Diffrazione

L’interferenza non richiede necessariamente due sorgenti: anche una singola apertura sufficientemente stretta produce uno schema di massimi e minimi. Questo fenomeno è la diffrazione, e nasce dall’interferenza delle infinite onde secondarie emesse da ogni punto dell’apertura (principio di Huygens-Fresnel). Qui la studiamo dalla singola fenditura al reticolo, fino al limite che essa impone al potere risolutivo degli strumenti ottici.

• Diffrazione da singola fenditura
• Reticolo di diffrazione
• Criterio di Rayleigh e potere risolutivo

Interference does not necessarily require two sources: even a single sufficiently narrow aperture produces a pattern of maxima and minima. This phenomenon is diffraction, and it arises from the interference of the infinitely many secondary waves emitted by every point of the aperture (Huygens–Fresnel principle). Here we study it from the single slit to the grating, up to the limit it imposes on the resolving power of optical instruments.

• Diffrazione da singola fenditura
• Reticolo di diffrazione
• Criterio di Rayleigh e potere risolutivo

L’interferenza non richiede strettamente due sorgenti. Anche una singola fenditura abbastanza stretta produce sullo schermo uno schema di massimi e minimi: è la diffrazione. Il meccanismo si spiega con il principio di Huygens-Fresnel: ogni punto della fenditura si comporta come una piccola sorgente di onde secondarie, e queste onde, provenienti da punti diversi della stessa apertura, interferiscono fra loro sullo schermo. In certe direzioni si rinforzano, in altre si cancellano.

Formula chiave — Minimi della singola fenditura

Per un’onda di lunghezza $\lambda$ che attraversa una fenditura larga $a$, i minimi di intensità sullo schermo si trovano agli angoli: $\ev{a\,\sin\theta_k = k\,\lambda \qquad k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots}$

Si noti che la condizione $a\sin\theta = k\lambda$ individua i minimi, non i massimi: è il contrario di quanto accade nella doppia fenditura. Il massimo centrale ($k = 0$) è il più luminoso ed è anche il più largo: la sua estensione angolare fra i due primi minimi vale $2\lambda/a$. I massimi laterali che seguono sono molto più deboli e via via meno intensi.

Note

La larghezza del massimo centrale, $2\lambda/a$, dice che una fenditura stretta (piccola $a$) diffrange molto: l’onda si allarga parecchio dopo l’apertura. Una fenditura larga rispetto a $\lambda$ diffrange poco e la luce prosegue quasi rettilinea. La diffrazione è vistosa solo quando l’apertura è comparabile con la lunghezza d’onda.

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Interference does not strictly require two sources. Even a single sufficiently narrow slit produces a pattern of maxima and minima on the screen: this is diffraction. The mechanism is explained by the Huygens–Fresnel principle: every point of the slit behaves as a small source of secondary waves, and these waves, coming from different points of the same aperture, interfere with one another on the screen. In certain directions they reinforce, in others they cancel.

Key formula — Single-slit minima

For a wave of wavelength $\lambda$ passing through a slit of width $a$, the intensity minima on the screen occur at angles: $\ev{a\,\sin\theta_k = k\,\lambda \qquad k = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots}$

Note that the condition $a\sin\theta = k\lambda$ identifies the minima, not the maxima: it is the opposite of what happens in the double slit. The central maximum ($k = 0$) is the brightest and also the widest: its angular extent between the first two minima is $2\lambda/a$. The side maxima that follow are much weaker and progressively less intense.

Note

The width of the central maximum, $2\lambda/a$, tells us that a narrow slit (small $a$) diffracts strongly: the wave spreads out considerably after the aperture. A slit wide compared with $\lambda$ diffracts little and the light carries on almost in a straight line. Diffraction is noticeable only when the aperture is comparable with the wavelength.

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Un reticolo di diffrazione è una serie di moltissime fenditure parallele, tutte alla stessa distanza $d$ (il passo del reticolo) l’una dall’altra. Quando la luce lo attraversa, i contributi delle innumerevoli fenditure si sommano, e l’interferenza costruttiva si verifica solo in direzioni ben precise. I massimi principali si trovano agli angoli che soddisfano:

Formula chiave — Massimi del reticolo

$\ev{d\,\sin\theta_n = n\,\lambda \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots}$

A differenza della singola fenditura, i massimi di un reticolo sono stretti e nettamente separati: più fenditure contribuiscono, più il massimo diventa affilato. Poiché l’angolo $\theta_n$ dipende dalla lunghezza d’onda, colori diversi vengono deviati di angoli diversi: il reticolo agisce come uno “spettroscopio” che disperde la luce nei suoi colori componenti.

Esempio — Reticolo di Joseph Fraunhofer

Un reticolo di $500$ righe/mm ha passo $d = 1/(500\cdot 10^3) = 2\cdot 10^{-6}\;\text{m}$. La luce gialla del sodio ($\lambda = 589\;\text{nm}$) produce il primo massimo a: $\sin\theta_1 = \lambda/d = 589\cdot 10^{-9}/(2\cdot 10^{-6}) \approx 0{,}29 \;\Rightarrow\; \theta_1 \approx 17^\circ$ Con luce bianca lo stesso reticolo produce uno spettro continuo: ogni $\lambda$ ha il suo angolo distinto. È il metodo usato per la prima volta da Fraunhofer per scoprire le righe spettrali del Sole (Halliday, Resnick e Walker 2014).

