La crisi del corpo nero

La quantizzazione dell’energia non nasce da un’idea astratta, ma da un fallimento clamoroso: la fisica classica del 1900 non riusciva a riprodurre lo spettro di emissione di un corpo caldo, una curva che qualunque laboratorio misurava senza difficoltà. Questa sezione ripercorre l’episodio — la definizione di corpo nero e le sue leggi sperimentali, la catastrofe ultravioletta prevista dalla teoria classica, e l’atto di disperazione di Planck che, introducendo il quanto di energia, aprì la porta di tutta la fisica del Novecento.

• Cos’è un corpo nero
• La catastrofe ultravioletta
• L’ipotesi di Planck

The quantisation of energy did not arise from an abstract idea, but from a resounding failure: classical physics in 1900 could not reproduce the emission spectrum of a hot body, a curve that any laboratory could measure without difficulty. This section retraces the episode — the definition of the black body and its experimental laws, the ultraviolet catastrophe predicted by classical theory, and Planck’s act of desperation which, by introducing the quantum of energy, opened the door to all of twentieth-century physics.

• What is a black body
• The ultraviolet catastrophe
• Planck’s hypothesis

Si chiama corpo nero (Kirchhoff, 1862) un oggetto ideale che assorbe tutta la radiazione che riceve, di qualsiasi frequenza — da qui il nome: se non riflette nulla, a temperatura ambiente appare nero. Ma un corpo nero non è soltanto un perfetto assorbitore: è anche il miglior emettitore possibile. La ragione fisica è l’equilibrio termico. Se un oggetto sta a temperatura $T$ costante dentro una cavità, deve riemettere esattamente tanta energia quanta ne assorbe, altrimenti si scalderebbe o si raffredderebbe; un assorbitore perfetto è perciò anche un emettitore perfetto.

Il fatto sorprendente è che, per un corpo nero in equilibrio termico a temperatura $T$, l’emissione è una funzione universale di $T$ e della frequenza $f$ (o della lunghezza d’onda $\lambda$): non dipende dal materiale. Ferro, carbone o gas rovente, portati alla stessa temperatura, emettono lo stesso spettro. È questa universalità a rendere il corpo nero un banco di prova cruciale per la teoria: una curva che dipende solo da $T$ e da costanti fondamentali della natura, e da nient’altro.

Un corpo nero ideale non esiste in natura, ma se ne costruisce un’ottima approssimazione con una cavità chiusa dotata di un piccolo foro. Qualsiasi raggio di luce che entra dal foro rimbalza tante volte sulle pareti interne da venire quasi certamente assorbito prima di poter uscire: il foro, visto da fuori, assorbe praticamente tutto ed è quindi nero. Per lo stesso motivo, la radiazione che esce dal foro quando la cavità è calda è proprio quella di un corpo nero ideale.

Un piccolo foro in una cavità chiusa è la migliore realizzazione pratica di un corpo nero: la luce che entra rimbalza sulle pareti finché viene assorbita e quasi mai riesce a uscire.

Ciò che si misura è la densità spettrale di emissione $u(\lambda,T)$: quanta energia il corpo nero irradia in ciascun intervallo di lunghezze d’onda. Sperimentalmente questa funzione mostra tre caratteristiche universali, valide per qualunque corpo nero:

• spettro continuo: $u(\lambda,T)$ non ha righe, ma un andamento continuo con un unico picco a una certa lunghezza d’onda $\lambda_\text{max}$;
• legge di Wien: al crescere della temperatura il picco si sposta verso le lunghezze d’onda corte, secondo $\lambda_\text{max}\cdot T = b$;
• legge di Stefan-Boltzmann: la potenza totale emessa per unità di area, sommata su tutte le frequenze, cresce come $T^4$.

Le prime due dicono dove il corpo emette di più; la terza dice quanto emette in totale.

