principio di sovrapposizione
• Interferenza
• Diffrazione
• Battimenti

Try it — interactive ripple tank

Two in-phase sources produce interference fringes: where the waves add the amplitude grows, where they oppose it cancels.

Che cosa succede quando due onde arrivano contemporaneamente nello stesso punto dello spazio? La risposta è sorprendentemente semplice: le onde non si “urtano” né si disturbano a vicenda, ma le loro perturbazioni si sommano punto per punto. In un istante e in un punto dati, lo spostamento del mezzo è la somma algebrica degli spostamenti che ciascuna onda produrrebbe da sola.

Principio — Sovrapposizione

La perturbazione risultante è la somma delle singole perturbazioni: $\ev{\phi_{\text{tot}}(x,t) = \phi_1(x,t) + \phi_2(x,t)}$

L’aspetto notevole è che, dopo essersi sovrapposte, le onde proseguono ciascuna per la propria strada come se nulla fosse accaduto: si attraversano senza modificarsi. La somma vale solo nell’istante e nel luogo in cui coesistono. È proprio questa combinazione — sommarsi dove si incontrano, ignorarsi altrove — a generare figure di interferenza stabili e schemi ripetuti.

Da questo unico principio discendono due fenomeni fondamentali che studieremo nel seguito: l’interferenza, che nasce dalla sovrapposizione di onde con la stessa frequenza, e i battimenti, che nascono quando le frequenze sono leggermente diverse.

Note

Il principio di sovrapposizione vale finché il mezzo risponde in modo lineare, cioè finché le ampiezze non sono troppo grandi. Per onde di grande intensità (per esempio un’onda d’urto) la sovrapposizione semplice non è più esatta.

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What happens when two waves arrive at the same point in space at the same time? The answer is surprisingly simple: the waves do not “collide” with or disturb one another, but their perturbations add up point by point. At a given instant and a given point, the displacement of the medium is the algebraic sum of the displacements each wave would produce on its own.

Principle — Superposition

The resulting perturbation is the sum of the individual perturbations: $\ev{\phi_{\text{tot}}(x,t) = \phi_1(x,t) + \phi_2(x,t)}$

The remarkable point is that, after overlapping, the waves each carry on along their own way as if nothing had happened: they pass through each other without being altered. The sum holds only at the instant and place where they coexist. It is precisely this combination — adding up where they meet, ignoring each other elsewhere — that generates stable interference patterns and repeated figures.

From this single principle follow two fundamental phenomena that we will study next: interference, which arises from the superposition of waves with the same frequency, and beats, which arise when the frequencies are slightly different.

Note

The superposition principle holds as long as the medium responds linearly, that is, as long as the amplitudes are not too large. For very intense waves (for example a shock wave) simple superposition is no longer exact.

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Che cosa succede se le due onde che si sovrappongono hanno frequenze non uguali, ma solo leggermente diverse ($f_1 \approx f_2$)? Le onde passano lentamente dall’essere in fase (interferenza costruttiva, ampiezza grande) all’essere in controfase (interferenza distruttiva, ampiezza piccola) e ritorno. Il risultato è un segnale la cui ampiezza pulsa lentamente nel tempo: sono i battimenti. Nel suono si percepiscono come un “wah-wah” periodico, un rinforzo e affievolimento regolare del volume.

Formula chiave — Frequenza di battimento

$\ev{f_{\text{batt}} = |f_1 - f_2|}$ Il volume pulsa tante volte al secondo quanto è la differenza tra le due frequenze.

Note

I musicisti sfruttano i battimenti per accordare gli strumenti: quando due note sono quasi uguali si sente il battito; man mano che ci si avvicina all’unisono il battito rallenta, e quando sparisce del tutto le due frequenze coincidono esattamente.

La dimostrazione si ottiene sommando due oscillazioni di frequenza vicina e usando l’identità trigonometrica di prostaferesi:

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

Il primo fattore oscilla velocemente alla frequenza media $(f_1+f_2)/2$ (il tono che udiamo), mentre il secondo fattore — che modula l’ampiezza — oscilla lentamente alla frequenza $(f_1-f_2)/2$. Poiché l’ampiezza raggiunge un massimo di volume due volte per ogni ciclo di questa modulazione, la frequenza udibile dei battimenti è proprio $|f_1 - f_2|$.

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What happens if the two overlapping waves have frequencies that are not equal, but only slightly different ($f_1 \approx f_2$)? The waves slowly drift from being in phase (constructive interference, large amplitude) to being in antiphase (destructive interference, small amplitude) and back again. The result is a signal whose amplitude pulses slowly in time: these are beats. In sound they are perceived as a periodic “wah-wah”, a regular swelling and fading of volume.

Key formula — Beat frequency

$\ev{f_{\text{beat}} = |f_1 - f_2|}$ The volume pulses as many times per second as the difference between the two frequencies.

Note

Musicians exploit beats to tune their instruments: when two notes are nearly equal, the beat is heard; as you get closer to unison the beat slows down, and when it disappears altogether the two frequencies coincide exactly.

The demonstration is obtained by adding two oscillations of nearby frequency and using the sum-to-product trigonometric identity:

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$

The first factor oscillates quickly at the mean frequency $(f_1+f_2)/2$ (the pitch we hear), while the second factor — which modulates the amplitude — oscillates slowly at the frequency $(f_1-f_2)/2$. Since the amplitude reaches a volume maximum twice per cycle of this modulation, the audible beat frequency is precisely $|f_1 - f_2|$.

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