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A diffraction grating is a series of very many parallel slits, all the same distance $d$ (the grating pitch) apart. When light passes through it, the contributions of the countless slits add up, and constructive interference occurs only in quite precise directions. The principal maxima occur at angles satisfying:

Key formula — Grating maxima

$\ev{d\,\sin\theta_n = n\,\lambda \qquad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots}$

Unlike the single slit, the maxima of a grating are narrow and sharply separated: the more slits contribute, the sharper the maximum becomes. Since the angle $\theta_n$ depends on the wavelength, different colours are deflected by different angles: the grating acts as a “spectroscope” that disperses light into its component colours.

Example — Joseph Fraunhofer's grating

A grating with $500$ lines/mm has pitch $d = 1/(500\cdot 10^3) = 2\cdot 10^{-6}\;\text{m}$. Yellow sodium light ($\lambda = 589\;\text{nm}$) produces the first maximum at: $\sin\theta_1 = \lambda/d = 589\cdot 10^{-9}/(2\cdot 10^{-6}) \approx 0.29 \;\Rightarrow\; \theta_1 \approx 17^\circ$ With white light the same grating produces a continuous spectrum: each $\lambda$ has its own distinct angle. This is the method Fraunhofer first used to discover the spectral lines of the Sun (Halliday, Resnick and Walker 2014).

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La diffrazione non è solo un fenomeno curioso: è ciò che pone un limite fondamentale alla nitidezza di ogni strumento ottico. Quando la luce di una sorgente puntiforme attraversa l’apertura circolare di un obiettivo, non forma un punto ma un dischetto sfocato (il disco di Airy), a causa della diffrazione. Due sorgenti vicine producono due dischetti che, se troppo ravvicinati, si fondono e non si riescono più a distinguere.

Il criterio di Rayleigh stabilisce la separazione minima per cui due sorgenti sono ancora appena risolvibili.

Formula chiave — Criterio di Rayleigh

Due sorgenti puntiformi viste attraverso un’apertura circolare di diametro $D$ sono appena distinguibili quando il loro angolo di separazione vale: $\ev{\theta_\text{min} \approx 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}}$ Il fattore $1{,}22$ deriva dalla diffrazione di Fraunhofer su un’apertura circolare.

Il messaggio è chiaro: per risolvere dettagli più fini (piccolo $\theta_\text{min}$) serve un’apertura $D$ grande oppure una lunghezza d’onda $\lambda$ piccola. È il motivo per cui i grandi telescopi hanno specchi enormi e i microscopi più spinti usano luce a corta lunghezza d’onda.

Esempio — Limite di risoluzione dell'occhio (e del Webb)

L’iride umana ha diametro $D \approx 3\;\text{mm}$. Per luce visibile media ($\lambda \approx 550\;\text{nm}$): $\theta_\text{min} \approx 1{,}22\cdot 550\cdot 10^{-9}/(3\cdot 10^{-3}) \approx 2{,}2\cdot 10^{-4}\;\text{rad} \approx 45''$ A $10\;\text{m}$ di distanza possiamo così distinguere oggetti separati di circa $2\;\text{mm}$. I telescopi fanno molto meglio: col James Webb ($D = 6{,}5\;\text{m}$) si ha $\theta_\text{min} \approx 10^{-7}\;\text{rad}$, sufficiente a risolvere una moneta a $30\;\text{km}$ di distanza — se non ci fosse l’atmosfera di mezzo.

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Diffraction is not just a curious phenomenon: it is what sets a fundamental limit on the sharpness of any optical instrument. When light from a point source passes through the circular aperture of a lens, it does not form a point but a blurred disc (the Airy disc), owing to diffraction. Two nearby sources produce two discs that, if too close together, merge and can no longer be told apart.

The Rayleigh criterion establishes the minimum separation at which two sources are still just resolvable.

Key formula — Rayleigh criterion

Two point sources seen through a circular aperture of diameter $D$ are just distinguishable when their angular separation is: $\ev{\theta_\text{min} \approx 1.22\,\frac{\lambda}{D}}$ The factor $1.22$ comes from the Fraunhofer diffraction of a circular aperture.

The message is clear: to resolve finer details (small $\theta_\text{min}$) you need either a large aperture $D$ or a small wavelength $\lambda$. This is why large telescopes have enormous mirrors and the most powerful microscopes use short-wavelength light.

Example — Resolution limit of the eye (and of Webb)

The human iris has diameter $D \approx 3\;\text{mm}$. For average visible light ($\lambda \approx 550\;\text{nm}$): $\theta_\text{min} \approx 1.22\cdot 550\cdot 10^{-9}/(3\cdot 10^{-3}) \approx 2.2\cdot 10^{-4}\;\text{rad} \approx 45''$ At $10\;\text{m}$ distance we can thus distinguish objects about $2\;\text{mm}$ apart. Telescopes do far better: with the James Webb ($D = 6.5\;\text{m}$) one gets $\theta_\text{min} \approx 10^{-7}\;\text{rad}$, enough to resolve a coin at $30\;\text{km}$ distance — were there no atmosphere in the way.

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