Formula chiave

$\text{Wien:}\quad \lambda_\text{max}\,T = b \qquad\qquad \text{Stefan-Boltzmann:}\quad \frac{P}{A} = \sigma\,T^4$ Entrambe sono leggi sperimentali, indipendenti da qualunque modello teorico.

Legge di Wien

La lunghezza d’onda a cui il corpo nero emette il massimo della radiazione è inversamente proporzionale alla temperatura: $\ev{\lambda_\text{max}\,T = b \approx 2{,}898\cdot 10^{-3}\;\text{m K}}$ Perciò più un corpo è caldo, più “azzurra” diventa la sua luce.

Legge di Stefan-Boltzmann

La potenza totale (su tutte le frequenze) emessa per unità di area da un corpo nero cresce con la quarta potenza della temperatura assoluta: $\ev{\frac{P}{A} = \sigma\,T^4}, \qquad \sigma \approx 5{,}67\cdot 10^{-8}\;\frac{\text{W}}{\text{m}^2\,\text{K}^4}$ La dipendenza da $T^4$ è violenta: raddoppiare la temperatura assoluta significa emettere sedici volte più energia.

Esempio — La superficie del Sole e quella del nostro corpo

Il Sole ha temperatura superficiale $T_\odot \approx 5800\;\text{K}$. Dalla legge di Wien: $\lambda_\text{max} = \frac{b}{T_\odot} \approx \frac{2{,}898\cdot 10^{-3}}{5800}\;\text{m} \approx 5\cdot 10^{-7}\;\text{m} = 500\;\text{nm}$ cioè nel visibile (verde-giallo). Non è un caso: i nostri occhi si sono evoluti per essere sensibili proprio dove il Sole emette di più.

Il corpo umano è a $T \approx 310\;\text{K}$, quindi $\lambda_\text{max} = \frac{b}{T} \approx \frac{2{,}898\cdot 10^{-3}}{310}\;\text{m} \approx 9{,}4\;\mu\text{m}$ emettiamo cioè nell’infrarosso lontano. È esattamente ciò che vede una termocamera, e che permette di individuare al buio un essere vivente.

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A black body (Kirchhoff, 1862) is called an ideal object that absorbs all the radiation it receives, at any frequency — hence the name: since it reflects nothing, at room temperature it appears black. But a black body is not just a perfect absorber: it is also the best possible emitter. The physical reason is thermal equilibrium. If an object sits at constant temperature $T$ inside a cavity, it must re-emit exactly as much energy as it absorbs, otherwise it would heat up or cool down; a perfect absorber is therefore also a perfect emitter.

The surprising fact is that, for a black body in thermal equilibrium at temperature $T$, the emission is a universal function of $T$ and frequency $f$ (or wavelength $\lambda$): it does not depend on the material. Iron, coal or hot gas, brought to the same temperature, emit the same spectrum. It is this universality that makes the black body a crucial testing ground for theory: a curve that depends only on $T$ and on fundamental constants of nature, and on nothing else.

An ideal black body does not exist in nature, but an excellent approximation can be built with a closed cavity fitted with a small hole. Any ray of light that enters through the hole bounces off the inner walls so many times that it is almost certainly absorbed before it can get out: the hole, seen from outside, absorbs practically everything and is therefore black. For the same reason, the radiation that leaves the hole when the cavity is hot is exactly that of an ideal black body.

A small hole in a closed cavity is the best practical realisation of a black body: the light that enters bounces off the walls until it is absorbed and almost never manages to escape.

What is measured is the spectral emission density $u(\lambda,T)$: how much energy the black body radiates in each interval of wavelengths. Experimentally this function shows three universal features, valid for any black body:

• continuous spectrum: $u(\lambda,T)$ has no lines, but a continuous trend with a single peak at a certain wavelength $\lambda_\text{max}$;
• Wien’s law: as temperature increases the peak shifts towards shorter wavelengths, according to $\lambda_\text{max}\cdot T = b$;
• Stefan-Boltzmann law: the total power emitted per unit area, summed over all frequencies, grows as $T^4$.

The first two tell us where the body emits most; the third tells us how much it emits in total.

Key formula

$\text{Wien:}\quad \lambda_\text{max}\,T = b \qquad\qquad \text{Stefan-Boltzmann:}\quad \frac{P}{A} = \sigma\,T^4$ Both are experimental laws, independent of any theoretical model.

Wien's law

The wavelength at which the black body emits the maximum of radiation is inversely proportional to temperature: $\ev{\lambda_\text{max}\,T = b \approx 2{,}898\cdot 10^{-3}\;\text{m K}}$ So the hotter a body is, the “bluer” its light becomes.

Stefan-Boltzmann law

The total power (over all frequencies) emitted per unit area by a black body grows with the fourth power of the absolute temperature: $\ev{\frac{P}{A} = \sigma\,T^4}, \qquad \sigma \approx 5{,}67\cdot 10^{-8}\;\frac{\text{W}}{\text{m}^2\,\text{K}^4}$ The $T^4$ dependence is violent: doubling the absolute temperature means emitting sixteen times more energy.

Example — The surface of the Sun and of our body

The Sun has a surface temperature $T_\odot \approx 5800\;\text{K}$. From Wien’s law: $\lambda_\text{max} = \frac{b}{T_\odot} \approx \frac{2{,}898\cdot 10^{-3}}{5800}\;\text{m} \approx 5\cdot 10^{-7}\;\text{m} = 500\;\text{nm}$ that is, in the visible range (green-yellow). This is no coincidence: our eyes evolved to be sensitive exactly where the Sun emits most.

The human body is at $T \approx 310\;\text{K}$, so $\lambda_\text{max} = \frac{b}{T} \approx \frac{2{,}898\cdot 10^{-3}}{310}\;\text{m} \approx 9{,}4\;\mu\text{m}$ we therefore emit in the far infrared. This is exactly what a thermal camera sees, and what makes it possible to spot a living being in the dark.

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Che cosa prevede la fisica classica per lo spettro di un corpo nero? Il calcolo fu svolto da Lord Rayleigh e James Jeans intorno al 1900. L’idea è trattare la radiazione dentro la cavità come un insieme di onde stazionarie (i “modi” del campo elettromagnetico) e assegnare a ciascun modo, per il principio classico di equipartizione dell’energia, la stessa energia media $k_B T$. Contando quanti modi cadono in ciascun intervallo di lunghezze d’onda si ottiene la densità spettrale

$u_{RJ}(\lambda,T) = \frac{8\pi\,k_B\,T}{\lambda^4}$

La formula funziona benissimo per le grandi lunghezze d’onda (infrarosso, microonde), dove si sovrappone alla curva misurata. Ma nasconde un disastro: il fattore $1/\lambda^4$ fa crescere illimitatamente $u_{RJ}$ quando $\lambda \to 0$. Più corta è la lunghezza d’onda, più energia la teoria classica attribuisce alla cavità, senza alcun limite.

L’assurdità diventa evidente calcolando l’energia totale, che è l’area sotto la curva, cioè l’integrale su tutte le lunghezze d’onda:

$U_\text{tot} \propto \int_0^\infty \frac{1}{\lambda^4}\,\dd\lambda = \infty$

Il risultato è infinito. Preso alla lettera, ogni oggetto tiepido — un calorifero acceso, un corpo umano — dovrebbe irradiare istantaneamente una quantità infinita di energia nelle lunghezze d’onda ultraviolette e oltre, annichilendo di fatto l’universo. È la celebre catastrofe ultravioletta, espressione coniata da Paul Ehrenfest nel 1911: il nome sottolinea che il guaio esplode nella regione delle piccole $\lambda$ (l’ultravioletto e oltre).

Sperimentalmente, naturalmente, non succede nulla di simile. La curva reale sale, raggiunge un picco a $\lambda_\text{max}$ e poi precipita a zero proprio là dove la formula classica divergerebbe. Il confronto tra le due curve è impietoso: coincidono nell’infrarosso, ma nell’ultravioletto la previsione classica e il dato sperimentale prendono strade opposte. Non si trattava di un piccolo scarto numerico da correggere: la fisica classica era radicalmente incompatibile con l’osservazione.

La previsione classica di Rayleigh-Jeans (rosso) diverge come $1/\lambda^4$ per $\lambda \to 0$: è la catastrofe ultravioletta. La curva realmente misurata (blu, poi spiegata da Planck) ha invece un picco a $\lambda_\text{max}$ e crolla a zero verso le piccole lunghezze d’onda.

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What does classical physics predict for the spectrum of a black body? The calculation was carried out by Lord Rayleigh and James Jeans around 1900. The idea is to treat the radiation inside the cavity as a collection of standing waves (the “modes” of the electromagnetic field) and to assign to each mode, by the classical principle of equipartition of energy, the same average energy $k_B T$. Counting how many modes fall in each interval of wavelengths gives the spectral density

$u_{RJ}(\lambda,T) = \frac{8\pi\,k_B\,T}{\lambda^4}$

The formula works very well at long wavelengths (infrared, microwave), where it overlaps with the measured curve. But it hides a disaster: the factor $1/\lambda^4$ makes $u_{RJ}$ grow without limit as $\lambda \to 0$. The shorter the wavelength, the more energy classical theory assigns to the cavity, with no bound.

The absurdity becomes evident when calculating the total energy, which is the area under the curve, i.e. the integral over all wavelengths:

$U_\text{tot} \propto \int_0^\infty \frac{1}{\lambda^4}\,\dd\lambda = \infty$

The result is infinite. Taken literally, every lukewarm object — a lit heater, a human body — should instantly radiate an infinite amount of energy in the ultraviolet wavelengths and beyond, effectively annihilating the universe. This is the famous ultraviolet catastrophe, an expression coined by Paul Ehrenfest in 1911: the name highlights that the trouble explodes in the region of small $\lambda$ (the ultraviolet and beyond).

Experimentally, of course, nothing of the sort happens. The real curve rises, reaches a peak at $\lambda_\text{max}$ and then drops to zero exactly where the classical formula would diverge. The comparison between the two curves is merciless: they coincide in the infrared, but in the ultraviolet the classical prediction and the experimental data go in opposite directions. This was not a small numerical discrepancy to be corrected: classical physics was radically incompatible with observation.

The classical Rayleigh-Jeans prediction (red) diverges as $1/\lambda^4$ for $\lambda \to 0$: this is the ultraviolet catastrophe. The actually measured curve (blue, later explained by Planck) instead has a peak at $\lambda_\text{max}$ and collapses to zero towards short wavelengths.

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Nel dicembre 1900 Max Planck presentò alla Società tedesca di fisica un’ipotesi che lui stesso descrisse come “un atto di disperazione”: aveva provato ogni strada classica senza successo, e alla fine accettò un’idea che gli sembrava priva di senso fisico pur di far tornare i conti. L’ipotesi è questa: gli oscillatori che costituiscono le pareti della cavità non possono possedere energie qualsiasi (continue), ma soltanto multipli interi di una quantità elementare $h\,f$, dove $f$ è la frequenza dell’oscillatore e $h$ una nuova costante della natura. Un oscillatore di frequenza $f$ può quindi avere solo le energie

$E_n = n\,h\,f, \qquad n = 0,1,2,\dots$

La costante $h$, la costante di Planck, vale

$h \approx 6{,}63\cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}$

ed è così minuscola da spiegare perché la quantizzazione resti invisibile nel mondo macroscopico: il “gradino” di energia $hf$ è enormemente più piccolo delle energie in gioco negli oggetti ordinari, e la scala appare continua.

Principio — Quanto di energia (Planck, 1900)

L’energia di un oscillatore microscopico di frequenza $f$ è quantizzata: può assumere soltanto valori multipli del quanto elementare $h\,f$.

Perché questa ipotesi cura la catastrofe? L’idea fisica è che un modo di alta frequenza (piccola $\lambda$) richiede un quanto $hf$ grande. Ma l’agitazione termica dispone in media solo di un’energia dell’ordine di $k_B T$: se $hf \gg k_B T$, quel modo quasi non riesce mai a raccogliere abbastanza energia nemmeno per il suo primo gradino, e resta di fatto “spento”. L’equipartizione classica, che dava $k_B T$ a ogni modo, viene così soppressa proprio dove esplodeva.

Applicando la statistica di Boltzmann ai modi della cavità con questa sola ipotesi, Planck ottenne la formula spettrale

$u_P(\lambda,T) = \frac{8\pi\,h\,c}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{\exp\!\bigl(hc/(\lambda\,k_B T)\bigr) - 1}$

che riproduce esattamente la curva sperimentale, a ogni temperatura. La sua correttezza si vede subito esaminando i due limiti:

$\begin{aligned} &\lambda \text{ grande:}\quad \frac{hc}{\lambda k_B T}\ll 1 \;\Rightarrow\; \exp\!\Bigl(\tfrac{hc}{\lambda k_B T}\Bigr)-1 \approx \frac{hc}{\lambda k_B T} \;\Rightarrow\; u_P \approx \frac{8\pi k_B T}{\lambda^4} = u_{RJ} \\ &\lambda \text{ piccola:}\quad \frac{hc}{\lambda k_B T}\gg 1 \;\Rightarrow\; \exp\!\Bigl(\tfrac{hc}{\lambda k_B T}\Bigr)\to\infty \;\Rightarrow\; u_P \to 0 \end{aligned}$

Nel limite delle grandi lunghezze d’onda si recupera la formula classica di Rayleigh-Jeans (dove essa funzionava); nel limite delle piccole lunghezze d’onda l’esponenziale schiaccia $u_P$ a zero, uccidendo la catastrofe ultravioletta. In più, dalla formula di Planck discendono come conseguenze anche le due leggi sperimentali: la legge di Wien massimizzando $u_P$ rispetto a $\lambda$, e la legge di Stefan-Boltzmann integrando $u_P$ su tutte le lunghezze d’onda. Una sola ipotesi spiega tutto ciò che la fisica classica non riusciva a spiegare.

Contesto storico

Planck stesso non interpretò la sua ipotesi come una quantizzazione dell’energia: pensò che la natura “finita” dei quanti fosse una proprietà matematica degli scambi di energia con le pareti, non una proprietà reale dei modi del campo elettromagnetico. Fu Einstein, nel 1905, a compiere il passo radicale — la luce stessa è quantizzata, e l’effetto fotoelettrico ne è la prova diretta. Planck ricevette il Nobel nel 1918, Einstein nel 1921 (per i lavori sull’effetto fotoelettrico, non per la relatività). (Simonyi 2012)

La nascita di una nuova fisica

Nel 1900 nessuno, nemmeno Planck, sospettava che la formula $E = hf$ avrebbe aperto un secolo nuovo. Cinque anni dopo Einstein applicò la stessa idea ai fotoni; otto anni dopo Bohr la usò per gli atomi; venticinque anni dopo Heisenberg, Schrödinger e Dirac scrissero le equazioni della meccanica quantistica; sessant’anni dopo nascevano laser, transistor e microscopi a effetto tunnel. Tutto parte da qui, dalla catastrofe che non si verificava: un esempio iconico di come una piccola discrepanza fra teoria ed esperimento possa aprire una crepa enorme. (Gamow 1968)

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In December 1900 Max Planck presented to the German Physical Society a hypothesis that he himself described as “an act of desperation”: he had tried every classical route without success, and in the end accepted an idea that seemed to him devoid of physical sense, just to make the numbers work. The hypothesis is this: the oscillators making up the walls of the cavity cannot possess any (continuous) energy, but only integer multiples of an elementary quantity $h\,f$, where $f$ is the oscillator’s frequency and $h$ a new constant of nature. An oscillator of frequency $f$ can therefore only have the energies

$E_n = n\,h\,f, \qquad n = 0,1,2,\dots$

The constant $h$, Planck’s constant, has the value

$h \approx 6{,}63\cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}$

and is so tiny that it explains why quantisation remains invisible in the macroscopic world: the “step” of energy $hf$ is enormously smaller than the energies involved in ordinary objects, so the scale appears continuous.

Principle — Quantum of energy (Planck, 1900)

The energy of a microscopic oscillator of frequency $f$ is quantised: it can take only values that are multiples of the elementary quantum $h\,f$.

Why does this hypothesis cure the catastrophe? The physical idea is that a high-frequency mode (small $\lambda$) requires a large quantum $hf$. But thermal agitation has on average only an energy of order $k_B T$ available: if $hf \gg k_B T$, that mode almost never manages to gather enough energy even for its first step, and remains effectively “switched off”. Classical equipartition, which gave $k_B T$ to every mode, is thus suppressed exactly where it was exploding.

Applying Boltzmann statistics to the modes of the cavity with this single hypothesis, Planck obtained the spectral formula

$u_P(\lambda,T) = \frac{8\pi\,h\,c}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{\exp\!\bigl(hc/(\lambda\,k_B T)\bigr) - 1}$

which reproduces the experimental curve exactly, at every temperature. Its correctness is immediately clear by examining the two limits:

$\begin{aligned} &\lambda \text{ large:}\quad \frac{hc}{\lambda k_B T}\ll 1 \;\Rightarrow\; \exp\!\Bigl(\tfrac{hc}{\lambda k_B T}\Bigr)-1 \approx \frac{hc}{\lambda k_B T} \;\Rightarrow\; u_P \approx \frac{8\pi k_B T}{\lambda^4} = u_{RJ} \\ &\lambda \text{ small:}\quad \frac{hc}{\lambda k_B T}\gg 1 \;\Rightarrow\; \exp\!\Bigl(\tfrac{hc}{\lambda k_B T}\Bigr)\to\infty \;\Rightarrow\; u_P \to 0 \end{aligned}$

In the limit of long wavelengths the classical Rayleigh-Jeans formula is recovered (where it worked); in the limit of short wavelengths the exponential crushes $u_P$ to zero, killing the ultraviolet catastrophe. Moreover, the two experimental laws also follow from Planck’s formula as consequences: Wien’s law by maximising $u_P$ with respect to $\lambda$, and the Stefan-Boltzmann law by integrating $u_P$ over all wavelengths. A single hypothesis explains everything that classical physics could not explain.

Historical context

Planck himself did not interpret his hypothesis as a quantisation of energy: he thought that the “finite” nature of the quanta was a mathematical property of the energy exchanges with the walls, not a real property of the modes of the electromagnetic field. It was Einstein, in 1905, who took the radical step — light itself is quantised, and the photoelectric effect is direct proof of it. Planck received the Nobel Prize in 1918, Einstein in 1921 (for his work on the photoelectric effect, not for relativity). (Simonyi 2012)

The birth of a new physics

In 1900 nobody, not even Planck, suspected that the formula $E = hf$ would open a new century. Five years later Einstein applied the same idea to photons; eight years later Bohr used it for atoms; twenty-five years later Heisenberg, Schrödinger and Dirac wrote the equations of quantum mechanics; sixty years later lasers, transistors and tunnelling-effect microscopes were born. It all starts here, from the catastrophe that never actually occurred: an iconic example of how a small discrepancy between theory and experiment can open an enormous crack. (Gamow 1968)

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